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1 STATISIK LV Nr.: 0021 WS 2005/06 25. Oktober 2005.

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1 1 STATISIK LV Nr.: 0021 WS 2005/ Oktober 2005

2 2 Theoretische Verteilungen Diskrete Verteilungen –Binomialverteilung –Hypergeometrische Verteilung –Poissonverteilung –... Stetige Verteilungen –Gleichverteilung –Exponentialverteilung –Normalverteilung –Chi-Quadrat Verteilung –t-Verteilung (Studentverteilung) –F-Verteilung –...

3 3 Binomialverteilung Wahrscheinlichkeiten für die Häufigkeit des Eintreffens bestimmter Ereignisse bei Bernoulli-Experimenten berechnen. Bernoulli-Experiment: Folge von Bernoulli- Versuchen. Urnenmodell mit Zurücklegen –Es gibt nur 2 mögliche Ausgänge: A und Ā –Wahrscheinlichkeiten für Eintreten von A (θ) und Ā (1- θ) sind konstant –Versuche sind voneinander unabhängig.

4 4 Binomialverteilung Bsp. Bernoulli-Experiment: –fünfmaliges Werfen einer Münze, Zufallsvariable X Anzahl der Zahlen, Realisation x = 0, 1, 2, 3, 4, 5 –Wahrscheinlichkeiten für Eintreten von A: W(X=x) = f(x) = ?

5 5 Binomialverteilung Wahrscheinlichkeit des Auftretens einer bestimmten Realisation x: W(X=x) = f(x) Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung:

6 6 Binomialverteilung Bsp. Münzwurf (n=5), Wahrscheinlichkeit dass genau 2-mal Zahl geworfen wird: W(X=2)

7 7 Binomialverteilung Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X höchstens den Wert x annimmt: Verteilungsfunktion F B (x;n,θ)

8 8 Binomialverteilung Bsp. Münzwurf (n=5), Wahrscheinlichkeit dass höchstens 2-mal Zahl geworfen wird: W(X 2)

9 9 Binomialverteilung Erwartungswert der Binomialverteilung: E(X) = n·θ Varianz der Binomialverteilung: Var(X) = n·θ·(1-θ) Bsp. Münzwurf: –E(X) = 5·0,5 = 2,5 –Var(X) = 5·0,5·(1-0,5) = 1,25

10 10 Hypergeometrische Verteilung Urnenmodell Ziehen ohne Zurücklegen: –Urne mit N Kugeln (M schwarze, N-M weiße) –Zufallsstichprobe: ziehe n Kugeln ohne Zurücklegen –Wahrscheinlichkeit, dass unter den n gezogenen Kugeln genau x schwarze zu finden sind? Ziehen ohne Zurücklegen, keine Berücksichtigung der Reihenfolge.

11 11 Hypergeometrische Verteilung Urnenmodell: –Aus M schwarzen Kugeln genau x auswählen: Anzahl der Kombinationen –Aus N-M weißen Kugeln genau n-x auswählen: Anzahl der Kombinationen –Jede mögl. Stpr. x schwarze aus M kann mit jeder mögl. Stpr. n-x weiße aus N-M kombiniert werden. –Daher: Gesamtzahl der Möglichkeiten genau x schwarze zu ziehen: –Gesamtzahl der Möglichkeiten aus N Kugeln n zu ziehen:

12 12 Hypergeometrische Verteilung Wahrscheinlichkeit genau x schwarz Kugeln zu ziehen: Wahrscheinlichkeitsfunktion der Hypergeometrischen Verteilung:

13 13 Hypergeometrische Verteilung Verteilungsfunktion: Summation der Einzelwahrscheinlichkeiten Liefert Wahrscheinlichkeit für höchstens x schwarze Kugeln

14 14 Hypergeometrische Verteilung Bsp. Sortiment von N=8 Dioden, es werden n=3 zufällig gezogen (ohne Zurücklegen), M=5 der Dioden sind defekt. Ges: Wahrscheinlichkeit, dass genau 2 (=x) der 3 gezogenen Dioden defekt sind.

15 15 Hypergeometrische Verteilung Erwartungswert: E(X) = n · M/N Varianz Var(X) = n · M/N · (N-M)/N · (N-n)/(n-1) Approximation durch Binomialverteilung: –Wenn N, M, N-M groß und n klein, Parameter der Binomialverteilung: θ = M/N –Faustregel: Approximation, wenn n/N < 0,05

16 16 Poissonverteilung Verteilung seltener Ereignisse Große Zahl von Versuchen n, Wahrscheinlichkeit θ für Auftreten eines Ereignisses sehr klein Wahrscheinlichkeitsfunktion:

17 17 Poissonverteilung Erwartungswert: E(X) = μ Varianz: Var(X) = μ Approximation der Binomialverteilung durch die Poissonverteilung: –n groß und θ klein, Parameter μ = n·θ –Faustregel: n > 10 und θ < 0,05. Approximation der Hypergeometrischen Vt. –M/N = θ klein, N im Vergleich zu n groß, Parameter μ = n · M/N –Faustregel: M/N < 0,05 und n/N < 0,05

18 18 Poissonverteilung Bsp. Wahrscheinlichkeit bei einer Prüfung von n=2000 Buchungen genau 3 (=x) Fehlbuchungen zu finden, Anteil der Fehlbuchungen: θ=0,001. Poissonverteilung: μ = n·θ = 2

19 19 Gleichverteilung Diskrete Zufallsvariable: Jede der k möglichen Ausprägungen hat gleiche Wahrscheinlichkeit P(X=x i ) = 1/k (i=1,…,k) Bsp. Wahrscheinlichkeitsverteilung der Augenzahl eines idealen Würfels: P(X=x i ) = 1/6(i=1,…,6)

20 20 Gleichverteilung Stetige Zufallsvariable: Realisationen der stetigen Zufallsvariablen X liegen im Intervall [a;b] Dichtefunktion: P(x X x+Δx) = 1/(b-a) · Δx

21 21 Gleichverteilung

22 22 Gleichverteilung Verteilungsfunktion (Integration der Dichte)

23 23 Gleichverteilung

24 24 Gleichverteilung Erwartungswert: E(X) = (a+b)/2 Varianz: Var(X) = (b-a)² / 12 Bsp. Wegzeit ist gleichverteilt im Intervall [30;40]. Ges. Wahrscheinlichkeit zw. 32 und 35 Min. zu benötigen. P(32 X 35) = 1/(b-a) · Δx = 1/(40-30) · (35-32) = 0,3 Durchschnittlich benötigte Zeit: E(X) = 35

25 25 Normalverteilung Wichtigste theoretische Verteilung: Normalverteilung: –stetige Verteilung –symmetrische Dichtefunktion –S-förmige Verteilungsfunktion –Erwartungswert: E(X) = µ –Varianz: Var(X) = σ² –Maximum der Dichte bei x=µ –Wendepunkte bei x=µ σ

26 26 Normalverteilungen Normalverteilung: Dichtefunktion (für - 0) : Verteilungsfunktion:

27 27 Normalverteilung Normalverteilungen mit unterschiedlichen Parametern

28 28 Normalverteilung Verteilungsfunktion

29 29 Normalverteilung Standardnormalverteilung: –Erwartungswert µ = 0 –Varianz σ² = 1 Dichtefunktion:

30 30 Normalverteilung Standardnormalverteilung

31 31 Normalverteilung Approximation durch Normalverteilung: Mit wachsendem n nähern sich viele theoretische Vt. der Normalverteilung Empirische Verteilungen lassen sich ebenfalls oft durch die N-Vt. annähern.

32 32 Normalverteilung Reproduktionseigenschaft (od. Additivitäts- eigenschaft) der Normal-Vt. Additionstheorem der Normalverteilung: –Die Summe (X) von n unabhängig normalverteilten Zufallvariablen X 1,…,X n ist ebenfalls normalverteilt. X = X 1 + … + X n –Der Erwartungswert von X ist die Summe der einzelnen Erwartungswerte μ 1,…,μ n E(X) = μ = μ 1 + … + μ n –Die Varianz von X ist die Summe der einzelnen Varianzen σ 1 ²,…σ n ² Var(X) = σ ² = σ 1 ² + … + σ n ²

33 33 Stichproben Arithmetische Mittel der Stichprobe: Varianz der Stichprobe: Anteilswert P einer Stichprobe:

34 34 Stichprobenverteilung Verteilung des arithmetischen Mittels der Stichprobe (Zufallsstichprobe): –Zufallsvariable X 1,…,X n –Konkrete Realisation: x 1,…,x n Arithmetische Mittel: –Arithm. Mittel von ZV ist wieder eine ZV (Funktion von n ZV)

35 35 Stichprobenverteilung Erwartungswert der Verteilung des arithmetischen Mittels: Varianz der Verteilung des arithm. Mittels Standardabweichung od. Standardfehler

36 36 Stichprobenverteilung Erwartungswert u. Varianz bekannt Verteilung des arithm. Mittels? Annahme: Grundgesamtheit ist N(μ,σ²)-vt. –Reproduktionseigenschaft der N-Vt: Summe von n unabhängig normal-vt. ZV ist wieder n-vt –Daher ist auch das arithm. Mittel normalverteilt

37 37 Grenzwertsätze Verhalten des Mittelwert von n unabhängig identisch verteilten (i.i.d.) ZV X 1,…,X n, wenn n laufend erhöht wird (n ) Gesetz der Großen Zahlen Satz von Glivenko-Cantelli Zentraler Grenzwertsatz

38 38 Grenzwertsätze Gesetz der Großen Zahlen: Beinhaltet die Aussage, dass sich der Mittelwert mit wachsendem n immer mehr um den gemeinsamen Erwartungswert µ der X i konzentriert.

39 39 Grenzwertsätze Gesetz der Großen Zahlen: Beinhaltet die Aussage, dass der Wert der empirischen Verteilungsfunktion an der Stelle t mit wachsendem n gegen den entsprechenden Wert der Verteilungsfunktion von X konvergiert.

40 40 Grenzwertsätze Satz von Glivenko-Cantelli: Wert der empirischen Verteilungsfunktion konvergiert an der Stelle t mit wachsendem n gegen den entsprechenden Wert der Verteilungsfunktion von X.

41 41 Grenzwertsätze Zentraler Grenzwertsatz: Aussage über die Form der Verteilung des Mittelwertes (standardisierte ZV Z n ). Die Verteilungsfunktion von Z n konvergiert gegen die Standardnormalverteilung (Φ … Vt-Fkt. der N(0,1) Vt.)

42 42 Grenzwertsätze Aus dem Zentralen Grenzwertsatz folgt: Die Verteilung des arithm. Mittels von n unabhängig identisch verteilten Zufallsvariablen X i (X 1,…,X n ) strebt mit wachsendem Stichprobenumfang n gegen eine Normalverteilung mit dem Erwartungswert µ und Varianz σ²/n. Gleichbedeutend: Das arithmetische Mittel ist asymptotisch normalverteilt. Faustregel: n > 30, N-Vt. ist gute Näherung für die Vt. des arithmetischen Mittels der Stichprobe.

43 43 Stichprobenverteilung Verteilung der Varianz S² der Stichprobe: Annahme: Grundgesamtheit ist N(µ,σ²)-vt. X i sind n unabhängige normal-vt. ZV mit E(X i )=µ und Var(X i )= σ² (i=1,…,n) Stichprobenvarianz S² ist eine Funktion von n ZV X i und somit wieder eine ZV.

44 44 Stichprobenverteilung Verteilung der Varianz S² der Stichprobe: Chi-Quadrat Verteilung mit v=n-1 Freiheitsgraden, χ² n-1 Es gilt: –Ist Z² = X i ² + … + X n ² (Summe von n quadrierten unabhängigen N(0,1)-verteilten ZV X i ), dann folgt Z² einer Chi-Quadrat Verteilung mit v Freiheitsgraden. Anzahl der unabhängigen ZV, die Z² bilden, nennt man Anzahl der Freiheitsgrade.

45 45 Stichprobenverteilung χ² v Verteilung: –Erwartungswert: E(Z²)=v –Varianz: Var(Z²)=2v –Mit wachsendem v nähert sich die χ² v Vt. einer N-Vt. mit Parametern µ=v und σ²=2v.

46 46 Stichprobenverteilung Anteilswert P einer Stichprobe (P=X/n) 2 Modelle: –Ziehen mit Zurücklegen –Ziehen ohne Zurücklegen Bsp. Urne, N Kugeln, M schwarz, (N-M) weiße, ziehe n Kugeln (mit bzw. ohne Zurücklegen der gezogenen Kugeln), θ ist die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen einer schwarzen Kugel.

47 47 Stichprobenverteilung Ziehen mit Zurücklegen –Exakte Verteilung: Binomialverteilung Wahrscheinlichkeitsfunktion der ZV X: –Erwartungswert: E(X) = nθ –Varianz: Var(X) = nθ(1- θ)

48 48 Stichprobenverteilung Ziehen mit Zurücklegen –Erwartungswert des Stichprobenanteilswertes P: E(P) = 1/n E(x) = θ –Varianz des Stichprobenanteilswertes P: Var(P) = 1/n² Var(X) = θ(1- θ) / n –Standardfehler des Anteilswertes:

49 49 Stichprobenverteilung Approximation durch Normalverteilung (Faustregel: nθ(1- θ) 9) Erwartungswert: E(P) = µ = nθ Varianz: Var(P) = σ P ² = nθ(1- θ)

50 50 Stichprobenverteilung Ziehen ohne Zurücklegen –Exakte Verteilung: Hypergeometrische Vt. –Wahrscheinlichkeitsfunktion der ZV X: –Erwartungswert: E(X) = n M/N –Varianz: Var(X) = nθ(1- θ) · (N-n)/(N-1)

51 51 Stichprobenverteilung Ziehen ohne Zurücklegen: –Erwartungswert des Stichprobenanteilswertes: E(P) = 1/n E(X) = θ –Varianz des Stichprobenanteilswertes: Var(P) = 1/n² Var(X) = θ(1- θ)/n · (N-n)/(N-1) –Standardfehler des Anteilswertes: –Endlichkeitskorrektur = 1 setzen, wenn n bzgl. N sehr klein ist (Faustregel: n/N < 0,05)

52 52 Stichprobenverteilung Approximation durch Normalverteilung µ = E(P) = θ σ² = Var(P) = θ(1- θ)/n · (N-n)/(N-1)

53 53 Stichprobenverteilung Die Stichprobenverteilungen des arithmetischen Mittels, der Varianz und des Anteilswertes können also durch die Normalverteilung approximiert werden.

54 54 Stichprobenverteilung Differenz zweier arithmetischer Mittel: Annahmen: –2 unabhängige Stichproben –Beide Grundgesamtheiten sind annähernd N-vt Stichprobenverteilung der Differenz: N-Vt –Erwartungswert: –Varianz:

55 55 Stichprobenverteilung Differenz zweier Anteilswerte: Annahmen: –2 unabhängige Stichproben –P 1, P 2 annähernd n-vt. und N 1, N 2 so groß, dass Endlichkeitskorrektur vernachlässigbar ist. Stichprobenverteilung: N-Vt –Erwartungswert: –Varianz:

56 56 Stichprobenverteilung Quotient zweier Varianzen: Annahmen: –2 unabhängige Stichproben (n 1, n 2 ) –σ 1 ² und σ 2 ² aus n-vt Grundgesamtheiten –Quotient:

57 57 Stichprobenverteilung Stichprobenverteilung: F-Verteilung mit v 1 und v 2 Freiheitsgraden, F v1,v2. Für v 2 > 2 gilt: –Erwartungswert: E(F) = v 2 / (v 2 -2) –Varianz:


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