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Kapitel 9 Rüdiger Schmidt (CERN) – Darmstadt TU - 2010, version 2.3 Betafunktion und optische Parameter.

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Präsentation zum Thema: "Kapitel 9 Rüdiger Schmidt (CERN) – Darmstadt TU - 2010, version 2.3 Betafunktion und optische Parameter."—  Präsentation transkript:

1 Kapitel 9 Rüdiger Schmidt (CERN) – Darmstadt TU , version 2.3 Betafunktion und optische Parameter

2 2 Was bisher geschah.... Fokussierung damit Teilchen nicht auseinanderlaufen und gegen die Vakuumkammer laufen Geometrische (schwache) Fokussierung nur in horizontaler Ebene - reicht nicht aus Daher: Fokussierung mit Quadrupolen (Linsen) Magnetische Quadrupole fokussieren nur in einer Ebene Zwei Quadrupole fuer Fokussierung in beiden Ebenen Beschreibung der Teilchenbewegung mit Transformationsmatrizen Differentialgleichung für Teilchenbewegung in einem Quadrupol – ähnliche Resultate wie beim harmonischer Oszillator F0D0 Zelle (QF, Drift, QD, Drift, QF)

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4 4 Vor-und Nachteile der Bahnberechnung mit Matrizen Für jedes Teilchen lässt sich die Bahn mit Matrizen berechnen Diese Methode ist notwendig, und mit Hilfe von Computerprogrammen prinzipiell "relativ" einfach Für viele Fragenstellungen ist diese Methode zu komplex Was passiert, wenn ein Teilchen im Magneten 122 um einen Winkel von 0.01 mrad abgelenkt wird? Über die Bewegung eines Vielteilchensystems lässt sich nur wenig aussagen Daher wird ein neuer Formalismus eingeführt: Betatronfunktion und Betatronschwingung

5 5 Übersicht Differentialgleichung für die Teilchenbewegung II Betafunktion Betatronschwingung Phasenellipse und Twiss Parameter Strahlgrösse Berechnung der Betafunktion Arbeitspunkt Closed Orbit Dispersion Momentum Compaction

6 6 Differentialgleichung im Beschleuniger Es werden nur Quadrupolfelder betrachtet Das Quadrupolfeld in einer Ebene ist in der Regel stückweise konstant (entweder 0, oder konstant mit einem Wert k)

7 7 Differentialgleichung der Teilchenbewegung

8 8 Lösungsweg

9 9 Betafunktion und Betatronschwingungen Es ist noch keine Aussage gemacht worden, wie man Betatronfunktion und Betatronphase ausrechnet

10 10 Zur Illustration ein Beispiel: kontinuierliches Quadrupolfeld z

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12 12 Betafunktion für die Teilchenbewegung im "kontinuierlichen" Quadrupolfeld (Bewegung nur in einer Ebene stabil!)

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14 14 Vergleich mit dem harmonischen Oszillator x 0 x F(x) Bei gegebener Energie des Teilchens ist die maximale Auslenkung umgekehrt proportional zur Rückstellkraft (Federkonstante). Je grösser die Kraft, desto kleiner die Auslenkung

15 15 Betafunktion und Betatronschwingungen

16 16 Phasenellipse – allgemeiner Fall x x

17 17 Phasenellipse – im Zentrum eines Quadrupols oder im Fokus x x

18 18 Betatronschwingungen für viele Teilchen Maximale Amplitude eines Teilchens an einer Position s Eigenschaft der Teilchen Eigenschaft des Beschleunigers Eigenschaft der Teilchen

19 19 Betatronschwingungen für viele Teilchen Bild aus K.Wille Strahlgrösse an der Position s: Die Strahlemittanzen x und z sind statistische Grössen

20 20 Beispiel für Teilchenverteilung im Strahl

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22 22 Optische Funktionen entlang einer Zelle von E.Wilson, Vorlesung 2001 B2 B1 QF QD

23 23 Beispiel: Low Beta Insertion (z.B. für hohe Luminosität im Collider) Quadrupol Fokus Beta-Funktion Gespiegelte Beta- Funktion

24 24 Layout of insertion for ATLAS and CMS

25 25 u Focusing quadrupole for beam 1, defocusing for beam 2 u High gradient quadrupole magnets with large aperture (US-JAPAN) Total crossing angle of 300 rad Beam size at IP 16 m, in arcs about 1 mm Crossing angle for multibunch operation

26 LHC IR5 insertion

27 27 LHC IR5 insertion

28 28 TI8 3 km lange Transferlinie zwischen SPS und LHC

29 29 TI 8: Beam spot at end of line

30 30 Strahlprofil im LEP Beschleuniger - Synchrotronlicht

31 31 Gemessenes Strahlprofil im LHC Beschleuniger –Beam 2

32 32 Gemessenes Strahlprofil im LHC Beschleuniger –Beam 1

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34 34 Arbeitspunkt Der Q-Wert gibt die Anzahl der Schwingungen der Teilchen pro Umlauf an Die Q-Werte für die Bewegung in der horizontalen Ebene und in der vertikalen Ebene sind im allgemeinen unterschiedlich Durch eine leichte Änderung der Quadrupolstärken ändern sich die Q-Werte Der Q-Wert ändet sich mit der Energie der Teilchen - für Teilchen mit grösserer Energie ist der Q - Wert kleiner, da die Fokussierung schwächer ist

35 35 Arbeitspunkt – LHC bei 3.5 TeV

36 36 Quadrupolaufstellfehler und Teilchenbahnen fehlaufgestellter Quadrupolmagnet und Einfluss auf die Teilchenbahn Idealbahn gestörte Bahn

37 37 Teilchenschwingungen und closed orbit Ringbeschleuniger IdealbahnKick und Betatronschwingungen Ringbeschleuniger IdealbahnMagnetfehler und closed orbit

38 38 Transformationsmatrix für Teilchenkoordinaten

39 39 Berechnung des closed orbit ( = 0)

40 40 Closed Orbit für einen Ringbeschleuniger Wenn an einer Stelle des Beschleunigers der Strahl zusätzlich abgelenkt wird, und der Ablenkwinkel: ist der closed orbit:

41 41 Horizontaler und vertikaler Orbit bei LHC

42 Orbit Swiss Light Source, PSI

43 43 Einfluss der Impulsabweichung: Dispersion Verschiedene Teilchen haben einen unterschiedlichen Impuls. Die Impulsabweichung liegen im allgemeinen bei – vom Sollipuls.

44 44 Differentialgleichung für die Dispersion

45 45 Lösung der Dispersionsbahn Die Lösung für die Dispersion ergibt sich aus drei Termen: Im Unterschied zur Betatronmatrix ergibt sich eine Dispersion, wenn ein Teilchen ohne Dispersion und Dispersionsableitung in einen Ablenkmagneten läuft

46 46 Matrix für die Dispersion Um die Dispersionbahn mit einer Matrix zu beschreiben, sind 3 Terme notwendig:

47 47 Dispersionsbahn in einem Ablenkmagneten x 0 = 0 x 1 = 2.91 mm x 1 = 3.83 mrad Beispiel für einen Ablenkmagneten mit einer Länge von 1.5 m und einem Ablenkradius von = 3.82 m

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49 49 Dispersionsfunktion am LHC bei 1.18 TeV, Strahl 1

50 50 Bahnverlängerung – Momentum Compaction Ein Teilchen mit Impulsabweichung läuft auf einer anderen Bahn um, deren Länge im allgemeinen unterschiedlich von der Länge der Sollbahn ist. Der momentum compaction factor wird als relative Längenänderung für Teilchen mit Impulsabweichung definiert: Es lässt sich zeigen, dass für den momentum compaction factor gilt: Die Bahnlänge für eine Teilchen mit Impulsabweichung ist :

51 51 Transformation der Betatronfunktion

52 52 Transformation der Betafunktion durch eine Driftstrecke

53 53 Betatronfunktion für Kreisbeschleuniger s0s0 s1s1

54 54 Berechnung der optischen Funktionen

55 55 Zusammenfassung: Lösungsweg Differentialgleichung für die Teilchenbahn Ansatz von neuen Funktionen, der Betafunktion und der Phase Ein Teilchen macht harmonische Schwingungen in einem neuen Koordinatensystem Man kann die Betamatrix mit Hilfe der bekannten Übertragunsmatrizen transformieren, dadurch kann man die Betamatrix um den ganzen Kreisbeschleuniger transformieren Man berücksichtigt die Periodizitätsbedingung nach einem Umlauf Damit kann man die Betafunktion errechnen


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