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Kapitel 5 Statistische Bewertung von Regressionsbezie- hungen.

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1 Kapitel 5 Statistische Bewertung von Regressionsbezie- hungen

2 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 2 Einkommen und Konsum PCR: Privater Konsum, real, in Mrd.EUR PYR: Verfügbaren Einkom- men der Haushalte, real 1970:1-2003:4 Basis: 1995 Quelle: AWM-Datenbasis

3 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 3 Einkommen und Konsum: Zuwachsraten PCR_D4: Privater Konsum, real, Zuwachsrate PYR: Verfügbaren Einkom- men der Haushalte, real, Zuwachsrate 1970:1-2003:4 Basis: 1995 Quelle: AWM-Datenbasis

4 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 4 Konsumfunktion Dependent Variable: PCR_D4 Method: Least Squares Date: 02/03/05 Time: 18:06 Sample(adjusted): 1971:1 2003:4 Included observations: 132 after adjusting endpoints VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C0.010708 0.0011699.156915 0.0000 PYR_D40.717628 0.046151 15.54963 0.0000 R-squared0.650341 Mean dependent var0.024451 Adjusted R-squared0.647652 S.D. dependent var0.014821 S.E. of regression0.008797 Akaike info criterion-6.613670 Sum squared resid0.010061 Schwarz criterion-6.569991 Log likelihood438.5022 F-statistic241.7910 Durbin-Watson stat0.502740 Prob(F-statistic)0.000000

5 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 5 Dimensionen der Bewertung Globale Bewertung: Kann das Modell den datengenerierenden Prozess der abhängigen Variablen als Ganzes erklären? Globale Kriterien: Bestimmtheitsmaß Adjustiertes Bestimmtheitsmaß Logarithmierte Likelihoodfunktion Informationskriterien, zB Akaikes AIC-Kriterium Inferenz der Regressionsparameter t-Test F-Test ANOVA-Tafel

6 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 6 Residuen y = X + u = Xb + e = ŷ + e Residuen: e = y - Xb = y – ŷ = y – X(XX) -1 Xy = y - Py = [I – X(XX) -1 X]y = My P: Projektionsmatrix M: residuenerzeugende Matrix

7 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 7 Konsumfunktion, Forts.

8 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 8 Schätzer der Varianz 2 ist ein erwartungstreuer Schätzer Der ML-Schätzer unterschätzt; der Bias beträgt

9 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 9 Residuen: Eigenschaften e = y - Xb = y – ŷ = My Eigenschaften (inhomogene Regression): i e i = 0 Achtung! Diese Eigenschaften setzen eine inhomogene Regression voraus! Streuungszerlegung: Ergibt sich durch Dividieren durch n und Subtrahieren von

10 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 10 Bestimmtheitsmaß Definition: Anteil der durch das Regressionsmodell erklärten Varianz (der Varianz der geschätzten Y) an der Gesamtvarianz der Beobachtungen von Y Anteil der Varianz der abhängigen Variablen, die durch das Modell erklärt wird oft in Prozenten angegeben Alternative Schreibweise

11 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 11 R 2 : Eigenschaften Wegen gilt: R 2 =1 bedeutet: ; alle Residuen sind Null! R 2 =0 bedeutet: alle Regressionskoeffizienten haben den Wert Null! R 2 soll einen möglichst hohen Wert haben Einfache Regression: Multiple Regression: R 2 kann durch Hinzufügen eines Regressors nicht kleiner werden! Achtung! Bei homogener Regression ist R 2 <0 möglich!

12 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 12 Beispiel: Konsumfunktion Dependent Variable: PCR_D4 Method: Least Squares Date: 08/20/04 Time: 11:06 Sample(adjusted): 1971:1 2002:4 Included observations: 128 after adjusting endpoints VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C0.010855 0.00105310.310710.0000 PYR_D40.747032 0.04184017.854510.0000 R-squared0.716716 Mean dependent var0.024898 Adjusted R-squared0.714468S.D. dependent var0.014817 S.E. of regression0.007918 Akaike info criterion-6.823949 Sum squared resid0.007899 Schwarz criterion-6.779386 Log likelihood438.7327 F-statistic318.7837 Durbin-Watson stat0.632776 Prob(F-statistic)0.000000

13 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 13 Konsumfunktion Dependent Variable: PCR_D4 Method: Least Squares Date: 02/03/05 Time: 18:06 Sample(adjusted): 1971:1 2003:4 Included observations: 132 after adjusting endpoints VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C0.010708 0.0011699.156915 0.0000 PYR_D40.717628 0.046151 15.54963 0.0000 R-squared0.650341 Mean dependent var0.024451 Adjusted R-squared0.647652 S.D. dependent var0.014821 S.E. of regression0.008797 Akaike info criterion-6.613670 Sum squared resid0.010061 Schwarz criterion-6.569991 Log likelihood438.5022 F-statistic241.7910 Durbin-Watson stat0.502740 Prob(F-statistic)0.000000

14 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 14 R 2 : Alternative Darstellung Aus ergibt sich Es bedeuten: TSS: Gesamtvariation (total sum of squares) ESS: (durch die Regression) erklärte Variation (explained sum of squares) RSS: residuale (nicht erklärte) Variation (residual sum of squares) Wir können schreiben: TSS = yM 0 y, analog ESS, mit

15 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 15 Adjustiertes Bestimmtheitsmaß Erweiterung eines Modells um einen Regressor: R 2 wird größer Zunahme von R 2 bedeutet nicht notwendigerweise, dass der neue Regressor zur Erklärung beiträgt! Adjustiertes Bestimmtheitsmaß: Gut zum Vergleichen von Modellen Bei großem n ist (n-1)/(n-k) 1

16 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 16 Andere Kriterien Meist Funktionen von s e 2 Logarithmierte Likelihoodfunktion Akaikes Informationskriterium Schwarz Informationskriterium

17 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 17 Konsumfunktion Dependent Variable: PCR_D4 Method: Least Squares Date: 02/03/05 Time: 18:06 Sample(adjusted): 1971:1 2003:4 Included observations: 132 after adjusting endpoints VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C0.010708 0.0011699.156915 0.0000 PYR_D40.717628 0.046151 15.54963 0.0000 R-squared0.650341 Mean dependent var0.024451 Adjusted R-squared0.647652 S.D. dependent var0.014821 S.E. of regression0.008797 Akaike info criterion-6.613670 Sum squared resid0.010061 Schwarz criterion-6.569991 Log likelihood438.5022 F-statistic241.7910 Durbin-Watson stat0.502740 Prob(F-statistic)0.000000

18 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 18 Konsumfunktion Dependent Variable: PCR_D4 Method: Least Squares Date: 02/03/05 Time: 18:06 Sample(adjusted): 1971:1 2003:4 Included observations: 132 after adjusting endpoints VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C0.010708 0.0011699.156915 0.0000 PYR_D40.717628 0.046151 15.54963 0.0000 R-squared0.650341 Mean dependent var0.024451 Adjusted R-squared0.647652 S.D. dependent var0.014821 S.E. of regression0.008797 Akaike info criterion-6.613670 Sum squared resid0.010061 Schwarz criterion-6.569991 Log likelihood438.5022 F-statistic241.7910 Durbin-Watson stat0.502740 Prob(F-statistic)0.000000

19 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 19 Bewertung der Parameter Frage: Trägt der Regressor X i zur Erklärung bei? Test von H 0 : i = 0 gegen H 1 : i >0 oder H 1 : i 0: (t-Test) Konfidenzintervall für i Tragen alle Regressoren zur Erklärung bei? Test von H 0 : 2 = … = k (F-Test)

20 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 20 t-Test Verteilung der OLS-Schätzer b: Für den Schätzer b i gilt: mit dem i-ten Diagonalelement a ii aus (XX) -1 (a ii ) bzw. s(a ii ) heißt Standardfehler von b i Test von H 0 : i =0 gegen H 1 : i 0: Entscheidung mittels p-Wert:

21 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 21 Konsumfunktion Dependent Variable: PCR_D4 Method: Least Squares Date: 02/03/05 Time: 18:06 Sample(adjusted): 1971:1 2003:4 Included observations: 132 after adjusting endpoints VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C0.010708 0.0011699.156915 0.0000 PYR_D40.717628 0.046151 15.54963 0.0000 R-squared0.650341 Mean dependent var0.024451 Adjusted R-squared0.647652 S.D. dependent var0.014821 S.E. of regression0.008797 Akaike info criterion-6.613670 Sum squared resid0.010061 Schwarz criterion-6.569991 Log likelihood438.5022 F-statistic241.7910 Durbin-Watson stat0.502740 Prob(F-statistic)0.000000

22 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 22 F-Test Test von H 0 : 1 =…= k gegen H 1 : 0 trifft nicht zu F ist exakt oder näherungsweise verteilt nach F(k-1, n-k) Entscheidung mittels p-Wert

23 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 23 Konsumfunktion Dependent Variable: PCR_D4 Method: Least Squares Date: 02/03/05 Time: 18:06 Sample(adjusted): 1971:1 2003:4 Included observations: 132 after adjusting endpoints VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C0.010708 0.0011699.156915 0.0000 PYR_D40.717628 0.046151 15.54963 0.0000 R-squared0.650341 Mean dependent var0.024451 Adjusted R-squared0.647652 S.D. dependent var0.014821 S.E. of regression0.008797 Akaike info criterion-6.613670 Sum squared resid0.010061 Schwarz criterion-6.569991 Log likelihood438.5022 F-statistic241.7910 Durbin-Watson stat0.502740 Prob(F-statistic)0.000000 F-Statistik p-Wert = P{F > 241.79 | H 0 }

24 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 24 Konfidenzintervall für i KI zur Konfidenzzahl mit Perzentil der t(n-k)- oder der Normalverteilung Beispiel: Konsumfunktion C = + Y + u 95%iges Konfidenzintervall für marginale Konsumneigung 0.7176 – (1.978) (0.0461) 0.7176 + (1.978) (0.0461) oder 0.626 0.809


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