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Statistik: 17.3.04 Konfidenzintervall und Testen für den Mittelwert und Anteile.

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Präsentation zum Thema: "Statistik: 17.3.04 Konfidenzintervall und Testen für den Mittelwert und Anteile."—  Präsentation transkript:

1 Statistik: Konfidenzintervall und Testen für den Mittelwert und Anteile

2 PI Statistik, SS 2004 (8)2 Schließende Statistik oder Statistische Inferenz: Rückschluss aus den Ergebnissen einer Zufallsstichprobe auf die Grundgesamtheit oder ihre Parameter (, p, etc.) Das Schätzen von Parametern: für den unbekann- ten Wert eines Parameters (, p, etc.) ist zu bestimmen ein numerischer Wert (Punktschätzer) oder ein Intervall, in dem der unbekannte Wert mit vorgegebener Wahrscheinlichkeit enthalten ist (Konfidenzintervall) Entscheidung zwischen Behauptungen (Hypothesen)

3 PI Statistik, SS 2004 (8)3 Beispiel A: Abfüllmenge Der unbekannte Mittelwert μ der Füllmenge soll geschätzt werden Stichprobe (n = 25): = 126.7, s = 0.5. Punktschätzer für μ ist Konfidenzintervall für μ: ± c. Testen von H 0 : μ = gegen H 1 : μ > 126.4

4 PI Statistik, SS 2004 (8)4 Beispiel B: Anteil der Berufstätigen unter Studierenden Anteil θ ist unbekannt Stichprobe (n = 200) gibt Anteil von p = 32% Punktschätzer für θ ist p = 0.32 Konfidenzintervall p ± c Testen die Nullhypothese H 0 : θ = 0.20 gegen H 1 : µ > 0.20

5 PI Statistik, SS 2004 (8)5 Stichprobenverteilungen Wahrscheinlichkeitsverteilungen von und p sind Basis von statistischen Entscheidungsverfahren Zentraler Grenzwertsatz

6 PI Statistik, SS 2004 (8)6 Stichprobenmittelwert Grundgesamtheit: X mit (beliebiger) Verteilung, und. Stichprobenmittelwert : Mittelwert von ist Standardabweichung (Standardfehler, standard error) von ist StdAbw( ) = / n Für nicht zu kleines n: ist näherungsweise normalverteilt

7 PI Statistik, SS 2004 (8)7 Konfidenzintervall für μ Konfidenzintervall zur Konfidenzzahl γ Mit γ = 0.95 c = 2 / n genauer: c = 1.96 / n 99.7%-iges KI: ± 3 / n 90%-iges KI: ± / n

8 PI Statistik, SS 2004 (8)8 Beispiel A: Abfüllmenge Stichprobe (n = 25): = 126.7, s = 0.5. Punktschätzer für μ ist = %-iges Konfidenzintervall für μ : Einsetzen gibt oder:

9 PI Statistik, SS 2004 (8)9 Konfidenzintervall: Wahl von c Näherungsweise gilt Wahl von c 0 so, dass oder Aus folgt und das Perzentil c 0 = 1.96

10 PI Statistik, SS 2004 (8) %iges Konfidenzintervall für μ Symmetrisches Intervall um so, dass 100 % aller so konstruierten Intervalle das wahre enthalten Wahl von z für gegebenes

11 PI Statistik, SS 2004 (8)11 Wahl des Stichprobenumfanges Halbe Länge c des Konfidenzintervalls hängt ab von n, und Bei Vorgabe von c und kann n berechnet werden: n =(z (1+ )/2 σ/c) 2

12 PI Statistik, SS 2004 (8)12 Unbekanntes Verwendung der t -Verteilung statt der standardisierten Normalverteilung Studentsche t -Verteilung: hat einen Parameter (n-1), die Zahl der Freiheitsgrade tabelliert, in EXCEL: Funktionen TVERT, TINV symmetrisch, glockenförmig für wachsendes n der Normalverteilung immer ähnlicher

13 PI Statistik, SS 2004 (8)13 pt(2)t(10)t(20)t(30)t(100)N(0,1) t -Verteilung: Perzentile p-Quantile der t -Verteilung für wachsende Zahl der Freiheitsgrade und der Normalverteilung

14 PI Statistik, SS 2004 (8)14 Test für μ Verfahren Lege die Nullhypothese H 0 (μ = μ 0 ) und die Alternative H 1 fest Wähle den maximal tolerierten p-Wert (probability value), d.i. die Wahrscheinlichkeit, den Fehler 1. Art zu begehen (das Signifikanzniveau, auch mit bezeichnet); z.B Ziehe die Stichprobe, berechne Berechne den p-Wert Verwerfe H 0, wenn der p -Wert kleiner als ist

15 PI Statistik, SS 2004 (8)15 Beispiel A: Abfüllmenge Nullhypothese H 0 : μ = 125g Alternative H 1 : μ > 125g Die Entscheidung soll für = 0.05 getroffen werden Stichprobe (n = 9): = 126.0, s = 1.5 Wir verwerfen H 0 !

16 PI Statistik, SS 2004 (8)16 Testen von Hypothesen Methode, auf Basis einer Zufallsstichprobe eine Entscheidung zwischen zwei Behauptungen (Vermutungen) zu treffen Nullhypothese H 0 : ist jene Vermutung, über die entschieden werden soll (z.B. = 125) Alternativhypothese: eine konkurrierende Vermutung p -Wert: Wahrscheinlichkeit, den erhaltenen oder einen noch extremeren Wert für die Teststatistik zu erhalten, wenn H 0 zutrifft; ein Maß für die Glaubwürdigkeit von H 0 Fehlentscheidungen: Fehler 1. Art ( -Fehler): richtige H 0 wird nicht akzeptiert; der p -Wert ist die Wahrscheinlichkeit, diesen Fehler zu begehen Fehler 2. Art: zutreffende Alternativhypothese wird nicht akzeptiert Signifikanzniveau : maximal tolerierter p -Wert

17 PI Statistik, SS 2004 (8)17 Wahl der Alternativhypothese Das, was ich beweisen möchte Beispiel: Abfüllmenge; H 0 : =125g Konsumentenschützer möchte erkennen, wenn <125g; er möchte ziemlich sicher sein, dass er recht hat, wenn er <125gbehauptet Test mit Signifikanzniveau =0.05: er irrt höchstens in 5 von 100 Entscheidungen Analog: Produzent möchte erkennen, wenn >125g oder wenn 125g

18 PI Statistik, SS 2004 (8)18 Inferenz bei Anteilen Schätzwert für Anteil aus Stichprobe (Umfang n): relative Häufigkeit p n Stichprobenverteilung von p n (Zentraler Grenzwert- satz): mit Faustregel für großes n'': n > 5, n (1- ) > 5

19 PI Statistik, SS 2004 (8) %iges Konfidenzintervall für Symmetrisches Intervall um p n so, dass 100 % aller so konstruierten Intervalle das wahre enthalten Wahl von z für gegebenes In p ist durch p n zu ersetzen!

20 PI Statistik, SS 2004 (8)20 Beispiel B: Berufstätige Anteil der Berufstätigen unter den Studierenden θ ist unbekannt Stichprobe (n = 200) gibt Anteil von p 200 = 32% Punktschätzer für θ ist p = %-iges Konfidenzintervall für θ : oder: θ Achtung! n θ 200 (0.32) = 64 > 5, n(1- θ) 200 (0.68) = 136 > 5

21 PI Statistik, SS 2004 (8)21 Beispiel B: Berufstätige Nullhypothese H 0 : θ = 30% Alternative H 1 : μ > 30% Die Entscheidung soll für = 0.05 getroffen werden Stichprobe (n = 200): p 200 = 0.32 Wir verwerfen H 0 nicht! Beachten Sie!


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