(Wirtschafts-)mathematik I Mathe im Wandel der Zeit Volksschule 1960: Ein Bauer verkauft einen Sack Kartoffeln für 50 DM. Die Erzeugerkosten betragen 40.

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1 (Wirtschafts-)mathematik I Mathe im Wandel der Zeit Volksschule 1960: Ein Bauer verkauft einen Sack Kartoffeln für 50 DM. Die Erzeugerkosten betragen 40 DM. Berechne den Gewinn! Realschule 1970: Ein Bauer verkauft einen Sack Kartoffeln für 50 DM. Die Erzeugerkosten betragen vier Fünftel des Erlöses. Wie hoch ist der Gewinn? Gymnasium 1980: Ein Agrarökonom verkauft eine Menge subterraner Feldfrüchte für eine Menge Geld (G). G hat die Mächtigkeit 50. Für die Elemente aus G gilt: G ist 1. Die Menge der Herstellkosten (H) ist um zehn Elemente geringer als die Menge G. Zeichnen Sie das Bild der Menge H als die Teilmenge der Menge um G und geben Sie die Lösungsmenge (L) für die Frage an: Wie mächtig ist die Gewinnsumme? Gesamtschule 1990: Ein Bauer verkauft einen Sack Kartoffeln für 50 DM. Die Erzeugerkosten betragen 40 DM und der Gewinn 10 DM. Unterstreiche das Wort "Kartoffel" und diskutiere mit deinem Nachbarn darüber. Schule 2001 (nach Einführung der Rechtschreibreform und des Euros) Ein kapitalistisch priweligirter bauer bereichert sich an einem Sack Kartoffeln um 10 Euros. Untersuche den tekst auf inhaltliche fehler, korigiere die aufgabengestaltung unt demonstriere gegen die lösunk. Schule 2010 Es gipt keine Kartoffeln mehr.

2 Analysis, Lineare Algebra und Finanzmathematik 1. Mathematische Grundkenntnisse 2 Funktionen mit einer unabhängigen Variablen 3. Differentiation von Funktionen mit einer unabhängigen Variablen 4 Grundlagen der Integralrechnung 5 Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen 6 Differentialrechnung bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen 7 Matrizenrechnung 8. Lineare Optimierung 9. Lineare Abbildungen (nur WI) 10 Determinanten (nur WI) 11 Finanzmathematische Verfahren

3 1. Mathematische Grundkenntnisse 1.1 Grundlagen der mathematischen Logik 1.1.1 Negation 1.1.2 Konjunktion 1.1.3 Disjunktion 1.1.4 Implikation 1.1.5 Äquivalenz 1.2 Mengen 1.3 Relationen 1.4 Arithmetik 1.5 Folgen und Reihen 1.6 Abbildungen

4 1.1 Grundlagen der mathematischen Logik (1.1.1) Definition Eine Aussage ist ein Satz, der entweder wahr (w) oder falsch (f) ist.

5 p: „Die Kosten sind niedrig.“ q: „Der Gewinn ist hoch.“ Eine Aussage ist ein Satz, der entweder wahr (w) oder falsch (f) ist. Bezeichnung: Wir bezeichnen hier Aussagen mit kleinen lateinischen Buchstaben p, q, r, s,... Beispiel

6 r: x + 3 = 5 Eine Aussage ist ein Satz, der entweder wahr (w) oder falsch (f) ist. Bezeichnung: Wir bezeichnen hier Aussagen mit kleinen lateinischen Buchstaben p, q, r, s,...

7 r: x + 3 = 5 Eine Aussage ist ein Satz, der entweder wahr (w) oder falsch (f) ist. Bezeichnung: Wir bezeichnen hier Aussagen mit kleinen lateinischen Buchstaben p, q, r, s,... Die Aussage r ist wahr für x = 2 und falsch für alle x  2.

8 Eine Aussage ist ein Satz, der entweder wahr (w) oder falsch (f) ist. Bezeichnung: Wir bezeichnen hier Aussagen mit kleinen lateinischen Buchstaben p, q, r, s,... s: 3 = 0 t: 2 + 2 = 4

9 Eine Aussage ist ein Satz, der entweder wahr (w) oder falsch (f) ist. Bezeichnung: Wir bezeichnen hier Aussagen mit kleinen lateinischen Buchstaben p, q, r, s,... s: 3 = 0(f) t: 2 + 2 = 4(w)

10 1.1.1 Negation (1.1.2) Definition Die Aussage  p ist wahr, wenn p falsch ist und falsch, wenn p wahr ist. Es gilt also folgende Wahrheitstabelle: P pp wf fw

11  p:  r:  s:  t: Aus den Aussagen des vorherigen Beispiels erhält man durch Negation

12  p:„Die Kosten sind nicht niedrig.“  r:  s:  t: Aus den Aussagen des vorherigen Beispiels erhält man durch Negation

13  p:„Die Kosten sind nicht niedrig.“  r:x + 3  5  s:  t: Aus den Aussagen des vorherigen Beispiels erhält man durch Negation

14  p:„Die Kosten sind nicht niedrig.“  r:x + 3  5  s:3  0(w)  t: Aus den Aussagen des vorherigen Beispiels erhält man durch Negation

15  p:„Die Kosten sind nicht niedrig.“  r:x + 3  5  s:3  0(w)  t:2 + 2  4(f) Aus den Aussagen des vorherigen Beispiels erhält man durch Negation

16 1.1.2 Konjunktion (1.1.3) Definition Die Aussage p  q ist wahr, wenn sowohl p, als auch q wahr sind; sie ist falsch, wenn eine der beiden Teilaussagen falsch ist bzw. wenn beide Teilaussagen falsch sind. Es gilt also folgende Wahrheitstabelle: Pq p  q www wff fwf fff

17 Die Aussage p  q ist wahr, wenn sowohl p, als auch q wahr sind; sie ist falsch, wenn eine der beiden Teilaussagen falsch ist bzw. wenn beide Teilaussagen falsch sind. p  q: s  t:  s  t: r  s: Beispiele

18 Die Aussage p  q ist wahr, wenn sowohl p, als auch q wahr sind; sie ist falsch, wenn eine der beiden Teilaussagen falsch ist bzw. wenn beide Teilaussagen falsch sind. p  q:„Die Kosten sind niedrig und die Gewinne sind hoch.“ s  t:  s  t: r  s: Beispiele

19 Die Aussage p  q ist wahr, wenn sowohl p, als auch q wahr sind; sie ist falsch, wenn eine der beiden Teilaussagen falsch ist bzw. wenn beide Teilaussagen falsch sind. p  q:„Die Kosten sind niedrig und die Gewinne sind hoch.“ s  t:(3 = 0)  (2 + 2 = 4)(f)  s  t: r  s: Beispiele

20 Die Aussage p  q ist wahr, wenn sowohl p, als auch q wahr sind; sie ist falsch, wenn eine der beiden Teilaussagen falsch ist bzw. wenn beide Teilaussagen falsch sind. p  q:„Die Kosten sind niedrig und die Gewinne sind hoch.“ s  t:(3 = 0)  (2 + 2 = 4)(f)  s  t:(3  0)  (2 + 2 = 4)(w) r  s: Beispiele

21 Die Aussage p  q ist wahr, wenn sowohl p, als auch q wahr sind; sie ist falsch, wenn eine der beiden Teilaussagen falsch ist bzw. wenn beide Teilaussagen falsch sind. p  q:„Die Kosten sind niedrig und die Gewinne sind hoch.“ s  t:(3 = 0)  (2 + 2 = 4)(f)  s  t:(3  0)  (2 + 2 = 4)(w) r  s:(x + 3 = 5)  (3 = 0)(f) für alle x. Beispiele

22 1.1.3 Disjunktion (1.1.4) Definition Die Aussage p  q ist wahr, wenn wenigstens eine der Teilaussagen wahr ist; sie ist falsch, wenn sowohl p als auch q falsch sind. Man erhält die folgende Wahrheitstabelle: Bemerkung: Wie man aus der Definition ersieht, entspricht die Disjunktion nicht dem Umgangssprachlichen „entweder – oder“. Beide Aussagen schließen einander also nicht aus. Pq p  q www wfw fww fff

23 Die Aussage p  q ist wahr, wenn wenigstens eine der Teilaussagen wahr ist; sie ist falsch, wenn sowohl p als auch q falsch sind. p  q: s  t: s   t: r  s: Beispiele

24 Die Aussage p  q ist wahr, wenn wenigstens eine der Teilaussagen wahr ist; sie ist falsch, wenn sowohl p als auch q falsch sind. p  q:„Die Kosten sind niedrig oder der Gewinn ist hoch.“ s  t: s   t: r  s: Beispiele

25 Die Aussage p  q ist wahr, wenn wenigstens eine der Teilaussagen wahr ist; sie ist falsch, wenn sowohl p als auch q falsch sind. p  q:„Die Kosten sind niedrig oder der Gewinn ist hoch.“ s  t:(3 = 0)  (2 + 2 = 4)(w) s   t: r  s: Beispiele

26 Die Aussage p  q ist wahr, wenn wenigstens eine der Teilaussagen wahr ist; sie ist falsch, wenn sowohl p als auch q falsch sind. p  q:„Die Kosten sind niedrig oder der Gewinn ist hoch.“ s  t:(3 = 0)  (2 + 2 = 4)(w) s   t:(3 = 0)  (2 + 2  4)(f) r  s: Beispiele

27 Die Aussage p  q ist wahr, wenn wenigstens eine der Teilaussagen wahr ist; sie ist falsch, wenn sowohl p als auch q falsch sind. p  q:„Die Kosten sind niedrig oder der Gewinn ist hoch.“ s  t:(3 = 0)  (2 + 2 = 4)(w) s   t:(3 = 0)  (2 + 2  4)(f) r  s:(x + 3 = 5)  (3 = 0)(w) bei x = 2, (f) bei x  2 Beispiele

28 Bei der Implikation wird aus den beiden Aussagen p und q die zusammengesetzte Aussage p  q gebildet: p,q  (p  q). (= „aus p folgt q“ bzw. „wenn p - dann q“) p:„Der Himmel ist blau.“ q:„Es regnet nicht.“ Wie man leicht sieht, ist die Aussage p  q : „Wenn der Himmel blau ist, dann regnet es nicht.“ Wahr, falls p,q wahr bzw. falsch, falls p wahr und q falsch sind. 1.1.4 Implikation

29 (1.1.5) Definition Die Implikation p  q ist falsch, wenn p wahr und q falsch ist, in allen übrigen Fällen ist sie wahr. Es ergibt sich also die Wahrheitstabelle: Pq p  q www wff fww ffw

30 1.1.4 Implikation Bemerkung: Bei der Implikation p  q bezeichnet man oft die Aussage p als Vorraussetzung (Prämisse) und die Aussage q als Folgerung (Konklusion).

31 1.1.4 Implikation Bemerkung: Bei der Implikation p  q bezeichnet man oft die Aussage p als Vorraussetzung (Prämisse) und die Aussage q als Folgerung (Konklusion). In vielen Fällen sagt man auch: „p ist eine hinreichende Bedingung für q“ bzw. „q ist eine notwendige Bedingung für p“.

32 Bei der Implikation wird aus den beiden Aussagen p und q die zusammengesetzte Aussage p  q (= „aus p folgt q“ bzw. „wenn p - dann q“) gebildet: p,q  (p  q).

33 Bei der Implikation wird aus den beiden Aussagen p und q die zusammengesetzte Aussage p  q (= „aus p folgt q“ bzw. „wenn p - dann q“) gebildet: p,q  (p  q). p ist eine hinreichende Bedingung für q und q ist eine notwendige Bedingung für p

34 Bei der Implikation wird aus den beiden Aussagen p und q die zusammengesetzte Aussage p  q (= „aus p folgt q“ bzw. „wenn p - dann q“) gebildet: p,q  (p  q).

35 Bei der Implikation wird aus den beiden Aussagen p und q die zusammengesetzte Aussage p  q (= „aus p folgt q“ bzw. „wenn p - dann q“) gebildet: p,q  (p  q). p ist eine hinreichende Bedingung für q und q ist eine notwendige Bedingung für p

36 1.1.5 Äquivalenz (1.1.6) Definition Die Äquivalenz p  q ist also gleichbedeutend mit der Aussage (p  q)  (q  p), so daß man folgende Wahrheitstabelle erhält: Die Äquivalenz p  q ist wahr, wenn p,q den gleichen Wahrheitsgehalt besitzen; sie ist falsch, wenn für p,q verschiedene Wahrheitswerte gelten. Pq p  qq  pp  q wwwww wffwf fwwff ffwww

37 Gelten für die beiden Aussagen p und q jeweils die Implikation p  q und q  p, so bezeichnet man sie als äquivalent und schreibt p  q. Man sagt dazu oft auch: „p gilt genau dann, wenn q gilt“ bzw. p ist notwendige und hinreichende Bedingung für q“ 2 + 2 = 4  2 * 3 = 6 0 * 0 = 1  2 * 2 = 5 0 * 0 = 0  2 * 2 = 5 Beispiele

38 Gelten für die beiden Aussagen p und q jeweils die Implikation p  q und q  p, so bezeichnet man sie als äquivalent und schreibt p  q. Man sagt dazu oft auch: „p gilt genau dann, wenn q gilt“ bzw. p ist notwendige und hinreichende Bedingung für q“ 2 + 2 = 4  2 * 3 = 6 (w) 0 * 0 = 1  2 * 2 = 5 0 * 0 = 0  2 * 2 = 5 Beispiele

39 Gelten für die beiden Aussagen p und q jeweils die Implikation p  q und q  p, so bezeichnet man sie als äquivalent und schreibt p  q. Man sagt dazu oft auch: „p gilt genau dann, wenn q gilt“ bzw. p ist notwendige und hinreichende Bedingung für q“ 2 + 2 = 4  2 * 3 = 6 (w) 0 * 0 = 1  2 * 2 = 5 (w) 0 * 0 = 0  2 * 2 = 5 Beispiele

40 Gelten für die beiden Aussagen p und q jeweils die Implikation p  q und q  p, so bezeichnet man sie als äquivalent und schreibt p  q. Man sagt dazu oft auch: „p gilt genau dann, wenn q gilt“ bzw. p ist notwendige und hinreichende Bedingung für q“ 2 + 2 = 4  2 * 3 = 6 (w) 0 * 0 = 1  2 * 2 = 5 (w) 0 * 0 = 0  2 * 2 = 5 (f) Beispiele

41 Gelten für die beiden Aussagen p und q jeweils die Implikation p  q und q  p, so bezeichnet man sie als äquivalent und schreibt p  q. Man sagt dazu oft auch: „p gilt genau dann, wenn q gilt“ bzw. p ist notwendige und hinreichende Bedingung für q“

42 Gelten für die beiden Aussagen p und q jeweils die Implikation p  q und q  p, so bezeichnet man sie als äquivalent und schreibt p  q. Man sagt dazu oft auch: „p gilt genau dann, wenn q gilt“ bzw. p ist notwendige und hinreichende Bedingung für q“ p ist notwendig und hinreichend für q.

43 Gelten für die beiden Aussagen p und q jeweils die Implikation p  q und q  p, so bezeichnet man sie als äquivalent und schreibt p  q. Man sagt dazu oft auch: „p gilt genau dann, wenn q gilt“ bzw. p ist notwendige und hinreichende Bedingung für q“

44 Gelten für die beiden Aussagen p und q jeweils die Implikation p  q und q  p, so bezeichnet man sie als äquivalent und schreibt p  q. Man sagt dazu oft auch: „p gilt genau dann, wenn q gilt“ bzw. p ist notwendige und hinreichende Bedingung für q“ p ist nicht notwendig und hinreichend für q. Es gilt nämlich z.B.: für a = 2, b = 6: 2 + 6 = 8 geradzahlig  > 2 bzw. 6 ungerade.

45 1.1 Logik Bemerkung: Sind mehrere Aussagen miteinander verknüpft, so müssen zunächst die in den Klammern stehenden Anweisungen ausgeführt werden.

46 1.1 Logik Bemerkung: Sind mehrere Aussagen miteinander verknüpft, so müssen zunächst die in den Klammern stehenden Anweisungen ausgeführt werden. Bezüglich der Reihenfolge, in der die einzelnen logischen Operationen durchzuführen sind, unterscheiden wir zwischen drei verschiedenen Stufen: 1. Stufe 2. Stufe 3. Stufe

47 1.1 Logik Bemerkung: Sind mehrere Aussagen miteinander verknüpft, so müssen zunächst die in den Klammern stehenden Anweisungen ausgeführt werden. Bezüglich der Reihenfolge, in der die einzelnen logischen Operationen durchzuführen sind, unterscheiden wir zwischen drei verschiedenen Stufen: 1. Stufe  2. Stufe 3. Stufe

48 1.1 Logik Bemerkung: Sind mehrere Aussagen miteinander verknüpft, so müssen zunächst die in den Klammern stehenden Anweisungen ausgeführt werden. Bezüglich der Reihenfolge, in der die einzelnen logischen Operationen durchzuführen sind, unterscheiden wir zwischen drei verschiedenen Stufen: 1. Stufe  2. Stufe ,  3. Stufe

49 1.1 Logik Bemerkung: Sind mehrere Aussagen miteinander verknüpft, so müssen zunächst die in den Klammern stehenden Anweisungen ausgeführt werden. Bezüglich der Reihenfolge, in der die einzelnen logischen Operationen durchzuführen sind, unterscheiden wir zwischen drei verschiedenen Stufen: 1. Stufe  2. Stufe ,  3. Stufe , 

50 1.1 Logik Bemerkung: Sind mehrere Aussagen miteinander verknüpft, so müssen zunächst die in den Klammern stehenden Anweisungen ausgeführt werden. Bezüglich der Reihenfolge, in der die einzelnen logischen Operationen durchzuführen sind, unterscheiden wir zwischen drei verschiedenen Stufen: (p  ¬q)  r => ¬s  q 1. Stufe  2. Stufe ,  3. Stufe , 

51 1.1 Logik Bemerkung: Sind mehrere Aussagen miteinander verknüpft, so müssen zunächst die in den Klammern stehenden Anweisungen ausgeführt werden. Bezüglich der Reihenfolge, in der die einzelnen logischen Operationen durchzuführen sind, unterscheiden wir zwischen drei verschiedenen Stufen: (p  ¬q)  r => ¬s  q ,  3. Stufe ,  2. Stufe  1. Stufe

52 1.1 Logik Bemerkung: Beweisen möglich durch: direkter Beweis indirekter Beweis Beweis durch Gegenbeispiel