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Reelle quadratische Abbildungen: das Feigenbaum-Szenario.

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Präsentation zum Thema: "Reelle quadratische Abbildungen: das Feigenbaum-Szenario."—  Präsentation transkript:

1 Reelle quadratische Abbildungen: das Feigenbaum-Szenario

2 2 Inhaltsübersicht: Einleitung Was hat eine Kaninchenpopulation mit einer quadratischen Abbildung zu tun? Das Feigenbaum-Diagramm: Was für Strukturen sind sichtbar und wie lassen sie sich erklären?

3 3 Einleitung Chaostheorie Ende des 19. Jahrhunderts durch den franz. Mathematiker Henri Poincaré ins Leben gerufen Früher: Chaos und Ordnung galten als Gegensatzpaare Aber: Viele natürliche Systeme gehen den Weg von der Ordnung ins Chaos

4 4 Kaninchenpopulation Szenario 1: Beliebige Menge von Kaninchen wird ausgesetzt. Die Population pendelt sich nach einigen Generationen auf einem stabilen Wert ein. Szenario 2: Die Population oszilliert über mehrere Generationen (Jahre) zw. Maximal- und Minimalwert. Szenario 3: Die Population schwankt von Generation zu Generation sehr stark und zeigt chaotisches Verhalten.

5 5 Wie kann man die Generationsstärke x einer Population darstellen? x n+1 = a·x n mit a: Reproduktionsrate und x n : Generationsstärke im n-ten Jahr x n = a n ·x 0 Besser: Reproduktionsrate a durch a(1-x n ) ersetzen (Element negativer Rückkopplung) logistisch bzw. quadratische Abbildung: x n+1 = a·x n (1-x n ) f a (x) = a·x (1-x)

6 6 Graphische Iteration für f a (x) = a·x für f a (x) = a·x (1-x) mit a = 2

7 7 Darstellung des Langzeitverhaltens des quadrat. Iterators für a = 2 Zeitreihe und Endzustand

8 8 Darstellung des Langzeitverhaltens des quadrat. Iterators für a = 1,75 und a = 2,75

9 9 Feigenbaum-Diagramm

10 10 Feigenbaum-Punkt s oo =3, trennt den Periodenverdopplungsbaum vom chaotischen Bereich.

11 Mitchell Jay Feigenbaum geboren am in Philadelphia, USA

12 12 graphische Iteration für a = 1,75 und a = 2,75 Winkelhalbierende schneidet die Parabel an den Fixpunkten p 0 = 0 stößt die Iteration ab und heißt deshalb abstoßender oder instabiler Fixpunkt p a heißt attraktiver oder stabiler Fixpunkt

13 13 Der Fixpunkt p a ist superattraktiv für a=2

14 14 Was passiert nun für a > 3 ? a= 3,1 und x 0 = 0,075 bzw. 0,65 p a verliert für Parameter a > b 1 = 3 (Verzweigungspunkt) seine Stabilität.

15 15 Was bedeutet dies für das Endzustands-Diagramm ? Es kommt zur Oszillation zwischen dem tieferen Wert x l (a) und dem höheren Wert x h (a). Der 2er-Zyklus {x l (a), x h (a)} ist stabil. Zeitreihe mit Anfangswert x 0 = 0,1

16 16 Genaue Berechnung der Fixpunkte Da es zu einer Oszillation zwischen zwei Fixpunkten kommt, muss die zweite Iteration f a (f a (x)) = f ² a (x) betrachtet werden. Die Fixpunktgleichung ist dann: f a (f a (x)) = x -a³x 4 + 2a³x³ - (a²+a³)·x² + (a²-1)·x = 0 Lösungen:

17 17 Der Abschnitt im Quadrat sieht aus wie die umgekehrte Parabel von f a (x) Die Polylinie weist in diesem Abschnitt ähnliches Verhalten auf, wie bei die Iteration von f a (x) Betrachtung der graphischen Iteration für f a (f a (x))

18 18 Systematischer Vergleich der Graphen von f a (x) und f 2 a (x) a = 1: Fixpunkt p 0 = 0 wird instabil; für alle a > 1 existiert nun neuer Fixpunkt p a a = 2: superattraktiver Fall

19 19 Systematischer Vergleich der Graphen von f a (x) und f 2 a (x) a = b 1 = 3: periodenverdoppelnde Verzweigung; p a verliert seine Stabilität. Es entstehen 2 zusätzliche Fixpunkte x l (a) und x h (a) a = s 1 = : superattraktiver Fall für f 2 a (x) a= b 2 3,4495: x l (a) und x h (a) von f 2 a (x) werden instabil. Für a > b 2 werden Fixpunkte von f 2 a (f 2 a (x)) entstehen, die sich bei x l (a) und x h (a) verzweigen

20 20 Systematischer Vergleich der Graphen von f 2 a (x) und f a (x) Alle Veränderungen, die für f a (x) mit 1 < a < 3 vorliegen, können auch für f 2 a (x) mit 3 < a < b 2 3,4495 beobachtet werden.

21 21 Es gibt 2 Folgen wichtiger Parameter s 1, s 2,....bei denen superattraktive Fälle auftauchen. Der kritische Punkt x crit = 0,5 ist dann Fixpunkt von f s1, f s2, f s3,.. b 1, b 2,...liefern periodenverdoppelnde Verzweigung. Die beiden Folgen konvergieren gegen einen bestimmten Wert. Dieser Wert bedeutet das Ende des Bereichs, in dem sich die Perioden verdoppeln.

22 22 Feigenbaum-Punkt Vergrößerungsfaktor von einer Vergrößerung zur nächsten entlang der horizontalen Achse: = 4, selbstähnliche Struktur Vergrößerungsfaktor von einer Vergrößerung zur nächsten entlang der vertikalen Achse ist etwa 2,3

23 23 Betrachtung des Abstandes d k zweier aufeinander folgender Verzweigungspunkte d k = b k+1 – b k, k = 1, 2, 3,.. verkleinert sich rapide Diese Verkleinerung ist annähernd geometrisch: Für wachsende k gilt:

24 24 Feigenbaum-Konstante Im Oktober 1975 von Feigenbaum entdeckt Sie ist universell, d.h. sie tritt in vielen anderen Systemen ebenfalls auf/ ist für eine große Klasse verschiedener Iteratoren gleich. Im Umfeld von Chaos ist sie eine Konstante mit ähnlich großer Bedeutung wie in der Geometrie.

25 25 Feigenbaum-Punkt s oo : Eintritt ins Chaos Schematische Darstellung des Periodenverdopplungsbaumes unter Berücksichtigung der Skalierungsfaktoren 4, und 2,3. Blätter des Baumes bilden eine streng selbstähnliche Cantor-Menge (fraktale Dimension: 0,5376 < D <0,5386)

26 26 Darstellung der Oszillation

27 27 Betrachtung des rechten Teils des Feigenbaum-Diagramms s 00 < a < 4 Chaotisches Spiegelbild des Periodenverdopplungs-Baumes Chaos von Fenstern der Ordnung unterbrochen

28 28 a = 4 : nur ein einziges Band a < 4 : verengt sich das Band langsam a = m 1 : Aufspaltung des Bandes in 2 Teile a = m 2 : jedes dieser Bänder spaltet sich wieder in 2 Teile.....

29 29 Es gibt unendliche Folge von Parametern m 1, m 2, m 3,.. Die Folge m k konvergiert gegen den Feigenbaum-Punkt m oo = s oo Quotient der Abstände der Verschmelzungspunkte (d k = m k+1 – m k ):

30 30 Genauere Untersuchung für a = 3,67 (etwas unterhalb von m 1 ) Zeitreihe von f a Zeitreihe von f² a

31 31 Vergleich von f a und f² a mittels graphischer Iteration für a = 4 und a = m 1 = 3, Parabel für a = 4 : logistische Parabel, passt genau in das Einheitsquadrat. Polynom vierten Grades für a = m 1 = 3, : enthält logistische Parabeln. In diesen Bereichen ist die Iteration gefangen und chaotisches Verhalten ist zu erwarten. Für a = m k sind ebenfalls logistische Parabeln zu finden f a f² a

32 32 Aber wie erklärt sich das Durchschimmern der Bänder für a m k ? Betrachtung der ersten 4 bzw. 8 Iterierten von x crit = 0,5 für s oo < a < 4 aber: im Endzustands- Diagramm sind nicht alle Linien vollständig zu sehen Fenster

33 33 Fenster Es gibt unendlich viele Fenster, die alle zu stabilen, periodischen Bahnen gehören. Größtes Fenster zwischen a = 3,828.. und a = 3,857.. : Fenster der Periode 3

34 34 Fenster der Periode 3 Selbstähnlichkeit Im Fenster der Periode 3 baut alles auf f³ a (x) auf. Bei a = 3, liegt ähnliches Verhalten vor wie beim Feigenbaum-Punkt s oo (Übergang zum chaotischen Verhalten)

35 35 Fenster der Periode 6 Im gestrichelten Rechteck findet man alles aus dem gesamten Diagramm wieder jedoch mit verdoppelter Periode

36 36 Wie kommen diese Fenster zustande? a = w 3 = 3, : Anfang des Fensters der Periode 3 a > w 3 : stabiler Zyklus der Periode 3 a < w 3 : Chaos völlig anderer Weg ins Chaos, als über periodenverdoppelnde Verzweigungen

37 37 Zeitreihe für x 0 = 0,5 und a = 3,82812 < w 3 Das Chaos kommt erst im Langzeitverhalten zum Vorschein. Intermittenz

38 38 Wie kommt Intermittenz zustande? -Wieso scheint der Verzweigungsbaum bei a = 1, Aus dem Nichts zu entstehen? -Was geschieht für a < 1, ? graphische Iteration

39 39 a = 1,6 und a = 1,7 : Iteration führt zum attraktiven Fixpunkt 0 Graph rückt immer näher an die Winkelhalbierende. a = 1, : Winkelhalbierende berührt Graphen tangential bei x s (Sattelpunkt) a = 1,9 : zwei neue Fixpunkte

40 40 Zurück zum bekannten quadratischen Iterator Graph von f³ a für a = 3,81 und a = w 3 = 3, Es ist eine Tangentialverzweigung beim Sattelpunkt x s zu erkennen.

41 41 Verhalten des quadrat. Iterators für a < w 3

42 42 Abschließend: was geschieht bei a > 4 ? Die Parabel sprengt das Einheitsquadrat. Die Bahnen streben entland der negativen y-Achse ins Unendliche

43 43 Zeitreihe für a = 4,001 Bahn beginnt mit chaotischem Bereich, verhält sich aber nur über wenige Iterationen chaotisch. Das Langzeitverhalten der Bahn ist vollkommen bestimmt und vorhersagbar. Zusammenbruch des Chaos in der Krise

44 44

45 45 Literatur: H.-O. Peitgen, H. Jürgens, D. Saupe, Chaos- Bausteine der Ordnung, Springer-Verlag, 1994 K. Richter, J.-M. Rost, Komplexe Systeme, Fischer Verlag, 2002


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