School of Engineering Kapitel 5: Stossantwort und Frequenzgang SiSy, Rumc, 5-1 Referenzen Martin Meyer, „Signalverarbeitung“, 2. Auflage, Vieweg, Martin Werner, „Signale und Systeme“, Vieweg, Analoges System Ein System transformiert ein Eingangs- in ein Ausgangssignal. Die Systemfunktion f(.) beschreibt das System-Verhalten. x(t) System y(t) y(t) = f(x(t))

School of Engineering System-Klassifizierung SiSy, Rumc, 5-2 Linearität / Superpositionsprinzip x(t) = k 1 ·x 1 (t) + k 2 ·x 2 (t) => y(t) = k 1 ·f(x 1 (t)) + k 2 ·f(x 2 (t)) = k 1 ·y 1 (t) + k 2 ·y 2 (t) Linearkombination von Eingangssignalen Linearkombination von zugehörigen Ausgangssignalen Beispiel 1: x(t) = y 1 (t) + y 2 (t) lineares System Beispiel 2: neue Frequenzen ! x(t) nicht-lineares System ≠ y 1 (t) + y 2 (t) „Kunstgriff“ Linearisierung im Arbeitspunkt (Beispiel: Kleinsignal-Ersatzschaltbild)

School of Engineering System-Klassifizierung SiSy, Rumc, 5-3 Zeitinvarianz Systemeigenschaften ändern sich zeitlich nicht LTI-Systeme linear, time-invariant systems wichtige Unterklasse der linearen Systeme wir fokussieren uns auf LTI-Systeme und lernen mächtiges mathematisches Instrumentarium kennen lineares System x(t) x(t-t 0 ) y(t) y(t-t 0 ) t x(t) = ε(t) x(t-t 0 ) = ε(t-t 0 ) t y(t) y(t-t 0 ) t0t0 t0t0

School of Engineering System-Klassifizierung SiSy, Rumc, 5-4 Kausalität Ein kausales System reagiert erst dann mit einem Ausgangssignal, wenn ein Eingangssignal anliegt. Die Stossantwort von kausalen Systemen verschwindet für t<0. Technisch realisierbare Systeme sind kausal ! kausales System δ(t) t h(t) t Stabilität zweckmässige Definition: Bounded Input => Bounded Output Ix(t)I ≤ A Iy(t)I ≤ B 0

School of Engineering Stoss- bzw. Impulsantwort SiSy, Rumc, 5-5 Definition Stoss- bzw. Impulsantwort h(t) System-Antwort auf Anregung mit allen Frequenzkomponenten LTI- System x(t) = δ(t) t y(t) = h(t) t t x(t) LTI- System y(t) = x(t) * h(t) Die Stossantwort h(t) beschreibt ein LTI-System vollständig Ausgangssignal = Faltung von Eingangssignal mit der Stossantwort Beweis siehe nächste Folie

School of Engineering t x(t) t x(0)·δ(t) t x(t 0 )·δ(t-t 0 ) LTI- System x(t) = Superposition von ∞-vielen, zeitverschobenen und gewichteten Dirac-Stössen t x(0)·h(t) t0t0 t x(t 0 )·h(t-t 0 ) t0t0 y(t) = x(t) * h(t) = h(t) * x(t) Faltungsintegral Herleitung der Faltung SiSy, Rumc, 5-6 LTI- System LTI- System Zeitinvarianz Definition

School of Engineering Beispiel 1: Faltung SiSy, Rumc, 5-7 t h(t) t x(t) 1 τ x( τ ) 1 t0t0 x(τ)·h(t 0 -τ) t y(t) = x(t) * h(t) 1 t0t0 y(t 0 ) LTI- System 1. Verschiebung von h(τ) um t 0 => h(τ-t 0 ) 2. Zeitumkehr bzw. Faltung => h(-(τ-t 0 )) = h(t 0 -τ) 3. Integration des Produkts x(τ)·h(t 0 -τ) => y(t 0 ) = gelbe Fläche Schrittantwort eines RC-Tiefpass-Filters 1. Ordnung „Stossantwort“„Faltung“

School of Engineering Beispiel 2: Faltung SiSy, Rumc, 5-8 BIBO-stabiles System Ix(t)I ≤ A Iy(t)I ≤ B 0 Bestimmung des Ausgangssignals mit der Faltung Die Stossantwort eines stabilen Systems ist absolut integrierbar. Frequenzgang H(f) und Übertragungsfunktion H(s) existieren. Stossantwort eines stabilen Systems

School of Engineering Frequenzgang SiSy, Rumc, 5-9 x(t)*h(t) ○-● X(f)·H(f) LTI- System y(t) = x(t) * h(t) x(t) Faltungstheorem der Fouriertransformation Zeitbereich Stossantwort h(t) ○-● Frequenzbereich X(f) Frequenzgang H(f) Y(f) = X(f) · H(f) h(t) und H(f) bzw. H(s) sind ein Fourier- bzw. Laplace- Paar. h(t): Stossantwort, H(f): Frequenzgang, H(s): Übertragungsfunktion

School of Engineering Frequenzgang SiSy, Rumc, 5-10 Amplitudengang IY(f)I = IX(f)I · IH(f)I Phasengangφ Y (f) = φ X (f) + φ H (f) f 0 -Komponente X(f 0 ) des Eingangssignals x(t) LTI-System multipliziert Amplitude IH(f 0 )I LTI-System dreht Phase um φ H (f 0 ) Ein LTI-System generiert keine neuen Frequenzen die nicht schon im Eingangssignal vorhanden sind im Gegensatz zu einem nicht-linearen System (neue Frequenzen!) LTI- System cos(2π·f 0 ·t) IH(f 0 )I·cos(2π·f 0 ·t + φ(f 0 ))

School of Engineering Frequenzgang SiSy, Rumc, 5-11 Beispiel RC-Tiefpass-Filter 1. Ordnung Amplitudengang IH(f)I Phasengang φ H (f) -3dB - 6 dB / Oktave - 20 dB / Dekade - 6° - 45° = / (2π) Stossantwort Frequenzgang dB

School of Engineering Schrittantwort SiSy, Rumc, 5-12 LTI- System δ(t) t h(t) t t ε(t) 1 LTI- System t y(t) Stossantwort Schrittantwort 1 bzw. h(t) = dy(t) / dt E(s) = 1/sY(s) = (1/s)·H(s)