Beschleunigung und longitudinaler Phasenraum

Präsentation zum Thema: "Beschleunigung und longitudinaler Phasenraum"—  Präsentation transkript:

1 Beschleunigung und longitudinaler Phasenraum
Kapitel 10 Beschleunigung und longitudinaler Phasenraum Rüdiger Schmidt (CERN) – Darmstadt TU , version 2.3

2 Aus der Strahloptik.... Fokussierung mit Quadrupolen (Linsen)
Beschreibung der Teilchenbewegung mit Transformationsmatrizen Differentialgleichung fuer Teilchenbewegung Beschreibung der Teilchenbewegung mit Betafunktion Betatronschwingung Strahlgrösse: Arbeitspunkt: Q Werte Closed Orbit Dispersion

3 Übersicht Beschleunigung mit HF Feldern Teilchenpakete („bunch“)
Phasenfokussierung im Linac Phasenfokussierung im Kreisbeschleuniger Bewegungsgleichung für die longitudinale Teilchenbewegung Synchtrotronfrequenz

4 Principal machine components of an accelerator
Kreisbeschleuniger: Beschleunigung durch vielfaches Durchlaufen durch (wenige) Beschleunigungstrecken 

5 Beschleunigung im zylindrischen Cavity T = 0 (Beschleunigung)
(100 MHz) 2a z E(z) g E0 z

6 Beschleunigung im zylindrischen Cavity T = 5 ns
(100 MHz) 2a z E(z) g z -E0

7 Supraleitender Hohlraumresonatoren (Cornell)
Cavity 200 MHz Cavity 1300 MHz Cavity 500 MHz

8 Supraleitender Hohlraumresonator mit 9 Zellen (TESLA, DESY)

9 Illustration für das elektrische Feld im Hohlraumresonator

10 Beschleunigung mit Hochfrequenzfeldern
cavity

11 Teilchenbeschleunigung mit Cavities (Hohlraumresonator)
z Cavity 1 Cavity 2 Teilchen laufen von links ins Cavity 1 ein. Um beschleunigt zu werden, muss die Phase des elektrischen Feldes „richtig“ sein. Annahme: Teilchen 1 läuft zum Zeitpunkt t0 = 0 ns durch das Cavity 1 – es wird mit einer Spannung von 1 MV beschleunigt. Ein Teilchen welches zu einem anderen Zeitpunkt durch das Cavity läuft, wird entweder weniger beschleunigt, oder kann gebremst werden "gebremst" t0 = 0

12 Teilchenpakete In einem HF Feld kann kein kontinuierlicher Strahl beschleunigt werden, sondern sogennante „Bunche“ (Teilchenpakete) Da ein Bunch eine endliche Länge hat (einige Millimeter bis zu etwa einem Meter), werden nicht alle Teilchen gleich beschleunigt Es kommt zur sogennanten Phasenfokussierung

13 Phasenfokussierung im Linac
z Cavity 1 Cavity 2 Es werden 3 Teilchen angenommen. Annahme: die Geschwindigkeit der Teilchen ist deutlich kleiner als c Teilchen mit Sollenergie Teilchen mit mehr Energie – mit grösserer Geschwindigkeit (blau) Teilchen mit weniger Energie – mit kleinerer Geschwindigkeit (grün) Das rote Teilchen läuft zum Zeitpunkt t = 1.25 ns in das Cavity ein. Es wird angenommen, dass die Feldstärke weiter ansteigt (ansteigender Ast der Schwingung) Das grüne Teilchen läuft später bei t = 1.55 ns ein, und wird stärker beschleunigt Das blaue Teilchen läuft früher bei t = 0.95 ns ein, und wird weniger beschleunigt

14 Phasenfokussierung im Linac – ansteigende Flanke
Cavity 1 z

15 Phasenfokussierung im Linac
Angenommen, dass die Energiedifferenz gross genug ist und die Geschwindigkeit nichrelativistisch gilt: Vor dem Cavity 1: vblau > vrot > vgrün Hinter dem Cavity 1: vgrün > vrot > vblau Da die Geschwindigkeit vom grünen Teilchen an grössten ist, wird es die anderen Teilchen nach einer gewissen Strecke überholen

16 Phasenfokussierung im Linac – Synchrotronschwingung
z Cavity 1 Cavity 2

17 Phasen“de“fokussierung im Linac – fallende Flanke
Cavity 1 z Das Teilchen mit weniger Energie – mit kleinerer Geschwindigkeit (grün) läuft später bei t = 1.55 ns ein, und wird weniger beschleunigt, und seine Geschwindigkeit verlangsamt sich in Bezug auf die anderen beiden Teilchen (die Teilchen laufen auseinander)

18 Phasen“de“fokussierung im Linac
z Cavity 1 Cavity 2

19 Phasenfokussierung im Kreisbeschleuniger
Cavity Die Teilchen mit Impulsabweichung laufen auf einer anderen Bahn (Dispersionsbahn), die hier vereinfacht als grösserer (kleinerer) Kreis dargestellt ist p0 + dp p0 p0 - dp

20 Cavity-Frequenz und Umlauffrequenz
Das Sollteilchen läuft um den Beschleuniger um. Damit es beim nächsten Umlauf in der gleichen Phase der Hochfrequenz beschleunigt wird, muss die Frequenz der Hochfrequenz ein Vielfaches der Umlauffrequenz sein: Hier: h = 8

21 Bahnverlängerung – Momentum Compaction
aus der Strahloptik Ein Teilchen mit Impulsabweichung läuft auf einer anderen Bahn um, deren Länge im allgemeinen unterschiedlich von der Länge der Sollbahn ist. Der momentum compaction factor wird als relative Längenänderung bei Impulsabweichung definiert:  Es lässt sich zeigen, dass für den momentum compaction factor gilt: Die Bahnlänge für ein Teilchen mit Impulsabweichung ist also:

22 Teilchenimpuls und Bahnlänge
Teilchen mit grösserer Energie im Vergleich zur Sollenergie: laufen weiter aussen um => grössere Bahnlänge => längere Umlaufzeit haben eine grössere Geschwindigkeit => kürzere Umlaufzeit Beide Effekte müssen berücksichtigt werden, um die Umlaufzeit zu berechnen

23 Phasenfokussierung im Kreisbeschleuniger
z Cavity Es werden 3 Teilchen angenommen. Die Geschwindigkeit der Teilchen ist (nahezu) Lichtgeschwindigkeit Teilchen mit Sollenergie Teilchen mit mehr Energie (blau) Teilchen mit weniger Energie (grün) Beim ersten Durchgang wird angenommen, dass alle Teilchen gleichzeitig ins Cavity einlaufen, und gleichermassen beschleunigt werden Das rote Teilchen läuft auf der Sollbahn um Das grüne Teilchen mit weniger Energie läuft auf einer kürzeren Bahn um Das blaue Teilchen mit mehr Energie läuft auf einer längeren Bahn um

24 Phasenfokussierung in Kreisbeschleuniger– fallende Flanke
Cavity z Das Teilchen mit zu wenig Energie (grün) läuft früher ein und wird stärker beschleunigt. Es gewinnt Energie im Vergleich zum roten Teilchen Das Teilchen zu viel Energie (blau) läuft später ein und wird weniger beschleunigt. Es verliert Energie im Vergleich zum roten Teilchen

25 Phasenverschiebung als Funktion der Energieabweichung

26 Energieaufnahme im Cavity: Sollteilchen
Es wird angenommen, dass das Magnetfeld ansteigt. Um auf konstanter Bahn zu laufen, wird das Sollteilchen beschleunigt, pro Umlauf mit einer Energie von: Die Energie kommt vom Durchlauf durch das Cavity:

27 Energieaufnahme im Cavity: Teilchen mit Energieabweichung
Ein Teilchen mit abweichender Energie läuft zu einem anderen Zeitpunkt (Phase) in das Cavity, die Energie wächst um: Die Energiedifferenz ist: Für Energieänderungen über viele Umläufe (Umlaufzeit T0):

28 Energieaufnahme im Cavity
Für kleine Abweichungen von der Sollphase gilt: Und damit: Differenzieren ergibt:

29 Bewegungsgleichung Phasenverschiebung durch die Energieabweichung
Energieänderung beim Durchlauf durchs Cavity mit einer Phasenverschiebung ergibt sich:

30 Lösung der Bewegungsgleichung
Die Gleichung beschreibt einen harmonischen Oszillator mit der Synchrotronfrequenz: Die Energiedifferenz zwischen Sollteilchen und Teilchen mit abweichendem Impuls ist:

31 Synchrotronfrequenz Sychrotronfrequenz
Für ultrarelativistische Teilchen  >> 1 gilt: Für Teilchen mit gilt:

32 Beispiel: Modellbeschleuniger

33

34 Synchrotronfrequenz des Modellbeschleuniger

35 Phasenraumdiagramme und Separatrix
Synchrotronschwingungen gibt es nur für Teilchen mir kleiner Energieabweichung. Wenn die Energieabweichung zu gross wird, fallen die Teilchen aus dem "Bucket". Bild aus K.Wille

36 No RF, debunching in ~ 250 turns, roughly 25 ms
about 1000 turns single turn Courtesy E. Ciapala

37 First attempt at capture, at exactly the wrong injection phase…
Courtesy E. Ciapala

38 Capture with corrected injection phasing
Courtesy E. Ciapala

39 Capture with optimum injection phasing, correct reference
Courtesy E. Ciapala

40 RF buckets and bunches at LHC
The particles oscillate back and forth in time/energy The particles are trapped in the RF voltage: this gives the bunch structure RF Voltage 2.5 ns time E LHC bunch spacing = 25 ns = 10 buckets  7.5 m RF bucket time 2.5 ns 450 GeV 7 TeV RMS bunch length cm cm RMS energy spread % 0.011%

41 Longitudinales Strahlprofil im SPS
Bunch profile oscillations on the flat bottom – at 26 GeV Instabilities at low energy (26 GeV) a) Single bunches Quadrupole mode developing slowly along flat bottom. NB injection plateau ~11 s Bunch profile during a coast at 26 GeV stable beam Pictures provided by T.Linnecar