Plenum – Monotonie und Extrema Mathematik Einführungsphase Johannes-Kepler- Gymnasium Plenum

Plenum – Monotonie und Extrema Mathematik Einführungsphase Wir beginnen mit etwas wirklich ‚Spannendem‘ der Monotonie

Plenum – Monotonie und Extrema Mathematik Einführungsphase Was bedeutet monoton steigend/fallend, was war noch strenge Monotonie? streng monoton steigendmonoton steigendstreng monoton fallend Was bedeutet das für die Ableitung der Funktion?

Plenum – Monotonie und Extrema Mathematik Einführungsphase Wir fassen die Ergebnisse zusammen: Wenn eine Funktion f in einem Intervall I monoton wächst, dann gilt f'(x)  0 für alle x in diesem Intervall. Wenn eine Funktion f in einem Intervall I monoton fällt, dann gilt f'(x) ≤ 0 für alle x in diesem Intervall.

Plenum – Monotonie und Extrema Mathematik Einführungsphase Wir fassen die Ergebnisse zusammen: Wenn f'(x)  0 für alle x in einem Intervall I, dann ist die Funktion f auf diesem ganzen Intervall monoton steigend. Wenn f'(x)  0 für alle x in einem Intervall I, dann ist die Funktion f auf diesem ganzen Intervall monoton fallend. Es geht auch umgekehrt:

Plenum – Monotonie und Extrema Mathematik Einführungsphase Wir fassen die Ergebnisse zusammen: Und noch strenger: Wenn f'(x)  0 für alle x in einem Intervall I, dann ist die Funktion f auf diesem ganzen Intervall streng monoton steigend. Wenn f'(x)  0 für alle x in einem Intervall I, dann ist die Funktion f auf diesem ganzen Intervall streng monoton fallend. Ergänzung: Wenn f'(x)  0 für alle x in einem Intervall I, dann ist die Funktion f auf dem ganzen Intervall konstant.

Plenum – Monotonie und Extrema Mathematik Einführungsphase Wir fassen die Ergebnisse zusammen:

Plenum – Monotonie und Extrema Mathematik Einführungsphase Hoch- und Tiefpunkte

Plenum – Monotonie und Extrema Mathematik Einführungsphase Hochpunkte und Tiefpunkte finden f‘(2)=0 und f‘(4)=0

Plenum – Monotonie und Extrema Mathematik Einführungsphase VZW von – nach + f´(4)=0 und Vorzeichenwechsel (VZW ) von f´(x) von - nach +  Tiefpunkt (TP) bei x=4

Plenum – Monotonie und Extrema Mathematik Einführungsphase VZW von + nach - f´(2)=0 und Vorzeichenwechsel (VZW ) von f´(x) von + nach –  Hochpunkt (HP) bei x=2

Plenum – Monotonie und Extrema Mathematik Einführungsphase VZW von + nach - f(x) = x³-9x²+24x f´(x) = 3x²-18x+24 f‘(2) = 0 f‘(1) = 9 f‘(2,5) = und -2,25 f´(2)=0 und Vorzeichenwechsel (VZW ) von f´(x) von + nach –  Hochpunkt H bei x=2

Plenum – Monotonie und Extrema Mathematik Einführungsphase Beispielfunktion für Extrema f(x)=0,05(x 4 + x x 2 -16x + 32) f‘(x) = 0,05(4x 3 + 3x x - 16) f‘(-0,438)=0f‘(-1) = 19 / 20 f‘(0) = - 4 / 5 und < 0 VZW von + nach – also hat f‘ an der Stelle x 0 = -0,438 einen Hochpunkt. f(x) f‘(x) > 0

Plenum – Monotonie und Extrema Mathematik Einführungsphase Liegt in allen Fällen ein Minimum oder Maximum vor, falls f´(x 0 )=0 ? Es gilt zwar f´(1)=0, aber f´(x) hat an der Stelle x 0 = 1 keinen VZW  An der Stelle x 0 liegt ein Sattelpunkt vor! Nein !

Plenum – Monotonie und Extrema Mathematik Einführungsphase 2. Untersuche f´(x) an diesen Stellen auf VZW ! Wichtig f´(x 0 )=0 und VZW von f´(x) von - nach +  TP bei x 0 Zusammenfassung So sucht man Extrema: 1. Suche alle Stellen mit f´(x) = 0 ! Notwendig f´(x 0 )=0 und VZW von f´(x) von + nach -  HP bei x 0 f´(x 0 )=0 und kein VZW  SP bei x 0

Plenum – Monotonie und Extrema Mathematik Einführungsphase 1.Suche alle Stellen mit f´(x)=0: f´(x)= 12x x x f´(x)=0 Beispielaufgabe 0 = 12x x x │ :12  0 = x 3 - 2x 2 + x  0 = x(x 2 - 2x + 1)  0 = x(x - 1) 2 Damit ist bei x =0 eine einfache und bei x=1 eine doppelte Nullstelle von f´(x). Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= 3x 4 - 8x 3 + 6x 2, x  R

Plenum – Monotonie und Extrema Mathematik Einführungsphase 2. Untersuche f´(x) an diesen Stellen auf VZW: f‘(-1)= - 48 f‘(0,5)= 1,5 f‘(2) = VZW von – zu +  TP kein VZW  SP Beispielaufgabe

Plenum – Monotonie und Extrema Mathematik Einführungsphase Die drei Fragen: 1.Wie findet man Punkte, die als Hoch- bzw. Tiefpunkte in Frage kommen? 1.Warum ist die Bedingung f `(x) = 0 zwar notwendig, aber nicht aus reichend, um die Frage nach den Extrema zu klären? 1.Was sollte man auch untersuchen, damit man in der Beurteilung der Extrema sicher ist?

Plenum – Monotonie und Extrema Mathematik Einführungsphase Hausaufgabe Berechne die Extrema folgender Funktionen mit dem Vorzeichenwechselkriterium 1. f(x) = x 3 – 3x f(x) = x 4 + 4x + 3

Plenum – Monotonie und Extrema Mathematik Einführungsphase