Innermathematisches Experimentieren an der Fachmittelschule Torsten Linnemann

2 Aufbau Fachmittelschule Interventionsstudie Experimentieren im Mathematikunterricht Treppenzahlen - Reihenfolgezahlen Kategoriensystem Quantitative Auswertungen – Experimentieren und Persönlichkeitsmerkmale Erfolgsstrategien beim Experimentieren Weitere Arbeit

Torsten Linnemann3 Die Fachmittelschule in der Schweiz Zubringer für Ausbildung zur Pflegefachperson, zur Primarlehrpersonen u.a.m. 4 Schwerpunkte: Pädagogik, Gesundheit, Soziales, Kunst 3 Jahre: 10. Klasse – 1. FMS; 11. Klasse – 2. FMS; 12. Klasse – 3. FMS Abschluss Fachmittelschulausweis; 1 Zusatzjahr – Fachmatur: Zulassung für Fachhochschulen (z.B. Pädagogik) Hintergrundidee: Didaktik für die Fachmittelschule – Entwicklungsprojekt Heute: Schwerpunkt auf einer Interventionsstudie (je eine 1., 2. und 3. Klasse der FMS)

Torsten Linnemann4 Innermathematisches Experimentieren (Leuders, Naccarella, Philipp, JMD, 2011) «Das Hypothesenbilden und Hypothesenprüfen, welches sich in einem konkreten Phänomenbereich an Beispielen vollzieht – nach Peirces also das abduktive und induktive Vorgehen – wird im Folgenden als Innermathematisches Experimentieren bezeichnet.» Die streng dargestellte Mathematik ist eine systematische deduktive Wissenschaft, aber Mathematik im Entstehen ist eine experimentelle, induktive Wissenschaft (Polya 1949) Kompetenz: Problemlösen

Torsten Linnemann5 Deduktion, Induktion und Abduktion (Peirce 1969, nach Leuders et al 2011) «Die Abduktion bezeichnet den Vorgang, bei dem eine erklärende Hypothese gebildet wird. Mit Induktion wird der gegenläufige Prozess des Hypothesenprüfens am Phänomen bzw. am Beispiel benannt. Bei der Deduktion wird durch logische Schlussfolgerungen eine Vermutung bewiesen. In diesem Sinne ist die Deduktion nicht erkenntniserzeugend, der kreative Akt beim Erkenntnisgewinn liegt in der Abduktion.»

Torsten Linnemann6 Solving inductive Reasoning Problems in Mathematics (Haverty, Koedinger, Klahr, Abigalt, Cognitive Science, 2000) Drei Aspekte: -Data Gathering -Pattern Finding -Hypothesis Generation Interventionsstudie zu quadratischen Funktionen. Wichtig: -Wechsel zwischen drei Aspekten -Gleichgewicht -Reflexion

Torsten Linnemann7 Mathematisches Experimentieren als Suche in 3 Räumen (Leuders et al 2011) Beispielraum, Strategieraum, Hypothesenraum. Erweiterung von Klahr und Dunbar (SDDS, 1988) Interviews mit Studierenden und PrimarschülerInnen, Grounded Theory. Entwicklung eines Kategoriensystems zum experimentellen Arbeiten Meine Untersuchung: Halbstündige schriftliche Bearbeitung einer Lernumgebung in drei FMS-Klassen, Interview mit 6 Schülerinnen und Schülern, Fragebogen -Prüfung des Kategoriensystems -Quantitative Untersuchung: Persönlichkeitsmerkmale und exp. Verhalten -Erfolgsstrategien

Torsten Linnemann8

9 Beispielraum Reihenfolgebeispiel Hypothesenraum Beispielorientierte Hypothese Strategieraum? Gruppierung

Torsten Linnemann10 Begründung Gegenbeispiel Neues Reihenfolgebeispiel Zeit reichte nicht für Hypothese

Torsten Linnemann11 Hypothese mit Bestätigungsbeispiel, operative Begründung

Torsten Linnemann12 Typische, verallgemeinerbare, Hypothese – Folgehypothese, Bestätigungsbeispiel

Torsten Linnemann13 Häufigste Codes bei 57 Arbeiten CodeAlle CodingsDokumente Beispielorientierte Hypothese12353 Reihenfolgebeispiel8944 Bestätigungsbeispiel4828 Gruppenbildung4323 Beispiel generieren3323 Folgehypothese3018 Hypothese formulieren2516 Begründung1611 Aufgabe reflektieren115 Gegenbeispiel117 Spezifizierungshypothese109 Hypothese verwerfen66 Ein neuer Code: Aufgabe reflektieren Häufig: Reihenfolgebeispiel, Gruppierung

Torsten Linnemann14 Quantitative Auswertung Kategoriensystem zu drei Variablen zusammengefasst Gesamtzahl der Beispiele (GesBsp, Beispielraum) sortierte Beispiele (sort Bsp, Strategieraum) Hypothesen mit Gewichtung (HypmitGew, Hypothesenraum) Fragebogen Pisa-Skalen: Allgemeine Selbstwirksamkeit, schulische Selbstwirksamkeit, mathematische schulische Selbstwirksamkeit, mathematikaufgabenbezogene Selbstwirksamkeit Einzelfragen: Motivation in Mathematik, Einsatz des mathbu.ch (konstruktivistisches Lehrmittel)

Torsten Linnemann15 Strategieraum (sort Bsp) und mathematische Selbstwirksamkeit r=0.663, Signifikanz Aber, Gesamtuntersuchung: r=0.18, Signifikanz 0.192

Torsten Linnemann16 Auswertung 2. Klasse, n=16 Korrelationen 2. Klasse Ges.bspsort BspHypmitgewicht allg_selbstw Korrelation nach Pearson **.002 Signifikanz (2-seitig) Schule_selbstw Korrelation nach Pearson **.276 Signifikanz (2-seitig) Math_selbstwirk Korrelation nach Pearson.568 *.663 **.495 Signifikanz (2-seitig) Mathaufg_selbstw Korrelation nach Pearson Signifikanz (2-seitig) **. Die Korrelation ist auf dem Niveau von 0,01 (2-seitig) signifikant. *. Die Korrelation ist auf dem Niveau von 0,05 (2-seitig) signifikant.

Torsten Linnemann17 3. Klasse, typisches Bild r=0.538 Signifikanz Positive Ausreisser dominieren das Bild in 3. Klasse – Nähere Untersuchung der erfolgreichen Personen Erfolgsbedingung: viele Punkte bei Hypothesen mit Gewicht

Torsten Linnemann18 Erfolgsbedingung: Hypothesenbildung Erfolg: 3 oder mehr bei Hypothesen mit Gewicht. Auffällig: zwischen 20 und 40 Beispielen - Haverty

Torsten Linnemann19 Erfolgreiche Bearbeitungen, Beispiel Systematisch von 1 bis 21 alle Treppenzahlen finden Gruppieren Hypothesen bilden Arbeitsteilung, mit Leitung Hypothesenbildung aber individuell

Torsten Linnemann20 Erfolgshypothese Teilbarkeitsbedingung 3_06 "Wenn man eine Zahl durch Anzahl Stellen, die man will, rechnet, bekommt man die Mitte der Treppe. (Ad hoc Hypothese) Will man z.B. ungerade (3) Stellen und erhält keine natürliche Zahl, so kann man keine Treppe bilden. Beispiel: 12:3=4=Mitte 3+4+5"(Bestätigungsbeispiel) ( …) "25:5=5=Mitte Will man gerade Zahl als Anzahl Stellen, Beispiel 4 Stellen x+y+Z+D (Folgehypothese), so gibt das bei /4=5, 5 ist die Mitte der dritten und der zweiten Zahl" (Bestätigungsbeispiel) 3_07 präzisiert den Sachverhalt: "bei einer ungeraden Anzahl Treppen muss ich eine natürliche Zahl erhalten und bei einer gera­ den Anzahl Treppen muss ich eine Dezimalzahl (..,5) erhalten, um eine Treppe zu erhalten." Erfolgsstrategie: -Gemeinsame Beschäftigung mit der Idee einer Person. -Verallgemeinerung einer Hypothese, die zunächst nur für Spezialfälle gilt. -Wechseln zwischen den 3 Räumen, um sich die abschliessende Hypothese zu erarbeiten

Torsten Linnemann21 Erfolgsstrategie sortierte Beispiele Erfolgsstrategie: - Mit sortierten Beispielen beginnen - Diese intensiv untersuchen - Nicht unzulässig verallgemeinern

Torsten Linnemann22 Hinweise für weitere Arbeit -sensiblere Skalen für Befragung -Lernwegbegleitung -Fachsprache -Engagement (keine Langeweile…) -Anlegen einer breiten Datenbasis -Beispiele strukturieren, diese intensiv untersuchen. -Häufiger Wechsel zwischen den 3 Räumen -Reflexivität, während der Bearbeitung die Ansätze wechseln -Ansatz tief untersuchen, Verallgemeinerung versuchen Gute Strategien

Torsten Linnemann23 Vielen Dank für die Aufmerksamkeit

Torsten Linnemann24 3. Klasse, mathbu.ch anschlussfähig an coactiv – konstruktivistische Beliefs von Lehrpersonen wirken positiv auf Erfolg. Bei weiteren Untersuchungen: auf Lernwegbegleitung achten

Torsten Linnemann25 Arbeit ohne Beispiel, ohne Hypothese Im Interview: - Hypothese: je grösser die Zahl, desto mehr Möglichkeiten (Test mit kleiner, 3, und grosser Zahl, 21.) - In 2 er Treppen: durch 2 teilen. (aber vorab Schwierigkeiten, zwei Zahlen zu finden, die zusammen 23 geben.) - 2er Potenzen mit Anleitung des Interviewers

Torsten Linnemann26 Resultate von COACTiV (Kunter, 2011) Transmissive Überzeugungen von Lehrkräften korrelieren negativ mit Lernerfolg (-.24), konstruktive positiv (.32) (Seite 248) Andererseits: praktisch keine kognitive Aktivierung durch Aufgaben (Seite 127) Kunter, M. und Baumert, J. Et al (2011): Professionelle Kompetenz von Lehrkräften. Waxmann: Münster Plan: Lernumgebungen (nach Wittmann) auch auf der Sekundarstufe II, namentlich an der Fachmittelschule, etablieren.

Torsten Linnemann27 Lernumgebungen Lernumgebungen sind reichhaltige und vielfältige Aufgabenstellungen, die allen Kindern zu einem Thema des Mathematikunterrichts einen Einstieg anbieten und zusätzliche Bearbeitungsmöglichkeiten für alle Fähigkeitsstufen offerieren. Krauthausen, G und Scherer, P(2007): Einführung in die Mathematikdidaktik. Spektrum: Heidelberg

Torsten Linnemann28 Kriterien (Krauthausen, 2007) Die Lernaufgabe oder Problemstellung muss so beschaffen sein, dass möglichst alle Schülerinnen und Schüler einen Zugang haben. Es soll eine Vielfalt an Lösungsideen und Lösungswegen möglich sein, die auch auf verschiedenen Darstellungsstufen realisiert werden können und eine gestalterische Freiheit bieten. Die Lernenden sollen die Möglichkeit haben, selber Entscheide zu treffen, zu spekulieren, Hypothesen aufzustellen und diese zu überprüfen. Die Aufgaben sollen zum Fragen, zum Diskutieren und Kommunizieren anregen. Staunen und Spass, sowie Überraschungseffekte dürfen nicht ausbleiben. Eine Lernumgebung muss immer genügend Zeit und Raum in Anspruch nehmen können.

Torsten Linnemann29 Beispiel mathbu.ch 8

30 Beispiel Projekt Lernumgebungen Hengartner/Wälti (Idee S. Tschopp, E. Hengartner) Auf der Mal-Tafel gibt es verschiedene interessante Strukturen zu entdecken und zu nutzen. 1. Wähle eine Struktur aus A bis E und überprüfe das entsprechende Beispiel. 2. Berechne weitere Beispiele. 3. Beschreibe und begründe deine Feststellungen. A Produkte von nebeneinander liegenden Feldern einer Zeile Beispiel: 31 = 3 zu 42 = 8 zu 53 = 15 BProdukte von übereinander liegenden Feldern einer Spalte. Beispiel: 106 = 60 zu 97 = 63 zu 88 = 64 usw. CDie vier Eckfelder eines Rhombus: Die Summe der nebeneinander liegenden Felder mit der Summe der beiden Felder oben und unten Beispiel: = = = = 59 DDie Summe der Produkte der vier direkten Nachbarfelder eines Feldes. Dabei wird jeweils die Summe der gegenüberliegenden Felder gebildet. Beispiel: = = = = 42 EDie Differenz der Produkte in Feldern, die zur Mittelachse symmetrisch liegen Beispiel:39 – 28 = 27 – 16 = – 18 = 30 – 8 = 22

Torsten Linnemann31 Aktivierende Lernumgebungen FMS - Entwurf von Lernumgebungen für die FMS - Anschlussfähigkeit an Sekundarstufe I (mathbu.ch) - Anschlussfähigkeit an Lehrpersonenausbildung PH FHNW Ziele: - Selbstwirksamkeitsüberzeugung Schülerinnen und Schüler verbessern - nachhaltiges mathematisches Fachwissen für Schülerinnen und Schüler

Torsten Linnemann32 Schwerpunkte - Verankerung im Curriculum - Mitdenken von Tests - Einstieg für alle - experimentelles Denken im Mathematikunterricht

Torsten Linnemann33 Lernumgebung Binomische Formeln

Torsten Linnemann34 Lernumgebung Binomische Formeln

Torsten Linnemann35 Curriculare Einbindung

Torsten Linnemann36 Test?

Torsten Linnemann37 Empirie Ist zentral. Bislang: Fragebogen mit drei FMS-Klassen, Untersuchung einer zweiten Lernumgebung auf experimentelles Verhalten. Ein Resultat Fragebogen: Keine Korrelation zwischen - Selbstwirksamkeitsüberzeugung in Mathematik und Einsatzhäufigkeit mathbu.ch - Einschätzung Können in Mathematik und Einsatzhäufigkeit mathbu.ch Neuer Schwerpunkt: Lernwegbegleitung – Victor Müller, Begabungsförderung