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1 3.1 Gates und boolesche Algebra Transistor (Inverter) V in V out 05 50 V in V out => V out = V cc (häufig +5 Volt) V in < V kritisch : Widerstand V in.

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1 1 3.1 Gates und boolesche Algebra Transistor (Inverter) V in V out V in V out => V out = V cc (häufig +5 Volt) V in < V kritisch : Widerstand V in > V kritisch : Leiter (Draht) Gates (1/3) 10. Oktober (null Volt gemäss Konvention) © Béat Hirsbrunner, University of Fribourg, Switzerland

2 2 V in V out Gates (2/3) Inverter Gate Beispiele Elementare digitale Schaltungen nennt man Gates NAND GateNOR Gate V1V1 V2V2 V out V1V1 V2V Hint: V in = 0 : Widerstand V in = 1 : Leiter (Draht)

3 Gates (3/3)

4 Boolesche Algebra Beispiel: Mehrheitsfunktion M = f(A,B,C) Drei Darstellungen – Wahrheitstabelle – Kompakte Wahrheitstabelle: – M = ABC + ABC + ABC + ABC – Schaltung Definition M = 0 falls die Mehrheit der Eingänge 0 ist; sonst ist M = 1.

5 Implementierung von booleschen Funktionen 1. Schreibe die Wahrheitstabelle für die Funktion 2. Erstelle Inverter, um das Komplement für jeden Eingang zu erzeugen 3. Zeichne ein AND-Gate für jeden Term, mit einer 1 in der Ergebnissspalte 4. Verdrahte die AND-Gates mit den entsprechenden Eingängen 5. Speise den Ausgang aller AND-Gates in ein OR-Gates D.h. es gibt immer eine Lösung mit NOT-, AND- und OR-Gates !!! Es gibt aber optimalere Lösungen: z.B. A*B + A*C vs A * (B + C) [Hint: 3 vs 2 Schaltungen]

6 Schaltungsäquivalenz (1/3) Lemma 1. Jede boolesche Funktion kann mit NOT-, AND- und OR-Gates berechnet werden (Normalform genannt). (Beweis: cf. Fig. 3-3) Lemma 2. Jede boolesche Funktion kann mit (a) NAND- (b) NOR- Gates berechnet werden ! (Beweis: Folgt aus Lemma 1 und Figur 3-4) Lemma 3. Jede boolesche Funktion kann mit (a) NOT- und AND- (b) NOT- und OR- Gates berechnet werden ! (Beweis: Folgt aus Lemma 1 und De Morgansche Gleichungen, cf. Fig. 3-6)

7 Schaltungsäquivalenz (2/3) Welche Lösung lässt sich technisch effizienter realisieren ?

8 Schaltungsäquivalenz (3/3)


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