Universität des Saarlandes FR 6.1 Mathematik Mathematik und ihre Didaktik Seminar: Didaktik III – GTR im Mathematikunterricht Dozentin: Pia Scherer, StRin

Gliederung Einordnung in den Lehrplan Arbeitsphase Auswertung und Reflexion der Aufgaben Jessica Grün

Einordnung in den Lehrplan Lernvoraussetzungen: Grundfunktionen:  Lineare Funktionen (Klasse 7)  Quadratische Funktionen / Potenzfunktion (Klasse 9)  Sinusfunktion (Klasse 10) Definition der Monotonie / Monotonie von Potenzfunkt- ionen (Klasse 9) Ableitung von Funktionen (Klasse 10) Jessica Grün

Einordnung in den Lehrplan G – Kurs und E- Kurs (1. Halbjahr):  Ganzrationalen und gebrochenrationale Funktionen  Höhere Ableitungen  Monotoniekriterium  Extremstellenkriterium (hinreichend / notwendig)  Krümmungskriterien sowie Wendepunkte und deren Kriterien  Analyse von Funktionen und Graphen Jessica Grün

Arbeitsphase 1. Bearbeitung der Aufgaben 2. Reflexion über Mehrwert der Aufgaben durch GTR – Einsatz vs. Bearbeitung der Aufgaben ohne GTR 3. Rolle des GTRs 4. Mathematischen Kompetenzen Bearbeitungszeit: 60 min Jessica Grün

Aufgabe 1: Jessica Grün Die Funktions- plots sind Darstell- ungen der jeweiligen Funktionsgraphen bzw. Funktionen. Wie „richtig“ sind sie jeweils? 2. Lassen sich diese Darstellungen ver- bessern? Ggf. wie? Begründe deine Wahl der Einstellung. 3. Wie bist du in 2. Vorgegangen? Welche Probleme musstest du meistern? 4. Sind die in 2. gefundenen Funktionsplots ausreichend zur Darstellung der inter- essierenden bzw. „wesent- lichen“ Eigenschaften oder sind u.U. noch Erläuter- ungen erforderlich? Ggf. welche? a) b) c) d) e) f) Modifiziert entnommen aus: Hischer, Horst: Funktionenplotter: Simulation von Funktionen-Möglichkeiten und Grenzen, Aliasing, Arbeitsblatt zu einer Mathematik-Fortbildungsstaffel für Gymnasien im November 2003 (Harzburg, Neustadt am Rübenberge, Cloppenburg):Neue Medien. Neue Aufgaben: Modellbildung, Simulation und (Taschen-)Computer im Mathematikunterricht.( Teil b) und f) stammt aus: Griesel, Heinz et al., Hg., Elemente der Mathematik. Gesamtband SII. Mathematik mit neuen Technologien, S.170, Nr.15; Teil a) und e) stammt von: Scherer, Pia.

Auswertung und Reflexion der Aufgaben Aufgabe 1: a) : auf den 1. Blick scheint es sich um eine Gerade zu handeln, die der x – Achse entspricht ABER: Die Fkt.gleichung lässt erkennen, dass es sich um eine Ursprungsgerade mit der (geringen) Steigung handelt Jessica Grün

Auswertung und Reflexion der Aufgaben Aufgabe 1: a) - durch Zoomen wird die un- günstige Fenstereinstellung verbessert - wähle z.B. folgendes Intervall: - mehrere Möglichkeiten zur Wahl der Intervall- grenzen Jessica Grün

Auswertung und Reflexion der Aufgaben Aufgabe 1: b) : - der Graph ist scheinbar eine Gerade ABER: Fkt.gleichung besagt, dass es sich um eine Parabel mit dem Scheitelpunkt S(3|-10) handelt Jessica Grün

Auswertung und Reflexion der Aufgaben Aufgabe 1: b) - durch Wegzoomen erhält man eine bessere Darstellung der Funktion - wähle z.B. das folgende Intervall: - auch hier gibt es nicht „die eine“ Darstellung Jessica Grün

Auswertung und Reflexion der Aufgaben Aufgabe 1: f) : - das Schaubild erinnert an das der Funktion Jessica Grün

Auswertung und Reflexion der Aufgaben Aufgabe 1: f) - immer nur Fokus auf eine wesentliche Eigenschaft der Funktion (z.B. Grenzwerte an den Rändern oder Polstellen) - bei großen Intervallgrenzen sind keine Polstellen mehr zu erkennen Jessica Grün

Auswertung und Reflexion der Aufgaben Aufgabe 1: Auswertung: Bewusstsein der Schüler dafür wecken, einen Zusammenhang zwischen Funktionsgraph und –term herzustellen Schüler sollen Ergebnisse des GTR kritisch hinterfragen: - Nach-, Mit- und Selberdenken im Vordergrund - Schüler lernen, dass wesentliche Eigenschaften einer Fkt. oft nur einzeln mittels verschiedener Fenstereinstellungen ersichtlich werden Jessica Grün

Auswertung und Reflexion der Aufgaben Aufgabe 1: Mathematische Kompetenzen: Mathematisch argumentieren Mathematische Darstellungen verwenden Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen Jessica Grün

Auswertung und Reflexion der Aufgaben Aufgabe 2: Gegeben ist die Funktion f mit. a) Zeichne den Graph von f mithilfe eines GTR und stelle Vermutungen auf in Bezug auf Extrem- und Sattelpunkte. b) Überprüfe die Vermutungen, indem du die Ableitungsfunktion auf Vorzeichenwechsel untersuchst. Soweit ein Vorzeichenwechsel nicht unmittelbar erkennbar ist, zoome mit dem GTR in den Bereich des möglichen Vorzeichenwechsels hinein. Gib die ermittelnden Extrempunkte vollständig an. Tipp: 1. Zeichnen von f´: iwqq und Nummer der jeweiligen Fkt. f eingeben. Außerdem unten rechts x eingeben l 2. Schnittpunkt mit x- Achse: Lyq Quelle: Griesel, Heinz et al., Hg., Elemente der Mathematik. Gesamtband SII. Mathematik mit neuen Technologien, S.127, Nr.1. Jessica Grün

Auswertung und Reflexion der Aufgaben Aufgabe 2: a) Vermutungen: - Tiefpunkt an der Stelle (0|-1) - womöglich Sattelpunkt bei x ≈ -1, 2599 Jessica Grün f f

Auswertung und Reflexion der Aufgaben Aufgabe 2: b) – im Intervall [-1,26; -1,259921] hat f ´(x) zwei VZW  Vorliegen eines Hoch- und Tiefpunktes - mit der G-SOLVE Funktion erhält man die Nst´en und  Jessica Grün f `

Auswertung und Reflexion der Aufgaben Aufgabe 2: GTR als Medium: Darstellen von Funktionen und deren Ableitungen GTR als Werkzeug („Rechenknecht“): Verringerung des Rechenaufwandes Konzentration auf die Einübung des Vorzeichenwechselkriteriums GTR als Entdecker: Aufstellen erster Vermutungen, die später überprüft werden sollen Jessica Grün

Auswertung und Reflexion der Aufgaben Aufgabe 2: Mathematische Kompetenzen: Mathematische Darstellungen verwenden Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen Kommunizieren Jessica Grün

Aufgabe 3: Gegeben ist die Funktion f mit. a) Berechne die Koordinaten der Wendepunkte des Graphen von f. Überprüfe das Ergebnis mithilfe des GTR. b) Hat die Funktion f auch einen Sattelpunkt? Tipp: 1. Zeichnen von f´´: iwwq und Nummer der jeweiligen Fkt. f eingeben l Modifiziert entnommen aus: Griesel, Heinz et al., Hg., Elemente der Mathematik. Gesamtband SII. Mathematik mit neuen Technologien, S.137, Nr.1. Auswertung und Reflexion der Aufgaben Jessica Grün

Aufgabe 3: Rechnerisch: Notwendiges Kriterium: Hinreichendes Kriterium:  Auswertung und Reflexion der Aufgaben Jessica Grün

Aufgabe 3: Mit GTR: - Wendepunkt an der Stelle 2 zu er- kennen - an der Stelle 0 könnte ein Hochpunkt oder ein Sattelpunkt vorliegen - erst durch Zoomen: Sattelpunkt an der Stelle 0 und Wendepunkt an der Stelle 0,1 zu erkennen Auswertung und Reflexion der Aufgaben Jessica Grün f f

Aufgabe 3: GTR als Medium: Darstellung der Funktion GTR als Entdecker: Überprüfen der rechnerischen Ergebnisse Auswertung: Schüler erkennen, dass man je nach Fenstereinstellung aus dem Graphen einer Fkt. oft nicht direkt charakteristische Punkte erkennen kann Untersuchungen des GTR sind immer mit Hilfe von Rechnungen oder Anwenden der Kriterien zu überprüfen Auswertung und Reflexion der Aufgaben Jessica Grün

Aufgabe 3: Mathematische Kompetenzen: Mathematische Darstellungen verwenden Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen Auswertung und Reflexion der Aufgaben Jessica Grün

Aufgabe 4: Gegeben ist die Funktion f mit. a) Zeichne den Graphen von f mit Hilfe des GTR und stelle Vermutungen bezüglich der Anzahl und Lage von Nullstellen, Extrempunkten und Wendepunkte auf. Könnten diese Vermutungen auch falsch sein? Begründe. b) Untersuche mit Hilfe des GTR den Funktionsgraphen auf gemeinsame Punkte von Graph und Koordinatenachsen sowie auf Extrempunkte und Wendepunkte. Welche Schwierigkeiten gibt es, den Funktionsgraphen angemessen darzustellen? Tipp: 1. Schnittpunkt mit y - Achse : Lyuq und für x Null eingeben l 2. Extrempunkte direkt bestimmen: Lyw bzw. e Quelle: Griesel, Heinz et al., Hg., Elemente der Mathematik. Gesamtband SII. Mathematik mit neuen Technologien, S.142, Nr.1. Auswertung und Reflexion der Aufgaben Jessica Grün

Auswertung und Reflexion der Aufgaben Aufgabe 4: a) Vermutungen: - f hat 2 Nullstellen bei: - f hat 2 Extrempunkte: - f hat einen Wendepunkt: Jessica Grün f f

Auswertung und Reflexion der Aufgaben Aufgabe 4: a) evtl. falsche Vermutungen, da: - f bis zu 5 Nullstellen haben kann - f bis zu 4 Extrempunkte haben kann - f bis zu 3 Wendepunkte haben kann  durch Zoomen lassen sich manche Vermutungen widerlegen Jessica Grün f

Auswertung und Reflexion der Aufgaben Aufgabe 4: b) gemeinsame Punkte von Graph und Koordinatenachsen - Schnittpunkt mit der x - Achse: - Schnittpunkt mit der y - Achse: - wenn weitere Nullstellen, dann auch weitere Extrem- stellen Jessica Grün

Auswertung und Reflexion der Aufgaben Aufgabe 4: b) Extrempunkte - Hochpunkt: - Tiefpunkt: - wenn weitere Extremstellen, dann auch weitere Wendestellen Jessica Grün

Auswertung und Reflexion der Aufgaben Aufgabe 4: b) Wendestellen = Extremstellen von f´ - Notwendiges Kriterium (Nullstellen von f´´): - hinreichendes Kriterium: (-/+) - VZW an der Stelle 1  Jessica Grün f´ f´´ f´´ hat keine weiteren Nullstellen  f hat keine weiteren Wendepunkte  f hat nur 2 Extrempunkte  f hat nur einen Schnittpunkt mit der x - Achse

Auswertung und Reflexion der Aufgaben Aufgabe 4: b) Schwierigkeiten bei der Darstellung - es gibt nicht immer EINEN Ausschnitt, der die wesentlichen Eigenschaften erkennbar macht - GTR liefert dabei verschiedene Perspektiven des Funktionsgraphen - daher: Nachweis mit bekannten Kriterien Jessica Grün

Auswertung und Reflexion der Aufgaben Aufgabe 5: Zeichne den Graphen von f mit a) Stelle eine erste Vermutung über Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte aus und überprüfe die Vermutungen, indem du den Graphen mit dem ZOOM – Menü detailliert betrachtest. Korrigiere gegebenenfalls die erste Vermutung. b) Untersuche den Funktionsgraphen rechnerisch anhand geeigneter Kriterien. Was ergibt sich im Hinblick auf die Vermutungen aus Teilaufgabe a) ? Quelle: Griesel, Heinz et al., Hg., Elemente der Mathematik. Gesamtband SII. Mathematik mit neuen Technologien, S.146, Nr.2. Jessica Grün

Auswertung und Reflexion der Aufgaben Aufgabe 5: a) erste Vermutungen: - Nullstelle an der Stelle x = 0 - Tiefpunkt bei Jessica Grün f

Auswertung und Reflexion der Aufgaben Aufgabe 5: a) Überprüfen mittels ZOOM - Menü - Nullstellen: - Extrempunkte: - Wendepunkte: Jessica Grün f

Auswertung und Reflexion der Aufgaben Aufgabe 5: b) rechnerisch: - Nullstellen von f: Jessica Grün

Auswertung und Reflexion der Aufgaben Aufgabe 5: b) rechnerisch: - Extremstellen von f: VZW liegt an diesen Stellen vor Jessica Grün f´

Auswertung und Reflexion der Aufgaben Aufgabe 5: b) rechnerisch: - Wendestellen von f: Hinreichendes Krit.: Jessica Grün

Auswertung und Reflexion der Aufgaben Aufgabe 4 und 5: GTR als Medium: Darstellen der Funktionen und deren Ableitung Ablesen von charakteristischen Punkten unter Ausnutzungen mehrerer Bildaus- schnitte GTR als Werkzeug („Rechenknecht“): Argumentation, warum / wie viele Null-, Extrem- und Wendestellen vorliegen im Vordergrund Erleichterung des Rechenprozesses (aber: GTR gibt Werte nur näherungsweise an!!!) GTR als Entdecker: Aufstellen von Vermutungen, dann deren rechnerische Überprüfung Jessica Grün

Auswertung und Reflexion der Aufgaben Aufgabe 4 und 5: Mathematische Kompetenzen: Mathematisch argumentieren Mathematische Darstellungen verwenden Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen Jessica Grün

Auswertung und Reflexion der Aufgaben Aufgabe 6: Gegeben ist die Funktion f mit. Das GTR-Fenster zeigt den nebenstehenden Ausschnitt des Funktionsgraphen. a) Begründe, dass die Funktion f genau drei Nullstellen und genau drei Extrempunkte hat. b) Gib ohne zu rechnen an, wie viele Wende- punkte die Funktion f hat. Quelle: Griesel, Heinz et al., Hg., Elemente der Mathematik. Gesamtband SII. Mathematik mit neuen Technologien, S.146, Nr.5. Jessica Grün

Auswertung und Reflexion der Aufgaben Aufgabe 6: a) Nullstellen: - bei x = 0 liegt eine doppelte Nullstelle vor - die quadratische Gleichung hat genau 2 Lösungen, da f hat genau 3 Nullstellen: Jessica Grün

Auswertung und Reflexion der Aufgaben Aufgabe 6: a) Extremstellen: - bei x = 0 liegt eine Nullstelle vor - die quadratische Gleichung hat genau 2 Lösungen, da - VZW an allen 3 Stellen vorhanden f hat genau 3 Extremstellen: Jessica Grün f´

Auswertung und Reflexion der Aufgaben Aufgabe 6: b) Wendestellen: - eine ganzrationale Fkt. 2. Grades hat max. 2 Nullstellen - an Hand des Graphen erkennt man: - f´´ hat an diesen Stellen einen VZW f hat genau 2 Wendestellen: Jessica Grün f´´

Auswertung und Reflexion der Aufgaben Aufgabe 6: GTR als Medium: Graph der Funktion als Argumentationsbasis GTR als Entdecker: Aufstellen von Hypothesen über Anzahl von Null-, Extrem- und Wendestellen  Jedoch ist diese Aufgabe auch ohne den Einsatz des GTR sinnvoll, da weniger die Rechnung, als vielmehr die Argumentation im Fokus liegt Jessica Grün

Auswertung und Reflexion der Aufgaben Aufgabe 6: Mathematische Kompetenzen: Mathematisch argumentieren Kommunizieren Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen Jessica Grün

Auswertung und Reflexion der Aufgaben Aufgabe 7: a) Berechne den Inhalt der von den Graphen eingeschlossenen Fläche mit Hilfe der Schnittpunkte. b) Berechne nun den Inhalt mittels der Beträge. Begründe die dabei zugrunde liegende Formel. Quelle: Griesel, Heinz et al., Hg., Elemente der Mathematik. Gesamtband SII. Mathematik mit neuen Technologien, S.256, Nr.2 und 3. Jessica Grün

Auswertung und Reflexion der Aufgaben Aufgabe 7: a) - Schnittpunkte berechnen: - Gesuchter Flächeninhalt mittels Integration: Jessica Grün

Auswertung und Reflexion der Aufgaben Aufgabe 7: b) Gesuchter Flächeninhalt mittels Integration der Beträge: Jessica Grün

Auswertung und Reflexion der Aufgaben Aufgabe 7: b) Begründung: Nullstellen der Fkt. sind: Jessica Grün

Auswertung und Reflexion der Aufgaben Aufgabe 7: GTR als Werkzeug („Rechenknecht“): Konzentration auf Technik des Integrierens und weniger auf Rechenweg GTR als Entdecker: Zur Zeigen der Gleichheit der beiden Integrale  Einsatz des GTR dient dem Zweck der Visualisierung Jessica Grün

Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit! Jessica Grün