Logische Grundschaltungen 21.02.17 Rechnerarchitektur

Wie rechnet ein Computer? Ein Computer rechnet nur mit den Ziffern 0 und 1 ? 1001011101001011111000101011 0011011100111010011011100100 Wie kann denn ein PC rechnen? Film 21.02.17 Rechnerarchitektur 2

Arithmetic Logical Unit - ALU Alle mathematischen und logischen Operationen in einem Mikroprozessor werden von der ALU ausgeführt. Mikroprozessor (CPU) ALU Eine ALU kann zwei Binärwerte mit gleicher Stellenzahl n miteinander verknüpfen. Man spricht von n-Bit ALUs. Typische Werte für n sind 8, 16, 32 und 64. 21.02.17 Rechnerarchitektur

Wie rechnet ein Computer? Logische Grundschaltungen Schaltung Eingabeleitungen Ausgabeleitung 0 1 1 0 Zur Untersuchung von logischen Grundschaltungen werden Signale (1 bzw. 0) an die Eingabeleitungen gelegt und ein Signal (1; 0) an der Ausgabeleitung entnommen (2-wertige Logik). Jede Schaltung stellt eine binäre Funktion B x B x ... x B B mit B = {0, 1} dar. 21.02.17 Rechnerarchitektur

Einstellige Verknüpfungen Schaltung x z 0 0 1 1 B B z2 1 z2: Negation not x 1 Wertetafel z0 z1 1 z2 1 z3 1 4 einstellige Verknüpfungen z0: Konstante z1: Identität z3: Konstante 21.02.17 Rechnerarchitektur

Zweistellige Verknüpfungen x y Schaltung z B x B B x 0 0 1 1 Wertetafel y 0 1 0 1 z0 0 0 0 0 z1 0 0 0 1 z2 0 0 1 0 z3 0 0 1 1 z15 1 1 1 1 ... 16 zweistellige Verknüpfungen 21.02.17 Rechnerarchitektur

Wichtige zweistellige Verknüpfungen x 0 0 1 1 y 0 1 0 1 z1 0 0 0 1 x y z ist dann 1 wenn x und y 1 sind. and – Verknüpfung (Konjunktion) z1 = x • y x 0 0 1 1 y 0 1 0 1 z7 0 1 1 1 x y z ist dann 1 wenn mindestens ein Eingang 1 ist. or – Verknüpfung (Disjunktion) z7 = x + y 21.02.17 Rechnerarchitektur

Weitere wichtige zweistellige Verknüpfungen x 0 0 1 1 y 0 1 0 1 z6 0 1 1 0 z ist dann 1 wenn entweder x oder y 1 ist. xor - Verknüpfung x 0 0 1 1 y 0 1 0 1 z8 1 0 0 0 z ist dann 1, wenn beide Eingange 0 sind. nor – Verknüpfung (not or) x 0 0 1 1 y 0 1 0 1 z14 1 1 1 0 z ist dann 1, wenn nicht beide Eingange 1 sind. nand – Verknüpfung (not and) 21.02.17 Rechnerarchitektur

NEVA 21.02.17 Rechnerarchitektur

Zweistellige Verknüpfungen Mit not, and, or lassen sich alle 16 zweistelligen Verknüpfungen erzeugen. x 0 0 1 1 y 0 1 0 1 z9 1 0 0 1 x 0 0 1 1 y 0 1 0 1 a 0 1 1 1 b 1 0 0 0 c 0 0 0 1 z 1 0 0 1 a c b not xor 21.02.17 Rechnerarchitektur

nand - nor Mit nand bzw. nor alleine lassen sich alle 16 zweistelligen Verknüpfungen erzeugen. x 0 0 1 1 y 0 1 0 1 a 11 0 0 b 1 0 1 0 c 11 1 0 z 1 0 0 1 d 0 1 1 1 x 0 0 1 1 y 0 1 0 1 z 1 0 0 1 a c b d 21.02.17 Rechnerarchitektur

Übungen - 1 Realisieren Sie die zweistelligen Verknüpfungen and und or ausschließlich aus nor-Gattern. x 0 0 1 1 y 0 1 0 1 nor 1 0 0 0 and or 21.02.17 Rechnerarchitektur

Boolescher Verband Für (B, +, •) mit B = {0, 1} gelten die Verknüpfungsaxiome Kommutativgesetz a + b = b + a a • b = b • a Distributivgesetz a + b•c = (a+b)•(a+c) a•(b+c) = a•b + a•c 2 Neutralelemente a + 0 = a a • 1 = a Zu jedem a gibt es ein a mit a + a = 1 a • a = 0 (B, +, •) ist ein Boolescher Verband. Es gilt das Dualitätsprinzip. Beweise jeweils mit Wertetabelle durchführbar. Wichtiger Satz: a + a = a (Idempotenzgesetz) a 0 1 0 1 a + a 0 1 21.02.17 Rechnerarchitektur

Die disjunktive Normalform x 0 0 1 1 y 0 1 0 1 z 1 0 1 1 Welche binäre Funktion ist durch die folgende Wertetabelle gegeben? Durch welche Schaltung (mit and, or, not) kann man sie realisieren? z = x•y + x•y + x•y (disjunktive Normalform) = x•y + x•y + x•y + x•y (Idempotenzgesetz) = (x+x)•y + x•(y+y) (Distributivgesetz) = 1•y + x•1 = y + x x 0 0 1 1 y 0 1 0 1 a 1 0 1 0 z 1 0 1 1 a 21.02.17 Rechnerarchitektur

Very Simple Logic Simulator - NOR Download: http://www.ebechler.de kostenlose 30 - Tage Version 21.02.17 Rechnerarchitektur

Übungen - 2 Machen Sie sich mit der Oberfläche von NOR vertraut. a) Erzeugen Sie not aus nor (abspeichern). b) Realisieren Sie die nebenstehende Schaltung. Realisieren Sie mit der disjunktiven Normalform und NOR xor aus and, or, not Drei Personen A, B, C eines Ausschusses wollen mit Hilfe einer Schaltung eine geheime Mehrheitswahl durchführen. Entwerfen Sie eine Schaltung, bei dem jedes Ausschussmitglied durch einen Knopfdruck sein Ja (1) bekunden kann und ein Signallicht aufleuchtet, wenn die Mehrheit mit Ja gestimmt hat. Wie sieht die Schaltung aus, wenn A als Vorstand ein Vetorecht besitzt? 21.02.17 Rechnerarchitektur

Lösung: xor aus and, or, not 0 0 1 1 y 0 1 0 1 z6 0 1 1 0 z6 = x • y + x • y 21.02.17 Rechnerarchitektur

Geheime Wahl A B C z zVeto 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 z = A•B•C + A•B•C + A•B•C + A•B•C = A•B•C + A•B•C + A•B•C + A•B•C + A•B•C + A•B•C = (A+A)•B•C + (B+B)•A•C + (C+C)•A•B = B•C + A•C + A•B = B•C + A•(C+B) zVeto = A•B•C + A•B•C + A•B•C = A•C + A•B = A•(C+B) 21.02.17 Rechnerarchitektur

Addition im Zweiersystem - Halbaddierer 0 0 1 1 b 0 1 0 1 Addition zweier einstelliger Dualzahlen a + b 14 = 11102 12 = 11002 s 0 1 1 0 ü 0 0 0 1 26 = 110102 1 xor and Halbaddierer H a b s ü 21.02.17 Rechnerarchitektur

Addition im Zweiersystem - Volladdierer Zur Addition mehrstelliger Dualzahlen werden Volladdierer benötigt. V ai bi üalt s üneu Schaltung eines Volladdierers H1 H2 ai bi üalt s üneu or s1 ü1 ü2 ai bi üalt s üneu s1 ü1 s ü2 üneu 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 ai bi üalt s üneu s1 ü1 s ü2 üneu 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 21.02.17 Rechnerarchitektur

Paralleladdierwerk Durch Zusammenschalten von n - 1 Volladdierern und 1 Halbaddierer lassen sich n - stellige Dualzahlen addieren. V1 H1 V2 s2 s1 s0 ü1 ü0 ü1 ü0 b2 a2 b1 a1 b0 a0 V3 ü3 s3 ü2 b3 a3 a3a2a1a0 + b3b2b1b0 ü3s3s2s1s0 Add4 a0 a1 a2 a3 a4 b0 b1 b2 b3 b4 s0 s1 s2 s3 ü3 21.02.17 Rechnerarchitektur

Übungen - 3 Realisieren Sie mit NOR: a) Halbaddierer H b) Volladdierer V a3a2a1a0 + b3b2b1b0 ü3s3s2s1s0 c) 4-bit Paralleladdierer Add4 Es gibt auch eine 7-Segment Anzeige 21.02.17 Rechnerarchitektur

Paralleladdierwerk Add4 21.02.17 Rechnerarchitektur

Subtraktion 8 – 5 = 8 + (-5) 8 = 0000 10002 -5 = 1111 10112 8 = 0000 10002 -5 = 1111 10112 3 = (1)0000 00112 1 5 = 0000 01012 1111 10102 Einerkomplement +12 -5 = 1111 10112 Zweierkomplement Bildung des Einerkomplements mit xor x 0 0 1 1 y 0 1 0 1 z6 0 1 1 0 xor Steuerleitung x Signal y z6 21.02.17 Rechnerarchitektur

Realisierung der Subtraktion a – b = a + (– b) Wenn –, dann Einerkomplement Zweierkomplement 21.02.17 Rechnerarchitektur

Übungen - 4 Realisieren Sie mit NOR einen 4-Bit Addierer und Subtrahierer 21.02.17 Rechnerarchitektur

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Speicherschaltung - FlipFlop 1 S R RS - FlipFlop 1 1 1 1 1 1 1 1 z 1 S = 1, R = 0 z = 1 1 ist gesetzt S = 0, R = 0 z = 1 1 ist gespeichert S = 0, R = 1 z = 0 1 ist gelöscht (0 gespeichert) 21.02.17 Rechnerarchitektur

Übungen - 5 Realisieren Sie mit NOR ein RS-FlipFlop. 21.02.17 Rechnerarchitektur

ALU In einer ALU (Arithmetic Logical Unit) sind neben den arithmetischen Operationen auch noch logische Operationen (and, or, ..) möglich. ALU mit +, -, and 21.02.17 Rechnerarchitektur