Analysis Die Kurvendiskussion Elemente der Mathematik - Ausgabe für das Zentralabitur in Nordrhein-Westfalen (2004) Gesamtband 12 / 13 Grundkurs geeignet für: Nordrhein-Westfalen Schulform: Gesamtschule, Gymnasium, Sekundarstufe II ISBN: 978-3-507-83932-8 Preis: 39.95 EUR Copyright by H. Sporenberg

Analysis Die Kurvendiskussion Beispiel Unter Kurvendiskussion versteht man Aufgaben, in denen man die Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte berechnen soll. Dabei gibt es Sonderfälle, z.B. die sog. Sattelpunkte. Es interessiert weiterhin, wie sich die Funktion für x   verhält. Oft ist auch die Symmetrie gefragt. Fast immer wird auch verlangt, den Graphen zu zeichnen (manchmal sehr zeitaufwändig!!), unter Umständen auch den Graphen der 1. Ableitung Beispiel Es soll nun die Funktion mit der folgenden Funktionsgleichung untersucht werden Copyright by H. Sporenberg

Analysis f(x) f‘(x) f‘‘(x) Die Kurvendiskussion Copyright by H. Sporenberg

Analysis Die Kurvendiskussion 1.Definitionsmenge:  (ganzrationale Funktion) 2.Nullstellen: Bedingung ist f(x) = 0 Klammert man x3 aus, so erhält man u.a. eine quadratische Gleichung Aus diesem Produkt erhält man als Lösung: Copyright by H. Sporenberg

Analysis Die Kurvendiskussion Als Näherungswerte erhält man: x = 0 oder x = 2,896 oder x = 4,603 3.Extremstellen bzw. Hoch- und Tiefpunkte Bedingung f‘(x) = 0 und f‘‘(x)  0 Klammert man bei f‘(x) den Term x2 aus, so erhält man Copyright by H. Sporenberg Auch hier bekommt man wieder ein quadratische Gleichung.

Analysis Die Kurvendiskussion Dies führt zu: Man erhält x= 0 oder x = 2 oder x = 4 Berechnet man die entsprechenden Funktionswerte, so erhält man: f(0) = 0; f(2) = 56/45  1,24; f(4) = -128/45  2,84 Jetzt muss noch überprüft werden, ob es sich überhaupt um Extremwerte/Extrempunkte handelt. Dazu muss man f‘‘(x) berechnen. Hier ergibt sich: f‘‘(0) = 0; f‘‘(2) = -8/3 und f‘‘(4) = 32/3 Ergebnis: Bei x = 0 ist so keine Aussage zu machen, bei x = 2 liegt ein Hochpunkt, bei x = 4 ein Tiefpunkt vor. Copyright by H. Sporenberg

Analysis Die Kurvendiskussion Der Fall f‘‘(x) = 0 ergibt keine Aussage. Es gilt der folgende Satz: Es sei f‘(x0) = f‘‘(x0) = …. f (n) (x0) = 0 und f (n+1) (x0) < bzw. > 0. Dann gilt: a)Wenn n ungerade ist, hat f(x) bei x0 einen Tief- bzw. Hochpunkt b)Wenn n gerade ist, hat f(x) bei x0 einen sog. Sattelpunkt Copyright by H. Sporenberg

Analysis Die Kurvendiskussion N1(1/0) N2(-1/0) N3(3/0) 1. D(f) =  (ganzrationale Funktion) 2. Keine Symmetrie 3. Schnittpunkt mit der y-Achse (f(0)): Sy(0/-3) 4. Schnittpunkt mit der x-Achse (Nullstelle  f(x) = 0): Hier muss eine Nullstelle geraten werden. Man beginnt mit x=1, x=-1, x=2 usw. Dann können mit Hilfe der Polynomdivision die restlichen Nullstellen bestimmt werden. Es ergibt sich: Löst man die quadratische Gleichung, so ergeben sich die folgende Werte: x = -1 und x = 3. N1(1/0) N2(-1/0) N3(3/0) Copyright by H. Sporenberg

Analysis Die Kurvendiskussion 5. Extrema – notw. Bedingung: f‘(x) = 0 und f‘‘(x)  0 Copyright by H. Sporenberg

Analysis Die Kurvendiskussion Die Näherungswerte sind: Die Extrema sind: Copyright by H. Sporenberg

Analysis Die Kurvendiskussion 6. Wendepunkte: notw. Bedingung: f‘‘(x) = 0 und f‘‘‘(x)  0 -6x + 6 = 0  xW = 1/3 f‘‘‘(1) = -6 < 0  L  R f(1) = 0 Also: W(1/0) Copyright by H. Sporenberg

Analysis Die Kurvendiskussion Copyright by H. Sporenberg

Analysis Parameterbestimmung Eine ganzrationale Funktion 3. Grades geht durch den Nullpunkt. Sie hat in P1(1/1) ein Maximum und in P2(3/?) einen Wendepunkt. Eine ganzrationale Funktion 3. Grades kann allgemein dargestellt werden durch: f(x) = a x3 + b x2 + c x + d Man erhält folgende Bedingungen: 1. P(0/0): f(0) = 0 = d 2. P1(1/1) ist ein Punkt des Graphen: f(1) = a + b + c = 1 3. P1(1/1) – Maximum: f‘(x) = 3 a + 2 b + c = 0 4. P2(3/4) – Wendepunkt: f‘‘(x) = 18 a + 2 b = 0 Copyright by H. Sporenberg

Analysis Parameterbestimmung Es ergeben sich 4 Gleichungen 0 = d a + b + c = 1 3 a + 2 b + c = 0 18 a + 2 b = 0 Löst man dieses Gleichungssystem auf, so erhält man: a = 1/7; b = -9/7; c = 15/7; d = 0 Die Funktion lautet also: Copyright by H. Sporenberg

Analysis Parameterbestimmung Copyright by H. Sporenberg

Analysis Parameterbestimmung f(x) = 0,75 x3 - 2,25 x + 0,5 Aufgabe: Bestimme eine ganzrationale Funktion dritten Grades, so dass für den Graphen der Funktion gilt: H(-1/2) ist relativer Hochpunkt, W(0/0,5) ist Wendepunkt. Die Bedingungen sind (und ergeben folgend Gleichungen): 1. H(-1/2) ist Punkt des Graphen: -a + b – c + d = 2 2. H(-1/2) ist rel. Hochpunkt: 3a – 2b + c = 0 3. W(0/0,5) ist Punkt des Graphen: d = 0,5 4. W(0/0,5) ist Wendepunkt: 2b = 0 Löst man dieses Gleichungssystem, so erhält man: a = 0,75 b = 0 c = -2,25 d = 0,5 Die Funktionsgleichung lautet: f(x) = 0,75 x3 - 2,25 x + 0,5 Copyright by H. Sporenberg

Analysis f(x) = 0,75 x3 - 2,25 x + 0,5 Parameterbestimmung -3 -13,00 -2,5 -5,59 -2 -1,00 -1,5 1,34 -1 2,00 -0,5 1,53 0,50 0,5 -0,53 1 1,5 -0,34 2 2,5 6,59 3 14,00 Wertetabelle Copyright by H. Sporenberg

Analysis f(x) = 0,75 x3 - 2,25 x + 0,5 Parameterbestimmung Copyright by H. Sporenberg

Analysis Parameterbestimmung Aufgabe: Bestimme eine ganzrationale Funktion dritten Grades, so dass für den Graphen der Funktion gilt: W(1 ; 2/3) ist Wendepunkt des Graphen von f, die zugehörige Wendetan-gente hat die Steigung -2, an der Stelle 3 liegt ein relativer Extrempunkt. Die Bedingungen sind: 1. W(1;2/3) ist Punkt des Graphen: a + b + c + d = 2/3 2. W(1;2/3) ist Wendepunkt: 6a + 2b = 0 3. In W(1;2/3) ist die Steigung -2: 3a +2b +c = -2 4. Bei x=3 ist ein rel. Extrempunkt: 27a + 6b + c = 0 Löst man dieses Gleichungssystem, so erhält man: a = 1/6 b = -1/2 c = -3/2 d = 5/2 Die Funktionsgleichung lautet: Copyright by H. Sporenberg

Analysis Parameterbestimmung x f(x) -3 -2,00 -2,5 0,52 -2 2,17 -1,5 3,06 -1 3,33 -0,5 3,10 2,50 0,5 1,65 1 0,67 1,5 -0,31 2 -1,17 2,5 -1,77 3 3,5 -1,73 4 -0,83 4,5 0,81 5 Parameterbestimmung Copyright by H. Sporenberg

Analysis Parameterbestimmung Copyright by H. Sporenberg

Analysis Das Gauß - Algorithmus Der Algorithmus von Gauß ist ein universelles Verfahren zur Lösung beliebiger linearer Gleichungssysteme. 7x1 + 3x2 – 5x3 = -12 -x1 -2x2 + 4x3 = 5 -4x1 + x2 – 3x3 = 1 Rechenschema: x1 x2 x3   7 3 -5 -12 -1 -2 4 5 -4 1 -3 Copyright by H. Sporenberg

Analysis Das Gauß - Algorithmus Es wird zeilenweise gearbeitet. x1 x2   7 3 -5 -12 -1 -2 4 5 -4 1 -3 Zeilen darf man:     - vertauschen     - mit einer Zahl multiplizieren     - durch eine Zahl dividieren     - addieren     - subtrahieren Zum Beispiel Copyright by H. Sporenberg

Analysis Das Gauß - Algorithmus x1 x2 x3 7 3 -5 -12 -1 -2 4 5 *7 1+2   Operation 7 3 -5 -12 -1 -2 4 5 *7 1+2 -4 1 -3 x1 x2 x3   Operation 28 12 -20 -48 -11 23 19 -41 1+3 x1 x2 x3   Operation 7 3 -5 -12 *4 -11 23 -4 1 -3 *7 1+3 x1 x2 x3   Operation 28 12 -20 -48 -201 437 *11 201 -451 *19 x1 x2 x3   Operation 28 12 -20 -48 -11 23 -28 7 -21 1+3 x1 x2 x3   Operation 28 12 -20 -48 -201 437 :11 -14 2+3 Copyright by H. Sporenberg

Analysis Damit ergibt sich folgende Lösungsmenge: L = {(-1;0;1)} Das Gauß - Algorithmus x1 x2 x3   Operation 28 12 -20 -48 -201 437 :11 -14 2+3 x1 x2 x3   Operation 28 12 -20 -48 -11 23 :11 1 Damit ergibt sich folgende Lösungsmenge: L = {(-1;0;1)} Copyright by H. Sporenberg

Analysis Das Gauß - Algorithmus Hausaufgabe L = {(4;5;6)} Copyright by H. Sporenberg L = {(1;2;3)}

Analysis Extremwertaufgaben Wie löst man eine Extremwertaufgabe? Das Problem bei den Extremwertaufgaben besteht darin, eine Größe extrem groß (maximal) bzw. extrem klein (minimal) zu bekommen. Die Komplexität dieser Aufgaben erklärt sich zum kleineren Teil aus der Kenntnis oder Nichtkenntnis der elementaren Zusammenhänge von Funktion, Ableitung und Nullstellen bzw. Vorzeichen von Ableitungen. Die größeren Schwierigkeiten bereiten die Aufgabenstellungen selbst. Extremwertaufgaben sind meistens Textaufgaben, die zuerst verstanden werden müssen. Die Anwendung der Methoden der Differentialrechnung ist erst möglich, wenn die Aufgabe in ein geeignetes mathematisches Modell übersetzt worden ist. Copyright by H. Sporenberg

Analysis Extremwertaufgaben Wie löst man eine Extremwertaufgabe? Extremwertaufgaben, die als Textaufgaben formuliert sind, werden in folgenden Schritten gelöst: 1. Stelle die Aufgabensituation, wenn möglich, in einer Skizze dar. Schreibe auf, was gegeben und was gesucht ist. 2. Gib den Ausgangsgrößen und Unbekannten passende Namen (a, x, q, A, F, V usw). 3. Erkenne die Zielfunktion und formuliere sie als mathematische Funktion in Abhängigkeit von den Ausgangsgrößen und Unbekannten. 4. Erkenne die Nebenbedingung. Die Wahl der zu bestimmenden Größen muss durch die Aufgabe in irgendeiner (evtl. versteckten) Weise eingeschränkt sein. Formuliere die Nebenbedingung als mathematischen Ausdruck. 5. Hat man die Zielfunktion, die meist aus mehreren voneinander unabhängigen Variablen besteht und die Nebenbedingungen, die die voneinander unabhängigen Variablen zueinander in Beziehung setzt, formuliert, dann kommt die Differentialrechnung zur Anwendung Copyright by H. Sporenberg

Analysis Extremwertaufgaben Wie löst man eine Extremwertaufgabe? a) Drücke mit Hilfe der Nebenbedingung alle Variablen durch eine fest gewählte Variable aus. b) Setze die Nebenbedingungen in die Zielfunktion so ein, dass eine äquivalente Zielfunktion für den zu optimierenden Wert in Abhängigkeit von nur einer Variablen entsteht. c) Bestimme Maximum oder Minimum der Zielfunktion durch Nullsetzen der ersten Ableitung und Überprüfung des Vorzeichens der zweiten Ableitung. Man beachte dabei den möglicherweise durch die Aufgabenstellung implizit eingeschränkten Definitionsbereich (z.B. ist eine negative Länge sinnlos) und die Ränder des Definitionsbereichs. Es sind Situationen denkbar, in denen zwar im Definitionsbereich ein lokales Extremum vorliegt, aber die Zielfunktion ihr absolutes Extremum am Rand des Definitionsbereichs annimmt. Diese Werte findet man in der Regel nicht durch Differenzieren. Die Ränder müssen gesondert geprüft werden: durch Einsetzen der Randwerte in die Zielfunktion und Vergleich des Funktionswertes mit dem lokalen Extremum. Bei Extremwertaufgaben gibt es immer eine Zielfunktion, deren Wert maximiert/minimiert werden soll und eine Nebenbedingung, die die Wahl der Variablen in der Zielfunktion beschränkt. Copyright by H. Sporenberg

Analysis Extremwertaufgaben Aufgabe: Ein Maschendraht der Länge 25 m soll eine rechteckige Fläche mit möglichst großem Inhalt umrahmen. Die Fläche eines Rechtecks: A(a.b) = a*b Um die maximale Fläche zu berechnen, müsste man die erste Ableitung bilden und Null setzen. Dies geht so jedoch nicht, da die Fläche von zwei Variablen abhängt. Eine Variable muss also durch eine sog. Nebenbedingung ersetzt werden. Diese ergibt sich aus der Länge des Maschendrahtes: U = 25 m = 2a + 2b Löst man nach b auf, so erhält man: b = 25/2 – a Dann ergibt sich: A(a) = (25/2 – a) * a = 25/2 a – a2 Diese Funktion nennt man auch Zielfunktion. Copyright by H. Sporenberg

Analysis Extremwertaufgaben Jetzt kann man wie gehabt verfahren: Extrema der Zielfunktion bestimmen A(a) = 25/2 a – a2 A‘(a) = 25/2 – 2 a A‘‘(a) = -2 Mit A‘(a) = 0 erhält man für: a = 25/4 Da A‘‘(25/4) = -2 , handelt es sich um ein rel. Maximum. Jetzt muss noch b berechnet werden (aus der Nebenbedingung). Man bekommt: b = 25/4. Also handelt es sich um ein Quadrat. Die Fläche hat dann folgenden Wert: A(25/2) = 25/2 a – a2 = 625/16 Wichtig ist noch: Ist der berechnete Wert überhaupt möglich? So wäre z.B. a = 30 nicht möglich, da die gesamte Drahtlänge 25 m ist. In diesem Fall muss für a gelten: 0 m  a  25 m Dies muss überprüft werden !! Copyright by H. Sporenberg

Analysis A(a) = 25/2 a – a2 Extremwertaufgaben Copyright by H. Sporenberg

Analysis Extremwertaufgaben Die Oberfläche beträgt: Eine der größeren Eurodosen hat einen Inhalt von 850 ml. Der Blechverbrauch bei der Herstellung soll minimal sein. Es wird abgesehen davon, dass beim Zusammenfügen von Deckel und Mantel eine Falz erstellt werden muss. Außerdem soll die Dicke des Bleches 0 mm betragen. Wie groß sind Radius und Höhe des Zylinders? Die Oberfläche beträgt: O(r,h) = 2  r2 + 2  r h Die Nebenbedingung lautet: V =  r2 h = 850 ml (= 850 cm3) Löst man nach h auf: Copyright by H. Sporenberg

Analysis Extremwertaufgaben O(r,h) = 2  r2 + 2  r h mit so ergibt sich: Um ein Extremum zu bestim-men, muss wieder O‘(r) = 0 gesetzt werden. Copyright by H. Sporenberg

Analysis Extremwertaufgaben Die hinreichende Bedingung erfordert noch die Überprüfung von O‘‘(x). Damit liegt ein rel. Minimum vor. Zu berechnen sind noch h und die minimale Oberfläche. Copyright by H. Sporenberg

Analysis Extremwertaufgaben Copyright by H. Sporenberg

Analysis Extremwertaufgaben Ein Fenster mit angesetztem Halbkreis soll bei 10 m Umfang maximalen Flächeninhalt haben. Die Flächenfunktion für Rechteck und Halbkreis lautet: Die Nebenbedingung ergibt sich aus der Angabe für den Umfang: Copyright by H. Sporenberg

Analysis Extremwertaufgaben Ersetzt man b in A(a,b) ein, so erhält man Copyright by H. Sporenberg

Analysis Extremwertaufgaben Die Überprüfung von A‘‘(a) ergibt: Ersetzt man b in A(a,b) ein, so erhält man Die Überprüfung von A‘‘(a) ergibt: A‘‘(a) = - 4 -  < 0. Damit ergibt sich ein rel. Maximum für die Fläche. Es verbleiben noch: Copyright by H. Sporenberg

Analysis Extremwertaufgaben Für U = 10 m ergeben sich folgende Zahlenwerte: a = 1,40025 m, b = 1,40025 m und A = 7,00124 m2 Copyright by H. Sporenberg

Analysis Extremwertaufgaben Copyright by H. Sporenberg

Analysis Extremwertaufgaben Das Olympiastadion in Berlin Copyright by H. Sporenberg

Analysis Extremwertaufgaben Ein Sportstadion, das aus einem Rechteck mit zwei aufgesetzten Halbkreisen besteht und einen Umfang von 400 m hat, soll so angelegt werden, dass das rechteckige Feld möglichst groß ist. Wie sind die Abmessungen zu wählen, damit dies der Fall ist? Die lange Seite des Rechtecks sei a, die andere Seite 2b (der Radius der Halbkreise ist demnach b). Die Flächenfunktion lautet: A(a,b) = a  2b Die Nebenbedingung ist: a + a + 2  b = 400 Aufgelöst nach a ergibt sich: a = 200 -  b Copyright by H. Sporenberg

Analysis Extremwertaufgaben Die Flächenfunktion lautet: A(a,b) = a  2b Die Nebenbedingung ist: a + a + 2  b = 400 Aufgelöst nach a ergibt sich: a = 200 -  b Setzt man diese Nebenbedingung ein, so ergibt sich für die Zielfunktion: A(b) = 400 b - 2  b2 A‘(b) = 400 - 4  b A‘‘(b) = - 4  Setzt man A‘(b) = 0, führt dies auf 400 - 4  b = 0  b = 100/  Die hinreichende Bedingung ergibt: A‘‘(100/ ) < 0, damit handelt es sich um ein rel. Maximum. Copyright by H. Sporenberg

Analysis Extremwertaufgaben A(b) = 400 b - 2  b2 b = 100/   31,831 m Für a ergibt sich: a = 100 m A(100/ ) = 20000/   6366,2 m2 Copyright by H. Sporenberg

Analysis Extremwertaufgaben Die Oberfläche beträgt: Ein Zylinder mit Deckel und Dose soll bei gegebenem Volumen minimalen Materialverbrauch (= minimale Oberfläche) haben. Die Oberfläche beträgt: O(r,h) = 2  r2 + 2  r h Die Nebenbedingung lautet: V =  r2 h Löst man nach h auf: Die Zielfunktion lautet somit: Copyright by H. Sporenberg

Analysis Extremwertaufgaben Bedingung für Extrema: O‘(r) = 0 ergibt: Überprüfung O‘‘(r)  0 Damit handelt es sich um ein rel. Minimum Copyright by H. Sporenberg

Analysis Extremwertaufgaben Jetzt müssen noch h und O(r) berechnet werden. Für h ergibt sich: D.h., die Höhe ist doppelt so groß wie der Radius oder die Höhe ist gleich dem Durchmesser Die Oberfläche ist: Copyright by H. Sporenberg

Analysis O(r) = 2  r2 + 2 V/r 850 ml 425 ml 71 ml Extremwertaufgaben Die Oberflä-chenfunktion für verschie-dene Volumina O(r) = 2  r2 + 2 V/r 850 ml 425 ml 71 ml Copyright by H. Sporenberg

Analysis Extremwertaufgaben Schaut man sich die verschiedenen Graphen an, so können die Minima nur sehr schlecht aus der Zeichnung abge-lesen werden. Einfacher wäre es, wenn man einen Graphen erzeugen könnte, auf dem alle Minima lägen. O(r) = 2  r2 + 2 V/r 850 ml 425 ml 71 ml Das kann tatsächlich durchgeführt werden. Diese Kurve nennt man Ortskurve der Minima. Und so erhält man die Funktionsgleichung der Ortskurve. Die Koordinaten der Punkte sind bekannt (abhängig von V). Dies sind: Copyright by H. Sporenberg

Analysis Extremwertaufgaben y = 6  r2 O(r) = 2  r2 + 2 V/r Löst man jetzt die Gleichung von r nach V auf und setzt diesen Term in y = … ein, so erhält man: y = 6  r2 Auf diesem Graphen liegen alle rel. Minima für alle möglichen vorgegebenen Volumina. 850 ml 425 ml 71 ml Copyright by H. Sporenberg

Analysis Extremwertaufgaben y = 6  r2 O(r) = 2  r2 + 2 V/r 850 ml Copyright by H. Sporenberg

Analysis V r h O Extremwertaufgaben Die berechneten Werte für r, h und O(r) für die verschiedenen Euro-Norm-Dosen. V r h O 850 ml 5,13349 cm 2*5,13349 cm 496,738 cm2 425 ml 4,07446 cm 2*4,07446 cm 312,925 cm2 71 ml 2,24402 cm 2*2,24402 cm 94,9191 cm2 Copyright by H. Sporenberg

Analysis Extremwertaufgaben Die Oberfläche beträgt: Ein Zylinder mit Deckel und Dose soll bei gegebenem Volumen minimalen Materialverbrauch (= minimale Oberfläche) haben. Dabei ist die Dose oben offen Die Oberfläche beträgt: O(r,h) =  r2 + 2  r h Die Nebenbedingung lautet: V =  r2 h Löst man nach h auf: Die Zielfunktion lautet somit: Copyright by H. Sporenberg

Analysis Extremwertaufgaben Bedingung für Extrema: O‘(r) = 0 ergibt: Überprüfung O‘‘(r)  0 Damit handelt es sich um ein rel. Minimum Copyright by H. Sporenberg

Analysis Extremwertaufgaben Jetzt müssen noch h und O(r) berechnet werden. Für h ergibt sich: D.h., die Höhe ist so groß wie der Radius Die Oberfläche ist: Copyright by H. Sporenberg

Analysis Extremwertaufgaben Ein Körper besteht aus einem Zylinder mit aufgesetzter Halbkugel. Bestimmen Sie den minimalen Materialver-brauch bei bekanntem Volumen V. O(r,h) =  r2 + 2  r h + 2  r2 = 3  r2 + 2  r h Die Nebenbedingung lautet: Setzt man dies in die Ausgangsfunktion ein, so erhält man die folgende Zielfunktion Copyright by H. Sporenberg

Analysis Extremwertaufgaben Setzt man jetzt O‘(r) = 0, so erhält man für r: Die Überprüfung von O‘‘(r) ergibt: Damit ist es ein rel. Mimimum. Jetzt müssen noch h und O(r) berechnet werden. Copyright by H. Sporenberg

Analysis 1000 ml 500 ml 250 ml Extremwertaufgaben O(r) für verschie-dene Volumina: 1000 ml 500 ml 250 ml Copyright by H. Sporenberg

Analysis Extremwertaufgaben Ein Wasser- oder Getreidebehälter besteht aus einem Zylinder mit unten angesetztem Kegel. Die Höhe des Zylinders sei a, die Mantellinie des Kegels 3a. Welchen Radius r muss der Zylinder und welche Höhe h der Kegel haben, damit das Volumen des Behälters ein Maximum annimmt? Für die Variablen r und h ergeben sich folgende Bedingungen 0  r  3a und 0  h  3a Mit Hilfe des Pythagoras ergibt sich als Nebenbedingung: r2 + h2 = (3 a)2 = 9 a2 In diesem Fall löst man am besten nach r2 auf: r2 = 9 a2 - h2 Copyright by H. Sporenberg

Analysis Extremwertaufgaben Mit Hilfe der Nebenbedingung erhält man Setzt man V‘(h) = 0, so führt dies auf eine quadratische Gleichung: h2 + 2 a h – 3 a2 = 0 Die Lösung dieser Gleichung ergibt: h = a  h = -3a h= -3a liegt nicht im Definitionsbereich. Es bleibt also nur noch h = a Copyright by H. Sporenberg V‘‘(h=a) = - 4  a < 0 damit handelt es sich um ein rel. Maximum

Analysis Extremwertaufgaben h = a Copyright by H. Sporenberg

Analysis Extremwertaufgaben 1 m 1,2 m 1,4 m Copyright by H. Sporenberg

Analysis 1 m 1,2 m 1,4 m Extremwertaufgaben Grün: Ortskurve der Maxima Copyright by H. Sporenberg Grün: Ortskurve der Maxima

Analysis Extremwertaufgaben Buch, Seite 18 A.17 Die Katheten eines recht-winkligen Dreiecks sind 12 cm und 8 cm lang. Diesem Dreieck ist ein möglichst großes Rechteck einzube-schreiben, von dem zwei Seiten auf den Katheten des Dreiecks liegen. Copyright by H. Sporenberg

Analysis Extremwertaufgaben A(x,y) = x y Der Punkt P(x/y) liegt auf der Geraden durch Q und R. Diese Gerade hat die Gleichung: y = -8/12 x + 8. Damit erhält man die Nebenbe-dingung. Setzt man diese in A(x,y) ein, so erhält man folgende Zielfunktion Setzt man A‘(x) = 0, so erhält man: x = 6 (lok. Maximum, da A‘‘(6) < 0) Weiterhin erhält man: y = 4 und A(6) = 24 Copyright by H. Sporenberg

Analysis Extremwertaufgaben Seite 18, A. 18 Ein Dachboden hat als Querschnittsfläche ein gleichschenkliges Dreieck mit einer Höhe von 4, 8 m und einer Breite von 8 m. In ihm soll ein möglichst großes quaderförmiges Zimmer eingerichtet werden Copyright by H. Sporenberg

Analysis Extremwertaufgaben Querschnitt(x,y) = 2 y x Die Ausgangsfunktion lautet: Querschnitt(x,y) = 2 y x Die Nebenbedingung erhält man mit Hilfe des Strahlensatzes. Es gilt: Setzt man dies in die Ausgangsfunktion ein so erhält man die Zielfunktion mit ihren Ableitungen: Copyright by H. Sporenberg

Analysis Extremwertaufgaben Bedingung für Extremum ergibt: x = 12/5 , Querschnitt‘‘(12/5) = -20/3 < 0, also Hochpunkt Für y ergibt sich dann: y = 4 und für Querschnitt(12/5) =96/5 Copyright by H. Sporenberg

Analysis Hinweis: Die Rechnung von Mailin Ede ist korrekt Extremwertaufgaben Glasscheibe (Seite 18 Aufgabe 19) Die Seitenlängen der Glasscheibe seien a und b. Nachdem ein Stück abgesprungen ist, hat das Recht-eck die beiden Seiten xa und yb (siehe Zeichnung). Damit ist die Fläche, von der ein Maximum berechnet werden soll: A(xa,yb) = xa*yb Wie aus der Zeichnung ersichtlich, gilt: xa = ½ a +x und yb = b -x Copyright by H. Sporenberg y und x sind gleichgroß, da der Winkel zu 45o vorausgesetzt ist.

Analysis Extremwertaufgaben A(x)= ( ½ a +x )( b –x ) Glasscheibe (Seite 18 Aufgabe 19) Ersetzt man xa und yb, so erhält man: A(x)= ( ½ a +x )( b –x ) Dies ist die Zielfunktion (die Nebenbedingung wurde durch die Gleichung y = x ausgenutzt) Jetzt geht es wieder wie gehabt: erste Ableitung, Nebenbedingung etc. Für x erhält man Setzt man dies in xa = ½ a + x und yb = b – x ein so ergibt sich jeweils: Copyright by H. Sporenberg

Analysis Extremwertaufgaben a/4+b/2<a  a>2/3 b Damit erhält man als maximale Fläche ein Quadrat. Dieses kann aber nicht für jede Kombination von a und b gelten. Beispiel: Sei a = 0,4 m und b = 0,8 m Dann ergibt sich: xa = 0,5 m und yb = 0,5 m Das kann aber nicht sein, da xa größer als a ist (vorausgesetzt ist a<b, siehe Aufgabenstellung) Damit gibt sich für a eine Einschränkung: xa = a/4 + b/2 muss klei-ner als a sein. Löst man diese Ungleichung nach a auf, so erhält man: Copyright by H. Sporenberg a/4+b/2<a  a>2/3 b (und a<b wegen der Aufgabenstellung)

Analysis Funktionenscharen Der minimale Materialver-brauch einer zylinderförmigen Dose bei vorgegebenem Volu-men hängt von r (bzw. h) ab, aber auch das vorgegebene Volumen spielt dabei eine Rolle. Nun könnte man jeweils für die interessanten Volumina die entsprechenden Werte für r (bzw. h) berechnen. Eine effektivere Möglichkeit ist jedoch, das Volumen in der Gleichung als Variable zu belassen (die aber für eine bestimmte Dose immer denselben Wert hat). Man geht wie bereits bei normalen Funktionen vor (Ableiten und Extrema bestimmen) und betrachtet die Größe V als Konstante. Copyright by H. Sporenberg

Analysis Funktionenscharen Aufgabe Derartige Funktionen nennt man auch Funktionenscharen. Aufgabe Gegeben ist die Funktionen-schar mit der Gleichung Bestimmen Sie die Nullstellen und die Extrema in Abhängigkeit von t. Zeichnen Sie die Funktionsgraphen für t = -1, t = 0 und t = 1. Copyright by H. Sporenberg

Analysis Funktionenscharen Nullstellen – Bed. ft(x) = 0 Extrema – Bed. ft‘(x) = 0 x = 2 t Überprüfung von ft(2 t) ergibt: ft‘‘(2 t) = ½ , also ein rel. Minimum. ft(2 t) = -3 t – t2 Copyright by H. Sporenberg Der Tiefpunkt liegt bei: TP(2 t/-3 t – t2)

Analysis Funktionenscharen y = -3/2 x – 1/4 x2 Bestimme die Funktion, auf der alle Tiefpunkt der Funktions-graphen liegen. Es gilt für die Koordinaten des Tiefpunktes: x = 2 t und y = -3 t – t2 Diese Darstellung nennt man auch Parameterdarstellung. x und y sind über den Parameter t voneinander abhängig. Löst man x = 2 t nach t auf und setzt in y = - 3 t – t2 ein, so erhält man die übliche Funktionsschreibweise: y = -3/2 x – 1/4 x2 Copyright by H. Sporenberg

Analysis Funktionenscharen Aufgabe 3a) Nullstellen: N1(0;0) N2(8/t;0) Extremum: E(4/t ; t) Copyright by H. Sporenberg

Analysis y = 4/x Funktionenscharen Aufgabe 3a) Ortskurve der Extrema: Copyright by H. Sporenberg

Analysis y = x3/64 Funktionenscharen Aufgabe 3a) Aktuell Ortskurve der Extrema: y = x3/64 Copyright by H. Sporenberg

Analysis Funktionenscharen Aufgabe 3b) Copyright by H. Sporenberg

Analysis Funktionenscharen Aufgabe 3c) Nullstellen: Extremum: Copyright by H. Sporenberg

Analysis y = -2/x W(0/0) Funktionenscharen Aufgabe 3c) Ortskurve der Extrema: y = -2/x Alle Kurven haben den Wendepunkt: W(0/0) Copyright by H. Sporenberg

Analysis Funktionenscharen Aufgabe 3d) Nullstellen: N1(0;0) N2(3 t;0) Extremum: E1(t ; 2t2/3) E2(3t ; 0) Copyright by H. Sporenberg

Analysis y = 2/3 x2 y = x2/12 Funktionenscharen Aufgabe 3d) Ortskurve der Extrema: y = 2/3 x2 Ortskurve der Wendepunkte: y = x2/12 Copyright by H. Sporenberg

Analysis Funktionenscharen Seite 24 Aufgabe 5 Gegeben sind die Funktionen fk mit fk(x) = x2 + k x +k , k  . a) Untersuchen Sie allgemein die Funktion fk. Skizzieren Sie den Graphen für k=-2, k=0 und für k=2. b) Zeigen Sie, dass alle Extrempunkte der Funktionenschar fk auf der Parabel y = -x2 – 2x liegen. c) Für welche k liegt der Extrempunkt von fk oberhalb der x-Achse? 1.Nullstellen: ft(x)=0 : oder 2.Extrema: ft‘(x)=0 Es gilt: ft‘‘(-t/2) = 2, d.h. TP ft(-t/2) = t – t2/4 Copyright by H. Sporenberg

Analysis y = -x2 – 2 x Funktionenscharen y = - x2 – 2 x Die Ortskurve für die Extrema ergibt sich aus: Ersetzt man t durch t = -2 x, so erhält man: y = - x2 – 2 x Ortskurve der Extrema: y = -x2 – 2 x Copyright by H. Sporenberg

Analysis Funktionenscharen Der Tiefpunkt hat folgende Koordinaten: Wenn der Extrempunkt oberhalb der x-Achse liegen soll, muss gelten: Hier gibt es zwei Möglichkeiten, die unterschieden werden müssen: 1. t>0 und t>1-1/4 t, d.h. t>0 und t<4 (1.Lösung) 2. t<0 und t<1-1/4 t, d.h. t<0 und t>4, diese Bedingungen sind aber gleichzeitig nicht erfüllbar. Copyright by H. Sporenberg

Analysis t=-2 t=0 t=2 Funktionenscharen Seite 24 Aufgabe 7 Copyright by H. Sporenberg

Analysis Funktionenscharen Seite 24 Aufgabe 7 Für die Extrema ergeben sich folgende Koordinaten: Das bedeutet, dass es für t<0 nur ein Extrema gibt, also TP(0/0) Für die Ortskurve gilt: Copyright by H. Sporenberg

Analysis Funktionenscharen Seite 24 Aufgabe 7 Für die Extrema ergeben sich folgende Koordinaten: Damit ergibt sich für: Dieser Quotient hängt damit nicht von t ab. Copyright by H. Sporenberg

Analysis Funktionenscharen Seite 24 Aufgabe 8 Nullstellen: N1(0:0) N2(1/t;0) Extremstellen: Wendestellen: Copyright by H. Sporenberg

Analysis Funktionenscharen Seite 24 Aufgabe 8 y = 2/3 x2 b)Ortskurve der Wendepunkte y = 2/3 x2 Copyright by H. Sporenberg

Analysis Funktionenscharen Seite 24 Aufgabe 8 c) t=-2 t=0 t=2 Copyright by H. Sporenberg

Analysis Funktionenscharen Seite 24 Aufgabe 8 c) Bestimmt man mit Hilfe von Abst‘(x)=0 die Extremstelle x, so erhält man: x = 0,477639. Die Kurve für k = 0,477639 ist gelb eingezeichnet. Copyright by H. Sporenberg

Analysis Funktionenscharen Seite 25 Aufgabe 9 Die Berechnung der Extrema er-gibt x=0 und x=t. 1. Es ergibt sich HP (für x=0 und t>0) und TP (für x=t und t>0). 2. Es ergibt sich TP (für x=0 und t<0) und HP (für x=t und t<0). Copyright by H. Sporenberg

Analysis Funktionenscharen Seite 25 Aufgabe 9 Die Berechnung der Extrema ergibt x=0 und x=t. t>0: HP(0/t3) TP(t/0) Nullstellen: N1(-t/2 ; 0) N2(t;0) Extrema: HP(0/t3) TP(t/0) Wendepunkt: WP(t/2 ; t3/2) Copyright by H. Sporenberg

Analysis Funktionenscharen Seite 25 Aufgabe 12 a) Man setzt k1  k2. Damit hat man zwei verschiedene Kurven, die man zum Schnitt bringt, indem man die Funktionswerte gleichsetzt. -x3 + t1 x2 + (t1 – 1) x = -x3 + t2 x2 + (t2 – 1) x Die Rechnung ergibt: x = -1 und x = 0 Berechnet man die Funktionswerte, so ergibt sich: S1(-1 / 2) und S2 (0 / 0). Die Koordinaten hängen demnach nicht vom Parameter k ab. Copyright by H. Sporenberg

Analysis Funktionenscharen Seite 25 Aufgabe 12 Copyright by H. Sporenberg

Analysis Funktionenscharen Seite 25 Aufgabe 12 Berechnet man mit Hilfe der ersten Ab-leitung die Extremstellen, so ergibt sich: Daraus erhält man folgende Bedingung für die Berechnung von t: Die Berechnung ergibt dann: t = 4 Copyright by H. Sporenberg

Analysis Funktionenscharen Seite 25 Aufgabe 12 Damit die Kurve keine Extrema hat, muss der Term unter der Wurzel <0 sein. Also: t2 + 3t – 3 < 0 Formt man die Ungleichung nach t um, so erhält man: bzw. Copyright by H. Sporenberg

Analysis Funktionenscharen Seite 25 Aufgabe 12 In der Graphik sind zwei Funktionen dar-gestellt, wobei t ein-mal den Wert der unteren Grenze (pink), das andere Mal den Wert der oberen Grenze (grün) besitzt Copyright by H. Sporenberg

Analysis Funktionenscharen Seite 25 Aufgabe 10 a) Die Funktionen haben die Parameter k1 und k2 mit k1  k2. Man setzt die Funktionswerte gleich und löst nach x auf: (x2 – 1)(x – k1) = (x2 – 1)(x – k2) x = 1  x = -1 Für die Funktionswerte gilt: f(1) = f(-1) = 0. Also handelt es sich um Nullstellen. b) Man berechnet zuerst die möglichen Extremstellen (f‘(x) = 0) und erhält: Die Überprüfung von f‘‘(x) ergibt für den ersten Wert einen HP, für den zweiten Wert einen TP. Berechnet man den y-Wert, so ergibt sich Copyright by H. Sporenberg

Analysis Funktionenscharen Seite 25 Aufgabe 10 = 0 y = y = Der y-Wert muss 0 sein. Löst man die Gleichung nach k auf, so ergibt sich: k = -1 c) Nullstellen: N1(-1 / 0) N2(1 / 0) N3(k / 0) Extrema: y = y = Copyright by H. Sporenberg

Analysis k=-2 k=0 k=2 Funktionenscharen Seite 25 Aufgabe 10 y = Wendestelle: x = k/3 y = k=-2 k=0 k=2 Copyright by H. Sporenberg

Analysis Funktionenscharen Achtung (geänderte Aufgabenstellung): Die Funktion sei gegeben durch die Gleichung f(x) = k x4 – t x2 und k, t >0. Zeigen Sie: Das Verhältnis der y-Werte von Tief- und Wendepunkt ist von k und t unabhängig. Man berechnet die Extrempunkte und Wendepunkte. Dieses sind: Bei x=0 handelt es sich um einen HP, bei den anderen x-Werten sind es TP. Wegen der Achsensymmetrie sind beide y-Werte der Tiefpunkt gleich: y = -t2 /(4 k) Copyright by H. Sporenberg

Analysis Funktionenscharen Achtung (geänderte Aufgabenstellung): Die Funktion sei gegeben durch die Gleichung f(x) = k x4 – t x2 und k, t >0. Zeigen Sie: Das Verhältnis der y-Werte von Tief- und Wendepunkt ist von k und t unabhängig. Die Wendestellen ergeben sich zu: Die y-Werte sind (wegen der Achsensymmetrie): Die Division der entsprechenden y-Werte ergibt: yE/yW = 9/5 Also unabhängig von k und t Copyright by H. Sporenberg

Analysis (x) = x5 + 3x2 – 1 und g(z) = z50 ergibt sich Sätze und Beweise Ist eine Funktion  differenzierbar an der Stelle x und eine Funktion g differenzierbar an der Stelle z = (x), so ist auch die Funktion f mit f(x) = g[(x)] differenzierbar an der Stelle x, und es gilt f‘(x) = g‘[(x)]  ‘(x) - Kettenregel Man nennt g‘[(x)] auch die äußere und ‘(x) die innere Ableitung Beispiel: f(x) = (x5 + 3 x2 -1)50 Hier ist es zwar grundsätzlich möglich, den Funktionsterm durch Anwendung des Ausmultiplizierens zu erhalten und dann summenweise abzuleiten; der Arbeitsaufwand wäre aber erheblich. Die Funktionsterme kann man sich durch Einsetzen eines Terms in einen anderen Term entstanden denken: (x) = x5 + 3x2 – 1 und g(z) = z50 ergibt sich g[(x)] = (x5 + 3 x2 – 1)50 = f(x) Copyright by H. Sporenberg

Analysis Sätze und Beweise Die Produktregel u(x) und v(x) seien zwei differenzierbare Funktionen. Das Produkt dieser beiden Funktionen sei f(x): f(x) = u(x)v(x) Es soll gezeigt werden, dass man dieses Produkt von Funktionen ableiten kann. Weiterhin soll eine allgemeine Regel angegeben werden. Copyright by H. Sporenberg

Analysis Sätze und Beweise Copyright by H. Sporenberg

Analysis Produktregel: Sätze und Beweise Sind die Funktionen u(x) und v(x) differenzierbar, so ist auch die Funktion f(x) = u(x)  v(x) differenzierbar und es gilt für die Ableitung: Beispiel: Dabei gilt: Damit ergibt sich: Copyright by H. Sporenberg

Analysis Quotientenregel: Sätze und Beweise Sind die Funktionen u(x) und v(x) differenzierbar, so ist auch die Funktion differenzierbar und es gilt für die Ableitung: Copyright by H. Sporenberg

Analysis Quotientenregel: Sätze und Beweise Beispiel: Dabei gilt: Damit ergibt sich: Copyright by H. Sporenberg

Analysis Integralrechnung Die Fläche unter der Kurve mit der Funktionsgleichung f(x) = x2 10 bzw. 9 Rechtecke unter der Kurve: A = 2,28 F.E. 10 Rechtecke über der Kurve: A = 3,08 F.E. Copyright by H. Sporenberg

Analysis Integralrechnung Die Fläche unter der Kurve mit der Funktionsgleichung f(x) = x2 20 bzw. 19 Rechtecke unter der Kurve: A = 2,47 F.E. 10 Rechtecke über der Kurve: A = 2,87 F.E. Copyright by H. Sporenberg

Analysis Integralrechnung Die Fläche unter der Kurve mit der Funktionsgleichung f(x) = x2 100 bzw. 99 Rechtecke unter der Kurve: A = 2,628 F.E. 10 Rechtecke über der Kurve: A = 2,7068 F.E. Copyright by H. Sporenberg

Analysis Integralrechnung Dies ist der Befehl zur Berechnung und Zeichnung der einbeschriebenen Rechtecke. Copyright by H. Sporenberg

Analysis Integralrechnung Dies ist der Befehl zur Berechnung und Zeichnung der umbeschriebenen Rechtecke. Copyright by H. Sporenberg

Analysis Integralrechnung Dies ist der Befehl zur Berechnung und Zeichnung, wenn die Fläche mit Hilfe von Trapezen angeglichen wird. Copyright by H. Sporenberg

Analysis Integralrechnung Dies ist der Befehl zur Berechnung und Zeichnung, wenn die Fläche mit Hilfe von Rechtecken, deren Länge der Mittel-punkt im Intervall ist, berechnet wird. Copyright by H. Sporenberg

Analysis Integralrechnung Für eine verschiedene Anzahl der Flächen (Rechtecke bzw. Trapeze) werden die Inhalte angegeben bei unterschiedlichen Methoden. 10 100 1000 2000 4000 6000 10000 PlotLeftApprox 0,285 0,32835 0,332833 0,333083 0,333208 0,33325 0,333283 PlotRightApprox 0,385 0,33835 0,333833 0,333583 0,333458 0,333417 0,333383 PlotTrapApprox 0,335 0,33335 0,333334 0,333333 PlotMidpointApprox 0,3325 0,333325 Copyright by H. Sporenberg

Analysis  Integralrechnung Die Allgemeine Integrationsformel für die natürliche Potenzfunktion f(x) = xn lautet Copyright by H. Sporenberg

Analysis f(x) F(x) f(x)=x7 f(x) = x1/2 f(x) = xn f(x) = 5 x6 Integralrechnung Definition: Eine Funktion F(x) heißt Stammfunktion zur Funktion f(x), falls gilt: F‘(x) = f(x) für alle x  D f(x) F(x) f(x)=x7 f(x) = x1/2 f(x) = xn f(x) = 5 x6 f(x) = 3 x4 – 2 x3 Insbesondere gilt: es gibt unendlich viele Stammfunktionen. Wenn F(X) Stammfunk-tion ist, dann auch F1(x) = F(x) + c mit c  Stammfunktion Copyright by H. Sporenberg

Analysis Integralrechnung Satz: Seien F1(x) und F2(x) Stammfunktion derselben Funktion f(x), dann gibt es ein c  mit der Eigenschaft: F1(x) = F2(x) + c Das bedeutet: Die Differenz zweier Stammfunktionen derselben Funktion f(x) ist stets eine Konstante Copyright by H. Sporenberg

Analysis Integralrechnung Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung für stetige Funktionen Gegeben sei eine auf einem Intervall [a,b] stetige Funktion f(x) mit der Stammfunktion F(x). Das Integral von f über x zwischen a und b ist gleich der Differenz der Funktionswerte der Stammfunktion an den Stellen a und b: Für F(b) – F(a) schreibt man auch: Copyright by H. Sporenberg Im Unterricht wird die Version (2) benutzt.

Analysis Integralrechnung Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung für stetige Funktionen Beispiel Man bestimmt eine Stammfunktion (günstig wählt man c=0) F(x) = 3 x – x2 + x3 Jetzt berechnet man: F(-1) = -5 und F(2) = 10 . Also ergibt sich Copyright by H. Sporenberg

Analysis Integralrechnung - Integrationsregeln Die Summenregel Das Integral einer Summe ist gleich der Summe der Integrale der beiden Funktionen: Copyright by H. Sporenberg

Analysis Integralrechnung - Integrationsregeln Die Regel vom konstanten Faktor Hat die zu integrierende Funktion einen konstanten Faktor, so kann dieser vor das Integral gezogen werden Copyright by H. Sporenberg

Analysis Integralrechnung - Integrationsregeln Satz von der Intervalladditivität Das Integral über den ganzen Bereich ist gleich der Summe der Integrale über die Teilbereiche Copyright by H. Sporenberg

Analysis Integralrechnung - Anwendung Fläche zwischen einer Kurve und der x-Achse Gegeben ist die Funktion mit der Gleichung: f(x)=x3 + x2 – 6x Bestimmen Sie die Fläche, die die Kurve mit der x-Achse ein-schließt. Copyright by H. Sporenberg

Analysis Integralrechnung – Fläche zwischen Kurve und x-Achse Plan A Um den Flächeninhalt der in den Grenzen x = a und x = b zwischen einer Kurve mit der Funktion f(x) und der x-Achse eingeschlossenen Fläche zu berechnen, bestimmt man die Schnittpunkte der Kurve mit der x-Achse (Nullstellen) . Man integriert die Funktion jeweils zwischen zwei aufeinanderfolgenden Nullstellen, bildet die Beträge dieser Integrale und addiert diese Beträge. Copyright by H. Sporenberg

Analysis Integralrechnung – Fläche zwischen Kurve und x-Achse Aufgabe f(x) = x3 – x2 – 4x + 4 Nullstellen sind: N1(-2/0) N2(1/0) N3(1/2) Copyright by H. Sporenberg

Analysis Integralrechnung – Fläche zwischen Kurve und x-Achse Aufgabe f(x) = x3 – x2 – 4x + 4 Eine Stammfunktion ist: Copyright by H. Sporenberg

Analysis Integralrechnung – Fläche zwischen Kurve und x-Achse Aufgabe f(x) = x3 – x2 – 4x + 4 Copyright by H. Sporenberg

Analysis  = Integralrechnung – Fläche zwischen zwei Kurven Aufgabe Berechnen Sie die Fläche, die die beiden Funktionsgraphen mit den Funktionsgleichungen f(x) = 0,5 x2 + 1 bzw. g(x) = 0,5 x + 4 einschließen  = Copyright by H. Sporenberg

Analysis Integralrechnung – Aufgaben Stammfunktion 1.Wert 2.Wert Seite 86 -Aufgabe 7 a) – d) Stammfunktion 1.Wert 2.Wert Integral F(x) = x2 + x4 2 8/3 - 8/3 - 16/3 -7/12 F(x) = x3 + x5 -270 270 540 Copyright by H. Sporenberg

Analysis Integralrechnung – Aufgaben Stammfunktion 1.Wert 2.Wert Seite 86 -Aufgabe 7 e) – f) Stammfunktion 1.Wert 2.Wert Integral 146/3 110/3 -12 256/3 128/3 -128/3 Copyright by H. Sporenberg

Analysis Integralrechnung – Aufgaben F(x) = Seite 86 -Aufgabe 9 a) 1.Berechnung der Nullstellen N1(-1/0) und N2(1/0) 2.Bestimmen einer Stammfunktion F(x) = Copyright by H. Sporenberg

Analysis Integralrechnung – Aufgaben Seite 86 -Aufgabe 9 a) 3.Bestimmen der einzelnen Flächenstücke Copyright by H. Sporenberg

Analysis Integralrechnung – Aufgaben Seite 86 -Aufgabe 9 c) 1.Berechnung der Nullstellen: N1(-2/0), N2(-1/0), N3(1/0) u. N4(2/0) Copyright by H. Sporenberg

Analysis Integralrechnung – Aufgaben Seite 86 -Aufgabe 9 c) Copyright by H. Sporenberg

Analysis Integralrechnung – Aufgaben f(x) = 2x3 – 7x + 6 g(x) = x + 6 Fläche zwischen 2 Funktionsgraphen f(x) = 2x3 – 7x + 6 g(x) = x + 6 Copyright by H. Sporenberg

Analysis Integralrechnung – Aufgaben f(x) = 2x3 – 7x + 6 g(x) = x + 6 Fläche zwischen 2 Funktionsgraphen f(x) = 2x3 – 7x + 6 g(x) = x + 6 Copyright by H. Sporenberg

Analysis Integralrechnung – Aufgaben f(x) = x3 – 4x g(x) = -3 x Hausaufgabe zum 17.11.08 Seite 86 A. 10 a) f(x) = x3 – 4x g(x) = -3 x Schnittpunkte: N1(-1/3) N2(0/0) und N3(1/-3) Copyright by H. Sporenberg

Analysis Integralrechnung – Aufgaben f(x) = x3 – 4x g(x) = -3 x Hausaufgabe zum 17.11.08 Seite 86 A. 10 a) f(x) = x3 – 4x g(x) = -3 x N1(-1/3) N2(0/0) und N3(1/-3) Copyright by H. Sporenberg

Analysis Integralrechnung – Aufgaben f(x) = x4 g(x) = -x2 + 2 Hausaufgabe zum 17.11.08 Seite 86 A. 10 b) f(x) = x4 N1(-1/1) und N2(1/1) g(x) = -x2 + 2 Copyright by H. Sporenberg

Analysis Integralrechnung – Aufgaben f(x) = x4 g(x) = -x2 + 2 Hausaufgabe zum 17.11.08 Seite 86 A. 10 b) f(x) = x4 N1(-1/1) und N2(1/1) g(x) = -x2 + 2 Copyright by H. Sporenberg

Analysis Integralrechnung – Aufgaben f(x) = x5 - 4 x3 g(x) = x4 - 4 x2 Die Fläche liegt oberhalb und unterhalb der x-Achse f(x) = x5 - 4 x3 g(x) = x4 - 4 x2 Nullstellen N1(-1/0) N2(0/0) N3(1/-3) N4(1/0) Copyright by H. Sporenberg

Analysis Integralrechnung – Aufgaben f(x) = x5 - 4 x3 g(x) = x4 - 4 x2 Die Fläche liegt oberhalb und unterhalb der x-Achse f(x) = x5 - 4 x3 g(x) = x4 - 4 x2 Copyright by H. Sporenberg

Analysis Integralrechnung – Aufgaben f(x) = x5 - 4 x3 g(x) = x4 - 4 x2 Die Fläche liegt oberhalb und unterhalb der x-Achse f(x) = x5 - 4 x3 g(x) = x4 - 4 x2 Copyright by H. Sporenberg

Analysis Integralrechnung – Aufgaben - Extremwert 1.Aufgabe: Gegeben seien die Funktionen mit mit 0 < k < 1. Für welches k hat die von den beiden Kurven ober-halb der x-Achse begrenz-te Flächenstück einen möglichst großen Inhalt? Copyright by H. Sporenberg

Analysis Integralrechnung – Aufgaben - Extremwert Lösung Die Bestimmung der Schnittpunk-te ergibt: N(-k/0) und N(k/0) Man bildet f(x) und g(x) und erhält folgende Stammfunktion F*[x]= Jetzt muss das Extremum der Funktion A(k) bestimmt werden. Es ergeben sich folgende Werte: k=0 (fällt weg), ebenso der negative Wert von k Copyright by H. Sporenberg

Analysis Integralrechnung – Aufgaben - Extremwert Lösung Die Überprüfung von A‘‘(k) ergibt, dass es sich bei dem Wert um Maxima handelt. Die Fläche beträgt A = 1/3 F.E. Copyright by H. Sporenberg

Analysis Integralrechnung – Aufgaben - Extremwert 2.Aufgabe: a) Diskutieren Sie die Kurvenschar b) Für welches k nimmt der Inhalt der Fläche zwischen Kurve und x-Achse seinen größten Wert an? Ist für dieses k auch der y-Wert des Hochpunktes von f(x) maximal? Copyright by H. Sporenberg

Analysis Integralrechnung – Aufgaben - Extremwert Nullstellen sind: Lösung Nullstellen sind: Extremstellen: Wendestelle: Eine Stammfunktion ist: Copyright by H. Sporenberg

Analysis Integralrechnung – Aufgaben - Extremwert Lösung Von A(k) muss jetzt der Hochpunkt bestimmt werden. Man erhält: k=0 und k=9/2. k=0 fällt weg, für k=9/2 erhält man ein Maximum Der y-Wert für den Hochpunkt lautet Berechnet man den Extremwert, so erhält man: k = 4. Dies stimmt nicht mit dem oben errechneten Wert für k = 4,5 überein. Copyright by H. Sporenberg

Analysis Integralrechnung – Aufgaben - Extremwert Lösung Copyright by H. Sporenberg

Analysis Integralrechnung – Aufgaben 4.Aufgabe: a) Diskutieren Sie die Kurvenschar a) Berechnen Sie die Null-stellen und die Extrempunk-te in Abhängigkeit von t. Wie ändert sich der Kurvenver-lauf für t  0 bzw. für t  ? b) Berechnen Sie den Inhalt A(t) des Flächenstücks, das der Graph von f(x) mit der positiven x-Achse ein-schließt. Wie verhält sich A(t) für t  0 bzw. für t  ? Copyright by H. Sporenberg

Analysis Integralrechnung – Aufgaben Nullstellen sind Extrema sind: Lösung Nullstellen sind Extrema sind: Die Wendestelle ist bei W(0/0) Für t->0 nähert sich der Graph einer Geraden an, für t   immer mehr einer Funktion f(x) = a*x3 Copyright by H. Sporenberg

Analysis Integralrechnung – Aufgaben Eine Stammfunktion lautet: Lösung Eine Stammfunktion lautet: Das Integral ergibt: Für t->0 ergibt sich A(t) = . Für t   ergibt sich A(t)= 0 Copyright by H. Sporenberg

Analysis Integralrechnung – Aufgaben 6.Aufgabe Gegeben ist eine Kurvenschar durch a) Untersuchen Sie die Kurven auf Symmetrie, Nullstellen sowie auf Hoch-, Tief- und Wendepunkte. Zeichnen Sie die zu k=1 gehörende Kurve im Bereich -8 < x < 8 samt den Tangenten in den Schnittpunkten mit der x-Achse. b) Berechnen Sie diejenigen Werte k>0, für die der Punkt P(3/3) auf einer Scharkurve liegt, und ermitteln Sie diejenigen Punkte auf der Geraden x = 3, durch die keine Kurve der Schar geht. c) Jede Scharkurve schließt mit der x-Achse im ersten Quadranten ein Flächenstück ein. Zeigen Sie, dass dessen Inhalt von k unabhängig ist, und bestimmen Sie einen Wert k>1 so, dass diese Fläche durch die Kurve zu k=1 in zwei inhaltsgleiche zerlegt wird. Copyright by H. Sporenberg

Analysis Integralrechnung – Aufgaben k =1 k =2 6.Aufgabe - Lösung Copyright by H. Sporenberg

Analysis Integralrechnung – Aufgaben 6.Aufgabe - Lösung Nullstellen sind: Extremstellen sind: Die Wendestelle ist: W(0/0) k=1 k=2 Copyright by H. Sporenberg

Analysis Integralrechnung – Aufgaben 6.Aufgabe - Lösung Nullstellen sind: Die Steigungen sind: in N1: m = -2k in N2: m = k in N3: m = -2k Damit lauten die Gleichungen der Tangenten Copyright by H. Sporenberg

Analysis Integralrechnung – Aufgaben 6.Aufgabe - Lösung Copyright by H. Sporenberg

Analysis Integralrechnung – Aufgaben 6.Aufgabe - Lösung Um den y-Wert für alle Punkte mit x=3 zu erhalten, berechnet man f(3). Man erhält: Hierbei handelt es sich um eine nach unten geöffnete Parabel mit dem Hochpunkt HP( 8/3 ; 4) Das heißt: für den Wert k = 8/3 beträgt der y-Wert y = 4. Dies ist der höchste Wert, den eine Kurve der Kurvenschar erreichen kann (wie gesagt an der Stelle x=3). Für alle Werte k>8/3 gibt es keinen y-Wert, der größer als 4 ist, ebenso für alle Werte k<8/3 (mit Mathematica kann man das schnell ausprobieren). Copyright by H. Sporenberg

Analysis Integralrechnung – Aufgaben 6.Aufgabe - Lösung Copyright by H. Sporenberg

Analysis Integralrechnung – Aufgaben 6.Aufgabe - Lösung k = 7/3 In der Graphik sind die Kurven für k=7/3, 8/3 und 9/3 gezeich-net. Die graue Kurve ist die Kurve für den y-Wert. k = 7/3 k = 8/3 k= 9/3 Copyright by H. Sporenberg

Analysis Integralrechnung – Aufgaben 6.Aufgabe - Lösung Starke Vergrößerung k = 7/3 k = 8/3 k= 9/3 Copyright by H. Sporenberg

Analysis Integralrechnung – Aufgaben k = 3 k = 1 6.Aufgabe - Lösung Copyright by H. Sporenberg

Analysis Integralrechnung – Aufgaben 6.Aufgabe - Lösung Die Fläche der Kurve (k=1) mit der x-Achse ist unabhängig von k. Dies ergibt sich aus: k =3 k = 1 Copyright by H. Sporenberg

Analysis Integralrechnung – Aufgaben 6.Aufgabe - Lösung Dann müssen die Schnittpunkte (es reichen die x-Koordinaten) bestimmt werden. Dies sind: Dann muss noch folgende Gleichung gelöst werden Copyright by H. Sporenberg k =3 k = 1 Es ergibt sich k = 3

Analysis Rotationsvolumen Copyright by H. Sporenberg

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Analysis Rotationsvolumen - Aufgaben Das von den beiden Graphen mit den Funktionsgleichungen f(x) = -x + 6 und g(x) = - 2 x2 + 4 x +6 Flächenstück rotiert um die x-Achse. Berechnen Sie das Volumen. Copyright by H. Sporenberg

Analysis Rotationsvolumen - Aufgaben Schnittpunkte der beiden Graphen: S1(0/6) und S2(5/2 ; 7/2) Es müssen jetzt die Volumina der beiden Teile der Funktionsgraphen getrennt berechnet werden. Bei der Berechnung der von zwei Funktionsgraphen eingeschlossenen Fläche kann dies auch durch das Integral von f(x)-g(x) bestimmt werden. Wegen der Quadrierung geht dies bei Rotationsvolumina jedoch nicht. Also getrennt berechnen: Copyright by H. Sporenberg

Analysis Rotationsvolumen - Aufgaben Der Rotationskörper, dargestellt mit PovRAY und unterschiedlicher Anzahl von gedrehten Flächen Copyright by H. Sporenberg alle 10 Grad alle 1 Grad

Analysis Rotationsvolumen – Aufgaben – der Trauring In einem Kreis mit dem Radius r rotiert ein von der Sehne 2s um den zur Sehne parallelen Durchmes-ser. Das Volumen des von dem Segment erzeugten Hohlkörpers ist zu berechnen. Copyright by H. Sporenberg

Analysis Rotationsvolumen – Aufgaben – der Trauring Der Rotationskörper, dargestellt mit PovRAY und unterschiedlicher Anzahl von gedrehten Flächen Copyright by H. Sporenberg alle 15 Grad alle 5 Grad

Analysis Rotationsvolumen – Aufgaben – der Trauring Der Rotationskörper, dargestellt mit PovRAY und unterschiedlicher Anzahl von gedrehten Flächen Copyright by H. Sporenberg alle 1 Grad

Analysis Rotationsvolumen – Aufgaben – der Trauring Von dem Rotationskörper K ist ein Zylinder Z(ABCD) zu subtrahieren Der Trauring hat das gleiche Volumen wie eine Kugel mit der Sehne 2s als Durchmesser. Copyright by H. Sporenberg

Analysis Rotationsvolumen – Aufgaben – der Torus Ein nach oben verschobener Kreis rotiert um die x-Achse. Es entsteht ein sog. Torus (umgangsspr. Donut). Copyright by H. Sporenberg

Analysis Rotationsvolumen – Aufgaben – der Torus Der Rotationskörper, dargestellt mit PovRAY und unterschiedlicher Anzahl von gedrehten Flächen alle 20 Grad alle 5 Grad Copyright by H. Sporenberg

Analysis Rotationsvolumen – Aufgaben – der Torus Der Rotationskörper, dargestellt mit PovRAY und unterschiedlicher Anzahl von gedrehten Flächen Copyright by H. Sporenberg alle 1 Grad

Analysis Guldinsche Regel für das Volumen eines Rotationskörpers Das ebene Flächenstück A rotiere um eine in der gleichen Ebene lie-gende Gerade g (hier die x-Achse). Das Volumen des entstehenden Rotationskörpers ist größengleich dem Produkt aus Flächeninhalt A und der Länge des Weges des Schwerpunktes der Fläche Aus der Guldinschen Regel folgt das Volumen vom Kreistorus : VTorus = (2  R) ( r2) Copyright by H. Sporenberg

Analysis Rotationsvolumen – Aufgabe – Buch: Seite 103 A.27 Schnittpunkte sind: S1(0/0) und S2(4/4) Das folgende Integral ergibt die Fläche zwischen den Funktions-graphen Copyright by H. Sporenberg

Analysis Rotationsvolumen – Aufgabe – Buch: Seite 103 A.27 alle 20 Grad alle 5 Grad Copyright by H. Sporenberg

Analysis Rotationsvolumen – Aufgabe – Buch: Seite 103 A.27 alle 1 Grad Copyright by H. Sporenberg alle 1 Grad

Analysis Rotationsvolumen – Aufgabe – Buch: Seite 103 A.27 Man berechnet die Rotationsvolumina für beide Funktions-graphen und subtrahiert diese dann. Copyright by H. Sporenberg

Analysis Rotationsvolumen – Aufgabe – Buch: Seite 103 A.25 Mit Hilfe der Bedingung (Wasserstand 5 m, Durchmesser 20 m) ergibt sich für die Funktionsgleichung: Hier handelt es sich um die Rotation um die y-Achse. Dadurch ändert sich die Formel für die Berechnung des Rotationsvolumens. Es gilt: Dies ergibt folgende Rechnung: Copyright by H. Sporenberg

Analysis Rotationsvolumen – Aufgabe – Buch: Seite 103 A.26 Für das Rotationsvolumen benötigt man [f(x)]2. Es ergibt sich: [f(x)]2 = 3 x2 + x3 Da über das Quadrat integriert wird, muss man nicht von -3 bis 0 und dann von 0 bis 2 integrieren sondern kann sofort von -3 bis 2 integrieren. Copyright by H. Sporenberg

Analysis Rotationsvolumen – Aufgabe – Buch: Seite 103 A.26 Copyright by H. Sporenberg

Analysis Rotationsvolumen – Aufgabe – Buch: Seite 103 A.26 Copyright by H. Sporenberg

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Analysis Integrationsmethoden - Substitutionsregel Ist f(x) eine integrierbare Funktion und substituiert man die Variable x durch eine Variable z gemäß einer Gleichung (z) = x mit einer differenzierbaren Funktion (z), so kann die Berechnung des Integrals auf die Integration der Funktion g(z) = f((z)) ‘(z) zurückgeführt werden, wobei die Integrationsgrenzen za und zb durch (za) = a und (zb) = b bestimmt wird. In diesem Fall gilt: Copyright by H. Sporenberg

Analysis Integrationsmethoden - Substitutionsregel Beispiel: 1.Schritt: Einführung der Hilfsvariablen z: 2.Schritt: Ersetzen des Differenzialquotienten dx durch: 3.Schritt: Ersetzen der Grenzen: zA = 1 und zB = 2 Copyright by H. Sporenberg

Analysis Integrationsmethoden - Substitutionsregel Beispiel: 4.Schritt: Das Ersetzen der Integrationsgrenzen 2 und 5 durch 1 und 2 kann entfallen, wenn man nach der Integration z resubstituiert und dann die ursprünglichen Grenzen wieder einsetzt. Copyright by H. Sporenberg

Analysis Integrationsmethoden - Substitutionsregel 2.Beispiel: Also: Ersetzen des Differenzialquotienten dx durch: Also: Copyright by H. Sporenberg

Analysis Integrationsmethoden – partielle Integration Die partielle Integration, auch Produktintegration genannt, ist in der Integralrechnung eine Möglichkeit zur Bestimmung von Stamm-funktionen der Form f(x) = u(x)  v(x). Sie kann als die Umkehrung der Produktregel der Differenzialrechnung aufgefasst werden. Die Ableitung der Funktion f(x) = u(x)  v(x) geschieht mit Hilfe der Produktregel: f‘(x) = (u(x)  v(x) )‘= u‘(x) v(x) + u(x) v‘(x) Integriert man jetzt, so erhält man: Stellt man um, so erhält man die endgültige Fassung Copyright by H. Sporenberg

Analysis Integrationsmethoden – partielle Integration - Beispiel f(x) = x ex Wir setzen: u(x) = x und v‘(x) = ex Damit ergibt sich für: u‘(x) = 1 und v(x) = ex Copyright by H. Sporenberg

Analysis Integrationsmethoden – partielle Integration – weitere Beispiele f(x) = x ln x Wir setzen: u(x) = ln x und v‘(x) = x Damit ergibt sich für: u‘(x) = 1/x und v(x) = ½ x2 Copyright by H. Sporenberg

Analysis Integrationsmethoden – partielle Integration – weitere Beispiele f(x) = ln x = 1 ln x Wir setzen: u(x) = ln x und v‘(x) = 1 Damit ergibt sich für: u‘(x) = 1/x und v(x) = x Copyright by H. Sporenberg

Analysis Die Exponentialfunktionen Definition: Eine Funktion mit der Funktionsgleichung f(x) = a  bx heißt Exponentialfunktion. Dabei gibt es für b eine Einschränkung: 0<b<1 oder b>1 Copyright by H. Sporenberg

Analysis Die Exponentialfunktionen Eigenschaften der Exponentialfunktionen: 1. Alle Funktionen gehen durch Sy(0/1). 2. Die Funktionen sind streng monoton steigend für b>1. 3. Die Funktionen sind streng monoton fallend für 0<b<1. 4. Der Wertebereich ist R+ Copyright by H. Sporenberg

Analysis Die e-Funktion Eigenschaften der Exponentialfunktionen: Leonhard Euler 1707-1783 Copyright by H. Sporenberg

Analysis Die e-Funktion – Spiegelung, Verschiebung und Streckung f(x) = e-x Gespiegelt an der y-Achse Copyright by H. Sporenberg

Analysis Die e-Funktion – Spiegelung, Verschiebung und Streckung f(x) = -ex Gespiegelt an der x-Achse Copyright by H. Sporenberg

Analysis Die e-Funktion – Spiegelung, Verschiebung und Streckung f(x) = ex + 1 Verschiebung um 1 Einheit in positive y-Richtung Copyright by H. Sporenberg

Analysis Die e-Funktion – Spiegelung, Verschiebung und Streckung f(x) = ex-1 Verschiebung um 1 Einheit in positive x-Richtung Copyright by H. Sporenberg

Analysis Die e-Funktion – Spiegelung, Verschiebung und Streckung f(x) = 2 ex Streckung (Stauchung) in y-Richtung Copyright by H. Sporenberg

Analysis Die e-Funktion – Spiegelung, Verschiebung und Streckung f(x) = e1/2 x Streckung (Stauchung) in x-Richtung Copyright by H. Sporenberg

Analysis Die e-Funktion Copyright by H. Sporenberg

Analysis Die Umkehrfunktion f(x) = y = x2 Bestimmen der Unkehrfunktion 1.Vertauschen der Variablen x und y 2.Auflösen nach der Variablen y 3.Vertauschen von Definitions- und Wertebereich bzw. Werte- und Definitionsbereich Copyright by H. Sporenberg

Analysis Die Umkehrfunktion f(x) = y = x2 Zeichnerisch erhält man den Graphen der Umkehrfunktion durch Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden Copyright by H. Sporenberg

Analysis Die Umkehrfunktion f(x) = y = x2 Zeichnerisch erhält man den Graphen der Umkehrfunktion durch Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden Copyright by H. Sporenberg

Analysis Die Umkehrfunktion f1(x) = y = x2 - D(f1)=Rx0 u. W(f1)=Rx0 Copyright by H. Sporenberg

Analysis Die Umkehrfunktion der e-Funktion f(x) = y = ex - D(f)=R u. W(f)=Rx>0 f*(x) = y = ln x D(f*)=Rx>0 u. W(f*)=R Copyright by H. Sporenberg

Analysis Die Umkehrfunktion der e-Funktion Die Logarithmen-Gesetze Copyright by H. Sporenberg

Analysis Kurvendiskussion e-Funktion f(x) = 4 x e-x 1.Nullstellen: 4 x e-x = 0  x = 0 N(0/0) 2.Extremstellen: f‘(x) = 4 e-x – 4 x e–x f‘(x)=0  4 e-x – 4 x e –x = 0  4 e-x ( 1 – x) = 0  x = 1 f‘‘(1) = -4/e < 0  HP(1 ; 4/e) Copyright by H. Sporenberg

Analysis Kurvendiskussion e-Funktion f(x) = 4 x e-x 3.Wendestellen: f‘‘(x) = -8 e-x + 4 x e–x f‘‘(x)=0  -8 e-x + 4 x e –x = 0  4 e-x ( -2 + x) = 0  x = 2 f‘‘‘(2) = 4/e2 > 0  WP(2 ; 8/e2) R-Krümmung  L-Krümmung Copyright by H. Sporenberg

Analysis Kurvendiskussion e-Funktion f(x) = x2 ex Die Ableitungen 1.Nullstellen: f(x)=0  x=0 N(0/0) Die Ableitungen 2.Extrema: f‘(x)=0  x=0 v x = 2 HP(-2 / 4/e2  0,5413) und TP(0/0) Copyright by H. Sporenberg

Analysis Kurvendiskussion e-Funktion f(x) = x2 ex 3.Wendestellen: Copyright by H. Sporenberg

Analysis Kurvendiskussion e-Funktion Aufgabe: Gegeben ist f durch das Schaubild sei K. a) Berechne Sie die Asymptote, Schnittpunkte mit der x-Achse, Extrem- und Wendepunkte. Zeichnen Sie das Schaubild für −7 ≤ x ≤ 4,2 mit Längeneinheit 1 cm. b) Bestimmen Sie die Gleichung der Normalen h im Schnittpunkt W mit der y-Achse. In welchem weiteren Punkt S schneidet h die Kurve K noch einmal ? Berechnen Sie seine Koordinaten. c) Die Gerade mit der Gleichung x = u (u < 4) schneidet K in P und die x-Achse in Q. N sei der Schnittpunkt von K mit der x-Achse. Berechnen Sie den Inhalt des Dreiecks PQN. Für welches u nimmt dieser Inhalt einen Extremwert an ? Wie groß ist dieser ? (Auf die hinreichende Bedingung und Randwertuntersuchung darf verzichtet werden). d) K und die x-Achse schließen eine bis ins Unendliche reichende Fläche ein. Überprüfen Sie, ob deren Inhalt endlich ist. Copyright by H. Sporenberg

Analysis Kurvendiskussion e-Funktion Lösung c) Die Punkte sind: P(u/(u-4)e^(1/2 u)) Q(u/0) N(4/0) Die Fläche des Dreieckes berechnet sich aus Grundseite (=(4-u)) und Höhe (=f(u)) mal ½. Copyright by H. Sporenberg

Analysis Kurvendiskussion e-Funktion Lösung Die Gleichung für die Flä-chenfunktion lautet dann: Copyright by H. Sporenberg

Analysis Kurvendiskussion e-Funktion Lösung Wie man sieht, gibt es zwei Extremwerte für x (Flaeche‘(u)=0). 1.x=4 (Minimum), aber 4 ist für u ausgeschlossen 2.x=0 (Maximum) Flaeche(0) = 8 Copyright by H. Sporenberg

Analysis Kurvendiskussion e-Funktion Flaeche(0) = 8 Lösung Flaeche(0) = 8 Hier ist das Dreieck, das den maximalen Flächeninhalt besitzt, eingezeichnet. Copyright by H. Sporenberg

Analysis Kurvendiskussion e-Funktion Lösung Copyright by H. Sporenberg

Analysis Die e-Funktion Aufgabe: Gegeben ist die Funktion f(x) mit f(x) = 6 x e-x a) Berechnen Sie den Schnittpunkt mit der x-Achse. b) Gibt es einen Schnittpunkt mit der x-Achse? Begründen Sie Ihre Antwort. c) Untersuchen Sie die Funktion auf Extremwerte und Wendepunkte. d) Zeichnen Sie den Graphen im Bereich von 0  x  6. Legen Sie eine Wertetabelle an. d) Berechnen Sie die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse im Bereich 0  x  5 und kennzeichnen Sie diese Fläche. e) Bestimmen Sie die Randwerte der Funktion. Copyright by H. Sporenberg

Analysis Kurvendiskussion e-Funktion Aufgabe: Durch f(t) = 20 t e-1/2 t mit t = Zeit in Stunden nach der Einnahme und f(t) = mg/Liter wird die Konzentration eines Medikaments im Blut eines Patienten beschrieben. Die folgenden Betrachtungen sind nur für die Zeitspanne der ersten 12 Stunden nach der Einnahme des Medikaments durchzuführen. a) Nach welcher Zeit erreicht die Konzentration ihren höchsten Wert? Wie groß ist dieser höchste Wert? b) Berechnen Sie den Wendepunkt und machen Sie eine Aussage über dessen Bedeutung im Zusammenhang mit der Aufgabenstellung. c) Stellen Sie für die ersten 12 Stunden eine Wertetabelle auf und zeichnen Sie den Graphen in ein geeignetes Koordinatensystem. d) Wie hoch ist die mittlere Konzentration des Medikaments innerhalb der ersten 12 Stunden? Copyright by H. Sporenberg

Analysis Kurvendiskussion e-Funktion Pmax(2 / 40 e-1  14,715) Lösung a)Zur Lösung der Aufgabe muss das Extremum berechnet werden. Dazu benötigt an die ersten beiden Ableitungen. Die Ableitung erfordert die Anwendung der Produktregel. Setzt man f‘(t) = 0 und löst nach t auf, so erhält man als mögliche Extremstelle: t = 2. Setzt man dies in f‘‘(t) ein, so erhält man: f‘‘(t) = - 10 e-1 <0, also ein Maximum. Es ist noch der Funktionswert zu berechnen: Man erhält Pmax(2 / 40 e-1  14,715) Copyright by H. Sporenberg

Analysis Kurvendiskussion e-Funktion PW(4 / 80 e-2  10,827) Lösung b)Der Wendepunkt wird wie bekannt berechnet. Setzt man f‘‘(t) = 0 und löst nach t auf, so erhält man als mögliche Wendestelle: t = 42. Setzt man dies in f‘‘‘(t) ein, so erhält man: f‘‘(t) = 5 e-2  0, also liegt eine Wendestelle vor. Es ist noch der Funktionswert zu berechnen: Man erhält PW(4 / 80 e-2  10,827) Nach 4 Stunden ist die momentane Abnahme der Konzentration des Medikaments im Blut am größten. Da das Maximum bei tmax = 2 lag, muss tw = 4 im Abnahmebereich liegen. Copyright by H. Sporenberg

Analysis Kurvendiskussion e-Funktion t f(t) Lösung c)Wertetabelle Copyright by H. Sporenberg

Analysis Kurvendiskussion e-Funktion Lösung Copyright by H. Sporenberg

Analysis Kurvendiskussion e-Funktion mit Parametern Aufgabe: Gegeben sei die Funktion a) Untersuchen Sie fk auf Achsenschnittpunkte und berechnen Sie diese. b) Bilden Sie die ersten drei Ableitungen von fk(x). c) Untersuchen Sie fk auf Extrempunkte und berechnen Sie diese. d) Untersuchen Sie fk auf Wendepunkte und berechnen Sie diese. e) Bestimmen Sie die Funktionswerte für die Grenzen des Definitionsbereichs. f) Bestimmen Sie die Ortskurve fok(x) für die Extrempunkte. g) Bestimmen Sie die Fläche Ak zwischen den Achsenschnittpunkten und der x-Achse. h) Fertigen Sie eine Wertetabelle für x = -3;-2;,….4;5 an und zeichnen Sie den Graphen für k = 1;2;3;4 in ein Koordinatensystem. i) Berechnen Sie für k=1 die Fläche Ak und kennzeichnen Sie diese im Koordinatensystem. Copyright by H. Sporenberg

Analysis Kurvendiskussion e-Funktion mit Parametern Lösung a) Für alle k gibt es einen Schnittpunkt mit der y-Achse: Für alle k gibt es einen Schnittpunkt mit der x-Achse (Nullstellen): b) Copyright by H. Sporenberg

Analysis Kurvendiskussion e-Funktion mit Parametern Lösung c) Extrempunkte: Hinreichende Bedingung -> fk‘(x) = 0 und fk‘‘(x)  0. Wendet man die Bedingungen an, so ergibt sich Überprüft man jetzt die 2. Ableitung, so ergibt sich: Damit erhält man an dieser Stelle ein relatives Minimum. Der y-Wert ergibt sich zu: Das relative Minimum existiert für alle k > 0. Copyright by H. Sporenberg

Analysis Kurvendiskussion e-Funktion mit Parametern Lösung d) Wendepunkte: Hinreichende Bedingung -> fk‘‘(x) = 0 und fk‘‘‘(x)  0. Wendet man die Bedingungen an, so ergibt sich Überprüft man jetzt die 3. Ableitung, so ergibt sich: Damit erhält man an dieser Stelle eine Wendestelle. Der y-Wert ergibt sich zu: Für alle k > 0 existiert ein Wendepunkt. Copyright by H. Sporenberg

Analysis Kurvendiskussion e-Funktion mit Parametern Lösung e)Funktionswerte für die Grenzen des Definitionsbereichs Für x  - streben alle Funktionswerte gegen 0. Damit ist die x-Achse Asymptote. Dieses ist so nicht lösbar. Aber: Da ex für x   schneller über alle Grenzen wächst als e0,5x, kann unter Berücksichtigung der Subtraktion folgendes Ergebnis angegeben werden: Copyright by H. Sporenberg

Analysis Kurvendiskussion e-Funktion mit Parametern Wertetabelle x k=1 k=2 k=3 k=4 Copyright by H. Sporenberg

Analysis Kurvendiskussion e-Funktion mit Parametern k=4 k=3 k=2 k=1 Copyright by H. Sporenberg

Analysis Kurvendiskussion e-Funktion mit Parametern Gleichung (1) wird nach k aufgelöst und in (2) eingesetzt. Dies ergibt dann die Gleichung für die Ortskurve. Copyright by H. Sporenberg

Analysis Kurvendiskussion e-Funktion mit Parametern k=4 k=3 k=2 k=1 Ortskurve Copyright by H. Sporenberg

Analysis Kurvendiskussion e-Funktion mit Parametern Copyright by H. Sporenberg

Analysis Kurvendiskussion e-Funktion mit Parametern Es muss zur gegebenen Funktion fk(x) die Stammfunktion gebildet werden und dann das bestimmte Integral in den Grenzen von 0 bis 2 ln(8/k) berechnet werden. Die Fläche liegt unterhalb der x-Achse, aus diesem Grund müssen die Be-tragsstriche gesetzt werden. Copyright by H. Sporenberg

Analysis Kurvendiskussion e-Funktion mit Parametern A1 =12,25 FE Um die Fläche für k=1 zu berechnen, muss in die obige Gleichung eingesetzt werden. Man erhält: A1 =12,25 FE Copyright by H. Sporenberg

Analysis Kurvendiskussion e-Funktion Die Ableitungen 1.Nullstellen: f(x)=0  x= -1 v x = 1 N1(-1/0) N2(1/0) Die Ableitungen 2.Extrema: f‘(x)=0  x= v x = Copyright by H. Sporenberg

Analysis Kurvendiskussion e-Funktion 3.Wendestellen f‘‘(x)=0  Copyright by H. Sporenberg

Analysis Fläche zwischen den Nullstellen und der x-Achse Bestimmen der Stamm-funktion (partielle Integration) Copyright by H. Sporenberg

Analysis Die ln-Funktion - Herleitung der Ableitung f(x) = ln x - gesucht f‘(x) Es sei y = ln x  ey = e ln x = x Jetzt werden beide Seiten abgeleitet: (eln x)‘ = (x)‘  eln x (ln x)‘ = (x)‘ = 1 Formt man nach (ln x)‘ um, so erhält man: Copyright by H. Sporenberg

Analysis Kurvendiskussion - Ln-Funktionen f(x) = ln x - x 1.Nullstellen: es gibt keine Nullstellen 2.Extremstellen: HP(1/-1) 3.Wendestellen: es gibt keine Wendestellen Copyright by H. Sporenberg

Analysis Kurvendiskussion - Ln-Funktionen f(x) = ln x +x2 - 1 1.Nullstellen: N(1/0) 2.Extremstellen: es gibt keine Extremstellen 3.Wendestellen: Copyright by H. Sporenberg

Analysis Ln-Funktionen Stammfunktionen Wie lautet die Stammfunktion von f(x) = ln x? Also: Man schreibt die Funktion wie folgt: f(x) = 1  ln(x) Jetzt lässt sich die partielle Integration anwenden, indem man wie folgt setzt: u(x) = ln(x) und v‘(x) = 1. Dann erhält man: u‘(x) = 1/x und v(x) = x. Also: Copyright by H. Sporenberg

Analysis Ln-Funktionen Stammfunktionen Wie lautet die Stammfunktion von f(x) = x  ln x? Also: Man wendet die partielle Integration an, indem man wie folgt setzt: u(x) = ln(x) und v‘(x) = x. Dann erhält man: u‘(x) = 1/x und v(x) = 1/2 x2. Also: Copyright by H. Sporenberg

Analysis Ln-Funktionen Stammfunktionen Wie lautet die Stammfunktion von f(x) = 1/x  ln x? Also: Man wendet die partielle Integration an, indem man wie folgt setzt: u(x) = ln(x) und v‘(x) = 1/x. Dann erhält man: u‘(x) = 1/x und v(x) = ln(x). Also: Jetzt ist man offensichtlich beim Anfangsproblem. Aber da der zu berechnende Term auf der einen Seite positiv und auf der anderen Seite negativ ist, fällt er nicht weg. Copyright by H. Sporenberg

Analysis Ln-Funktionen Stammfunktionen Also addiert man den Integralterm und erhält: Copyright by H. Sporenberg

Analysis Ln-Funktionen Stammfunktionen Wie lautet die Stammfunktion von f(x) = 1/x  ln x2? Also: Man wendet die partielle Integration an, indem man wie folgt setzt: u(x) = ln(x2) und v‘(x) = 2/x. Dann erhält man: u‘(x) = 1/x und v(x) = ln(x). Also: Man wendet jetzt die Logarithmengesetze an ln (x2) = 2 ln(x) und erhält dann: Copyright by H. Sporenberg

Analysis Ln-Funktionen Stammfunktionen Also addiert man den Integralterm und erhält: Copyright by H. Sporenberg

Analysis Ln-Funktionen Stammfunktionen Wie lautet die Stammfunktion von f(x) = 1/x  ln (a2 x2)? Also: Man wendet die partielle Integration an, indem man wie folgt setzt: u(x) = ln(a2 x2) und v‘(x) = 2/x. Dann erhält man: u‘(x) = 1/x und v(x) = ln(a x). Also: Man wendet jetzt die Logarithmengesetze an ln (a2 x2) = ln (a x)2 = 2 ln(a x) und erhält dann: Copyright by H. Sporenberg

Analysis Ln-Funktionen Stammfunktionen Also addiert man den Integralterm und erhält: Copyright by H. Sporenberg

Analysis Hausaufgaben zum 19.01.09 – f(x) = (x3-4 x2+4x) ex (Seite 192 A.5) Die Ableitungen 1.Nullstellen: N(0/0) und N(2/0) 2.Extremstellen: TP(-2/ -32/e2  -4,330 HP(1/e ) TP(2/0) 3.Wendestellen: Copyright by H. Sporenberg

Analysis Hausaufgaben zum 19.01.09 – f(x) = (x3-4 x2+4x) ex (Seite 192 A.5) Die Stammfunktion Will man die Fläche be-rechnen, die der Graph mit der x-Achse ein-schließt, so hat man fol-gendes Problem: Der Graph schneidet die x-Achse zwar in S1(0/0), aber eine zweite Null-stellen links von S1 gibt es nicht. Man nimmt nun einen Wert b, mit b<0 und in-tegriert jetzt von b bis 0 Copyright by H. Sporenberg

Analysis Hausaufgaben zum 19.01.09 – f(x) = (x3-4 x2+4x) ex (Seite 192 A.5) Lässt man jetzt die linke Grenze b weiter nach links wandern und bildet den Grenzwert für b->-, so erhält man -18. Der Wert ist negativ, da die Fläche unterhalb der x-Achse liegt, d.h. A = 18 F.E. Die Stammfunktion Copyright by H. Sporenberg

Analysis Hausaufgaben zum 19.01.09 – f(x) = (x3-4 x2+4x) ex (Seite 192 A.5) c) P(a/f(a)) Die Steigung an der Stelle x = a erhält man durch die 1. Ableitung. Die allg. Gleichung der Tangente ist: y = m x + b Setzt man die entspre-chenden Werte ein, so erhält man: Löst man nach b auf, so ergibt sich die Funktion: Achsenabschnitt(a) = 2 a3 ea – a4 ea Copyright by H. Sporenberg

Analysis Hausaufgaben zum 19.01.09 – f(x) = (x3-4 x2+4x) ex (Seite 192 A.5) Löst man nach b auf, so ergibt sich die Funktion: Achsenabschnitt(a) = 2 a3 ea – a4 ea Es handelt sich um eine Extremwert-aufgabe. Die 1. Ableitung lautet: Achsenabschnitt‘(a) = 6 a2 ea – 2 a3 ea – a4 ea Aus der hinreichenden Bedingung Achsenabschnitt‘(a) = 0 ergibt sich Copyright by H. Sporenberg

Analysis Hausaufgaben zum 19.01.09 – f(x) = (x3-4 x2+4x) ex (Seite 192 A.5) Aus der hinreichenden Bedingung Achsenabschnitt‘(a) = 0 ergibt sich Jetzt kann man aus den Angaben die Gleichung der Tangente aufstellen. Mit den Näherungswerten ergibt sich: y = - 4,32416 x + 8,18732 Copyright by H. Sporenberg

Analysis Hausaufgaben zum 19.01.09 – f(x) = (x3-4 x2+4x) ex (Seite 192 A.5) Jetzt kann man aus den Angaben die Gleichung der Tangente aufstellen. Mit den Näherungswerten ergibt sich: y = - 4,32416 x + 8,18732 Copyright by H. Sporenberg

Analysis Hausaufgaben zum 19.01.09 – f(x) = (x3 + 2 x2) ex (Seite 193 A.9) Die Ableitungen 1.Nullstellen: N(-2/0) und N(0/0) 2.Extremstellen: TP(-4/ -32/e4  -0,586) HP(-1/ 1/e  0,3678) TP(0/0) 3.Wendestellen: Copyright by H. Sporenberg

Analysis Hausaufgaben zum 19.01.09 – f(x) = (x3 + 2 x2) ex (Seite 193 A.9) Die Fläche des Graphen mit der x-Achse besteht aus zwei Teilen. Einmal ist es die Fläche zwischen den Nullstellen -2 und 0, die andere Fläche muss ähnlich wie in Aufgabe 5 (Seite 192) berechnet werden. Man nimmt ein b<0 an, berechnet die Fläche zwischen b und -2 und bestimmt dann den Limes für b->-. Die Stammfunktion Die Fläche zwischen -2 und 0 beträgt: Oder:  0,436035 F.E. Copyright by H. Sporenberg

Analysis Hausaufgaben zum 19.01.09 – f(x) = (x3 + 2 x2) ex (Seite 193 A.9) Insgesamt erhält man also: Die Stammfunktion Copyright by H. Sporenberg

Analysis Hausaufgaben zum 19.01.09 (Seite 84 A.5 - a) b) f) i)) a) f(x) = x e2x F(x) = b) f(x) = (2 x -1) ex F(x) = (2 x – 3) ex f) f(x) = x2 e-x F(x) = (-x2 – 2 x – 2) e-x i) f(x) = x2 ln x F(x) = Copyright by H. Sporenberg

Analysis Hausaufgaben zum 02.02.09 (Seite 187 A.10) Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung Nullstelle: N(0/0) Copyright by H. Sporenberg

Analysis Hausaufgaben zum 02.02.09 (Seite 187 A.10) Copyright by H. Sporenberg

Analysis Hausaufgaben zum 02.02.09 (Seite 187 A.10) Copyright by H. Sporenberg

Analysis Hausaufgaben zum 02.02.09 (Seite 187 A.10) Copyright by H. Sporenberg

Analysis Hausaufgaben zum 02.02.09 (Seite 187 A.12) Die Ableitungen Copyright by H. Sporenberg

Analysis Hausaufgaben zum 02.02.09 (Seite 187 A.12) Copyright by H. Sporenberg

Analysis Hausaufgaben zum 28.09.09 AufgabeGebrRatFkt3.doc 1.Aufgabe: Gegeben ist die Funktion mit f(x): a) Führen Sie für die Funktion f eine Kurvendiskussion durch (Schnittpunkte mit den Achsen, Symmetrie, Koordinaten der Extrempunkte, Art der Extrema, Koordinaten der Wendepunkte, Verhalten im Unendlichen). Zeichnen Sie den Graph der Funktion f im Intervall -8  x  8. b) Ermitteln Sie deine Gleichung der Tangente an den Graph der Funktion f im Punkt T(1/f(1)). Berechnen Sie den Schnittwinkel der Tangente mit der y-Achse. c) Die Punkte P(0/0), A(x/f(x)) und B(-x/f(-x)) mit 0<x<3 bilden gleichschenklige Dreiecke. Unter diesen Dreiecken existiert genau ein Dreieck mit minimalen Flächeninhalt. Berechnen Sie diesen Flächeninhalt. Copyright by H. Sporenberg

Analysis Hausaufgaben zum 28.09.09 Noch 1.Aufgabe: d) Durch die Punkte P1(0/f(0)), P2(-3/f(-3)) und P3(3/f(3)) verläuft der Graph der Funktion g mit y = g(x) = a x2 + b x + c mit x  . Der Graph der Funktion g und die Koordinatenachsen begrenzen im 1. Quadranten eine Fläche vollständig. Diese Fläche erzeugt bei Rotation um die y-Achse einen Rotationskörper. Berechnen Sie das Volumen dieses Körpers. e) Gegeben ist die Funktionenschar durch: Unter diesen Funktionen existiert genau eine Funktion, für die für alle x  gilt: f’’(x)=0. Zeigen Sie, dass diese Funktion fk keine Polstellen besitzt. Copyright by H. Sporenberg

Analysis Hausaufgaben zum 28.09.09 LÖSUNG 1.Aufgabe: Schnittpunkt mit der y-Achse: Sy(0/3) Schnittpunkte mit der x-Achse: Sx1(-3/0) und Sx2(3/0) Symmetrie: es gilt f(-x) = f(x)  symmetrisch zur y-Achse Extrema u. Wendepunkte: Die Ableitungen Extrema: xE = 0, Überprüfung: f‘‘(0) = -8/3  Lokales Maximum E(0/3) Copyright by H. Sporenberg

Analysis Hausaufgaben zum 28.09.09 LÖSUNG 1.Aufgabe: Wendepunkte: xW1 = 1 und xW1 = -1 , Überprüfung: f‘‘‘(1) = 2,25  0 f‘‘‘(-1) = -2,25  0  Wendepunkte sind W1(1/2) und W2(-1/2) Verhalten im Unendlichen Copyright by H. Sporenberg

Analysis Hausaufgaben zum 28.09.09 LÖSUNG Copyright by H. Sporenberg

Analysis Hausaufgaben zum 28.09.09 LÖSUNG b) Die Gleichung der Tangente Winkel: tan  = -3/2   = 56o, dieses ist aber der Winkel der Geraden mit der x-Achse. Der Winkel mit der y-Achse ist:  = 90o – 56o = 34o. c) A(x) = ½ 2 x f(x) Damit ergibt sich für die Zielfunktion Copyright by H. Sporenberg

Analysis Hausaufgaben zum 28.09.09 LÖSUNG b) Copyright by H. Sporenberg

Analysis Hausaufgaben zum 28.09.09 LÖSUNG c) Copyright by H. Sporenberg

Analysis Hausaufgaben zum 28.09.09 LÖSUNG c) Der Flächeninhalt beträgt: A = 2,04 F.E. Copyright by H. Sporenberg

Analysis Hausaufgaben zum 28.09.09 LÖSUNG d) Die Bedingungen ergeben folgendes Gleichungs-system: 0 a + 0 b + c = 3 9 a + 3 b + c = 0 9 a – 3 b + c = 0 Es ergeben sich folgende Werte: a = -1/3; b=0 und c=3 Damit hat die Parabel die folgende Gleichung: y = 1/3 x2 +3 Copyright by H. Sporenberg

Analysis Hausaufgaben zum 28.09.09 LÖSUNG d) Da es sich um eine Rotation um die y-Achse handelt, muss nach x aufgelöst werden und dann x und y vertauscht werden. man hat so die Umkehrfunktion gebildet. Jetzt kann man wie gewohnt die entsprechende Formel für die Berechnung von Rotationskörpern nehmen. Die Umkehrfunktion lautet: Also: Copyright by H. Sporenberg Das Volumen beträgt: V = 13,5  V.E.

Analysis Hausaufgaben zum 28.09.09 LÖSUNG e) Man berechnet die 2. Ableitung. Diese lautet: Für k = -9 hat die 2. Ableitung für alle x  Dfk den Wert 0. Der Graph der Funktion f-9 hat an den Stellen x = 3 Lücken, es sind aber keine Polstellen Copyright by H. Sporenberg

Analysis Unendliche Fläche und endliches Volumen Die Fläche, die die Funktion f(x) = 1/x in den Grenzen von 1 bis b (b>1) mit der x-Achse bildet, rotiert um die x-Achse. Was passiert mit der Fläche bzw. mit dem Volumen, wenn b gegen unendlich strebt? Copyright by H. Sporenberg

Analysis Unendliche Fläche und endliches Volumen Die Fläche, die die Funktion f(x) = 1/x in den Grenzen von 1 bis b (b>1) mit der x-Achse bildet, rotiert um die x-Achse. Was passiert mit der Fläche bzw. mit dem Volumen, wenn b gegen unendlich strebt? Copyright by H. Sporenberg

Analysis Unendliche Fläche und endliches Volumen Copyright by H. Sporenberg

Analysis Unendliche Fläche und endliches Volumen Jetzt muss jeweils der Limes gebildet werden Man sieht: Die Fläche ist unendlich, die Rotation der unend-lichen Fläche ergibt jedoch ein endliches Rotations-volumen Copyright by H. Sporenberg

Analysis 1.Klausur 1.Aufgabe: Gegeben ist die Funktion fk für k R+ durch a) Zeigen Sie, dass fk die Nullstelle xN1 = - 2k hat. Berechnen Sie die weiteren Nullstellen! b) Berechnen Sie die Extrem- und Wendepunkte des Schaubilds von fk. c) Berechnen Sie die Gleichung der Wendetangenten. Für welches k geht diese Wendetangente durch den Punkt P(2 / 0)? d) Auf welcher Ortskurve liegen alle Hochpunkte? e) Zeigen Sie, dass sich zwei verschiedene Kurven dieser Schar stets in genau einem Punkt schneiden. f) Zeichnen Sie die Graphen für k = 1 und k = 1,5 sowie den Graphen der Ortskurve aus d) im Bereich von -3 bis 3. Copyright by H. Sporenberg

Analysis 1.Klausur 1.Aufgabe: Setzt man in die Funktionsgleichung x = - 2k ein, so erhält man den Wert 0. Weitere Nullstellen bekommt man, indem man den Funktionsterm durch x – (-2 k) teilt. Dies ergibt 1/3 (x – k)2. Die zweite Nullstelle ist demnach xN2 = k b) Setzt man den Term für die 1. Ableitung gleich Null, so ergeben sich zwei x-Werte: x = -k und x = k. Überprüft man mit Hilfe der 2. Ableitung, so ist: fk‘‘(-k) = - 2 k und fk‘‘(k) = 2 k. Da k>0 vorausgesetzt, ergibt sich HP(-k ; 4/3 k3) und TP(k ; 0) Der Wendepunkt ergibt sich zu WP(0 ; 2/3 k3) Copyright by H. Sporenberg

Analysis 1.Klausur 1.Aufgabe: c) Wendetangente: Die Steigung ist fk‘(0) = -k2 Der Wendepunkt ist: WP(0 ; 2/3 k3). Damit lautet die Gleichung: y = -k2 x + 2/3 k3 Die Wendetangente geht für k = 3 durch den Punkt P(2/0). d) Die Ortslinie für die Maxima erhält man, indem man den Parameter k in den beiden Gleichungen für die Koordinaten des HP eliminiert. x = -k und y = 4/3 k3. Daraus ergibt sich dann: y = -4/3 x3. e) Setzt man die Funktionswerte für zwei verschiedene Werte k1 und k2 gleich, so ergibt sich für die x-Koordinate: Copyright by H. Sporenberg

Analysis 1.Klausur k=1 k=1.5 Ortsk. Copyright by H. Sporenberg

Analysis 1.Klausur 2.Aufgabe: a) Eine ganzrationale Funktion 3. Grades geht durch den Nullpunkt des Koordinatensystems. Sie hat in P(1/1) ein Maximum und in Q(3/y) einen Wendepunkt. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung! b) Welche Beziehung muss zwischen b und c bestehen, damit eine ganzrationale Funktion 3. Grades mit f(x) = x3 + b x2 + c x + d einen Hoch- und einen Tiefpunkt besitzt? Copyright by H. Sporenberg

Analysis 1.Klausur 2.Aufgabe: a) Ansatz: f(x) = a x3 + b x2 + c x +d Setzt man die vorgegebenen Bedingungen ein, so erhält man: 1. O(0/0) ist Punkt des Graphen: f(0) = d = 0 2. P(1/1) ist Punkt des Graphen: f(1) = a + b + c + d = 1 3. P(1/1) ist Extremum: f‘(1) = 3 a + 2 b + c = 0 4. Q(3/y) ist Wendepunkt: f‘‘(3) = 18 a + 2 b = 0 Es bleibt ein Gleichungssystem mit 3 Variablen übrig ( d=0). Löst man dieses, so ergeben sich folgende Werte für die Variablen Copyright by H. Sporenberg

Analysis 1.Klausur Copyright by H. Sporenberg

Analysis 1.Klausur 2.Aufgabe: b) Ansatz: f(x) = x3 + b x2 + c x +d Man berechnet mit Hilfe der 1. Ableitung die Extremstellen. Diese ergeben sich zu: Der Term unter der Wurzel muss größer Null sein. Also: b2 – 3 c > 0  b2 > 3c Copyright by H. Sporenberg

Analysis b2 = 3 c b2 > 3 c b2 < 3 c 1.Klausur 2.Aufgabe: b) Copyright by H. Sporenberg

Analysis 1.Klausur 3.Aufgabe: a) Ein gleichseitiges Dreieck hat die Seitenlänge a = 10 cm. In dieses Dreieck ist ein Rechteck einbeschrieben (dabei liegt eine Seite des Rechtecks auf einer Dreiecksseite). Welche Längen müssen die Rechteckseiten haben, damit der Flächeninhalt des Rechtecks maximal wird? Geben Sie auch den Flächeninhalt an! (Ordentlich beschriftete Skizze) Copyright by H. Sporenberg

Analysis 1.Klausur 3.Aufgabe: a) Die Fläche berech-net sich wie folgt: A(x,y) = 2 x y Mit Hilfe des Pythagoras kann die Höhe des Dreiecks bestimmt werden: Copyright by H. Sporenberg

Analysis 1.Klausur 3.Aufgabe: a) A(x,y) = 2 x y Q(x/y) liegt auf der Geraden mit der Gleichung: Ersetzt man in der Flächenfunktion A(x,y) = 2 x y die Variable y durch die Nebenbedingung, so erhält man: Dieses ist die Zielfunktion Copyright by H. Sporenberg

Analysis 1.Klausur 3.Aufgabe: a) Bestimmt man mit der 1. Ableitung die Extremstelle, so ergibt sich: x = 5/2. Die Überprüfung von A‘‘(x) ergibt: Damit handelt es sich um ein Maximum. Für die andere Seite y ergibt sich:  4,33013 Die maximale Fläche ist dann:  21,6506 Copyright by H. Sporenberg

Analysis 1.Klausur 3.Aufgabe: b) Der Querschnitt einer oben offe-nen Rinne ist ein Rechteck mit unten angesetztem Halbkreis. Wie sind die Abmessungen zu wählen, damit bei gegebener Querschnittsfläche QF der Blech-verbrauch einer 1 m langen Rinne ein Minimum annimmt? (Ordent-lich beschriftete Skizze) Copyright by H. Sporenberg

Analysis 1.Klausur 3.Aufgabe: b) Die Höhe des aufgesetzten rechteckigen Körpers sei y und die Länge 2 x (günstig, da so für den Radius des angesetzten Halbkreises gilt: r = x). Die Quer-schnittsfläche (kurz: QF) besteht aus einem Halbkreis und einer Rechtecksfläche Verbrauch(x,y) = 2 * y * 1 + 2 *  * x * 1 /2 Die kursive 1 steht für die Länge der Rinne Copyright by H. Sporenberg Die Nebenbedingung lautet: QF = 2 x y +  x2 / 2

Analysis 1.Klausur 3.Aufgabe: b) Verbrauch(x,y) = 2 * y * 1 + 2 *  * x * 1 /2 Die Nebenbedingung lautet: QF = 2 x y +  x2 / 2 Löst man nach y auf (nach x wäre wegen der quadratischen Gleichung ungünstig), so ergibt sich Ersetzt man y in der Funktion Verbrauch(x,y) durch den oben angegebenen Term, so erhält man als Zielfunktion: Copyright by H. Sporenberg

Analysis 1.Klausur 3.Aufgabe: b) Mit der Bedingung Verbrauch‘(x)=0, erhält man Die negative Lösung fällt raus, da x als Länge immer positiv sein muss. Setzt man die zweite Lösung in Verbrauch‘‘(x) zur Überprüfung des Extremums ein, so ergibt sich: Dieser Term ist positiv, also handelt es sich um ein Minimum. Copyright by H. Sporenberg

Analysis 1.Klausur 3.Aufgabe: b) Jetzt müssen noch die beiden Werte y und der minimale Verbrauch berechnet werden. Hier ergibt sich jedoch verblüffenderweise für y: y = 0. D.h., die Rinne besteht nur aus dem halboffenen Zylinder. Copyright by H. Sporenberg

Analysis Vorbereitung auf die 2.Klausur Diskussion einer gebrochen-rationalen Funktion 1.Definitionsmenge: Ausgeschlossen müssen die Werte, für die der Nenner 0 wird. Dies gilt für: x=0, x=2, x=-2. 2.An den Stellen x=2 und x=-2 befinden sich Polstellen mit Vorzeichenwechsel. Bei x=0 ist eine behebbare Definitionslücke. Der Funktionswert an der Stelle ist f(0)= -1/4. 3.Für x 0 kann man den Funktionsterm kürzen und man erhält: Bei der weiteren Untersuchung geschieht dies mit dieser Funktion. 4.Symmetrie: Da die Zähler- und Nennerfunktion gerade Funktionen sind, ist der Graph symmetrisch zur y-Achse. Copyright by H. Sporenberg

Analysis Vorbereitung auf die 2.Klausur 5. Extremwerte: Diskussion einer gebrochen-rationalen Funktion 5. Extremwerte: Es ergibt sich: x=0, dieses ist aber wegen des eingeschränkten Definitionsbereich ausgeschlossen. 6. Wendepunkte: Es müsste gelten: 6 x2 + 8 = 0, dieses ist aber nicht erfüllbar, daher gibt es keine Wendestellen Copyright by H. Sporenberg

Analysis Vorbereitung auf die 2.Klausur Diskussion einer gebrochen-rationalen Funktion Copyright by H. Sporenberg

Analysis 2.Klausur 1.Aufgabe: a) Bestimmen Sie folgende Integrale: I) II) III) IV) b) Bestimmen Sie den Flächeninhalt, den der Graph mit der Funktionsgleichung mit der x-Achse einschließt. c) Bestimmen Sie die Fläche, die die beiden Graphen der Funktionen f(x) = x3 + x2 – x und g(x) = 2 x2 +x einschließen. Copyright by H. Sporenberg

Analysis 2.Klausur 1. Aufgabe Lösung b) Als erstes müssen die Nullstel-len bestimmt werden. Es sind: N1(0/0) N2(3/0) N3(5/0). Die gesamte Fläche besteht aus zwei Teilflächen. Copyright by H. Sporenberg

Analysis 2.Klausur 1. Aufgabe Lösung Copyright by H. Sporenberg

Analysis 2.Klausur 1. Aufgabe c) Lösung Bestimmen der Schnittpunkte der Funktionsgraphen. Es sind: S1(-1/?) S2(/0) und S3(2/?) Es handelt sich um zwei Flächen. Copyright by H. Sporenberg

Analysis 2.Klausur 1. Aufgabe c) Lösung Copyright by H. Sporenberg

Analysis 2.Klausur 2. Aufgabe Gegeben ist eine Kurvenschar mit der Funktionsgleichung mit k>0 a) Untersuchen Sie die Kurvenschar auf Symmetrie, Nullstellen, Asymptoten, Hoch- und Tiefpunkte sowie auf Wendepunkte (die Überprüfung von f’’’ für die Wendepunkte kann entfallen). b) Bestimmen Sie die Ortskurve für den Wendepunkt mit positiver x-Koordinate. Zeichnen Sie die Graphen für k=1 und k=1/2 sowie die Ortskurve in ein Koordinatensystem für den Bereich -3  x  3. c) Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Kurven für k=1 und k=1/2. Zeigen Sie, dass keine weitere Kurve der Schar durch diesen Schnittpunkt verläuft. d) Welche Kurve der Schar erreicht für den größten y-Wert? Copyright by H. Sporenberg

Analysis 2.Klausur 2. Aufgabe Ableitungen 2.Klausur 2. Aufgabe Lösung a)Symmetrisch zur y-Achse, da gilt: fk(x) = fk(-x) Nullstellen: Zähler = 6 k  0, da vorausgesetzt k>0 Extremstellen: fk‘(x) = 0  ergibt: x = 0. Die Überprüfung von fk‘‘(0) ergibt: fk‘‘(0) = -4(3 k2) < 0. HP(0 ; 2/c) Wendestellen: fk‘‘(x)=0  x = -k v x = k Copyright by H. Sporenberg

Analysis 2.Klausur 2. Aufgabe Lösung Copyright by H. Sporenberg

Analysis Das Beweisverfahren der vollständigen Induktion Die Vollständige Induktion ist ein Beweisverfahren, mit der man eine Aussage für alle natürlichen Zahlen beweist. 1. Man beweist die Aussage zuerst für den sog. Induktionsanfang (meistens für n=0 oder für n=1). 2. Dann beweist man, dass die Aussage für n+1 gilt, wenn die Aussage für n gilt (der sog. Induktionsschluss). A(n)  A(n+1) Copyright by H. Sporenberg

Analysis Das Beweisverfahren der vollständigen Induktion Beispiel Beweise, dass die Summe der Quadratzahlen von 1 bis zu einer beliebigen Zahl n gegeben ist durch: Induktionsanfang: Die Gleichung muss bewiesen werden für n=1 Linke Seite: 12 = 1 Rechte Seite L.S. = R.S. – also ist der Induktionsanfang richtig. Copyright by H. Sporenberg

Analysis Das Beweisverfahren der vollständigen Induktion Induktionsschluss: Wir nehmen an, die Summe der ersten n Quadratzahlen ist in der Tat durch gegeben. Zu zeigen ist, dass die Summe der ersten n + 1  Quadratzahlen dann gegeben ist durch Um die Summe der Quadratzahlen von 1 bis n + 1 zu berechnen, müssen wir also zu der Formel Quadrate bis n nur noch das Quadrat von n + 1 hinzu addieren: Copyright by H. Sporenberg

Analysis Das Beweisverfahren der vollständigen Induktion Induktionsschluss: Nun prüfen wir einfach, ob die Ausdrücke und gleich sind. Am einfachsten gelingt dies, wenn wir beide Ausdrücke vollständig ausmultiplizieren. Wir erhalten für beide Terme jeweils: Damit ist die Induktionsvoraussetzung erfüllt und die Formel für die n-ersten-Quadratzahlen bewiesen. Copyright by H. Sporenberg

Analysis Definition von wichtigen Begriffen In der Mathematik bezeichnet man eine einpunktige Definitionslücke einer Funktion als Polstelle oder auch kürzer als Pol, wenn die Funktionswerte in jeder Umgebung des Punktes (betragsmäßig) beliebig groß werden. Die Funktion                       hat einen Pol 2. Ordnung bei x = 0. Die Funktion                                    hat einen Pol 3. Ordnung bei x = 2. Die Funktion                                                                                            hat für x = − 1 eine Polstelle der Ordnung 2 und für x = 1 eine Polstelle 1. Ordnung. Die Funktion                                                                                            hat für x = − 1 und x = 1 Polstellen der Ordnung 1. Copyright by H. Sporenberg

Analysis Aufgaben zum Thema Definitionslücken Gegeben ist die Funktion f mit: a) Bestimmen Sie die Definitionsmenge. b) Bestimmen Sie das Verhalten der Definitionslücken. c) Bestimmen Sie die Nullstellen. d) Wie könnte man bei dieser Funktion behebbare und nicht behebbare Definitionslücken bestimmen? Gegeben ist die Funktion f mit: a) Bestimmen Sie die Definitionsmenge. b) Bestimmen Sie die Nullstellen. c) Kürzen Sie den Funktionsterm soweit wie möglich. d) Welche Definitionslücken sind behebbar, welche nicht? Copyright by H. Sporenberg

Analysis Aufgaben zum Thema Definitionslücken Copyright by H. Sporenberg

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