Plenum Johannes-Kepler-Gymnasium Hinweis für den Lehrer: Eingangsfolie. Die Schüler nehmen Platz 1

Monotoniesatz Wir beginnen mit etwas wirklich Spannendem Monotonie

Was bedeutet monoton steigend / fallend, was ist strenge Monotonie? Monotoniesatz Was bedeutet monoton steigend / fallend, was ist strenge Monotonie? Und … was bedeutet das für die Ableitung der Funktion? streng monoton steigend konstant streng monoton fallend f´(x) > 0 f´(x) = 0 f´(x) < 0

Wir fassen die Ergebnisse zusammen: Monotoniesatz Wir fassen die Ergebnisse zusammen: Wenn eine Funktion f in einem Intervall I monoton wächst, dann gilt f'(x) 0 für alle x in diesem Intervall. Wenn eine Funktion f in einem Intervall I monoton fällt, dann gilt f'(x)  0 für alle x in diesem Intervall.

Es geht auch umgekehrt: Monotoniesatz Es geht auch umgekehrt: Wenn f'(x) 0 für alle x in einem Intervall I, dann ist die Funktion f auf diesem ganzen Intervall monoton steigend. Wenn f'(x)  0 für alle x in einem Intervall I, dann ist die Funktion f auf diesem ganzen Intervall monoton fallend.

Und noch strenger: Monotoniesatz Wenn f'(x) 0 für alle x in einem Intervall I, dann ist die Funktion f auf diesem ganzen Intervall streng monoton steigend. Wenn f'(x) < 0 für alle x in einem Intervall I, dann ist die Funktion f auf diesem ganzen Intervall streng monoton fallend. Ergänzung: Wenn f'(x) 0 für alle x in einem Intervall I, dann ist die Funktion f auf dem ganzen Intervall konstant.

Wir fassen das im Monotoniesatz zusammen:

Und noch ein paar wichtige Begriffe: Punkt meint beide Koordinaten P( x | f(x) ) also (die Stelle x | den Funktionswert y) Stelle meint nur den x-Wert, Max- , Mini-, Extremum jeweils den Funktionswert y an der Stelle. Ein Extrempunkt E ist also E(Extremstelle xE | Extremum f(xE) ) , ein Hochpunkt HP ist also H(Maximalstelle xH | Maximum f(xH) ), ein Tiefpunkt TP ist also T(Minimalstelle xT| Minimum f(xT) ) .

Wie kann man Hoch- und Tiefpunkte mit der Ableitung finden ? Hochpunkte und Tiefpunkte finden Wie kann man Hoch- und Tiefpunkte mit der Ableitung finden ? 9

Hochpunkte und Tiefpunkte finden Funktion f(x) f‘(2)=0 und f‘(4)=0 Ableitung f '(x)

und Vorzeichenwechsel (VZW ) von f´(x) von - nach + Hochpunkte und Tiefpunkte finden f´- VZW von – nach + f´(4)=0 und Vorzeichenwechsel (VZW ) von f´(x) von - nach +  Tiefpunkt (TP) bei x = 4

und Vorzeichenwechsel (VZW ) von f´(x) von + nach – Hochpunkte und Tiefpunkte finden f´- VZW von + nach - f´(2)=0 und Vorzeichenwechsel (VZW ) von f´(x) von + nach –  Hochpunkt (HP) bei x=2

und Vorzeichenwechsel (VZW) von f´(x) von + nach – Hochpunkte und Tiefpunkte finden f´- VZW von + nach - f(x) = x³ - 9x² + 24x f´(x) = 3x² - 18x + 24 f‘(2) = 0 f‘(1) = 9 > 0 ( + ) f‘(3) = -3 < 0 ( - ) f´(2)=0 und Vorzeichenwechsel (VZW) von f´(x) von + nach –  Hochpunkt (HP) bei x=2

Hochpunkte und Tiefpunkte finden Beispiel : f(x) = 0,05(x4 + x3 - 18x2 - 16x + 32) f´(x) = 0,05(4x3 + 3x2 - 36x - 16) f´(- 0,438) = 0 f´(-1) = 19/20 > 0 ( + ) f´(0) = - 4/5 < 0 ( - ) VZW von + nach – , also hat f‘ an der Stelle x0 = - 0,438 einen Hochpunkt.

Liegt immer ein Minimum oder Maximum vor, falls f´(x0)=0 ? Hochpunkte und Tiefpunkte finden Liegt immer ein Minimum oder Maximum vor, falls f´(x0)=0 ? Nein ! Es gilt zwar f´(1) = 0 , aber f´(x) hat an der Stelle x0 = 1 keinen VZW  An der Stelle x0 liegt ein Sattelpunkt vor!

So sucht man Extrema: „notwendige Bedingung“ „hinreichende Bedingung“ Zusammenfassung: Extrema finden So sucht man Extrema: 1. Suche alle Stellen mit f´(x) = 0 ! Notwendig ! 2. Untersuche f´(x) an diesen Stellen auf VZW ! Wichtig ! f´(x0) = 0 und VZW von f´(x) von + nach -  HP bei x0 f´(x0) = 0 und VZW von f´(x) von - nach +  TP bei x0 f´(x0) = 0 und kein VZW  SP bei x0 „notwendige Bedingung“ „hinreichende Bedingung“

Beispielaufgabe Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 3x4 - 8x3 + 6x2, x  R Notwendige Bedingung: Suche alle Stellen mit f´(x)=0, also f´(x) = 12x3 - 24x2 + 12x = 0  0 = 12x3 - 24x2 + 12x │ :12  0 = x3 - 2x2 + x 0 = x(x2 -2x + 1) 0 = x(x-1)2 Damit ist x = 0 eine einfache und x = 1 eine doppelte Nullstelle von f´(x).

Beispielaufgabe 2. Hinreichende Bedingung: f´(x)=0 und VZW in f´(x) Untersuche f´(x) an diesen Stellen x = 0 und x = 1 auf VZW: f‘(-1) = - 48 f‘(0,5) = 1,5 f‘(2) = 24 + - VZW von – zu +  TP + kein VZW  SP 18

Die drei Fragen: Wie findet man Punkte, die als Hoch- bzw. Tiefpunkte in Frage kommen? 2. Warum ist die Bedingung f´(x) = 0 zwar notwendig, aber nicht ausreichend, um die Frage nach den Extrema zu klären? 3. Wie berechnet man, ob eine Funktion (streng) monoton wachsend bzw. fallend ist?

Hausaufgabe  Berechne die Extrema folgender Funktionen mit dem Vorzeichenwechselkriterium: 1.) f(x) = x3 – 3x2 + 1 2.) f(x) = x4 + 4x + 3

Hausaufgaben:  Stunde 1. Ohne Buch 2. Im Buch EdM EP-NRW: BASICs Berechne die Extrema folgender Funktionen mit dem Vorzeichenwechselkriterium: f(x) = 2x3 – 9x2 + 12x – 4 f(x) = 4x3 – 2x2 + x Gib auch jeweils die Intervalle an, in denen die Funktion (streng) monoton steigt bzw. fällt. S. 162 Aufg. 4 S. 163 Aufg. 6, 7, 9, 10 S. 164 Aufg. 13, 14 TOPs f(x) = (x2 – 1)2 f(x) = 0,2x5 – 0,5x4 – x3 S. 162 Aufg. 2 S. 163 Aufg. 9 Literatur S. 154 ff

Lösungen : Berechne die Extrema folgender Funktionen mit dem Vorzeichenwechselkriterium: a) f(x) = 2x3 – 9x2 + 12x –4 H (1/1), T (2/0) b) f(x) = 4x3 – 2x2 + x keine Extrempunkte c) f(x) = (x2 – 1)2 H (0/1), T1 (-1/0), T2(1/0) d) f(x) = x5 – 4x4 – 4x3 H (0/0), T1 (2,82/-138,04), T2 (-0,42/-0,78)