„Mathematisch modellieren“ 1.Gründe für die Zurückdrängung des Anwendungsaspektes im Mathematikunterricht nach Schupp 2.Definitionen 3.Modellbilden 4.Offene und geschlossene Modelle 5.Deskriptive und normative Modelle 6.Anforderungen an einen Anwendungen berücksichtigenden Mathematikunterricht 7.Vor- und Nachteile der Modellauffassung 8.Einordnung in den Lehrplan und die Bildungsstandards 9.Eigene Entwürfe

Pervertierung des Anwendungsstandpunktes in der NS-Zeit Senkung der Wochenstundenzahl von 32 Stunden (1901) auf 24 Stunden (1954) von Klasse 5 – 10 „Vorratswirtschaft“ im MU seit Studienberechtigungsmonopol der gymnasialen Oberstufe mangelnde Abstimmung der Lehrpläne verhindert fächerverbindendes Arbeiten professionelles Selbstverständnis des Mathematiklehrers am Gymnasium Bildungsideal des Gymnasiums 1. Gründe für die Zurückdrängung des Anwendungsaspektes im Mathematikunterricht nach Schupp

„Sputnik-Schock“ (1957) führt zum Wunsch nach Modernisierung des Bildungswesens „Bourbaki-Reform“ wird von den Hochschulen in die Schulen getragen „Es kommt [...] darauf an, den Schülern für die Praxis gutes Wissen mitzugeben (nicht ist praktischer als eine gute Theorie) und eine gelöste Phantasie in der Bereitschaft, die `formalen Systeme´ der Mathematik in immer neuen Gebieten vernünftig anzuwenden.“ Meschkowski, Die Bildung des Menschen durch die moderne Mathematik, 1965 Wende: Scheitern der „Neuen Mathematik“ und Einzug der Stochastik in den MU bringt Anwendungsbezug wieder in die Diskussion und das „Modellieren“ als neuen Impuls mit

2. Definitionen

„Modellieren“ – Definitionen „Dazu gehört, [...] die Situation, die modelliert werden soll, in mathematische Begriffe [...] (zu) übersetzen, in dem [...] Modell (zu) arbeiten, Ergebnisse [...] (zu) interpretieren und zu prüfen. KMK-Bildungsstandards „Vom realen Problem ausgehend, führt der Weg [...] zum Strukturmodell, von diesem [...] zu einem mathematischen Modell und schließlich zu einer mathematischen Problemlösung, die [...] interpretiert und kritisch überprüft werden muss.“ Rahmenplan Mathematik Hamburg

Wie viel Liter Luft sind wohl in diesem Heißluftballon? Quelle: Herget, Jahnke,Kroll: Produktive Aufgaben. Cornelsen

Den besten Blick über Lüneburg hat, wer die Mühsal auf sich nimmt und den 56 Meter hohen Wasserturm erklimmt. Das im Jahre 1907 errichtete und 1985 stillgelegte neugotische Backsteinbau-werk wird derzeit für 3,5 Millionen Mark restauriert. Die Aussichtsplattform allerdings ist bereits jetzt zugänglich. Bei sehr guten Bedingungen kann der Blick 40 Kilometer weit ins Umland schweifen. Quelle: Herget, Jahnke,Kroll: Produktive Aufgaben. Cornelsen 40 Kilometer weit sehen – kann das stimmen?

FAST SO RAR WIE GUTE ARCHITEKTUR: Echt chinesische Szenerien im „internationalen“ Shanghai. Althergebrachtes chinesisches Leben findet sich, anders als in Hongkong, fast nur in besonderen Stadtteilen. Wie viel Wasser könnte der junge Mann mit seinem Fahrrad transportieren? Quelle: Herget, Jahnke,Kroll: Produktive Aufgaben. Cornelsen

3. Modellbilden 3. Modellbilden

Modellbilden als Regelkreis nach Schupp ModellKonsequenzen ErgebnisseSituation ProblemLösung Mathematik Welt nach Schupp, 1988 Modellieren Deduzieren Interpretieren Validieren

1. Daten beschaffen Vereinfachungen vornehmen Terme, Tabellen, Graphen, Skizzen, Zeichnungen, Folgen, Differenzialgleichungen,... erstellen in dem mathematischen Modell arbeiten (mathematische) Konsequenzen ableiten dabei ggf. Mathematik weiter entwickeln 3. wieder in die Ebene „Welt“ zurückwechseln innermathematische Konsequenzen vor dem Hintergrund der Situation interpretieren

4. Tragen die Informationen zur Klärung der Situation bei ? Sind die Resultate vernünftig ? Sind die Resultate vernünftig ? Ist das Ergebnis hinreichend genau ? Ist das Ergebnis hinreichend genau ? Was ergeben andere Modelle ? Was ergeben andere Modelle ? Hier gehen oft außermathematische Argumente mit ein !!! Hier gehen oft außermathematische Argumente mit ein !!!

Modellbilden nach Fischer & Malle

4. Offene und geschlossene Modelle

G eschlossene Modelle G eschlossene Modelle „GM zeichnen sich durch strenge Vorraussetzungen, ein Zurechtstutzen der Wirklichkeit, eindeutiges Kalkulieren, eindeutige Konsequenzen und das Erledigen der Frage (unter diesen Bedingungen) aus.“ „GM zeichnen sich durch strenge Vorraussetzungen, ein Zurechtstutzen der Wirklichkeit, eindeutiges Kalkulieren, eindeutige Konsequenzen und das Erledigen der Frage (unter diesen Bedingungen) aus.“

Offene Modelle: Offene Modelle: OM zeichnen sich durch vage Vorraussetzungen und das Zulassen von Alternativen, durch ihre Verbindung mit der Welt (ohne die es zu keiner Lösung kommt) und ein für Diskussionen offenes, transparentes Kalkulieren aus. OM zeichnen sich durch vage Vorraussetzungen und das Zulassen von Alternativen, durch ihre Verbindung mit der Welt (ohne die es zu keiner Lösung kommt) und ein für Diskussionen offenes, transparentes Kalkulieren aus. Offene Modelle

5. Deskriptive und normative Modelle

Deskriptive und normative Modelle Deskriptive Modelle beschreiben eine reale Situation unter vom jeweiligen modellbildenden Subjekt gemachten Annahmen, Vereinfachungen, etc. Physikalische Modelle (z.B. Berechnung von Planetenbahnen unter Reduktion auf ein Zweikörperproblem mit dem bekannten Resultat der Kegelschnittbahnen) sind z.B. deskriptive Modelle. Normative Modelle schreiben Wirklichkeit vor. „Daß 5kg Trauben gegenüber 1kg Trauben das 5fache kosten, ist nicht denknotwendig.“ (Schupp, 1988)

6. Anforderungen an einen Anwendungen berücksichtigenden Mathematikunterricht Stoffgebiete, in denen die Anwendbarkeit konstitutiv ist, sind gegenüber dem Vorratslernen von Techniken, die bei Bedarf dann doch nicht abrufbar sind, auszubauen Standardmodelle der SI-Mathematik sind herauszuarbeiten Ebenentrennung „Welt“ und „Mathematik“ ist zu thematisieren Der Prozess des Modellbildens (z.B. nach Schupp) muss mit den Schülern kumulativ erarbeitet werden: Einzelschritte durch geeignete Hilfsfragen („Kann die Antwort stimmen?“, „Kann man die Antwort verbessern?“, „Geht es auch anders?“,...) in Klasse 5/6 ausbauen zum reflektierenden Modellbilden in Klasse 10.

7. Vorteile der Modellauffassung

Trennung von außermathematischer Realität und Mathematik ermöglicht die Befreiung von ihrem „faktischen“ bzw. „naturgesetzlichen“ Charakter Trennung von außermathematischer Realität und Mathematik ermöglicht die Befreiung von ihrem „faktischen“ bzw. „naturgesetzlichen“ Charakter → Kreation von unterschiedlichen Modellen möglich Nur bestimmte Gesichtspunkte einer Situation werden betrachtet Nur bestimmte Gesichtspunkte einer Situation werden betrachtet →Modelle werden durch Komplexitätsreduktion erst handhabbar

Verschiedene Modelle mit unterschiedlichen Gesichtspunkten möglich Verschiedene Modelle mit unterschiedlichen Gesichtspunkten möglich → umfassenderes Bild der Situation möglich Trennung von Situation und Modell ermöglicht, ein Modell in verschiedenen Situationen zu verwenden Trennung von Situation und Modell ermöglicht, ein Modell in verschiedenen Situationen zu verwenden Im Modell sind Handlungen ausführbar und Beziehungen zu entdecken, die in der Situation nur schwer nachvollziehbar sind (Modelle für Atomreaktoren) Im Modell sind Handlungen ausführbar und Beziehungen zu entdecken, die in der Situation nur schwer nachvollziehbar sind (Modelle für Atomreaktoren)

7.Nachteile der Modellauffassung

Konzentration auf die Fragen innerhalb des Modells, kann dazu führen von der zugrunde liegenden Situation abzuweichen Konzentration auf die Fragen innerhalb des Modells, kann dazu führen von der zugrunde liegenden Situation abzuweichen → Gefahr der Verabsolutierung der Modellebene Modelle haben einen beschränkten Gültigkeitsbereich, es werden immer nur Ausschnitte der Wirklichkeit betrachtet Modelle haben einen beschränkten Gültigkeitsbereich, es werden immer nur Ausschnitte der Wirklichkeit betrachtet Bei der Entwicklung von umfassenderen Modellen verlässt man meist den Bereich in der die Ergebnisse noch sinnvoll sind (natürliche Zahlen) Bei der Entwicklung von umfassenderen Modellen verlässt man meist den Bereich in der die Ergebnisse noch sinnvoll sind (natürliche Zahlen)

Mathematische Modelle werden heutzutage täglich in den Medien verwendet. Diese werden häufig manipuliert. Mathematische Modelle werden heutzutage täglich in den Medien verwendet. Diese werden häufig manipuliert. →Mehrzahl der Menschen steht diesen Manipulationen hilflos gegenüber (wichtig: Zwecke und Interessen, die mit einem Modell verfolgt werden zu kennen)

8. Einordnung in den Lehrplan und die Bildungsstandards

Jahrgangsstufe 6 Jahrgangsstufe 8 Jahrgangsstufe 10 Mathematisieren übersetzen Situationen aus Sachaufgaben in mathematische Modelle (Terme, Figuren, Diagramme) übersetzen einfache Realsituationen in mathematische Modelle (Zuordnungen lineare Funk., Gleichungen, Gleichungssysteme, Zufallsversuche) übersetzen Realsituationen, insbesondere exponentielle Wachstumsprozesse, in mathematische Modelle (Tabellen, Grafen, Terme) Validieren überprüfen die im mathematischen Modell gewonnenen Lösungen an der Realsituation überprüfen die im mathematischen Modell gewonnenen Lösungen an der Realsituation und verändern ggf. das Modell vergleichen und bewerten verschiedene mathematische Modelle für eine Realsituation Realisieren ordnen einem mathematischen Modell (Term, Figur, Diagramm) eine Realsituation zu ordnen einem mathematischen Modell (Tabelle, Graf, Gleichung) eine Realsituation zu finden zu einem mathematischen Modell (insbesondere lineare und exponentielle Funktionen) passende Realsituationen

Kompetenzen

Bildungsstandards „Mathematisch modellieren“ ist eine explizite Kompetenz bei den Bildungsstandards „Mathematisch modellieren“ ist eine explizite Kompetenz bei den Bildungsstandards Aber auch alle anderen Kompetenzen werden durch das Modellbilden gefördert, da es sich um einen komplexen Vorgang handelt Aber auch alle anderen Kompetenzen werden durch das Modellbilden gefördert, da es sich um einen komplexen Vorgang handelt

9.Eigene Entwürfe 9.Eigene Entwürfe

Bürgermeister und Bürgermeisterinnen im Saarland Die Grafik zeigt das Wahlergebnis der Bürgermeisterinnen und Bürgermeister Wahlen im Saarland. Die Grafik zeigt das Wahlergebnis der Bürgermeisterinnen und Bürgermeister Wahlen im Saarland. Wie viel der Fläche des Saarlandes kann die SPD zu ihrem Zuständigkeitsbereich zählen? Wie viel der Fläche des Saarlandes kann die SPD zu ihrem Zuständigkeitsbereich zählen?

Calli auf EM-Tour Rainer Calmund, der frühere Manager des Bundesligisten Bayer Leverkusen verbrachte Anfang September fünf Nächte und sechs Tage in Kärnten. Denn Calmund ist Botschafter für den österreichischen EM-Austragungsort Klagenfurt. Rainer Calmund, der frühere Manager des Bundesligisten Bayer Leverkusen verbrachte Anfang September fünf Nächte und sechs Tage in Kärnten. Denn Calmund ist Botschafter für den österreichischen EM-Austragungsort Klagenfurt. Das Foto zeigt Rainer Calmund mit „Rock“ Wie viele der Steinplatten des Bürgersteiges könnten mit dem Stoff von Callis Rock bedeckt werden? Wie viele der Steinplatten des Bürgersteiges könnten mit dem Stoff von Callis Rock bedeckt werden? Wie viele Fußbälle kannst du maximal in die Decke einwickeln, sodass du sie alle bequem zum Sportplatz tragen kannst? Wie viele Fußbälle kannst du maximal in die Decke einwickeln, sodass du sie alle bequem zum Sportplatz tragen kannst?

Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit!