Grundlagen der Informationsverarbeitung

Inhalt Zahlendarstellung Boolesche Algebra Zahlensysteme Konvertierung zwischen Zahlensystemen Darstellung negativer Zahlen Interne Darstellung von Zahlen Boolesche Algebra Einleitung Aussagenlogik Axiome und Gesetze der Aussagenlogik Normalformen Quine und McCluskey Algorithmus Karnaugh und Veitsch Diagramm Grundlagen der Digitalen Logik Grundgatter Gatterschaltungen Sequentielle Logik

Zahlendarstellung

Zahlensysteme

Das Dualsystem Wie wir aus der 5. bereits wissen, verwenden heutige Rechner das Dualsystem, da es technisch einfacher ist zwei Zustände (0 und 1) darzustellen als zehn. Dem Zahlensystem liegt daher die Basis (B) 2 zugrunde. Die Basis legt die zugelassenen Ziffern fest – in diesem Fall 0 und 1.

Allgemeine polyade Zahlensystem Zehnersystem: B = 10: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Oktalsystem: B = 8: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Hexadezimalsystem: B = 16: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F Man spricht von Positions- oder Stellenwertsystemen, da der Wert der Zahl von der Form und der Position der Zeichen abhängt.

Allgemeine polyade Zahlensysteme # B=16 B=8 B=2 1 2 10 3 11 4 100 5 101 6 110 7 111 8 1000 9 1001 A 12 1010 B 13 1011 C 14 1100 D 15 1101 E 16 1110 F 17 1111 20 10000

Anwendungen Oktalsystem: Dateizugriffsrechte unter Unix, Transpondercode in Flugzeugen Hexadezimalsystem: Farbcodes (z.B. Webseitengestaltung), Zusammenfassung von Bitfolgen (leichtere Lesbarkeit)

Konvertierung zwischen Zahlensystemen

Konvertierung ins Zehnersystem Dezimal: n = 101710 = 2 * 10³ + 0 * 10² + 1 * 101 + 7 * 100 Dual: n = 110012 = 1*24 + 1*2³ + 0*2² + 0*21 + 1*20 = 16 + 8 + 0 + 0 + 1 = 2510 Oktal: n= 3158 = 3*8² + 1*81 + 5*80 = 192 + 8 + 5 = 20510

Konvertierung Konvertierung vom Zehnersystem in ein anderes Zahlensystem durch Division durch die Basis des Zielsystems: 86110 = ?8 861 : 8 = 107 Rest: 5 107 : 8 = 13 Rest: 3 13 : 8 = 1 Rest: 5 1 : 8 = 0 Rest: 1

Konvertierung durch Gruppierung 7A616 = ?8 Weg über das Dualsystem (Vierergruppierungen, da 16 = 24): statt 7: 0111 statt A (= 10): 1010 statt 6: 0110 gesamt: 111.1010.0110 (vorderste 0 darf weggelassen werden)

Umwandlung der Vierer- in Dreiergruppierungen (da 8 = 23): 11.110.100.110 Ersetzen einer Dreiergruppe durch die jeweilige Oktalzahl: 7A616 = 36468

Darstellung negativer Zahlen: Vorzeichen und Betrag Exzessdarstellung Stellenkomplement

Darstellung negativer Zahlen Addition dualer Zahlen 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 0 Übertrag 1, somit Ergebnis 10 1 + 1 + 1 = 10 + 1 = 11

Darstellung negativer Zahlen Beispiel: 45 + 54 im Dualsystem 45 = 0101101 54 = 0110110 0101101 0110110 1100011 (entspricht 99)

Darstellung negativer Zahlen In einem Computer können wir nur Zahlen mit einer festen Länge darstellen und eine Speicherzelle, die genau eine binäre Ziffer darstellen kann, heißt Bit (binary digit). Im folgenden nehmen wir an, dass uns zur Speicherung von Zahlen die Bits 0, 1, …, g zur Verfügung stehen.

Vorzeichen und Betrag In der Zahlendarstellung sollen positive und negative Zahlen unterscheidbar sein. Das Vorzeichen wir in einem eigenen Bit an führender Stelle gespeichert (0 = +, 1 = -). Die Null kann mit positivem oder negativem Vorzeichen dargestellt werden.

Vorzeichen und Betrag Für g = 3 können also 2³ - 1 = 7 verschiedene Zahlen dargestellt werden. Bei arithmetischen Operationen und Vergleichen muss das Vorzeichen getrennt behandelt werden.

Exzess - Darstellung Zur Zahl z wir ein sogenannter Exzess q addiert, so dass das Ergebnis w nicht negativ ist. Der Exzess muss daher gleich dem Betrag der kleinsten negativen Zahl gewählt werden (q=2g).

Beispiel: Exzessdarstellung Gegeben sie die Binärzahl z = 001012. Wie lautet die ursprüngliche Dezimalzahl, wenn man von der Exzessdarstellung mit g = 4 ausgeht? Die kleinste Zahl ist -16, das entspricht 00000. q ist dabei 24, dh. 10000 z ist negativ, da die Stelle g 0 ist. 01012 = 1 + 4 = 510; Abzug des Exzess: 5 – 16 = --11

Exzess - Darstellung Der Zahl Null entspricht eine einzige Verschlüsselung. Positive und negative Zahlen können am führenden. Ordnungsrelation bleibt erhalten Bei Rechenoperationen muss der Exzess berücksichtigt werden. Bsp. Addition: Summe von a und b: (a + q) + (b + q) – q = (a + b + q)

Stellenkomplement Negative Zahlen werden mit einem vorangestellten Minus gekennzeichnet. Rechnerintern hätte das den Nachteil, dass man ein Rechenwerk benötigt, das sowohl addieren als auch subtrahieren kann. Um nur mit einem Addierwerk auszukommen, versucht man, die Subtraktion auf eine Addition zurückzuführen. Das geschieht durch das Verfahren der Komplementbildung.

Stellenkomplement Man unterscheidet zwei Arten der Komplementbildung (B steht für das Zahlensystem): B – Komplement (B – 1) – Komplement Dualsystem: Zweierkomplement oder Einerkomplement Das B-Komplement ist technisch leichter realisierbar, daher wird vorwiegend damit gearbeitet.

B - Komplement Dezimal: bzgl. 10 (Zehnerkomplement) Binär: bzgl. 2 (Zweierkomplement) Bildung: Erste Stelle anschauen: wenn Ziffer = 1: Zahl negativ, Ziffer = 0: Zahl positiv. Zahl ist positiv: Umrechnung vom Binärsystem ins Dezimalsystem ist bereits möglich; Zahl ist negativ: Man negiert zuerst die einzelnen Ziffern und addiert hinterher 1. Die entstandene, entsprechend positive Zahl im Binärsystem rechnet man ins Dezimalsystem um. Wenn negativ, ein "−" vor die Zahl setzen

Beispiel: B - Komplement 11111101 1 an erster Stelle: negativ Invertieren: 00000010 1 addieren: 00000011 ins Dezimalsystem umrechnen: ergibt 3 da negativ: Ergebnis -32

B - Komplement Der Zahl 0 entspricht eine einzige Verschlüsselung (00 … 000) Positive und negative Zahlen können am führenden Bit erkannt werden.