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Varianzanalyse II: Einzelvergleiche 06_anova21 Varianzanalyse II: Einzelvergleiche 1.Tukeys HSD 2.Scheffé-Test 3.geplante Kontraste.

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1 Varianzanalyse II: Einzelvergleiche 06_anova21 Varianzanalyse II: Einzelvergleiche 1.Tukeys HSD 2.Scheffé-Test 3.geplante Kontraste

2 Einzelvergleiche 06_anova22 Post-Hoc-Tests und Kontraste Die ANOVA ist ein overall-Test, d.h. es wird überprüft, ob es mindestens einen Mittelwertsunterschied gibt. Von mehreren Gruppen unterscheiden sich also mindestens zwei voneinander. Falls ein solcher Unterschied besteht, ist es natürlich interessant zu wissen, welche Gruppen sich unterscheiden. Dazu dienen Post-Hoc-Tests und Kontraste.

3 Einzelvergleiche 06_anova23 Interpretation der H 1 bei p>2 Wenn F emp > F krit (bzw. p<α) wird die H 0 verworfen und damit die H 1 angenommen. Es gilt also: μ i μ j, für mindestens ein Paar i, j Allerdings ist damit noch unklar, welche Mittelwerte sich unterscheiden. strukturellbildhaftemotional M 1 =5M 2 =10M 3 =12 ?? ?

4 Einzelvergleiche 06_anova24 Einzelvergleiche Vergleich der einzelnen Mittelwerte: (a) Post-hoc-Tests Im Nachhinein Unterschiede finden (b) Geplante Vergleiche (Kontraste) vorher festgelegte (a priori) Hypothesen testen

5 post-hoc Vergleiche 06_anova25 post-hoc Vergleiche (Nur) Bei einem signifikanten F-Wert erfolgt ein Vergleich aller Gruppenmittelwerte. Es gibt verschieden Verfahren hierzu. Eine besonderes hohe Teststärke haben: Tukeys HSD (Honestly Significant Differences) Scheffé-Test

6 post-hoc Vergleiche 06_anova26 Tukey´s HSD Tukeys HSD ist die Mittelwertsdistanz, die zwei Gruppen haben müssen, damit die Unterschiede statistisch bedeutsam sind. q α hängt ab von – Zahl der Gruppen – df within – α-Niveau Nachschlagen in einer Tabelle bzw. HSD von SPSS berechnen lassen!

7 Tukey´s HSD 06_anova27 Tukey´s HSD Gruppendifferenzen von d>3.34 sind statistisch bedeutsam!

8 Tukey´s HSD 06_anova28 strukturellbildhaftemotional M 1 =5M 2 =10M 3 =12 d=7* d=5*d=2 * Signifikante Differenz (weil d > HSD)

9 Tukey´s HSD 06_anova29

10 Tukey´s HSD 06_anova210

11 Tukey´s HSD 06_anova211 Mehrfachvergleiche mem Tukey-HSD (I) bed(J) bed Mittlere Differenz (I- J) Standardfeh lerSignifikanz 95% Konfidenzintervall Untergrenz e Obergrenz e 12 -5,0000 * 1,12546,002-8,0026-1, ,0000 * 1,12546,000-10,0026-3, ,0000 * 1,12546,0021,99748, ,00001,12546,219-5,00261, ,0000 * 1,12546,0003,997410, ,00001,12546,219-1,00265,0026 Grundlage: beobachtete Mittelwerte. Der Fehlerterm ist Mittel der Quadrate(Fehler) = *. Die mittlere Differenz ist auf der Stufe 0.05 signifikant.

12 mem Tukey-HSD bedN Untergruppe , , ,0000 Signifikanz 1,000,219 Mittelwerte für Gruppen in homogenen Untergruppen werden angezeigt. Grundlage: beobachtete Mittelwerte. Der Fehlerterm ist Mittel der Quadrate(Fehler) = Tukey´s HSD 06_anova212

13 post-hoc Vergleiche Der Scheffé-Test Scheffé-Tests beruhen auf Mittelwertsvergleichen. Es handelt sich um ebenfalls um post hoc Tests: Sie werden eingesetzt, wenn keine Hypothesen a priori formuliert wurden. Der Scheffé-Test hat eine geringere Power als Tukeys HSD! 06_anova213

14 Der Scheffé-Test 06_anova214

15 Der Scheffé-Test Mehrfachvergleiche mem Scheffé (I) bed(J) bed Mittlere Differenz (I- J) Standardfeh lerSignifikanz 95% Konfidenzintervall Untergren ze Obergrenz e 12 -5,0000 * 1,12546,003-8,1373-1, ,0000 * 1,12546,000-10,1373-3, ,0000 * 1,12546,0031,86278, ,00001,12546,246-5,13731, ,0000 * 1,12546,0003,862710, ,00001,12546,246-1,13735,1373 Grundlage: beobachtete Mittelwerte. Der Fehlerterm ist Mittel der Quadrate(Fehler) = *. Die mittlere Differenz ist auf der Stufe 0.05 signifikant. 06_anova215

16 Der Scheffé-Test mem Scheffé bedN Untergruppe , , ,0000 Signifikanz 1,000,246 Mittelwerte für Gruppen in homogenen Untergruppen werden angezeigt. Grundlage: beobachtete Mittelwerte. Der Fehlerterm ist Mittel der Quadrate(Fehler) = _anova216

17 post-hoc Vergleiche Geplante Kontraste Kontraste sind geplante Mittelwertvergleiche (Gruppenvergleiche) Kontrast werden statt eines globalen Tests angewendet. Kontraste müssen immer vorher (a priori) festgelegt werden! Sie ermöglichen gezielte Vergleiche zwischen mehreren Gruppen Kontrast sind post-hoc Tests vorzuziehen, da sie eine höhere Power haben! 06_anova217

18 Kontraste Mögliche Kontraste Wenn eine ANOVA mit vier Gruppen (A, B, C, D) durchgeführt wird, sind viele folgende Kontraste möglich: Einzelvergleiche: A mit B, A mit C, A mit D, B mit C, B mit D, C mit D Mittelwert von [A & B] mit Mittelwert von [C & D] Mittelwert von [A, B & C] mit [D] … 06_anova218

19 Kontraste Kontraste: Beispiel 4 Gruppen: Fußgänger (F), Radfahrer (R), Auto- (A) und Motorradfahrer (M) AV: Stress auf dem Weg zur Arbeit Vergleiche: – M(R) vs. M(F) – M(R, F) vs. M(A, M) – M(R, F, A) vs. M 06_anova219

20 Kontraste Definition Ein Kontrast Ψ (Psi) ist die gewichtete Summe von p Populationsmittelwerten μ j. Dabei ist mindestens ein Gewicht c j ungleich Null … und die Summe aller Gewichte ist gleich Null! 06_anova220

21 Kontraste Kontraste sind Mittelwertvergleiche Kontrast 1: Fahrrad vs. Fußgänger Es werden also die Mittelwerte von Fahrradfahrern und Fußgängern verglichen! 06_anova221

22 Kontraste Kontraste sind Mittelwertvergleiche Kontrast 2: [Fahrrad & Fußgänger] vs. [Auto & Motorrad] Es werden die Mittelwerte von nicht-motorisierten und motorisierten Verkehrsteilnehmern verglichen. 06_anova222

23 Kontraste Kontraste sind Mittelwertvergleiche Kontrast 3: [Fahrrad & Fußgänger & Auto] vs. Motorrad Es werden die Mittelwerte von Verkehrsteilnehmern ohne und mit Motorrad verglichen. 06_anova223

24 Kontraste Signifikanz von Kontrasten Kontraste können mit einem t-Test auf Signifikanz überprüft werden. Hypothesen: – H 0 : Ψ = 0 (Der Kontrast ist gleich 0, bzw. die Mittelwerte unterscheiden sich nicht) – H 1 : Ψ 0 (Der Kontrast ist ungleich Null, bzw. die Mittelwerte unterscheiden sich) – Kontraste können auch mit gerichteten Hypothesen geprüft werden. 06_anova224

25 Kontraste Signifikanz von Kontrasten Berechnung 06_anova225

26 Kontraste Unabhängigkeit von Kontrasten Alle geplanten Kontraste müssen paarweise unabhängig sein. Nur bei unabhängigen Kontrasten wird eine α-Fehler Kumulierung verhindert. Zwei Kontraste sind unabhängig, wenn gilt: 06_anova226

27 Kontraste Unabhängigkeit von Kontrasten 1 Kontrast 1 & 2: Kontrast 1 & 3: Kontrast 2 & 3: KontrastRFAM 1. R vs. F R,F vs. A,M1/2 -1/2 3. R,F,A vs. M001 ok X 06_anova227

28 Kontraste Unabhängigkeit von Kontrasten 2 Kontrast 1 & 2: Kontrast 1 & 3: Kontrast 2 & 3: KontrastRFAM 1. R vs. F R,F vs. A,M1/2 -1/2 3. R,F,A vs. M1/3 ok 06_anova228

29 Kontraste Unabhängigkeit von Kontrasten 3 Bei p Gruppen können p-1 unabhängige Kontraste gebildet werden: 06_anova229

30 Beispiel: Therapiewirksamkeit Beispiel: Therapiewirksamkeit (fiktive Daten) Es wird der Therapieerfolg zwischen 5 verschiedenen Gruppen verglichen: – Verhaltenstherapie (VT) – Systemische Therapie (ST) – Psychoanalyse (PA) – Gesprächspsychotherapie (GT) – Kontrollgruppe (KG) AV: Symptomverbesserung (0 bis 10). 06_anova230

31 Beispiel: Therapiewirksamkeit Hypothesen: (1)Der Therapieerfolg ist in den 4 Therapie-Gruppen größer als in der KG. (2)Verhaltensorientierte Gruppen (VT+ST) unterscheiden sich von gesprächsorientierten Gruppen (PA+GT) (3)Der Therapieerfolg von VT ist größer als der von ST (4)Es gibt einen Unterschied zwischen PA und GT 06_anova231

32 Beispiel: Therapiewirksamkeit Hypothese 1: Die therapierten Gruppen unterscheiden sich von der Kontrollgruppe: 06_anova232

33 Beispiel: Therapiewirksamkeit Hypothese 2: Verhaltensorientierte Gruppen (VT+ST) unterscheiden sich von gesprächsorientierten Gruppen (PA+GT) 06_anova233

34 06_anova234 Beispiel: Therapiewirksamkeit Hypothese 3: Es gibt einen Unterschied zwischen VT und ST.

35 06_anova235 Beispiel: Therapiewirksamkeit Hypothese 4: Es gibt einen Unterschied zwischen PA und GT.

36 06_anova236 Beispiel: Therapiewirksamkeit Daten: VpVTSTPAGTKG

37 06_anova237 Beispiel: Therapiewirksamkeit Benutzerdefinierte Kontraste können nur über die Syntax eingegeben werden! glm symptom by gruppe /contrast (gruppe) = special ( , , , ).

38 06_anova238 Beispiel: Therapiewirksamkeit Kontrast 1: Der Kontrast ist signifikant von Null verschieden! Die Therapien [VT, ST, PA, GT] unterscheiden sich von der [KG]

39 06_anova239 Beispiel: Therapiewirksamkeit Kontrast 2: Der Kontrast ist signifikant von Null verschieden! [VT und ST] unterscheiden sich von [PA und GT]

40 06_anova240 Beispiel: Therapiewirksamkeit Kontrast 3: Der Kontrast ist signifikant von Null verschieden. (weil die Hypothese gerichtet formuliert war, darf p halbiert werden!) [VT] ist besser als [ST]

41 06_anova241 Beispiel: Therapiewirksamkeit Kontrast 4: Der Kontrast ist nicht signifikant von Null verschieden! [PA] unterscheiden sich nicht bedeutsam von [GT]

42 06_anova242 Beispiel: Therapiewirksamkeit Vergleich von Kontrasten und post-hoc Tests: glm symptom by gruppe /contrast (gruppe) = special ( , , , ) /posthoc gruppe (tukey).

43 06_anova243 Beispiel: Therapiewirksamkeit Tukey-HSD (I) gruppe(J) gruppe Mittlere Differenz (I- J) Standardfeh lerSignifikanz 95% Konfidenzintervall Untergrenz e Obergrenz e 12,9000,47796,341-,45812, ,8000 *,47796,0002,44195, ,1000 *,47796,0001,74194, ,1000 *,47796,0004,74197, ,9000,47796,341-2,2581, ,9000 *,47796,0001,54194, ,2000 *,47796,000,84193, ,2000 *,47796,0003,84196, ,8000 *,47796,000-5,1581-2, ,9000 *,47796,000-4,2581-1, ,7000,47796,590-2,0581, ,3000 *,47796,000,94193, ,1000 *,47796,000-4,4581-1, ,2000 *,47796,000-3,5581-,8419 3,7000,47796,590-,65812, ,0000 *,47796,0001,64194, ,1000 *,47796,000-7,4581-4, ,2000 *,47796,000-6,5581-3, ,3000 *,47796,000-3,6581-, ,0000 *,47796,000-4,3581-1,6419

44 06_anova244 Beispiel: Therapiewirksamkeit symptom Tukey-HSD gruppeN Untergruppe , , , , ,7000 Signifikanz 1,000,590,341 Mittelwerte für Gruppen in homogenen Untergruppen werden angezeigt. Grundlage: beobachtete Mittelwerte. Der Fehlerterm ist Mittel der Quadrate(Fehler) =

45 06_anova245 Einzelvergleiche Zusammenfassung Eine ANOVA prüft, ob sich mindestens 2 Gruppen unterscheiden. Bei einem signifikanten Ergebnis sollte überprüft werden, welche Gruppen sich voneinander unterscheiden. Wenn a priori spezifische Hypothesen formuliert wurden, können Kontraste gerechnet werden, sonst müssen post-hoc Vergleich vorgenommen werden (Tukey oder Scheffé) Für die Teststärke (Power) gilt: Kontraste > Tukey > Scheffé Daher sollte Tukeys HSD generell gegenüber dem Scheffé-Test bevorzugt werden.


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