Mechanische Wellen, Akustik, Ultraschall

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1 Mechanische Wellen, Akustik, Ultraschall
Péter Maróti Professor für Biophysik, Universität von Szeged, Ungarn. Lehrbücher: Biophysik für Mediziner (Herausgeber S. Damjanovich, J. Fidy und J. Szöllősi) Medicina, Budapest, 2008. Adam G., Läuger P., Stark G. Physikalische Chemie und Biophysik, Springer-Verlag, Berlin 1988. Fercher A.F. Medizinische Physik, Springer, Wien, New York 1992. Haas U. Physik für Pharmazeuten und Mediziner; Wissenschaftliche Verlagsgesellschaft mbH. Suttgart 2002. Jerrentrup A. Physik für Mediziner, Original-Prüfungsfragen mit Kommentar, Schwarze Reihe, 19. Auflage, Thieme Verlag Stuttgart 2009. Maróti P., Laczkó G.: Bevezetés a biofizikába, JATEPress, Szeged 1998 (Ungarisch) P. Maróti, L. Berkes, F. Tölgyesi: Biophysics Problems. A Textbook with Answers. Akadémiai Kiadó, Budapest 1998 (Englisch).

2 Mechanische Welle, Schallwelle
Definitionen: der Bewegungszustand des schwingenden Körpers verbreitet sich im elastischen Medium im Raum und nach der Zeit. Wellen können sich nur in Medien bilden und ausbreiten wo die schwingungsfähigen Teilchen miteinander gekoppelt sind. Schwingt eines der Teilchen, so wird es zum Erregungszentrum sich ausbreitender Wellenzüge. In einer Welle wird Schwingungsenergie übertragen. Schwingen die Teilchen quer zur Ausbreitungsrichtung der Welle, so heiβt sie Quer- oder Transversalwelle. In ihr wechseln Wellenberge und Wellentäler. Wellenberg Wellental Schwingen die Teilchen in der Ausbreitungsrichtung der Welle, so heißt sie Längs- oder Longitudinalwelle. In ihr wechseln Verdichtungen und Verdünnungen. Verdünnung Verdichtung

3 Kenngrößen der Wellen Wellenberg und –tal bzw. Verdichtung und Verdünnung ergeben zusammen eine Wellenlänge. Unter der Wellenlänge (λ) versteht man den kürzesten Abstand zweier Teilchen in gleicher Schwingungsphase. Entsprechend ihrer Ausbreitungsrichtung unterscheidet man - lineare Wellen, - Flächenwellen und - Raumwellen. Unter dem Wellenstrahl versteht man die Ausbreitungsrichtung der Welle. Senkrecht zu ihr verläuft die Wellenfront. Verdichtung Verdünnung Longitudinalwelle Druck Amplitude Ort Transversalwelle Zeit Ziehen Wellenlänge Schwingungsdauer

4 Ausbreitung einer harmonischen Auslenkung
Ungestörter Stab Momentaufnahmedes Stabs während der Schall-ausbreitung Momentan-zustand des Stabs (t ist fix). Momentan-aufnahme der Verteilung der Spannung (Druck) entlang des Stabs.

5 Das Spektrum der mechanischen Welle (Schallspektrum)
Ultraschall Hören, Gesang Menschliches Sprechen, Obere Hörgrenze der Katze Infraschall Medizinischer Ulraschall Fledermaus

6 Gleichung der linearen (harmonischen) Welle Kinematik von Schallwellen
Wellenzahl: Winkel der Phase: Schallgeschwindigkeit: c Lineare Frequenz: f Die Gleichung ist periodisch sowohl im Raum wie auch in Zeit. Schwingungsperiode: T Wellenlänge: (λ) Anfangsphase: φ Kreisfrequenz: ω Anfangsphase: φ Wellenzahl

7 Wesen des Schalls Schwingung Schalleindruck
Man unterscheidet in Akustik: Ton, Klang, Geräusch und Knall. Der Ton: ist eine reine Sinusschwingung (Grundschall). Der Klang ist die Überlagerung mehrerer Töne (Oberschwingungen, siehe Fourier-Analyse). Das Geräusch ist eine unregelmäβige (aperiodische) Schwingung. Der Knall ist ein kurzzeitiger und starker Schalleindruck. Schwingung Schalleindruck Amplitude Lautstärke Frequenz Tonhöhe Schwingungsform Klangfarbe

8 Schallreflexion und Schallbrechung
Lot Reflexionsgesetz Brechungsgesetz refl Beide Strahlen und das Lot liegen in einer Ebene. Die Brechzahl n21 ist gleich dem Verhältnis der Schallgeschwindig-keiten in zwei Medien. Der Grenzwinkel der Totalreflexion (β = 90o): sin αGrenze = c1/c2. Luft Wasser Haut c (m/s) 345 1480 1950 Akustische Dichte, Brechzahl groß klein sehr klein GrenzwinkelαGrenze (Grad) 13,5 49,4 sin αhatár = c1/c2. Grenze β = 90o

9 Speziellfall: senkrechter Einfall
wo Z = ρ·c ist die Schallimpedanz („akustischer Widerstand”) des Mediums: das Produkt der mechanischen Dichte (ρ) und der Schallgeschwindigkeit (c). Je größer der Unterschied in den akustischen Impedanzen zweier aneinander grenzender Stoffe ist, desto größer ist die Intensität der reflektierten Welle. Beispiel: Ultraschall ist vom Luft (Z = 0,43·103 kg·m-2·s-1) zu weichen Geweben (Z = 1,6·106 kg·m-2·s-1) senkrecht gerichtet. Der Reflexionskoeffizient ist R = 0,9994, d.h. der Transmissionskoeffizient ist bloß T = 1- R = 0,06% . Wenn wir aber einen Stoff (Z = 1,5·106 kg·m-2·s-1) zwischen dem Ultraschall Transducer und dem Gewebe verwenden, der akustische Kopplung macht, dann der Reflexionskoeffizient wird viel kleiner: R = 0,001, d.h. T = 0,999. Der Verlust beträgt 3 Größenordnung, wenn kein akustische Kopplung verwendet wird!

10 Akustische Impedanzen einiger Gewebearten
Stoff Akustische Impedanz, Z (kg·m-2·s-1) Knochen 3,75 bis 7,38·106 Muskel 1,65 bis 1,74 ·106 Leber 1,64 bis 1,68 ·106 Hirn 1,55 bis 1,66 ·106 Fett 1,35 ·106 Blut 1,62 ·106 Wasser 1,52 ·106 Cornea 1,54 ·106 Kammerwasser 1,53 ·106 Augenlinse 1,75 ·106 Glaskörper Sklera 1,81 ·106 Lunge 0,26 ·106 Luft 430 (nach P.N.T. Wells, 1977)

11 Energie der harmonischen Wellen
Der zeitliche Mittelwert der Energiedichte der harmonischen Welle ist: (Ein kleines Volumen ΔV mit Masse Δm des Mediums macht harmonische Schwingung mit Amplitude A und Kreisfrequenz ω.) Die Strahlungsleistung aus einer Fläche q beträgt: Die Intensität (Leistungsdichte) der Welle ist Beispiel. Die Intensität und Frequenz des Ultraschalls betragen 100 mW/cm2 bzw. 3 MHz. Im Wasser (Dichte 103 kg/m3, Schallgeschwindigkeit 1480 m/s) sind die Amplitude A = 2 nm, das Maximum der Geschwindigkeit vmax = 3,7 cm/s, das Maximum der Beschleunigung amax = 7·104 g (!) und das Maximum des Druckes pmax = 0,5 bar.

12 Objektive Schallintensität
Schallquelle P (W) normales Gespräch 10-5 Ruf (Schrei) 10-3 Klavier (Maximum) 0,1 Hupe (Auto) 5 großer Lautsprächer 102 Luftschutzsirene 103 Wenn man zwei Intensitäten (P1 und P2) miteinander vergleicht: gemeßt in Dezibel (dB)

13 Hörschall, Schallintensitätspegel, die Dezibel Skala
Was der Mensch als (subjektive) Lautstärke empfindet, ist bei festgehaltener Frequenz von der Schallintensität anhängig. Die kleinste von vielen Menschen noch wahrnehmbare Schallintensität beträgt bei einer Frequenz von f = 1 kHz etwa I0 = 1·10-12 W·m-2 Dieser Wert heißt daher untere Hörschwelle. Schallintensitäten um 1 W/m2 hingegen werden bereits als schmerzhaft empfunden. Das Ohr beherrscht also gut 12 Zehnerpotenzen der Schallintensitäten. Weber-Fechnersches Gesetz: die Lautstärkeempfindung erfolgt etwa proportional zum Logarithmus der Schallintensität. Aus diesem Grunde benutzt man in der Akustik zur Beschreibung der Schallstärke einer Schallwelle anstelle der Schallintensität I eine logarithmische Größe, den Schall(intensität)pegel L Meist wird der 10-fache Betrag von L benutzt:

14 Subjektive Lautstärke, die Phon Skala
Da die Empfindlichkeit des Ohres stark frequenzabhängig ist, wird ein und dieselbe Schallintensität I bzw. ein und derselbe Schallpegel L bei verschiedenen Frequenzen unterschiedlich laut empfunden. Beispielweise muß der Schallpegel für einen gerade noch hörbaren Signalton bei einer Frequenz von 125 Hz um 20 dB höher liegen, als bei 2 kHz. Dem trägt die physiologische Größe „Lautstärkepegel” mit der Einheit 1 Phon Rechnung. Diese Größe ist so festgelegt, daß ihre Zahlenwerte bei der Schallfrequenz 1 kHz gleich den Zahlenwerten des Schallpegels L (in dB gemessen) sind. Für andere Frequenzen entnimmt man die zu einem gemessenen Schallpegel L gehörende Lautstärke einem international vereinbarten Isophonendiagramm.

15 Isophonendiagramm: Kurven gleicher Lautstärkepegel
L (phon) = L1 kHz (dB)

16 Subjektive Lautstärke einiger Schallquellen
Lautstärkepegel (Phon) Hörschwelle feine, leise Gelispel des Baumblattes 10 Gesäusel 20 Geräusch (Lärm) einer stillen Straße 30 normale Rede 50 Ruf 80 Gebrüll eines Löwen in der Nahe 120 Schmerzschwelle 130 L (Phon) = L1 kHz (dB)

17 Abschwächung der Schallintensität längst der Ausbreitung
Punktförmige Schallquelle: die Wellenfronten sind konzentrische Kugel, wenn das Medium homogen und isotrop ist. I : Intensität (Leistungsdichte) des Schalls P: Strahlungsleistung r : Radius, Abstand von der Strahlungsquelle Erzeugung + Interferenz der Wellen

18 sin α = 1,22·c/(f·D) N = f·D2/(4c) f (MHz) N (cm) α (Grad) 1 1,6 12,3
Kreisförmige Ultraschallquelle (Transducer): der Durchmesser ist D, die Frequenz ist f. Verteilung der Intensität nach Richtung. sin α = 1,22·c/(f·D) Fresnel Zone Fraunhofer Zone Achse der Strahlung N = f·D2/(4c) nahe ferne Zone Interferenz von Wellenfronten der punktförmigen Wellenquellen f (MHz) N (cm) α (Grad) 1 1,6 12,3 2 3,2 6,1 5 7,9 2,5 Beispiel. Die Schallgeschwindigkeit ist c = 1580 m/s in weichem Gewebe und der Diameter des Transducers ist D = 1 cm!

19 Die Veränderung der Intensität in Richtung senkrecht zur Achse der Strahlung
Wellenstrahl ferne Zone Transducer nahe Zone

20 Wie kann man das Strahlungsfeld des Ultraschalls umstalten (fokusieren)? Mit Akustik: durch Spiegel und Linsen Mit Elektronik: durch Regelung der Phase Sammelfläche Ultraschall Wellen Sammellinse Ultraschall Wellen Zerstreuungsfläche Zerstreuungslinse

21 Intensitätsabnahme von Ultraschall
Die Intensität einer Schallwelle nimmt entlang der Ausbreitungsstrecke aus verschiedenen Gründen ab: Wegen der Strahlgeometrie, falls die Wellen divergent laufen (im Falle die Strahlen konvergieren, nimmt die Schallintensität zu). Durch Reflexion an den Grenzflächen zweier Medien. Durch Beugung. Durch Streuung. Kleine Objekte werden von der Schallwelle zum Schwingen angeregt und strahlen Schall in verschiedene Richtungen ab. Durch Absorption. Durch Konversion der Wellenform. Z.B. Umwandlung einer Longitudinalwelle in eine Transversalwelle. Dadurch wird der ersteren Welleart Energie entzogen. Der Prozeß kommt bei Reflexion an Grenzflächen in allen festen und zähen Stoffen vor und hat in der Medizin große Bedeutung, weil Schall-Transversalwellen für das durchschallte Gewebe von besonderer Schädlichkeit sind.

22 Intensitätsabnahme von Ultraschall durch Streuung und Absorptions: Beer’sches Gesetz
Die Intensitätsabnahme ist bei beider Prozessen umso größer, je größer die jeweils vorliegende Intensität I(x) im Schallbündel ist. Die infinitesimale Verluste dI sind in homogenen Stoffen proportional zu der vom Schall durchlaufenen infinitesimalen Strecke dx. Somit die Abnahme der Schallintensität durch Streuung: durch Absorption insgesamt Diese Gleichung läßt sich integrieren Die Schallintensität bei Austritt Der Absorptionskoeffizient τ und der Streukoeffizient σ sind stoffspezifisch und ihre Einheit ist m-1. Der Absorptionskoeffizient τ ist etwa proportional zur Schallfrequenz f: τ ~ f (τ + σ) heißt der Abschwächungs- oder Extinktionskoeffizient.

23 Extinktionskoeffizient τ + σ und Absorptionskoeffizient τ verschiedener menschlicher Gewebearten bei der Schallfrequenz f = 1 MHz τ + σ (cm-1) τ (cm-1) Wasser 0,0005 Blut 0,03 Leber 0,17 0,05 Hirn 0,18 0,06 Muskel 0,3 0,07 Fettgewebe 0,1 Sehen 0,8 0,22 Augenlinse 0,5 Knochen, massiv 3 1 Lungengewebe 7 nach P.N.T Wells 1977 und A.R. Williams 1983

24 Schallgeschwindigkeit
Eine mechanische Verschiebung an einem festen Körper breitet sich durch die Bindungskräfte zwischen den Molekülen aus. Eine Kraft F wirkt mit konstanter Gröβe während eines Zeitintervals Δt auf das eine Stabende. Diese mechanische Verschiebung erfaβt die Stablänge clong·Δt, wobei clong die longitudinale Schall-geschwindigkeit ist. Das Stabende verschiebt sich hierbei um die „Auslenkung” (aus der Ruheposition) u. Hammer elastischer Stab clong Hammer elastischer Stab

25 Wie hängt die Schallgeschwindigkeit von den Eigenschaften des Mediums?
Die Schallgeschwindigkeit hängt nur von den Eigenschaften der verschiedenen Stoffe, nicht aber von der Frequenz des Schalls ab. In festen Stoffen können auch Longitudinalwellen und auch Transversalwellen fortpflanzen. Wenn c ist die Schallgeschwindigkeit in einem isotropen festen Körper vom großen Ausmaß, E ist die Elastizitäts(Young)modul, ρ ist die Dichte und μ ist die Poisson-Zahl: dann gilt Weil für viele Stoffe μ ≈ 1/3 ist, deswegen clong ≈ 2·ctrans. Im allgemeinen, μ ≤ ½, und deswegen die Geschwindigkeit der Longitudinalwellen ist größer als die Geschwindigkeit der Transversalwellen in dem selben festen Körper. Beispiel: Man kann das Epizentrum des Erdbebens von der Zeitdifferenz des Ankommens der zwei Wellenarten bestimmen.

26 Wie hängt die Schallgeschwindigkeit von den Eigenschaften des Mediums?
Feste Stange von unendlicher Länge: die Geschwindigkeit der Longitudinalwelle beträgt: E ist das Young Modul des Körpers In Flüssigkeiten K ist das Kompressionsmodul der Flüssigkeit: In Gasen wo κ = cp/cV ist das Verhältnis der spezifischen Wärme bei konstantem Druck (cp) bzw. Volumen (cV), R ist die universale Gaskonstante und T ist die absolute Temperatur des Gases (Laplace’sche Ausdruck, 1816). Die Schallgeschwindigkeit in idealen Gasen hängt nur von der Temperatur, nicht aber vom Druck des Gases ab. Wenn es sich um die Geschwindigkeiten der Longitudinalwellen handelt, E (im festen Körper) entspricht K (in Flüssigkeiten) bzw. κ·p (in Gasen)

27 Schall-geschwindigkeiten für longitudinale Wellen

28 Dopplereffekt a) Bewegter Empfänger und ruhender Sender.
Wenn der Empfänger mit einer Geschwindigkeit vE nach dem ruhenden Sender (Quelle) sich nähert, dann erhält nicht nur f0 Zahl der Schwingungen innerhalb eine (1) Sekunde, aber noch auch weitere Zahle von Schwingungen die auf die Strecke der Annäherung (vE) aus der λ0 = c/f0 Wellenläge fallen: vE/λ0 = f0·vE/c. Die beobachtete Frequenz beträgt E wo das + Vorzeichen betrifft den annähernde Empfänger und das – Vorzeichen den entfernenden Empfänger. Beispiel: wenn der Empfänger zum ruhenden Sender mit einer Geschwindigkeit vE = ½ c sich nähert, dann die Frequenz des beobachteten Schalls verdoppelt sich, d.h. der Empfänger wird den Schall mit einer Oktave höher hören.

29 Dopplereffekt b) Bewegter Sender und ruhender Empfänger.
Der Sender strahlt die erste Phase der Schwingung bei Zeitpunkt t = 0 und die letzte Phase nach der Schwingungsdauer T0. Bei diesem Moment ist der Sender aber mit einer Strecke vs·T0 näher zum Empfänger. Deswegen verkürzt sich die Wellenlänge vor dem Empfänger mit einer Länge von vs·T0 , d.h. die neue Wellenlänge beträgt λ0 - vs·T0. Weil die verkürzte Wellen mit der selben Geschwindigkeit c im Medium fahren, die beobachtete Frequenz wird f = c/(λ0 - vs·T0). Die Frequenz beträgt bei Annäherung (-) bzw. Entfernung (+) des Senders Der Empfänger steht und hört eine Frequenz f s Sender

30 Dopplereffekt S vs Sender (S) E Empfänger (E) Der vereinigte Ausdruck:
Wenn die SE Entfernung während der Bewegung sich nicht ändert (d.h. der Sender und der Empfänger bewegen sich parallel), dann kein Dopplereffekt ist beobachtet. Vorzeichen E E Empfänger (E) Der optische Dopplereffekt (Rotverschiebung) Der Dopplereffekt bei Schall unterscheidet sich von demselben Phänomen bei Licht dadurch, daß die Schallausbreitung an einen den Schall leitenden Stoff gebunden ist. Das hat zur Folge, daß die Größe des Dopplereffekts bei Schall von der Relativbewegung von Quelle bzw. Empfänger bezüglich des Schalleiters abhängt, bei Licht jedoch ist der Dopplereffekt nur von der Relativgeschwindigkeit von Quelle zu Empfänger abhängig.

31 Doppler-Velozimeter zur Messung der Fließgeschwindigkeit in Blutgefäßen
Wenn die Geschwindigkeit der Erythrozyten viel kleiner ist als die Schallgeschwindigkeit im Blut (v << c), dann Die Dopplerverschiebung: Körperoberfläche Empfangskristall Sendekristall Diese Gleichung wird in der klinischen Literatur oft als „Dopplergleichung” bezeichnet. Für α = 90o wird Δf = 0 und das Verfahren versagt. Blutgefäβ Erythrozyten des Bluts

32 Frequenz-Optimum zur Bestimmung der Fließgeschwindigkeit von Blut
Die Dopplerverschiebung ist proportional mit der Frequenz von Ultrashall, d.h. je größer ist die Frequenz, desto genauer ist die Bestimmung der Geschwindigkeit: Die Intensität des Ultraschallechos von der Tiefe d wird vom I0 (Einfalls-intensität) zu I nach dem Beer’schen Gesetz abnehmen: Die Summe der Verlustkoeffizienten (α) verändert sich proportional mit der Frequenz in weichen Geweben im diagnostischen Frequenzbereich (2-20 MHz): Die Frequenz wird „Optimum” genennt, wenn das Produkt I·Δf erreicht das Maximum. Die erforderliche (aber nicht genügende) Bedingung ist das Verschwinden der ersten Ableitung des Produktes I·Δf nach der Frequenz f : d(I·Δf )/df = 0. Aus dieser Gleichung bekommen wir:

33 Frequenz-Optimum zur Bestimmung der Fließgeschwindigkeit von Blut
Praktischer Ausdruck: Blutgefäβen nahe zur Körperoberfläche Blutgefäβen tief im Körper

34 Erzeugung von Ultraschall
durch umgekehrte (inverse) Piezoelektrizität ziehen drücken drücken ziehen Wenn die Dicke des piezoelektrischen Schwingkristalls ist λ/2 gewählt, dann wird die Grundschwingung mit Resonanz erregt. Im Kristall entstehen stehende Wellen mit Wellenlängen des Bruchteils von λ/2: 1/n· λ/2, wo n = 1,2,3,...

35 Medizinische Anwendungen von Ultraschall
Maximum Werte bei 1 MHz Frequenz im Wasser I =10 mW/cm2 DIAGNOSTIK I = 3 W/cm2 THERAPIE Stoßwelle 2 nm 35 nm Diese Stoßwellen bestehen praktisch aus einer Halbwelle, deswegen die Ausdrücke die für harmonische Welle gültig sind, kann man mit bestimmten Beschränkungen (streng genommen nicht) benutzen. 8,4·10-6 1,47·10-6 2·103 m/s2 3,5·104 m/s2 2·104 Pa 3,5·105 Pa 40 MPa (!) Ausdehnung: Relative Dehnung: Beschleunigung:: Schalldruck:

36 Aufgaben Berechnen Sie die Schallintensität, die ein Lautsprecher, der mit 30 W Schalleistung betrieben wird, im Abstand von 1 m erzeugt. Dieser Lautsprecher strahle den Schall in der Raumwinkel 2π ab. Berechnen Sie die Auslenkungsamplitude einer Schallwelle in Wasser (Dichte 1 g/cm3, Schallgeschwindigkeit 1480 m/s) für I = 1 W/cm2 bei f = 1 MHz. Berechnen Sie die Wellenlänge von Hörschall in Luft an der oberen Hörschallgrenze. 4) Ein Moped erzeuge im Abstand von 10 m einen Schallpegel von 100 dB. Wie groß ist der Schallpegel dieses Mopeds in einer Entfernung von 40 m? 5) In welcher Entfernung von einem 30 W Lautsprecher (Abstrahlung in 2π Steradian) können Sie sicher sein, selbst bei Dauerbeschallung keine Gehörschäden zu erleiden? 6) Ein Kompressor erzeugt in einem bestimmten Abstand eine Schallintensität von 60 dB. Wie groß ist der Schallpegel von zwei solchen Kompressoren im gleichen Abstand?

37 Aufgaben 7) Wie groß ist der Reflexionskoeffizient des Ultraschalls an der Grenzfläche Muskel (Z = 1,7·106 kg·m-2·s-1) zu Knochen (Z = 6·106 kg·m-2·s-1)? 8) Ein Schallgeber (f = 1 MHz) der Breite D = 1 cm erzeugt in Wasser ein Schallbündel. Berechnen Sie die Breite dieses Schallbündels nach einer Strecke von 4 cm. 9) Berechnen Sie den Brechungswinkel für eine Schallwelle, die unter dem Einfallswinkel von 12o auf die Grenzfläche zwischen Luft ( cL = 343 m/s) und Muskel (cM = 1590 m/s) trifft.