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Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA) 05_anova11 Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA) 1.Ziele der Varianzanalyse 2.Formale Hypothesen 3.Strukturgleichung.

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1 Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA) 05_anova11 Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA) 1.Ziele der Varianzanalyse 2.Formale Hypothesen 3.Strukturgleichung und Kodierung 4.Quadratsummenzerlegung 5.Erwartungswerte 6.F-Test 7.anova und glm in SPSS 8.Voraussetzungen der Varianzanalyse 9.Effektstärke

2 Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA) 05_anova12 Ziele der Varianzanalyse Vergleich von Mittelwerten Warum kein t-Test?! Einfaktorielle ANOVA mit zwei Gruppen entspricht den t-Test! strukturellbildhaft M=5M=10

3 Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA) 05_anova13 Beide Tests sind äqui- valent, d.h. sie liefern den gleichen p-Wert. Zudem gilt: F = t² = (-3.73)² = ANOVA (F-Test): t-Test:

4 Alpha-Fehler Kumulierung 05_anova14 Mehrere Gruppen: Wenn drei Gruppen verglichen werden sollen, sind verschiedene Vergleiche möglich: (1) struk vs. bild: t(8) = -3,73; p =.006 (2) struk vs. emo: t(8) = -9.04; p =.000 (3) bild vs. emo: t(8) = -1.69; p =.129 Frage: Hängt die Erinnerungsleistung von der Lernbedingung ab?

5 Alpha-Fehler Kumulierung 05_anova15 Mehrere Gruppen: Bei jedem der 3 Vergleiche besteht die Gefahr fälschlicherweise einen signifikanten Effekt zu finden (α = 0.05). Die Wahrscheinlichkeit, bei keinem der Vergleiche einen Fehler zu machen beträgt nach dem Multiplikationstheorem: p(kein Fehler) = = 0.86 Die Wahrscheinlichkeit (mindestens) einen Fehler zu machen beträgt damit: p(Fehler) = 1 - p(kein Fehler) = 1 – 0.86 = 0.14 p(Fehler) = 1 - (1- α)³ Dies wird als α-Fehler-Kumulierung (bzw. α-Fehler-Inflation) bezeichnet.

6 Alpha-Fehler Kumulierung 05_anova16 Zwei-faktorielle Versuchspläne: Bei 6 Gruppen gibt es bereits 15 Einzelvergleiche… strukturellbildhaftemotional männlich weiblich p(Fehler) = 1 - (.95) 15 = =.54

7 Alpha-Fehler Kumulierung 05_anova17 Definition Der kumulierte α-Fehler gibt die Wahrscheinlichkeit an, mindestens einen statistisch Bedeutsamen Gruppen- unterschied zu finden, obwohl in der Population alle Gruppen gleich sind. GruppenVergleiche Kumulierter α-Fehler

8 Alpha-Fehler Kumulierung 05_anova18 Bonferroni-Korrektur Mit der Bonferoni-Korrektur wird das α-Fehler-Niveau für jeden einzelnen Test soweit herabgesetzt, dass der kumulierte Fehler nur noch.05 beträgt. Beispiel:6 Gruppen 15 Tests α adj =.05 / 15 =.003 Nachteil: Viele Gruppen sehr niedriges Alpha-Niveau bei den einzelnen Test geringe Power (großer β-Fehler) Besser: Berechnung einer Varianzanalyse (Ein Test für alle Mittelwerte!)

9 Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA) 05_anova19 Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA) 1.Ziele der Varianzanalyse 2.Formale Hypothesen 3.Strukturgleichung und Kodierung 4.Quadratsummenzerlegung 5.Erwartungswerte 6.F-Test 7.anova und glm in SPSS 8.Voraussetzungen der Varianzanalyse 9.Effektstärke

10 Hypothesen der Varianzanalyse 05_anova110 Varianzanalyse für Mittelwertsvergleiche? H 0 :Alle Mittelwerte sind gleich: μ 1 = μ 2 = … = μ p μ i = μ j (für alle i,j) bzw. H 0 : Alle Effekte sind Null H 0: α 1 = α 2 = … = α p = 0 α i = 0 (für alle i) bzw. H 0 : Die Varianz der Effekte ist Null H 0: σ² α = 0 oder σ² Effekt =0

11 Hypothesen der Varianzanalyse 05_anova111 Varianzanalyse für Mittelwertsvergleiche? H 1 : Mindestens zwei Mittelwerte sind verschieden μ i μ j (für mind. ein Paar i, j) bzw. H 1 : Mindestens ein Effekt ist ungleich Null α i 0 (für mindestens ein i) bzw. H 1 : Varianz der Effekte ist größer als Null σ² α > 0 oder σ² Effekt >0 globale (ungerichtete) Alternativhypothese

12 Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA) 05_anova112 Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA) 1.Ziele der Varianzanalyse 2.Formale Hypothesen 3.Strukturgleichung und Kodierung 4.Quadratsummenzerlegung 5.Erwartungswerte 6.F-Test 7.anova und glm in SPSS 8.Voraussetzungen der Varianzanalyse 9.Effektstärke

13 Strukturgleichung 05_anova113 Nach dem Allgemeinen Linearen Modell kann der Wert der AV für Vp i in der Bedingung j geschätzt werden als: Wobei gilt: Und folglich:

14 Strukturgleichung 05_anova114 Eigenschaften der Strukturgleichung Es gilt wiederum die Bedingung der kleinsten Quadrate: Der Mittelwert der Fehler (e i,j ) ist Null: Der Mittelwert der Effekte (a j ) ist Null (ohne a 0 ):

15 Designmatrix: Dummy- und Effektkodierung 05_anova115 AVFehlerEffekteDesignmatrix (Indikator- variablen) Y = X a + e

16 Designmatrix: Dummy- und Effektkodierung 05_anova116 Die Varianzanalyse verwendet jedoch nur 2 Variablen (k-1), um die Zugehörigkeit zu den 3 Gruppen zu kodieren.

17 Designmatrix: Dummykodierung 05_anova117 Nachteil: Der Effekt für Gruppe 3 kann nicht mehr angegeben werden!

18 Designmatrix: Effektkodierung 05_anova118

19 Kodierung 05_anova119 Je nachdem, ob die Dummycodierung oder die Effektkodierung gewählt wird, ergibt sich eine unterschiedliche Strukturgleichung für letzte Gruppe. Bei der Dummykodierung: y ij =a 0 +e ij Annahme: kein Effekt in Gruppe j (Kontrollgruppe) Bei der Effektkodierung: y ij =a 0 +a j +e ij Annahme: Effekt in Gruppe j (z.B. Placebo)

20 Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA) 05_anova120 Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA) 1.Ziele der Varianzanalyse 2.Formale Hypothesen 3.Strukturgleichung und Kodierung 4.Quadratsummenzerlegung 5.Erwartungswerte 6.F-Test 7.anova und glm in SPSS 8.Voraussetzungen der Varianzanalyse 9.Effektstärke

21 Quadratsummen 05_anova121 Quadratsummen werden zur Berechnung der Varianz verwendet: Quadratsumme Freiheitsgrade

22 Quadratsummen 05_anova122 Die Varianz entspricht der mittleren Quadratsummen (Mean Sum of Squares, MS) Quadratsumme (QS) oder Sum of Squares (SS) Freiheitsgrade oder degrees of freedom

23 Beispiel: Quadratsumme 05_anova123 strukturellbildhaft y 11 =5y 12 =12 y 21 =7y 22 =7 y 31 =3y 32 =8 y 41 =4y 42 =10 y 51 =6y 52 =13 M 1 =5M 2 =10 G=7.5

24 Beispiel: Freiheitsgrade der Quadratsumme 05_anova124 strukturellbildhaft y 11 =5y 12 =12 y 21 =7y 22 =7 y 31 =3y 32 =8 y 41 =4y 42 =10 y 51 =6y 52 =13 M 1 =5M 2 =10 G=7.5

25 Beispiel: Gesamtvarianz 05_anova125 strukturellbildhaft y 11 =5y 12 =12 y 21 =7y 22 =7 y 31 =3y 32 =8 y 41 =4y 42 =10 y 51 =6y 52 =13 M 1 =5M 2 =10 G=7.5

26 Quadratsummenzerlegung 05_anova126 Gesamt-Quadratsumme (QS total, SS total ) Quadratsumme innerhalb der Gruppen (QS innerhalb, QS Fehler, SS within, SS Error ) Quadratsumme zwischen den Gruppen (QS zwischen, QS Effekt, SS between, SS Treatment )

27 Beispiel: Varianz innerhalb der Gruppen 05_anova127 strukturellbildhaft y 11 =5y 12 =12 y 21 =7y 22 =7 y 31 =3y 32 =8 y 41 =4y 42 =10 y 51 =6y 52 =13 M 1 =5M 2 =10 G=7.5

28 Beispiel: Varianz zwischen den Gruppen 05_anova128 strukturellbildhaft y 11 =5y 12 =12 y 21 =7y 22 =7 y 31 =3y 32 =8 y 41 =4y 42 =10 y 51 =6y 52 =13 M 1 =5M 2 =10 G=7.5

29 Beispiel: Zwischenergebnisse 05_anova129 Gesamtvarianz Varianz innerhalb Varianz zwischen

30 Beispiel: Zwischenergebnisse 05_anova130 Additivität Quadratsummen sind additiv! Freiheitsgrade sind additiv! Varianzen sind nicht additiv!

31 Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA) 05_anova131 Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA) 1.Ziele der Varianzanalyse 2.Formale Hypothesen 3.Strukturgleichung und Kodierung 4.Quadratsummenzerlegung 5.Erwartungswerte 6.F-Test 7.anova und glm in SPSS 8.Voraussetzungen der Varianzanalyse 9.Effektstärke

32 Erwartungswerte 05_anova132 Gedankenexperiment 1: Die H 0 gilt in der Population Gegeben seien zwei Populationsverteilungen, mit µ 1 = µ 2 = 7.5 und identischen Populationsvarianzen von σ 1 = σ 1 = 2.25 Aus jeder Population wird eine Stichprobe der Größe N=5 gezogen und es wird die Varianz innerhalb und die Varianz zwischen den Bedingungen berechnet Der Vorgang wird sehr oft wiederholt und der Mittelwert (Erwartungswert) der beiden Varianzen wird berechnet

33 Gedankenexperiment 1: Die H 0 gilt 05_anova133 Gedankenexperiment 1: Die H 0 gilt in der Population Varianz innerhalb der Gruppen: – Varianz innerhalb schätzt die Fehlervarianz Varianz zwischen den Gruppen: – Varianz zwischen schätzt Effekt- und Fehlervarianz – Unter der Nullhypothese ist Effektvarianz=0

34 Gedankenexperiment 1: Die H 0 gilt 05_anova134 Gedankenexperiment 1: Die H 0 gilt in der Population Unter der Nullhypothese schätzt die Stichprobenvarianz innerhalb der Gruppen die Fehlervarianz in der Population Die Stichprobenvarianz zwischen den Gruppen schätzt ebenfalls die Fehlervarianz in der Population

35 Gedankenexperiment 2: Die H 1 gilt 05_anova135 Gedankenexperiment 2: Die H 1 gilt in der Population Gegeben seien zwei Populationsverteilungen, mit µ 1 = 5 und µ 2 = 10 und identischen Populationsvarianzen von σ 1 = σ 2 = 2.25 Aus jeder Population wird eine Stichprobe der Größe N=5 gezogen und es wird die Varianz innerhalb und die Varianz zwischen den Bedingungen berechnet Der Vorgang wird sehr oft wiederholt und der Mittelwert (Erwartungswert) der beiden Varianzen berechnet

36 Gedankenexperiment 2: Die H 1 gilt 05_anova136 Gedankenexperiment 2: Die H 1 gilt in der Population Varianz innerhalb der Gruppen: – Varianz innerhalb schätzt die Fehlervarianz Varianz zwischen den Gruppen:

37 Gedankenexperiment 2: Die H 1 gilt 05_anova137 Gedankenexperiment 2: Die H 1 gilt in der Population Unter der Alternativhypothese schätzt die Stichprobenvarianz innerhalb der Gruppen die Fehlervarianz in der Population Die Stichprobenvarianz zwischen den Gruppen schätzt die Summe aus Effekt- und Fehlervarianz in der Population

38 Gedankenexperimente: Zwischenergebnisse 05_anova138 Ergebnisse:

39 Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA) 05_anova139 Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA) 1.Ziele der Varianzanalyse 2.Formale Hypothesen 3.Strukturgleichung und Kodierung 4.Quadratsummenzerlegung 5.Erwartungswerte 6.F-Test 7.anova und glm in SPSS 8.Voraussetzungen der Varianzanalyse 9.Effektstärke

40 Der F-Test 05_anova140 Der F-Test vergleicht zwei Varianzen: Hypothesen: – H 0 : Varianzen gleich groß F 1 – H 1 : Zählervarianz größer F > 1 Wenn F emp > F krit wird die H 0 verworfen F krit hängt ab von … – df Zähler – df Nenner –α–α

41 Der F-Test 05_anova141 Der F-Bruch für die einfaktorielle ANOVA

42 Der F-Test 05_anova142 Der F-Bruch für die einfaktorielle ANOVA Interpretation des F-Wertes: – F = 1 σ between = 0 H 0 annehmen – F > 1 σ between > 0 H 0 verwerfen

43 Der F-Test 05_anova143 Darstellung von F-Tests in Forschungsberichten: Signifikante Ergebnisse: Es findet sich ein signifikanter Einfluss des Faktors Therapiemethode, F(2, 37) = 5.34; p <.05. Es findet sich ein signifikanter Einfluss des Faktors Therapiemethode (F[2, 37] = 5.34; p <.01). Nicht-signifikante Ergebnisse: – Es findet sich kein signifikanter Einfluss des Faktors Therapiemethode, F(2, 37) = 1.44; n.s. – Es findet sich kein signifikanter Einfluss des Faktors Therapiemethode (F[2, 37] = 1.44; p =.25). – Es findet sich kein signifikanter Einfluss des Faktors Therapiemethode, F < 1.

44 Der F-Test 05_anova144 Darstellung von F-Tests in Forschungsberichten: Die Angaben zum F-Test werden in der Regel am Ende des Satzes mit Komma getrennt (oder in Klammern) angegeben. Folgende Angaben müssen aufgeführt werden: – F-Wert – Zähler und Nennerfreiheitsgrade – p-Wert (exakt oder Signifikanzniveau) Für F und p werden immer exakt zwei Nachkommastellen angegeben Ausnahmen: – Bei nicht-signifikanten Ergebnissen darf die Angabe des p-Werts weggelassen werden. In diesem Fall wird einfach n.s. für nicht signifikant angehängt. – Bei F<1 darf die Angabe der Freiheitsgrade und des p-Werts weggelassen werden.

45 Beispiel: F-Test 05_anova145 Beispiel: Durchführung des F-Tests Gedächtnisexperiment – drei Gruppen, je n=5 UV: Instruktion – Konsonanten zählen – bildlich vorstellen – Emotionalität beurteilen AV: Anzahl erinnerter Wörter

46 Beispiel: F-Test 05_anova146 Schritte bei der Durchführung des F-Tests 1.Gruppen- und Gesamtmittelwerte bilden 2.Quadratsummen berechnen 3.Freiheitsgrade berechnen 4.Mittlere Quadratsummen berechnen 5.Empirischen F-Wert berechnen 6.Vergleich mit kritischem F-Wert

47 1. Gruppen- und Gesamtmittelwerte bilden 05_anova147 strukturellbildhaftemotional y 11 =5y 12 =12y 13 =12 y 21 =7y 22 =7y 23 =11 y 31 =3y 32 =8y 33 =12 y 41 =4y 42 =10y 43 =12 y 51 =6y 52 =13y 53 =13

48 2. Quadratsummen berechnen 05_anova148 strukturellbildhaftemotional y 11 =5y 12 =12y 13 =12 y 21 =7y 22 =7y 23 =11 y 31 =3y 32 =8y 33 =12 y 41 =4y 42 =10y 43 =12 y 51 =6y 52 =13y 53 =13 Quadratsumme zwischen:

49 2. Quadratsummen berechnen 05_anova149 strukturellbildhaftemotional y 11 =5y 12 =12y 13 =12 y 21 =7y 22 =7y 23 =11 y 31 =3y 32 =8y 33 =12 y 41 =4y 42 =10y 43 =12 y 51 =6y 52 =13y 53 =13 Quadratsumme innerhalb:

50 3. Freiheitsgrade berechnen 05_anova150 strukturellbildhaftemotional y 11 =5y 12 =12y 13 =12 y 21 =7y 22 =7y 23 =11 y 31 =3y 32 =8y 33 =12 y 41 =4y 42 =10y 43 =12 y 51 =6y 52 =13y 53 =13

51 4. Mittlere Quadratsummen 05_anova151

52 5. Empirischer F-Wert 05_anova152

53 6. Kritischer F-Wert 05_anova153

54 6. Kritischer F-Wert 05_anova154 Interpretation: Die H 0 wird verworfen Die H 1 wird angenommen Es gibt eine Effektvarianz Die Gruppen unterscheiden sich voneinander

55 Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA) 05_anova155 Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA) 1.Ziele der Varianzanalyse 2.Formale Hypothesen 3.Strukturgleichung und Kodierung 4.Quadratsummenzerlegung 5.Erwartungswerte 6.F-Test 7.anova und glm in SPSS 8.Voraussetzungen der Varianzanalyse 9.Effektstärke

56 anova und glm in SPSS 05_anova156

57 anova in SPSS 05_anova157 Syntax: oneway wörter by bedingung.

58 anova in SPSS 05_anova158

59 glm in SPSS 05_anova159 Syntax: unianova wörter by bedingung. oder glm wörter by bedingung.

60 glm in SPSS 05_anova160

61 Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA) 05_anova161 Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA) 1.Ziele der Varianzanalyse 2.Formale Hypothesen 3.Strukturgleichung und Kodierung 4.Quadratsummenzerlegung 5.Erwartungswerte 6.F-Test 7.anova und glm in SPSS 8.Voraussetzungen der Varianzanalyse 9.Effektstärke

62 Voraussetzungen der Varianzanalyse 05_anova162 Voraussetzungen der Varianzanalyse Intervallskalierte, normalverteilte abhängige Variable (AV) Berechnung von Varianzen Mindestens 20 Elemente pro Gruppe Ähnlich Gruppengrößen in den Zellen Varianzhomogenität

63 Prüfung der Varianzhomogenität 05_anova163 Zur Überprüfung der Varianzhomogenität stehen verschiedene Tests zur Verfügung: a)Barlett-Test (sehr empfindlich gegenüber der Verletzungen der Normalverteilung) b)Levene-Test (relativ unempfindlich gegenüber Verletzungen der Normalverteilung) c)F max -Statistik (Hartley Test) (Nur bei gleichen Gruppen-Größen)

64 Der Levene-Test 05_anova164 Der Levene-Test ist eine Varianzanalyse über die Abweichung der individuellen Messwerte vom Gruppenmittelwert: Wird der Levene-Test signifikant (p <.05), dann ist die Annahme der Varianzgleichheit verletzt. In diesem Fall sollte (streng genommen) keine Varianzanalyse verwendet werden. H0:H0:

65 Der Levene-Test in SPSS 05_anova165 Test der Homogenität der Varianzen wörter Levene- Statistikdf1df2Signifikanz 3,840212,051 p >.05 ANOVA darf verwendet werden!

66 Voraussetzungen der Varianzanalyse 05_anova166 Die Varianzanalyse ist robust! Bei Verletzungen der Annahmen resultieren meistens trotzdem sinnvolle Ergebnisse (Insbesondere bei großen Stichproben). Wenn nur eine der Annahmen verletzt ist, können die Ergebnisse einer ANOVA dennoch in aller Regel verwendet werden. – Allerdings muss dann berichtet werden, dass die Annahme verletzt ist, damit der Leser weiß, das die Ergebnisse mit Vorsicht zu interpretieren sind! Wenn allerding mehrere Voraussetzungen verletzt sind, sollte keine ANOVA mehr verwendet werden.

67 Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA) 05_anova167 Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA) 1.Ziele der Varianzanalyse 2.Formale Hypothesen 3.Strukturgleichung und Kodierung 4.Quadratsummenzerlegung 5.Erwartungswerte 6.F-Test 7.anova und glm in SPSS 8.Voraussetzungen der Varianzanalyse 9.Effektstärke

68 Berechnung der Effektstärke 05_anova168 Effektstäre Wenn eine ANOVA ein signifikantes Ergebnis hat, stellt sich die Frage nach der Effektstärke. Formulierungen der H 1 : – Es besteht ein statistisch bedeutsamer Zusammenhang zwischen UV und AV – Die UV erklärt einen bedeutsamen Anteil der Varianz der AV Der Anteil aufgeklärter Varianz (R²) kann als Maß für die Effektstärke interpretiert werden. Der Anteil aufgeklärter Varianz wird bei der ANOVA als (partielles) η² (Eta²) bezeichnet.

69 Berechnung der Effektstärke 05_anova169 Eta² kann auch aus dem F-Wert berechnet werden:

70 Effektstärke in SPSS 05_anova170

71 Effektstärke in SPSS 05_anova171

72 Zusammenfassung ANOVA 05_anova172 1.Warum Varianzanalyse? Alphafehlerkummulierung Bonferoni-Korrektur 2.Hypothesen H 0 : Alle Mittelwerte sind gleich 1H 1 : Nicht alle Mittelwerte sind gleich 3.Strukturgleichung und Kodierung Y = X a + e Dummy vs. Effektcodierung

73 Zusammenfassung ANOVA 05_anova173 4.Quadratsummenzerlegung 5.Erwartungswerte Unter der H 0 : σ² between = σ² within Unter der H 1 : σ² between > σ² within

74 Zusammenfassung ANOVA 6.F-Test: 7.anova und glm in SPSS 8.Voraussetzungen der Varianzanalyse Intervallskalenniveau, Normalverteilung N i 20 N max / N min < 1.5 Varianzhomogenität 9.Effektstärke (η²) = Aufgeklärte Varianz (R²) 05_anova174


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