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Tetraederzerlegung Ina Ehmann. Tetraederzerlegung 1.Eigenschaften eines Tetraeders 2.Allgemeine Tetraederzerlegung 3.Reguläre Tetraederzerlegung 4.Euler.

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1 Tetraederzerlegung Ina Ehmann

2 Tetraederzerlegung 1.Eigenschaften eines Tetraeders 2.Allgemeine Tetraederzerlegung 3.Reguläre Tetraederzerlegung 4.Euler Formeln 5.Tetraederzerlegung konstruieren 5.1 Type Freudenthal Zerlegung 5.3 Type-6 6. Verfeinerung einer Tetraederzerlegung 6.1 Die Alfeld Verfeinerung 6.2 Die Worsey-Farin Verfeinerung Tetraederzerlegung Inhalt: Ina Ehmann

3 1. Eigenschaften eines Tetraeders Ina Ehmann 4 Knoten 6 Kanten 4 Dreiecksflächen v, v, v, v in ³ Tetraeder T := Knoten v i := (x i, y i, z i ) von T Bei einem regelmäßigen Tetraeder sind alle 6 Kanten sind gleich lang. (4 gleichseitige Dreiecke) Tetraederzerlegung V4V4 V3V3 V2V2 V1V1 Definition 1: |T| sei die Länge der längsten Kante von T. p T sei der Radius der größten Kugel, die ganz in T liegt. Der Quotient K T := |T|/p T wird shape parameter von T genannt. Der shape parameter K T beschreibt die Gestalt von T. Bei einem regelmäßigen Tetraeder ist K T = 12/6. Für jedes andere Tetraeder ist K T größer.

4 2. Allgemeine Tetraederzerlegung Ina Ehmann Definition 2: Eine Sammlung := {T i } von Tetraedern in ³ wird Tetraederzerlegung einer polygonalen Menge Ω := U T i genannt, falls sich Tetraeder aus höchstens an Knoten schneiden, sich entlang einer Kante oder Dreiecksfläche berühren. Diese Definition erlaubt also auch eine Tetraederzerlegung wie folgt: Zwei Tetraeder die sich nicht berühren Zwei Tetraeder die sich nur an einem Knoten berühren Zwei Tetraeder die sich nur eine Kante teilen Diese Definition lässt auch folgendes zu: Ω hat eine durchgängige Lücke z.B. wenn Ω die Form eines Ringen hat Ω hat Hohlräume Tetraederzerlegung N i=1 N

5 Ina Ehmann Definition 3: Sei v der Knoten einer Tetraederzerlegung, star(v) ist die Menge aller Tetraeder aus Δ die sich den Knoten v teilen. Wir setzen star 1 (v) := star(v) und definieren star i (v) induktiv für alle i > 1als die Menge aller Tetraeder aus die einen Schnittpunkt mit star i-1 (v) haben. Ähnlich definieren wir star 0 (T) := T und star j (T) := U {star (v) : v star j-1 (T)} für alle j Allgemeine Tetraederzerlegung Tetraederzerlegung star(v) (dunkel blau) star²(v) (mittel und dunkel blau ) star(T) (dunkelgrün) star²(T) (dunkel und hellgrün)

6 Ina Ehmann Definition 4: Eine Tetraederzerlegung wird shellable genannt, falls sie aus einem einzelnen Tetraeder besteht oder aus einer shellable Tetraederzerlegung entsteht, indem ein Tetraeder, der eins, zwei oder drei Dreiecksflächen von berührt, hinzugefügt wird. ˜ ˜ Definition 5: Eine Tetraederzerlegung heißt regulär, falls folgendes gilt: 1) ist shellable, oder 2) kann aus einer regulären Tetraederzerlegung entstehen, indem eine reguläre Lücke oder regulären Hohlraum erzeugt wird. 3. Reguläre Tetraederzerlegung Tetraederzerlegung Nicht alle Tetraederzerlegungen sind shellable. Z.B. zwei Tetraeder die sich nur an einem Knoten oder einer Kante berühren, sind nicht shellable.

7 4. Euler Formeln Ina Ehmann Die Euler Formeln beschreiben die Beziehungen zwischen der Anzahl der Knoten, Kanten und Flächen in einer Tetraederzerlegung V I, V B Anzahl der inneren Knoten und Knoten am Rand E I, E B Anzahl der inneren Kanten und Kanten am Rand F I, F B Anzahl der inneren Flächen und Flächen am Rand N Anzahl der Tetraeder von Tetraederzerlegung

8 Ina Ehmann Satz 1: sei eine shellable Tetraederzerlegung. Wir erzeugen indem wir mit einem Tetraeder anfangen und ein Tetraeder nach dem anderen hinzufügen, so dass die Anzahl der Tetraeder, die die vorherige Zerlegung an exakt i Flächen berühren α i ist mit i= 1, 2, 3. 1)N = 1 + α 1 + α 2 + α 3 2)F I = α α α 3 3)F B = 2 α α )E I = α α 3 5)E B = 3 α α )V B = α 1 – α )V I = α 3 Tetraederzerlegung 4. Euler Formeln

9 Ina Ehmann Beweis: zu 1) N = 1 + α 1 + α 2 + α 3 Wir fangen mit einem Tetraeder an und notieren die Anzahl α i wie oft wir ein Tetraeder hinzufügen, das genau i Flächen berührt, so dass die gesamte Anzahl von Tetraeder N = 1 + α 1 + α 2 + α 3 ist. zu 2) F I = α α α 3 Jedesmal, wenn wir ein Tetraeder zu einer shellable Tetraederzerlegung hinzufügen, welches genau i Flächen berührt, steigt die Anzahl von inneren Flächen mit i. Also F I = α α α 3 Rest analog. Tetraederzerlegung 4. Euler Formeln

10 Ina Ehmann Diese Gleichungen können auf verschiedene Arten kombiniert werden, so dass sich verschiedene Beziehungen zwischen der Anzahl der Knoten, Kanten und Flächen zeigen. Satz 2: Sei einen shellable Tetraederzerlegung. Dann gilt: 1) N = E I + V B – V I – 3 2) N = F I /2 + F B /4 3) E B = 3V B – 6 4) F B = 2E B – 3 Tetraederzerlegung 4. Euler Formeln

11 Ina Ehmann Beweis: Aus den Gleichungen aus Satz 1 folgt sofort: α 3 = V I V B = α 1 - α V B = α 1 - V I + 4 α 1 = V B + V I – 4 E I = α α 3 E I = α 2 + 3V I α 2 = E I – 3V I Tetraederzerlegung 4. Euler Formeln Zu 1) N = E I + V B – V I – 3 N = 1 + α 1 + α 2 + α 3 = 1 + V B + V I – 4 + E I – 3V I + V I = E I + V B – V I – 3 Rest analog.

12 Ina Ehmann 5.1 Typ-4 Tetraederzerlegungen Sei B := [a 1, b 1 ] x [a 2, b 2 ] x [a 3, b 3 ] ein Rechteckiger Raum in ³ und a 1 = x 0 < x 1 < … < x m = b 1 a 2 = y 0 < y 1 < … < y n = b 2 a 3 = z 0 < z 1 < … < z l = b 3 V :={(x i, y j, z k )} und B := {B ijk } die Menge von N:= m x n x l Teilräume B ijk := [x i, x i+1 ] x [ y j, y j+1 ] x [z k, z k+1 ] Tetraederzerlegung 5. Tetraederzerlegungen konstruieren Lemma 1: Die Menge V kann unterteilt werden in die Menge V 1 und V 2, so dass alle Knoten v Vs, s {1,2} lediglich gemeinsame Kanten mit Knoten der Menge v Vt, t {1, 2} und s t. Wir nennen die Konten von V 1,Typ-1 und die Knoten V 2 Typ-2

13 Ina Ehmann Abbildung 1 zeigt die Zerlegungen eines einzelnen Teilraums in 5 Tetraeder. (Typ-1 Knoten sind rot, Typ-2 Knoten sind blau.) Das Tetraeder mit der roten Flächen hat ausschließlich Knoten vom Typ-2, alle Typ-2 Knoten wurden verbunden. Die vier anderen Tetraeder besitzen genau einen Typ-1 Knoten. Tetraederzerlegung 5. Tetraederzerlegungen konstruieren Abb. 1

14 Ina Ehmann 5.2 Freudenthal Zerlegung Sei n und h:= 1/n := {Q ijk := [ih, (i+1)h] x [jh, (j+1)h] x [kh, (k+1)h]; i,j,k = 0, …, n-1} sei die regelmäßige Zerlegung des Einheitswürfels Ω = [0,1] x [0,1] x [0,1] ³ V := { v ijk := (ih, jh, kh)} Definition 6: Sei F die Tetraederzerlegung die aus folgendermaßen entsteht: für alle 0 i,j,k n-1 wird der Würfel Q ijk von den drei Ebenen y – x = (j - i)h, z – x = (k – i)h, z – y = (k – j)h geschnitten. F wird als Freudenthal Zerlegung von Ω bezeichnet. Tetraederzerlegung 5. Tetraederzerlegungen konstruieren n i,j,k=0

15 Ina Ehmann Tetraederzerlegung 5. Tetraederzerlegungen konstruieren T4T4 T³ T²T1T1 T5T5 T6T6 Freudenthal Zerlegung: Jeder Würfel wird in 6 Tetraeder zerlegt

16 Ina Ehmann 5.3 Typ-6 Zerlegung Die 15 Knoten eines Würfels 8 Eckknoten6 Flächenknoten1 Würfelmittelpunktknoten Tetraederzerlegung 5. Tetraederzerlegungen konstruieren

17 Ina Ehmann 5.3 Typ-6 Zerlegung 1. Verbinde den Würfelmittelpunkt mit den 8 Eckknoten 6 Pyramiden 2. Verbinde den Würfelmittelpunkt mit den 6 Flächenknoten und die Flächenknoten mit den 8 Eckknoten 4 Tetraeder welche die Pyramidenachse als gemeinsame Kante haben 24 Tetraeder Tetraederzerlegung 5. Tetraederzerlegungen konstruieren

18 Ina Ehmann 6. Verfeinerung einer Tetraederzerlegung 6.1 Die Alfeld Verfeinerung, R sind zwei Tetraederzerlegungen in Ω Definition 7: R ist eine Verfeinerung von falls gilt: 1)Jeder Knoten von ist ein Knoten von R 2)Jeder Tetraeder t R ist ein Teiltetraeder von den Tetraeder T Definition 8: Sei T := v 1, v 2, v 3, v 4, v t := (v 1 +v 2 +v 3 +v 3 )/4 der Mittelpunkt von T. Die Alfred Teilung T A von T besteht aus 4 Teiltetraeder die entstehen, indem v t mit jedem Knoten von T verbunden wird. Tetraederzerlegung Die Alfeld Aufteilung eines Tetraeders

19 Ina Ehmann 6.2 Die Worsey-Farin Verfeinerung Tetraederzerlegung 6. Verfeinerung einer Tetraederzerlegung Definition 7: sei eine Tetraederzerlegung. Für jeden Tetraeder T in sei v T der Mittelpunkt von T und T A sei die dazugehörige Alfeld Teilung von T. Für jede innere Fläche F von, die sich zwei Tetraeder teilen, sei v F der Punkt, in dem die Strecke, die die zwei Mittelpunkte von T verbindet, F schneidet. Für jede äußere Fläche F sei v F, der Mittelpunkt von F. Jetzt verbinden wir für jede Fläche F, v F mit den Knoten von F und mit dem Mittelpunkt v T von jedem Tetraeder, das sich die Fläche F teilt. Die daraus resultierende verfeinerte Zerlegung WF wird Worsey-Farin Verfeinerung von genannt. Eine teilweise Worsey- Farin Aufteilung eines Tetraeders

20 Ina Ehmann Tetraederzerlegung Quellen: Lai, Schumaker Spline Functions on Triangulations Hecklin, Nürnberger, Schumaker, Zeilfelder: A local Lagrange interpolation method based on C 1 cubic splines on Freudenthal partitions Matt, Nürnberger: Local Lagrange interpolation using cubic C splines on type-4 cube partitions Nürnberger, Rhein, Schneider: Local Lagrange Interpolation by Quintic C 1 Splines on Type-6 Tetrahedral Partitions

21 Ina Ehmann Tetraederzerlegung Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!


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