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1 STATISIK LV Nr.: 1852 WS 2005/06 20. Dezember 2005.

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1 1 STATISIK LV Nr.: 1852 WS 2005/ Dezember 2005

2 2 Theorie Schätzen –Punktschätzer –Intervallschätzer –Eigenschaften Testen –Einführung –Hypothesen –Fehlentscheidungen –Spezielle Tests

3 3 Schätzverfahren Schluss von der Grundgesamtheit auf eine Stichprobe: Inklusionsschluss (direkter Schluss) Schluss von einer Stichprobe auf Parameter einer Grundgesamtheit: Repräsentationsschluss (indirekter Schluss) Unterscheidung: –Punktschätzer (einziger Schätzwert) –Intervallschätzer (Konfidenzintervall)

4 4 Schätzverfahren Punktschätzer: Für den zu schätzenden Parameter wird nur ein einziger Schätzwert angegeben. –Bsp. Schätze das unbekannte arithm. Mittel einer Grundgesamtheit μ durch das arithm. Mittel der Stichprobe Vorsicht: Die in einer Stichprobe realisierten Merkmalsausprägungen sind zufallsabhängig, Punktschätzer stimmen daher nur in den seltensten Fällen mit dem wahren Parameter überein.

5 5 Schätzverfahren Intervallschätzer: Ausgehend von einer Stichprobe wird ein Intervall bestimmt, in dem der zu schätzende Parameter der Grundgesamtheit mit einer bestimmten vorgegebenen Wahrscheinlichkeit liegt (Konfidenzintervall). Irrtumswahrscheinlichkeit α Konfidenzintervall zum Niveau 1-α (Vertrauensbereich od. Vertrauensintervall)

6 6 Schätzverfahren Ges: Konfidenzintervall für das arithm. Mittel: ZV Symmetrische Wahrscheinlichkeitsintervall Symmetrie: z (α /2) = –z (1-α/2) daher: z = –z (1-α/2) und –z = z (α /2) und

7 7 Schätzverfahren In diesem Wahrscheinlichkeitsintervall liegt das arithm. Mittel mit der Wahrscheinlichkeit 1- α. Gesucht ist ist aber nicht das Ws-Intervall der ZV, sondern das Konfidenzintervall für das unbekannte arithm. Mittel µ der Grundgesamtheit. –Varianz σ² der Grundgesamtheit bekannt –Varianz σ² der Grundgesamtheit unbekannt

8 8 Schätzverfahren Konfidenzintervall für µ bei bekannter Varianz σ² der Grundgesamtheit: Konkreter Stichprobenmittelwert

9 9 Schätzverfahren Konfidenzintervall für µ bei unbekannter Varianz σ² der Grundgesamtheit: Statt der unbekannte Varianz σ² wird die Stichprobenvarianz S² verwendet. Zufallsvariable: T ist t- verteilt mit v=n-1 Freiheitsgraden

10 10 Verteilungen Es gilt: –Ist T der Quotient einer Standardnormalverteilung und der Quadratwurzel des Mittelwerts von n quadrierten unabhängigen N(0,1)-verteilten ZV X i, dann folgt T einer t-Verteilung mit v=n Freiheitsgraden. Zufallsvariable: T ist t- verteilt mit v=n Freiheitsgraden T~t n t-Verteilung ist symmetrisch

11 11 Verteilungen t- Verteilung mit v Freiheitsgraden: –Erwartungswert (für n>1): E(T) = 0 –Varianz (für n>2): Var(T) = n / (n-2) Für n geht die t-Verteilung in die N(0,1) über. Approximation durch N(0,1)-Vt für n 30

12 12 Wahrscheinlichkeitsintervall für das arithm. Mittel bei unbekannter Varianz: Wobei t = t (1-α/2);n-1 = – t (α/2);n-1 die Punkte sind, bei denen die Verteilungsfunktion der t- Verteilung mit n-1 Freiheitsgraden die Werte 1-α/2 bzw. α/2 besitzt. Schätzverfahren

13 13 Konfidenzintervall für das arithm. Mittel bei unbekannter Varianz: Konkreter Stichprobenmittelwert Konkrete Stichprobenvarianz Schätzverfahren

14 14 Schätzverfahren Konfidenzintervall für den Anteilswert: Ann. genügend großer Stichprobenumfang, d.h. Approximation durch N-Vt möglich, E(P) = θ und Var(P) = σ P ² Standardisierte ZV:

15 15 Schätzverfahren Wahrscheinlichkeitsintervall: Konfidenzintervall: Ist σ P unbekannt, verwendet man stattdessen die Stichprobenvarianz des Anteilswertes als Schätzer.

16 16 Schätzverfahren Konfidenzintervall für die Varianz ZV (n-1)S² / σ² ist χ² verteilt mit v=n-1 Freiheitsgraden Wahrscheinlichkeitsintervall: Konfidenzintervall:

17 17 Stichprobenumfang Bisher: –Geg: Stichprobenumfang n, Sicherheitsgrad 1-α –Ges: Konfidenzintervall Jetzt: –Geg: Konfidenzintervall, Sicherheitsgrad 1-α –Ges: Stichprobenumfang Absoluter Fehler Δμ = zσ X ist ein Maß für die Genauigkeit der Schätzung Breite des Konfidenzintervalls: 2Δμ

18 18 Stichprobenumfang Frage: Welchen Stichprobenumfang benötigt man, um einen Parameter (arithm. Mittel) bei vorgegebener Genauigkeit und vorgegebenem Sicherheitsgrad zu schätzen?

19 19 Eigenschaften von Schätzern Eigenschaften von Schätzfunktionen: Erwartungstreue Effizienz Konsistenz Suffizienz

20 20 Eigenschaften von Schätzern Erwartungstreue Eine Schätzfunktion heißt erwartungstreu (unverzerrt, unbiased), wenn ihr Erwartungswert mit dem wahren Parameter übereinstimmt. Bedingung: Es gilt:

21 21 Eigenschaften von Schätzern Effizienz: Von 2 erwartungstreuen Schätzfunktionen gilt jene als effizienter (wirksamer), die die kleinere Varianz aufweist. Eine Schätzfunktion heißt effizient, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

22 22 Eigenschaften von Schätzern Konsistenz: Eine Schätzfunktion heißt konsistent, wenn der Schätzwert bei laufender Vergrößerung des Stichprobenumfangs (n oder nN) mit dem zu schätzenden Parameter zusammenfällt.

23 23 Eigenschaften von Schätzern Suffizienz: Eine Schätzfunktion heißt suffizient (erschöpfend), wenn sie sämtliche Informationen über den zu schätzenden Parameter, welche die Stichprobe enthält ausschöpft.

24 24 Schätzverfahren Methode der Kleinsten Quadrat Maximum Likelihood Momentenmethode

25 25 Konfidenzintervall Ausgehend von dem Ergebnis einer Stichprobe wird ein Intervall angegeben, in dem der zu schätzende Parameter der Grundgesamtheit mit einer bestimmten vorgegebenen Wahrscheinlichkeit (1-α) liegt.

26 26 Konfidenzintervall Bsp. Arithmetisches Mittel (ist bei N-Vt. Grundgesamtheit bzw. bei genügend großem Stichprobenumfang N-Vt.). Der wahre Parameter µ liegt mit der Wahrscheinlichkeit (1-α) im Intervall

27 27 Konfidenzintervall

28 28 Konfidenzintervall Bsp. Körpergröße: –Mittelwert =173,42 –Standardabweichung = 9,54 –N = 73 –2-seitiges KI zum Niveau α=0,05 Wahrscheinlichkeit, dass der wahre Parameter im KI liegt ist 0,95. Quantile der t-Vt: t=±1,99 Quantil der N(0,1)-Vt: z=±1,96 KI[171,19 µ 175,65]t-Vt KI [171,23 µ 175,61]N(0,1)-Vt

29 29 Statistische Tests Fragen: –Besteht ein Zusammenhang zw. dem Geschlecht und dem Rauchverhalten? –Ist der Ausschussanteil kleiner als 5%? –Ist die mittlere Länge eines Werkstücks, das von zwei verschiedenen Maschinen hergestellt wird, gleich? –Soll ein neues Medikament zugelassen werden? –Stammen Daten aus einer N-Vt Grundgesamtheit? –…

30 30 Statistische Tests Deskriptive Analyse der Daten –Lage- und Streuungsmassen –Kontingenztafeln –Korrelationsmaße –Verteilungsdiagramme –… Statistischer Test, um eine theoretisch abgesicherte Entscheidung zu treffen.

31 31 Statistische Tests Einführung: Testen von Hypothesen (Annahmen, Behauptungen) Statistischer Test: Verfahren, mit dessen Hilfe sich bestimmte Hypothesen auf ihre Richtigkeit hin überprüfen lassen. Statistische Testverfahren basieren auf Stichprobentheorie

32 32 Statistische Tests Einführung: Ziel: Richtigkeit von Aussagen über die Verteilung einer Zufallsvariablen überprüfen. Entscheidungsgrundlage: Ergebnis eines zufälligen Vorgangs. Daher: Entscheidungen nicht immer richtig Aber: Beim Vorliegen einiger der möglichen Verteilungen ist die Wahrscheinlichkeit falsch zu entscheiden beschränkt.

33 33 Statistische Tests: Hypothesen Hypothesen: Annahmen, Behauptungen, Aussagen über unbekannte Grundgesamtheit 2 Arten von Hypothesen: –Parameterhypothesen, Überprüfung durch Parametertests –Verteilungshypothesen, Überprüfung durch Verteilungstests

34 34 Statistische Tests: Hypothesen Formulierung von Hypothesen: Nullhypothese H 0 (Ausgangshypothese) Alternativhypothese H 1 (Gegenhypothese)

35 35 Statistische Tests: Hypothesen Bsp. Anteile: –H 0 : Ausschussanteil = 10% –H 1 : Ausschussanteil > 10% Mittelwerte: –H 0 : Mittlere Länge eines Werkstücks = 5cm –H 1 : Mittlere Länge eines Werkstücks 5cm Gruppenvergleich: –H 0 : Gruppe 1 und Gruppe 2 sind gleich –H 1 : Gruppe 1 und Gruppe 2 sind ungleich

36 36 Statistische Tests Entscheidung für H 0 oder H 1 basiert auf einer Stichprobe x 1,…,x n Wahrscheinlichkeitsaussage ob H 0 zutrifft oder nicht. Frage: H 0 ablehnen (verwerfen) oder H 0 nicht ablehnen?

37 37 Statistische Tests Mögliche Fehlentscheidungen: Fehler 1. Art (α-Fehler): obwohl H 0 korrekt ist wird H 0 abgelehnt Fehler 2. Art (β-Fehler): obwohl H 0 falsch ist wird H 0 nicht abgelehnt.

38 38 Statistische Tests Fehlentscheidungen Trifft zu Entscheidung H0H0 H1H1 H0H0 Richtige Entscheidung Fehler 2. Art (β -Fehler) H1H1 Fehler 1. Art (α-Fehler) Richtige Entscheidung

39 39 Statistische Tests Problem bei Fehlentscheidungen: Falsche Entscheidung Man weiß nicht, ob man in einer konkreten Situation einen Fehler macht, sondern nur welcher Art dieser ist.

40 40 Statistische Tests Signifikanzniveau eines Tests α: –Die Wahrscheinlichkeit eine Fehler 1. Art zu machen ist höchstens α, daher Test zum Niveau α - egal mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Fehler 2. Art begangen wird.

41 41 Statistische Tests Trifft H 0 zu und entscheidet man sich für H 1, dann ist die Wahrscheinlichkeit dabei einen Fehler zu machen α (α bekannt, wird festgelegt). Trifft H 1 zu und entscheidet man sich für H 0, dann ist die Wahrscheinlichkeit dabei eine Fehler zu machen = β (β unbekannt).

42 42 Statistische Tests

43 43 Statistische Tests D.h. durch Festlegen des α-Niveaus ist nur die Entscheidung für H 1 abgesichert. Bei Entscheidung für H 1 : –H 1 ist richtig, –H 1 ist falsch, ich mache einen Fehler mit Wahrscheinlichkeit α. Daher: Formuliere H 0 so, dass sie abgelehnt werden soll. bzw. in H 0 soll diejenige Annahme festgelegt werden, der die größere Bedeutung zukommt.

44 44 Statistische Tests Bsp. Medikamententest H 0 : Medikament ist nicht wirksam gegen H 1 : Medikament wirkt. –Fehler 1. Art: das Medikament wirkt nicht, man glaubt aber dass es wirkt –Fehler 2. Art: das Medikament wirkt, man glaubt aber dass es unwirksam ist. Wähle α=0,01 (sehr klein), da Risiko ein nichtwirksames Medikament als wirksam einzustufen sehr groß ist.

45 45 Statistische Tests Arten von Hypothesen: Einseitige Hypothesen –H 0 : θ θ 0 gegen H 1 : θ > θ 0 –H 0 : θ θ 0 gegen H 1 : θ < θ 0 Zweiseitige Hypothesen –H 0 : θ = θ 0 gegen H 1 : θ θ 0 Verteilungshypothesen: –H 0 : bestimmten Vt. gegen H 1 : nicht diese Vt.

46 46 Statistische Tests Arten von Testproblemen: –Einseitige Testprobleme Tests für einseitige Hypothesen –Zweiseitige Testprobleme Tests für zweiseitige Hypothesen –Anpassungstests Test für Verteilungshypothesen

47 47 Statistische Tests Gütefunktion oder Macht g(θ): Wahrscheinlichkeit sich für H 1 zu entscheiden, falls θ der wahre Parameter ist. Test zum Niveau α: –g(θ) α für alle θ H 0 –g(θ) α für alle θ H 1 –Ist θ H 1, ist 1-g(θ) Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art. –Funktion 1-g(θ) heißt Operationscharakteristik (OC)

48 48 Statistische Tests

49 49 Statistische Tests

50 50 Statistische Tests Trennschärfe eines Tests: –Steilheit der OC Kurve 1-g(θ) –Es gilt: Je größer die Stichprobe umso besser die Trennschärfe.

51 51 Statistische Tests

52 52 Statistische Tests Vorgehensweise bei statistischen Tests (I): –Formulierung von H 0 und H 1 und Festlegen des Signifikanzniveaus –Festlegung einer geeigneten Prüfgröße und Bestimmung der Testverteilung unter H 0. –Bestimmung des kritischen Bereichs –Berechnung der Prüfgröße (=Teststatistik) –Entscheidung und Interpretation

53 53 Statistische Tests Vorgehensweise bei statistischen Tests (II): –Formulierung von H 0 und H 1 und Festlegen des Signifikanzniveaus –Festlegung einer geeigneten Prüfgröße und Bestimmung der Testverteilung unter H 0. –Berechnung der Prüfgröße (=Teststatistik) –Bestimmung des p-Wertes der Teststatistik –Entscheidung und Interpretation

54 54 Statistische Tests p-Wert –Anstatt den kritischen Bereich bzw. die kritischen Werte zu bestimmen, Berechnung des p-Wertes. –p-Wert (p-value): Niveau, bei dem der Test gerade noch abgelehnt hätte. –Vergleich des p-Wertes mit dem vorher festgesetzten Niveau α. –Entscheidung: Lehne H 0 ab, wenn p-Wert < α

55 55 Statistische Tests Einseitige Tests (I) –H 0 : θ θ 0 gegen H 1 : θ > θ 0 und α = 0,05 –Teststatistik (T) und deren Verteilung unter H 0 bestimmen. –Bestimmung des kritischen Bereichs bzw. des kritischen Werts (c) –T > c, lehne H 0 ab –T c, lehne H 0 nicht ab

56 56 Statistische Tests

57 57 Statistische Tests Einseitige Tests (II) –H 0 : θ θ 0 gegen H 1 : θ > θ 0 und α = 0,05 –Teststatistik (T) und deren Verteilung unter H 0 bestimmen. –Bestimmung des p-Wertes –p < α, lehne H 0 ab –p α, lehne H 0 nicht ab

58 58 Statistische Tests

59 59 Statistische Tests Einseitige Tests (I) –H 0 : θ θ 0 gegen H 1 : θ < θ 0 und α = 0,05 –Teststatistik (T) und deren Verteilung unter H 0 bestimmen. –Bestimmung des kritischen Bereichs bzw. des kritischen Werts (c) –T < c, lehne H 0 ab –T c, lehne H 0 nicht ab

60 60 Statistische Tests

61 61 Statistische Tests Einseitige Tests (II) –H 0 : θ θ 0 gegen H 1 : θ < θ 0 und α = 0,05 –Teststatistik (T) und deren Verteilung unter H 0 bestimmen. –Bestimmung des p-Wertes –p < α, lehne H 0 ab –p α, lehne H 0 nicht ab

62 62 Statistische Tests

63 63 Statistische Tests Zweiseitige Tests (I) –H 0 : θ = θ 0 gegen H 1 : θ θ 0 und α = 0,05 –Teststatistik (T) und deren Verteilung unter H 0 bestimmen. –Bestimmung des kritischen Bereichs bzw. der kritischen Werte (c u und c o ) –T c o, lehne H 0 ab –c u T c o, lehne H 0 nicht ab

64 64 Statistische Tests

65 65 Statistische Tests Zweiseitige Tests (II) –H 0 : θ = θ 0 gegen H 1 : θ θ 0 und α = 0,05 –Teststatistik (T) und deren Verteilung unter H 0 bestimmen. –Bestimmung des p-Wertes –p < α, lehne H 0 ab –p α, lehne H 0 nicht ab

66 66 Statistische Tests

67 67 Statistische Tests Kritischer Wert: Wert auf der Achse p-Wert: Fläche unter der Dichte Entscheidung: –Lehne H 0 ab, wenn Prüfgröße im kritischen Bereich –Lehen H 0 ab, wenn p-Wert der Prüfgröße < α

68 68 χ² Unabhängigkeitstest Chi-Quadrat (χ²) Unabhängigkeitstest Teste ob 2 nominalskalierte Merkmale voneinander unabhängig sind. Bsp. Sind Geschlecht und Rauchverhalten voneinander unabhängig?

69 69 χ² Unabhängigkeitstest Chi-Quadrat (χ²) Unabhängigkeitstest H 0 : die beiden Merkmale sind voneinander unabhängig. H 1 : die beiden Merkmale sind nicht voneinander unabhängig, d.h. sie sind voneinander abhängig Festlegen des Signifikanzniveaus α.

70 70 χ² Unabhängigkeitstest Kontingenztafel: –Absolute Häufigkeiten der Merkmalsausprägungen A \ Bb1b1...bsbs a1a1 h 11 …h 1s h 1. :::: arar h r1 …h rs h r. h.1...h.s h.. = n

71 71 χ² Unabhängigkeitstest Bsp. 4-Felder Tafel: –Absolute Häufigkeiten der Merkmalsausprägungen

72 72 χ² Unabhängigkeitstest Prüfgröße und Testverteilung: Prinzip: Vergleiche die Werte, die man unter Unabhängigkeit der Merkmale erwarten würde (h e ), mit den tatsächlich beobachteten Werten (h o ). Wenn H 0 gilt, welche Werte würde man erwarten? Berechung der unter H 0 erwarteten absoluten Häufigkeiten.

73 73 χ² Unabhängigkeitstest Unter H 0 erwartete absoluten Häufigkeiten Interpretation der relativen Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten Dann: unter H 0 erwartete absoluten Häufigkeiten

74 74 χ² Unabhängigkeitstest Bsp. Geschlecht - Rauchverhalten

75 75 χ² Unabhängigkeitstest Teststatistik χ²: –Abweichung der beobachteten Häufigkeiten von den erwartete Häufigkeiten

76 76 χ² Unabhängigkeitstest Verteilung der Teststatistik χ²: χ²-Verteilung mit v = (r-1)·(s-1) Freiheitsgraden

77 77 χ² Unabhängigkeitstest Kritischer Bereich: Signifikanzniveau α Kritischer Wert: α-Quantil der χ² (r-1)·(s-1) Verteilung Lehne H 0 ab, wenn gilt: Wert der Teststatistik > kritischer Wert

78 78 χ² Unabhängigkeitstest Bsp. Geschlecht – Rauchverhalten: Teststatistik χ² Verteilung der Teststatistik: χ² 1 Chi-Quadrat Verteilung mit einem Freiheitsgrad

79 79 χ² Unabhängigkeitstest Bsp. Geschlecht – Rauchverhalten: Kritischer Wert: 0,05-Quantil der χ² 1 Vt. = 3,84 Entscheidung: (I) Teststatistik = 0,5 < 3,84 = kritischer Wert. Also: Lehne H 0 nicht ab. (II) p-Wert = 0,496 > 0,05. Also: Lehne H 0 nicht ab. Interpretation: Geschlecht und Rauchverhalten sind voneinander unabhängig.

80 80 χ² Homogenitätstest Chi-Quadrat (χ²) Homogenitätstest Betrachte zwei Gruppen bzw. Stichproben. Teste, ob die Stichproben aus der gleichen Grundgesamtheit stammen.

81 81 χ² Homogenitätstest Chi-Quadrat (χ²) Homogenitätstest H 0 : die beiden Stichproben stammen aus der gleichen Grundgesamtheit. H 1 : die beiden Stichproben stammen nicht aus der gleichen Grundgesamtheit. Festlegen des Signifikanzniveaus α.

82 82 χ² Homogenitätstest Bsp. Geschlecht – Rauchverhalten H 0 : Das Rauchverhalten der beiden Gruppen stimmt überein. H 1 : Das Rauchverhalten der beiden Gruppen stimmt nicht überein.

83 83 χ² Homogenitätstest Prüfgröße und Testverteilung: Prinzip: Vergleiche die Werte, die man unter H 0 (gleiche Grundgesamtheit) erwarten würde (h e ), mit den tatsächlich beobachteten Werten (h o ). Wenn H 0 gilt, welche Werte würde man erwarten? Berechung der unter H 0 erwarteten absoluten Häufigkeiten.

84 84 χ² Homogenitätstest Unter H 0 erwartete absoluten Häufigkeiten

85 85 χ² Homogenitätstest Teststatistik χ²: –Abweichung beobachteten Häufigkeiten und erwartete Häufigkeiten Verteilung der Teststatistik χ²: χ²-Verteilung mit v = (r-1)·(s-1) Freiheitsgraden

86 86 χ² Homogenitätstest Bsp. Geschlecht – Rauchverhalten: Teststatistik χ² = 0,5 Verteilung der Teststatistik: χ² 1 Entscheidung: –(I) χ² = 0,5 < 3,84. Lehne H 0 nicht ab. –(II) p-Wert = 0,496 > 0,05. Lehne H 0 nicht ab. Interpretation: die beiden Gruppen (Männer, Frauen) stammen aus der gleichen Grundgesamtheit, sie sind homogen.

87 87 χ² Tests χ² Unabhängigkeits- und Homogenitätstests: Teststatistik und Testverteilung sind gleich Nullhypothese und Interpretation sind verschieden. –Test auf Unabhängigkeit (die Merkmale sind unabhängig voneinander) –Test auf Homogenität (die Stichproben stammen aus der gleichen Grundgesamtheit).

88 88 χ² Tests χ² Unabhängigkeits- und Homogenitätstests: Für die Approximation durch die χ²-Vt. sollten die erwarteten Häufigkeiten jeder Zelle 5 sein und keine der Zellen sollte unbesetzt sein. Sind die Voraussetzungen verletzt, kann man einen exakten Test durchführen (siehe Hartung S. 414ff)

89 89 Anpassungstests Test einer Verteilungshypothese – Nichtparametrische Testverfahren Betrachtet Unterschied zw. Stichproben-Vt. und theoretischer Verteilung. Anpassungstest weil die Güte der Anpassung einer theoretischen Vt. an eine empirische Vt. überprüft wird.

90 90 Anpassungstests χ² Anpassungstest: H 0 : die Grundgesamtheit gehorcht einer bestimmten Verteilung. Vorgehensweise: –Bestimme die unter H 0 zu erwartenden Häufigkeiten h e und vergleiche sie mit den beobachteten Häufigkeiten h o. –Abweichung groß – Entscheidung gegen H 0, Abweichung klein – Entscheidung für H 0.

91 91 Anpassungstests χ² Anpassungstest: Teststatistik: k... Anzahl der Merkmalsausprägungen (diskrete Merkmale) bzw. Anzahl der Klassen (stetigen Merkmalen) Testverteilung: χ² v verteilt mit v=n-1 Es gilt wieder: h e sollten 5 sein.

92 92 Anpassungstests χ² Anpassungstest: Entscheidung: –Bestimmung des kritischen Bereichs, χ² > kritischer Wert, lehne H 0 ab –Bestimmung des p-Wertes, p-Wert < α lehne H 0 ab

93 93 Anpassungstest Bsp. χ² Anpassungstest: –H 0 : Augenfarbe ist gleichverteilt –H 1 : Augenfarbe ist nicht gleichverteilt –α = 0,05 Teststatistik: 8,583 > 5,991 (0,05 Quantil der χ² 2 Verteilung) => H 0 ablehnen p-Wert: 0,014 H 0 ablehnen

94 94 Anpassungstests Kolmogorov-Smirnov- Anpassungstest: Test zur Beurteilung der Güte der Anpassung einer erwarteten theoretischen Verteilung an eine beobachtete empirische Verteilung. H 0 : die Grundgesamtheit gehorcht einer bestimmten Verteilung. Prinzip: Abweichung empirische- von der theoretische Verteilungsfunktion.

95 95 Anpassungstests Kolmogorov-Smirnov- Anpassungstest: Prüfgröße (D): –größte beobachtete absolute Abweichung der theoretischen von der empirischen Verteilungsfunktion. Testverteilung: –Kolmogorov-Smirnov- Verteilung, hängt nur vom Stichproben-umfang n ab (1-α Quantile in Tabelle nachschlagen). Entscheidung: –D > kritischer Wert (aus Tabelle), lehne H 0 ab.


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