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Institut für Kartographie und Geoinformation Prof. Dr. Lutz Plümer Geoinformation I Vorlesung 4 WS 2000/2001 Modellierung des Raumes.

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Präsentation zum Thema: "Institut für Kartographie und Geoinformation Prof. Dr. Lutz Plümer Geoinformation I Vorlesung 4 WS 2000/2001 Modellierung des Raumes."—  Präsentation transkript:

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2 Institut für Kartographie und Geoinformation Prof. Dr. Lutz Plümer Geoinformation I Vorlesung 4 WS 2000/2001 Modellierung des Raumes

3 Neuer Abschnitt: Modellierung des Raumes Bisher: Modellierung von Objekten

4 Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 43 Übersicht I Räume I Räume II Topologische Räume Topologische Invarianten (Beispiele) Nicht-topologische Eigenschaften Punktmengentopologie Beispiele Weitere (teilweise pathologische) Beispiele Die Fahrtzeittopologie

5 Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 44 Übersicht II Nähe, Offen + Geschlossen Der Rand oder die Grenze Beispiele Zusammenhang Diskret und indiskret Topologische Eigenschaften

6 Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 45 Räume I Nach I. Kant ist der Raum eine grundlegende Form unserer Anschauung anders ausgedrückt: eine bestimmte Weise, wie wir unsere Wahrnehmung organisieren die Vorstellung von Raum geht somit der Erfahrung (Messung) voraus eine Messung ist die Bestimmung einer Invariante ohne das Konzept einer Invariante wäre die strafrechtliche Verfolgung von Geschwindigkeitsübertretungen nicht zu vertreten Geschwindigkeit Invariante gegenüber –Tachometer –Radarmessung der Polizei

7 Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 46 Interessanterweise gibt es nicht einen, sondern mehrere Räume abhängig von der Fragestellung 4 große Bereiche –Betrachungen auf der Erdoberfläche Geometrie auf dem Ellipsoid (geodätisches Rechnen) –Abbildung der Erdoberfläche auf die Ebene (Karte) Netzentwürfe, Kartographie –Abbildungen im Raum und in der Ebene euklidische Geometrie, lineare Algebra –Projektion auf das Bild –Verzerrende Abbildungen, Topologie Räume II

8 Projektivität Affinität Ähnlichkeit TranslationRotation Bewegung Invarianten Geradentreue Parallelentreue Winkeltreue Abstandstreue Koordinaten- differenzen Richtungswinkel -differenzen Operationen Rotation r (um 0)Verschiebung t Zoom + r + t r + t... + Parallelenkonvergenz... + Scherung Abbildungen

9 Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 48 Topologische Räume In der Praxis sinnvolle Transformationen, die –alle geometrischen Invarianten verletzen können –trotzdem strukturelle räumliche Eigenschaften erhalten Paradigma: elastische Verformung –Metapher: Gummihauttransformation –anderes Beispiel: Tätowierung (kartographisches) Beispiel: –Übersichtskarte Hamburg (aus einem Tourenplaner) –Liniennetzplan des Hamburger Verkehrsverbundes

10 Übersichtskarte Hamburg und Umgebung

11 Schnellbahnen Hamburg und Umgebung

12 Elastische Verformung Ausgangs- punkt

13 Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 412 Topologische Invarianten (Beispiele) Ein Knoten ist Endpunkt einer Kante Zwei Kanten kreuzen sich / sind kreuzungsfrei Ein Punkt liegt im Inneren einer Fläche Ein Punkt liegt auf dem Rand einer Fläche Eine Fläche hat ein Loch Eine Fläche ist zusammenängend / nicht zusammenhängend Zwei Flächen sind benachbart

14 Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 413 Nicht-topologische Eigenschaften Abstand Fläche Winkel Umfang Durchmesser

15 Mathematik

16 Nachbarschaft Punkt Punktmengentopologie Ausgangspunkt: Eine Menge S und die Menge aller Teilmengen von S (die Potenzmenge P(S) ) Ein topologischer Raum besteht aus einer Menge S und einer Menge von Teilmengen von S (nicht notwendig aller), den Nachbarschaften. Dabei gilt: T1: Jeder Punkt x S liegt in einer Nachbarschaft von S. T2: Der Durchschnitt zweier Nachbarschaften eines Punktes x S enthält eine Nachbarschaft von x.

17 Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 416 Beispiele Die offene Kreisscheibe in der euklidischen Ebene –Menge aller Punkte, die durch einen Kreis begrenzt werden, aber nichtauf demselben liegen punktierte Linie: offen durchgezogene Linie: geschlossen Beachte: T2 ist erfüllt –Der Durchschnitt zweier Nachbarschaften eines x S enthält eine Nachbarschaft von x. Offene Kreisscheibe Punkt

18 Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 417 Weitere (teilweise pathologische) Beispiele Die diskrete Topologie von S: –S und die Menge aller Teilmengen von S –die kleinste Nachbarschaft von x ist {x} (Einzimmerappartment, daher der Name diskret) Die indiskrete Topologie –S selbst ist die einzige Nachbarschaft von S die offenen Intervalle (a,b) in der Menge S der reellen Zahlen als Nachbarschaften (S = R) die offenen Kugeln in S = R 3

19 Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 418 Die Fahrtzeittopologie Gegeben sei ein Gebiet, das durch ein Verkehrsnetz erschlossen ist. S sei die Menge aller Punkte des Gebiets. Sei (x,y) die Fahrtzeit auf der kürzesten Verbindung zwischen x und y. Annahme Für alle x, y S gilt: (x,y) = (y,x) –Symmetrie, keine Einbahnstraßen t-Zone: die Menge aller Punkte, die in weniger als t Minuten erreichbar ist. S mit der Menge aller t-Zonen ist eine Topologie.

20 Die 1-Stunden-Zone um Liége

21 Jetzt kommen mehrere auf den ersten Blick recht abstrakte Definitionen

22 Zielbegriff: Der Rand oder die Grenze Teilziel: Offene und geschlossene Flächen

23 Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 422 Nähe, Offen + Geschlossen Im folgenden stets: S sei ein topologischer Raum, X S, x S x ist nahe an X, falls jede Nachbarschaft von x einen Punkt von X enthält. X ist offen, wenn jeder Punkt y X eine Nachbarschaft hat, die ganz in X ist. X ist geschlossen, wenn X alle nahen Punkte enthält. C = {(x,y) | x 2 + y 2 < 1} sei die offene Kreisscheibe um den Ursprung mit Radius 1. nahe Nicht nahe offen geschlossen

24 Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 423 Der Rand oder die Grenze Der Abschluß einer Teilmenge X S ist die Vereinigung von X mit allen nahen Punkten. Notation: X¯ Komplement: X Das Innere von X ist die Menge aller Punkte von X, die nicht zugleich nahe Punkte von X sind. Notation: X° Die Grenze (oder der Rand) von X ist die Menge aller Punkte, die nahe zu X und zugleich zu X sind. Notation: X Es gilt: X = X¯ \ X° (mengentheor. Diff.) Der Rand einer offenen Kreisscheibe ist der Kreis (wie zu erwarten)

25 Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 424 Beispiele Die Menge S Das Innere von S Abschluß von S Rand von S

26 Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 425 Zusammenhang Ein Punktmenge X heißt zusammenhängend, wenn für jede Partition (disjunkte Zerlegung) in nichtleere Teilmengen A und B gilt: Entweder enthält A einen Punkt nahe an B oder umgekehrt. Nicht zusammenhängend zusammen hängend

27 Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 426 Diskret und indiskret Übung 1: Zeigen Sie: In der diskreten Topologie ist jede nichtleere Menge gleichzeitig offen und geschlossen. Übung 2: Zeigen Sie: In der indiskreten Topologie ist jede nichtleere Menge weder offen noch geschlossen.

28 Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 427 Euklidische Topologie äquivalent nicht äquivalent Topologische Eigenschaften Eine topologische Transfor- mation (Homeomorphismus) oder eine elastische Verformung bildet Nachbar- schaften auf Nachbarschaften ab. Ferner ist jede Nachbarschaft Bild eine Nachbarschaft. Topologische Eigenschaften sind die Invarianten topologischer Abbildungen.


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