Thema Ebenen von: Sarah Otto

Überblick 1. Parameterformen 2. Die Koordinatenformen 3. Umwandlung 1.1 Punkt - Richtungsform 1.2 Drei - Punkte – Form 2. Die Koordinatenformen 2.1 Achsenabschnittsform 2.2 Normalenform 2.3 Hessesche Normalform 3. Umwandlung 4. Lagebeziehungen / Schnitte 5. Schnittwinkel 1/22

1. Parameterformen Die beiden Parameterformen: 1.1 Punkt-Richtungs-Form 1.2 Drei-Punkte-Form 2/22

1.1 Punkt-Richtungs-Form x = a + *u + *v x y z a1 a2 a3 u1 u2 u3 v1 v2 v3 A (5/0/1) u = v = = + * + * Gegeben: - Der Punkt A mit dem Ortsvektor a - Zwei linear unabhängige Richtungsformen u und v - X sei ein beliebiger Punkt der Ebene 2 1 3 1 4 3/22

1.2. Drei-Punkte-Form x = a + *(b-a) + *(c-a) x y z a1 a2 a3 b1 - Gegeben: - drei Punkte A,B,C auf der Ebene - Richtungsvektoren sind jetzt z.B. b-a und c-a - X sei ein beliebiger Punkt der Ebene A (1/3/2) B (-2/2/-1) C (3/1/5) 4/22

2. Koordinatenformen Die Koordinatenformen 2.1 Achsenabschnittsform 2.2 Normalenform 2.3 Hessesche Normalenform 5/22

2.1 Achsenabschnittsform x s y t z u 1 = + + Die Ebene E ist durch die Achsenschnittpunkte S (4/0/0) T (0/-2/0) U (0/0/3) ...gegeben Schneidet die Ebene E die x-Achse im Punkt S (s/0/0), die y-Achse im Punkt T (0/t/0) und die z-Achse im Punkt U (0/0/u), so gilt für einen beliebigen Punkt X (x/y/z) auf der Ebene E: die Achsenabschnittsform 6/22

2.2 Normalenform ° ° ° 0 = n (x – a)  0 = n x – n a n1 n2 n3 x - y - z - a1 a2 a3 = ° Gegeben: - ein Punkt A der Ebene - ein Normalenvektor n der Ebene - X sei ein beliebiger Punkt der Ebene E n = A (-4/5/3) 1 2 3 7/22

2.3 Hessesche Normalenform 0 = no ° (x – a) = no 1 no 2 no 3 ° x - y - z - a1 a2 a3 no = 1  1² + 2² + 2² a b c 1x + 2y + 2z - 12 = 0 * 1 2 n = no = 1 3 2 * 8/22

3. Umwandlung Umwandeln in andere Darstellungsformen: 3.1 Umwandlung von der Parameterform in Koordinatenform und – Normalenform 3.2 Umwandlung von der Koordinatenform in die - Normalenform - Hessesche Normalenform und - Parameterform 9/22

3.1 Umwandlung Umwandlung von der Parameterform in - Koordinatenform und - Normalenform x y z -1 2 3 8 -3 -1 4 -1 1 = + * + * -1 2 3 Ermittlung der Normalenform: 0 = n ° (x – a) =n ° x - n ° a a = 8 -3 -1 Berechnung des Normalenvektors mit dem Kreuzprodukt n ° a = - 2 = u ((-3) * 1) – ((-1) * (-1)) ((-1) * 4) – (8 * 1) (8 * (-1)) – ((-3) * 4) x + 3y - z - 2 = 0 4 -1 1 n = = v 1 3 -1 ° x - 2 = 0 1 3 -1 uy * vz – uz * vy uz * vz – ux * vz ux * vy – uy * vx -4 -12 4 *(-1/4) n = n = 10/22

Ermittlung durch Gauß: 3.1 Umwandlung x y z -1 2 3 8 -3 -1 4 -1 1 = + * + * Ermittlung durch Gauß:   -8x - 24y + 8z + 16 = 0 :(-8) 8 -3 -1 4 -1 1 x - (-1) y - 2 z - 3 x + 3y - z - 2 = 0 8 4 x +1 3x+3+8y-16 -9x–9 -24y+48+1x+1+8z-24 1 3 -1 ° x - 2 = 0 -8x - 24y + 8z + 16 = 0 11/22

3.2 Umwandlung Umwandlung Koordinatenform in die Normalenform Hessesche Normalen- und Parameterform n = 6 -4 2 6x – 4y + 2z – 12 = 0 Normalenform: Hessesche Normalenform: 1  6 -4 2 no 6 -4 2 ° x - 12 = 0 = * 6² + (-4)² + 2² 6 -4 2 1  * = x - 12 = 0 ° 56 12/22

3.2 Umwandlung Parameterform: I. Wähle drei Punkte die in der Ebene 6x – 4y + 2z – 12 = 0 liegen, z.B. A (2/0/0) B (0/-3/0) C (0/-2/2) x y z 2 -2 -3 -2 2 + * + * = II. Setze x =  und y =  und setze in die (nach z umgeformte) Gleichung z = 6 -3 + 2 x = 0  0 y = 0 0  z = 6 - 3  + 2 x y z = 6 + * 1 -3 + * 1 2 13/22

4. Lagebeziehungen Lagebeziehungen: 4.1 Lage von Punkt und Ebene zueinander 4.2 Lage von Gerade und Ebene zueinander 14/22

4.1 Punkt - Ebene P (5/-3/3) II. Ermitteln der Parameter  und  durch Gauß: x y z = 3 1,5 + * -1 -1,5 2 + * -3 1   -1 -1,5 2 -3 3 1 2 -4,5 3 5 -3 3 = 1,5 + * -1 -1,5 2 + * 1 -1 -3 7,5 -5 2 -7,5 7 -5  = 7   = - 1,4 7,5  = -7,5   = -1 Daraus folgt: P  E 5 = 3 -  - 3   = -3  - 2 -3 = 1,5 – 1,5  + 3 3 = 0 + 2 +  15/22

4.2 Gerade - Ebene E: x y z = 2 -1 + * -3 1 4 + * 1 2 4 + * -3 1 4 + * 1 2 4 Eine Gerade kann: - zu einer Ebene echt parallel sein - in der Ebene liegen oder genau einen Schnittpunkt haben x y z = 1 2 3 + * -1 4 G: = -1 3 * -3 1 4 + * 2 + * -2 -4 16/22

4.2 Gerade - Ebene Ebene parallel zu Geraden  -3 1 4 2 -2 -4   -1 3   -1 3 0  4 g || E  es gibt keinen Schnittpunkt 17/22

4.2 Gerade - Ebene Gerade liegt in / auf Ebene  -3 1 4 2   -1 3 -2   -1 3 -2 -4 0 = 0 g  E  es gibt unendlich viele Schnittpunkte 18/22

4.2 Gerade - Ebene Gerade schneidet Ebene  -3 1 4 2 -2 -4 3   -1 6 3   -1 6 3 = 6   = 2  es gibt einen Schnittpunkt 19/22

5. Schnittwinkel Schnittwinkel bei Ebenen: 5.1 Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene 5.2 Schnittwinkel zwischen Ebene und Ebene 20/22

5.1 Schnittwinkel Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene 3 1 2 E: 2 1 x y z 2 1 3 2 1 -2 x + - ° = 0 * = 2 1 -2 u = 3 1 2 n = 21/22

5.2 Schnittwinkel Schnittwinkel zwischen Ebene und Ebene 3 2 E: 6 E: 3 2 E: 6 E: 4x + 3y + 2z - 12 = 0 x - ° = 0 3 2 n1 = 4 3 2 n2 = 22/22

Ende Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit =)