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I n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik 1 Operations Research für Logistik Einführung.

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1 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik 1 Operations Research für Logistik Einführung in Matlab ® ( ) Ao. Univ. - Prof. Norbert SEIFTER Dipl. - Ing. Stefanie VOLLAND Sommersemester 2010

2 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik 2 Rahmenbedingungen Übungen: – 80 % Anwesenheit (laut Anwesenheitsliste) – Übungsaufgaben bis zur darauffolgenden Einheit selbstständig lösen Prüfung: – schriftlich und 23. Juni 2010 –und mündlich ( 28. Juni Juni 2010 ) –sowohl schriftlicher als auch mündlicher Teil müssen für den erfolgreichen Abschluss der VU positiv sein

3 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik 3 Inhalte Einführung in Matlab ® Markovketten Warteschlangentheorie

4 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik 4 Einführung in Matlab ® I MATLAB ® = MATrix LABoratorium in Praxis Standardwerkzeug für technisch - wissenschaftliche Berechnungen bietet für numerische Aufgaben Lösungsmethoden und Methoden zur Visualisierung moderne Programmiersprache, in welcher eigene Anwendungen entwickelbar

5 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik 5 Einführung in Matlab ® II Erste Schritte in Matlab ® : Matlab starten voreingestellte Oberfläche durch Desktop Desktop Layout Default wieder herstellbar durch Anklicken Fenster aktivierbar folgende Fenster stehen zur Verfügung: –Command Window –Command History –Workspace –Current Directory

6 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik 6 Einführung in Matlab ® III

7 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik 7 Einführung in Matlab ® IV Fenster durch Mausklick aktivieren >> …. Eingabe kann getätigt werden Beispiel: >>1+ 2 Eingabe mit return bestätigen Variable ans (answer) wird der Wert 3 zugewiesen Inhalte der anderen Fenster verändert

8 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik 8 Einführung in Matlab ® IV – Ergänzungen Workspace: – verwendete Variable ans und einige ihrer Eigenschaften angezeigt –alle im Verlauf der Sitzung verwendeten Variablen hier aufgelistet Command History: – alle Eingaben des Command Window gespeichert –mit Copy und Paste rückholbar oder Current Directory: unverändert

9 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik 9 Einführung in Matlab ® V Hilfe in Matlab ® - 3 Möglichkeiten: 1. Help - Option in der ersten Menüzeile 2. direkte Hilfe 3. Fragezeichen

10 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik 10 Einführung in Matlab ® VI Strichpunkt: – unterdrückt die Ausgabe elementare Funktionen: Beachte: Winkelfunktionen sowohl in Grad (z.B. sind) als auch in Bogenmaß (z.B. sin). NamederAusgabe = MatlabFunktionsname(Eingabewert) FunktionMathematikMATLAB Arcustangens Exponentialfunktion Logarithmus naturalis Logarithmus (Basis 10) Logarithmus (Basis 2) arctan(x) e x ln(x) log 10 (x) log 2 (x) atan(x) exp(x) log(x) log10(x) log2(x)

11 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik 11 Einführung in Matlab ® VII diary: –um Matlab ® - Sitzung zu protokollieren – diary Dateiname.m –mit diary off abschließen save und load: –um Variablen zu speichern und zurückzuholen

12 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik 12 Einführung in Matlab ® VIII Matrizen eingeben und ändern: – wichtigste Datentyp in Matlab ® (MATrix LABoratory) –in eckigen Klammern zeilenweise Eingabe –durch Leerzeichen oder Komma getrennt – Zeilenende durch Strichpunkt angegeben

13 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik 13 Einführung in Matlab ® IX Variablen zuweisen: Matrixelemente überschreiben: weitere Operationen und spezielle Matrizen:

14 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik 14 Einführung in Matlab ® X einfache Befehle für Matrizen: – transponieren einer Matrix, d.h. Zeilen werden zu Spalten und Spalten zu Zeilen mit – Typ einer Matrix: Befehl size – Zeilenanzahl einer Matrix: Befehl ZAnz – weitere Befehle:

15 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik 15 Einführung in Matlab ® XI Rechnen mit Matrizen: –können addiert, multipliziert, potenziert und mit einem Skalar multipliziert werden –bei Addition: Typen der Matrizen müssen übereinstimmen addM 1 M 2 = M 1 + M 2 –bei Multiplikation: Spaltenzahl der 1. Matrix = Zeilenanzahl der 2. Matrix multM 3 M 4 = M 3 * M 4 –beim Potenzieren (mit einer natürlichen Zahl): Matrix muss quadratisch sein M 1 Quadrat = M 1 ^ 2 M 1 mal2 = 2 * M 1

16 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik 16 Einführung in Matlab ® XII A und C sind nicht vom gleichen Typ. Spaltenanzahl von A ist ungleich der Zeilenanzahl von D. Anpassung des Typs bei Addition einer Zahl zu Matrix.

17 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik M = M 1. * M 2 17 Einführung in Matlab ® XIII Punktoperationen: –komponentenweise addieren –komponentenweise quadrieren –komponentenweise dividieren M = M. ^2 M = 1. / M 1

18 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik 18 Einführung in Matlab ® XIV Vektoren: – sind spezielle Matrizen – Zeilenvektor – Spaltenvektor – Spalten- oder Zeilenvektor kann nicht quadriert werden – Skalarprodukt = Zeilenvektor * Spaltenvektor – Länge eines Vektors

19 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik 19 Einführung in Matlab ® XV Funktionen darstellen: Bezeichner = Startwert : Schrittweite : Endwert;

20 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik 20 Einführung in Matlab ® XVI Darstellung komplexer Zahlen: – imaginäre Einheit vordefiniert – i als auch j als Bezeichnung verwendbar –Realteil Rt: real (z 1 ) und Imaginärteil It : imag (z 1 ) –Betrag Bet: abs (z 1 ) und Phase Phi: angle(z 1 ) bzw. atan2 (It,Rt) – komplexe Zahl in algebraischer Form: Bet * exp (j * Phi) – konjugiert komplexe Zahl: conj (z 1 ) bzw. z 1

21 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik 21 Einführung in Matlab ® XVII Rechnen mit komplexen Zahlen: – + / - / * / : – Ausgabe immer in algebraischer Form zur Verwendung von i und j: – löschen mit clear i j – Anfangszustand mit ans herstellen

22 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik 22 Einführung in Matlab ® XVIII Zahlenformate: –File Preferences Command Window Text display Numeric format oder Numeric display –Standardformat: format short – format long – Leerzeichen unterdrücken mit format compact und aufheben mit format loose

23 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik 23 Matlab ® für Fortgeschrittene I Wirkungsweise elementarer Funktionen: – skalare Funktionen – Vektor funktionen –elementare Matrix funktionen

24 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik 24 Matlab ® für Fortgeschrittene II skalare Funktionen: – A … beliebige Matrix vom Typ (m,n) mit Elemente a ik – f … skalare Funktion – Matrix f(a ik ) ist vom Typ (m,n) – alle Funktionen der Analysis: Potenz- und Wurzelfunktionen trigonometrische Funktionen und Umkehrfunktionen Exponentialfunktionen und Logarithmen Funktionen zum Runden (floor, ceil, fix, round) Funktionen real, imag, abs und angle alle Punktoperationen log (0) nicht definiert Logarithmus einer negativen Zahl kann gebildet werden.

25 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik 25 Matlab ® für Fortgeschrittene III Vektorfunktionen: – sum, prod, min, max, mean, median, std, sort, all, any Summe wird spaltenweise berechnet B ist daher ein Zeilenvektor Summe zeilenweise bilden transponierte Matrix berechnen Ergebnis ist stets ein Zeilenvektor Anwendung von sum auf einen Vektor Ergebnis ist stets eine Zahl, gleichgültig ob es sich um einen Zeilen- oder Spaltenvektor handelt

26 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik 26 Matlab ® für Fortgeschrittene IV Elementare Matrixfunktionen:

27 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik 27 Matlab ® für Fortgeschrittene V Polynome in Matlab ® : –durch Zeilenvektor mit n+1 Elementen dargestellt z.B. p 3 (x) = 2x 3 + x + 4 Grundrechnungsarten: Beide Polynome müssen bei der Addition vom selben Typ sein. Multiplikation funktioniert nur mit dem Begriff conv. Polynomdivision mit Rest hat zwei Rückgabewerte q und r q …. ganzrationaler Anteil r …. echt gebrochener rationaler Anteil

28 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik 28 Matlab ® für Fortgeschrittene VI Partialbruchzerlegung: Polynomwertberechnung: Nullstellenberechnung bzw. Polynombestimmung: Ableitungen: Koeffizienten bzw. Residuen a 1 und a 2 Nullstellen x 1 und x 2 Polynomwertberechnung z.B. p 3 (2) mit polyval. Nullstellenberechnung mit Befehl roots. Polynombestimmung z.B. mit Nullstellen x 1 = 1, x 2 = 1 und x 3 = 1. Ableitung mit dem Befehl polyder.

29 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik 29 Matlab ® für Fortgeschrittene VII Interpolation und Regression: – Polynominterpolation – Splines – Regression

30 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik 30 Matlab ® für Fortgeschrittene VIII Polynominterpolation: – Polynom minimalen Grades mittels Befehl polyfit(x,y,n) x,y …. Messpaare aus Messreihe n …. Grad – Erzeugung einer Messreihe

31 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik 31 Matlab ® für Fortgeschrittene IX Splines: mittels Befehl spline –definiert durch: x,y…Werte der Messpaare t…Stelle, an denen Spline später skizziert werden soll s…Rückgabegröße

32 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik 32 Matlab ® für Fortgeschrittene X Regression: –mittels Funktion polyfit (x,y,Zahl) erzeugbar – lineare Regression: mit polyfit (x,y,1)

33 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik 33 Matlab ® für Fortgeschrittene XI – kubische Regression: mit polyfit (x,y,3)

34 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik 34 Matlab ® für Fortgeschrittene XII – exponentielle Regression: durch Logarithmieren wird Problem linearisiert

35 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik 35 Matlab ® für Fortgeschrittene XIII Lineare Gleichungssysteme: – Matrix A vom Typ(m,n) – Inhomogenität b ist eine Matrix vom Typ(m,1) – unbekannter Vektor x mit n Elementen – lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Unbekannten – lineares Gleichungssystem lösbar, wenn Rang der Matrix A = Rang der erweiterten Matrix [A,b] = Anzahl der Unbekannten, d.h. Spaltenanzahl von A

36 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik 36 Matlab ® für Fortgeschrittene XIV Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme: für eindeutig lösbare lineare Gleichungssysteme für NICHT eindeutig lösbare lineare Gleichungssysteme, da Spaltenanzahl nicht übereinstimmt

37 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik 37 Matlab ® für Fortgeschrittene XV Eigenwerte und Eigenvektoren: Eigenwerte einer Matrix A berechenbar mit Befehl eig(A). Berechnung der Diagonalmatrix Berechnung der Dreiecksmatrix

38 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik 38 Matlab ® für Fortgeschrittene XVI Rundungsfehler: – Matlab ® ist ein Softwarepaket, dass numerisch arbeitet – Rundungsfehler treten daher auf – Details verwiesener Literatur entnehmen

39 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik 39 Programmieren in Matlab ® I Graphen erstellen: mittels Script Files Save and Run

40 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik 40 Programmieren in Matlab ® II spezielle Graphen: – parametrisierte Kurven ( Lissajou - Figuren ) – Kurven in Polarkoordinaten ( Archimedische Spirale ) – Ortskurve – Zeigerdiagramme – halblogarithmische Darstellungen – Bodediagramme – Balkendiagramme – 3 - dimensionale Diagramme: Raumkurve, Sattelfläche und Höhenlinien

41 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik 41 Programmieren in Matlab ® III parametrisierte Kurven (Lissajou - Figuren) :

42 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik 42 Programmieren in Matlab ® IV Kurven in Polarkoordinaten (Archimedische Spirale) :

43 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik 43 Programmieren in Matlab ® V Ortskurven:

44 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik 44 Programmieren in Matlab ® VI Zeigerdiagramme:

45 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik 45 Programmieren in Matlab ® VII halblogarithmische Darstellungen: –bei Funktionen mit großem Wertebereich –mittels Befehl semilog(x,y)

46 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik 46 Programmieren in Matlab ® VIII Bodediagramme:

47 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik 47 Programmieren in Matlab ® IX Balkendiagramme:

48 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik 48 Programmieren in Matlab ® X 3 - dimensionale Diagramme: Raumkurve

49 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik 49 Programmieren in Matlab ® XI 3 - dimensionale Diagramme: Sattelfläche

50 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik 50 Programmieren in Matlab ® XII 3 - dimensionale Diagramme: Höhenlinien

51 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik 51 Programmieren in Matlab ® XIII graphisch differenzieren:

52 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik 52 Programmieren in Matlab ® XIV graphisch integrieren:

53 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik 53 Programmieren in Matlab ® XV Lösen linearer Gleichungssysteme:

54 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik 54 Programmieren in Matlab ® XVI Erstellen bzw. Arbeiten mit Function Files: –parameterabhängige Dateien –Regelung von Input- und Outputgrößen notwendig function[Aus1,Aus2,….,Ausm]=Funktionsname(Ein1,Ein2,….,Einm)

55 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik 55 Programmieren in Matlab ® XVII Differentialgleichungen: –erster Ordnung –zweiter Ordnung –Systeme von Differentialgleichungen Kontrollstrukturen: –konditionale Verzweigungen –Schleifen

56 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik 56 Programmieren in Matlab ® XVIII Numerische Lösung von Differentialgleichungen: –erster Ordnung: Runge - Kutta - Verfahren

57 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik 57 Programmieren in Matlab ® XIX Numerische Lösung von Differentialgleichungen: –zweiter Ordnung:

58 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik 58 Programmieren in Matlab ® XX Numerische Lösung von Differentialgleichungen: –Systeme von Differentialgleichungen:

59 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik 59 Programmieren in Matlab ® XXI Kontrollstrukturen: –konditionale Verzweigungen: if Bedingung, Anweisungsteil end Anweisungsteil:= Anweisung; Anweisung; … Anweisung if Bedingung Anweisungsteil1 else Anweisungsteil2 end = … Zuweisung == … Vergleich in Matlab ® hat richtige Bedingung Wert 1, eine falsche Bedingung den Wert 0 bei Vergleich mit Zeichenketten verwenden und auf Groß- bzw. Kleinschreibung achten ZeichenKlartext < > < = > = == ~ = kleiner als größer als kleiner oder gleich größer oder gleich gleich ungleich OperatorKlartext &|~&|~ und oder nicht

60 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik 60 Programmieren in Matlab ® XXII Kontrollstrukturen: –Schleifen: Laufanweisung: Laufvariable = Anfangswert:[Schrittweite]:Endwert for Laufanweisung, Anweisungsteil end bei Bestimmung der Anzahl der Schleifendurchgänge inn erhalb des Programms : while Bedingung, Anweisungsteil end

61 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik 61 Literaturhinweise zu Matlab ® Grupp, Frieder und Florian(2004): Matlab ® 7 für Ingenieure – Grundlagen und Programmierbeispiele. 3., überarbeitete Auflage, München, Wien: Oldenbourg Verlag. ISBN: Schweizer, Wolfgang (2009): Matlab ® kompakt. 4.,aktualisierte und ergänzte Auflage, München: Oldenbourg Verlag. ISBN:

62 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik 62 Übungen zu Matlab ® I (siehe dazu Übungsunterlagen)

63 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik 63 Operations Research für Logistik Markovketten ( ) Ao. Univ. - Prof. Norbert SEIFTER Dipl. - Ing. Stefanie VOLLAND Sommersemester 2010

64 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik 64 Beispiel 1) Wahlurne (nicht absorbierend) Angaben: 2 Parteien: MSM und GLH Wähler von GSM bleiben bei t+1 zu 80 % treu, wenn sie zum Zeitpunkt t diese Partei wählen Wähler von MSM bleiben nur zu 75 % treu Ausgangszustand laut letzter Wahl: 55 % MSM, 45 % GLH Aufgabenstellung: Speichern Sie die Übergangsmatrix A 0, sowie die Ausgangsverteilung p 0 als Variablen ab!

65 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik Beispiel 1) Wahlurne I

66 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik Beispiel 1) Wahlurne II Wieviele Stimmen haben die jeweiligen Parteien bei der nächsten Wahl ? – (A 0 *A 0 )= A 1 – A 1 *p 0 Bzw. wieviele Stimmen haben diese bei der übernächsten Wahl ?

67 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik Beispiel 1) Wahlurne III Probieren Sie mit verschiedenen Werten für x, ab welchem x sich die Übergangsmatrizen nicht mehr ändern. – A^x

68 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik Beispiel 1) Wahlurne IV Lösung: Nach 20 Wahlgängen verändern sich die Stimmanteile der beiden Parteien nicht mehr. Welche Stimmanteile haben die beiden Parteien MSM und GSM nach 20 Wahlgängen ? Berechnung von A^20 mit anschließender Multiplikation mit den Ausgangsverteilungen

69 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik Beispiel 1) Wahlurne V Berechnen der eingependelten Zustände ohne Suchen des Gleichgewichtszustandes : –Man sucht jene π, für die gilt : π 1 = 0,75* π 1 + 0,2* π 2 π 2 = 0,25* π 1 + 0,8* π 2 –Dann ersetzt man eine Gleichung mit : 1 = π 1 + π 2 –Und erhält: π 1 = 0,75* π 1 + 0,2* π 2 1 = π 1 + π 2

70 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik Beispiel 1) Wahlurne VI Dieses lineare Gleichungssystem kann man mittels Matlab ® auf mehrere Arten lösen, z.B.: –mittels der Funktion A\b –mittels der Funktion rref() Aufgabenstellung: Versuchen Sie mittels dieser zwei Funktionen das zuvor angeführte Gleichungssystem zu lösen ! Tipp: - Verwenden Sie die Matlabhilfe, um die zwei Funktionen anwenden zu können. - Achten Sie dabei auf die richtige Eingabe des Gleichungssystems !

71 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik Beispiel 1)Wahlurne VII Lösung mittels A\b :

72 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik Beispiel 1) Wahlurne VIII Lösung mittels rref() :

73 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik Beispiel 2) Laufbahnmöglichkeiten IL Angaben: Es existieren 5 Zustände in der Karrierelaufbahn IL : – untere Ebene (uE) – transient 0,8 zu uE, 0,15 zu mE, 0,05 zu AvhE (in %) – mittlere Ebene (mE) – transient 0,7 zu mE, 0,2 zu hE, 0,1 zu AvhE (in %) – höhere Ebene (hE) – transient 0,95 zu hE, 0,05 zu AvdS (in %) – Abschied vor Erreichen der höheren Ebene (AvhE) – Abschied von der höheren Ebene - (Spitze) (AvdS) beide Abschiede sind absorbierend

74 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik Beispiel 2) Laufbahnmöglichkeiten IL I uE mE hE AvhE 0,15 0,8 0,05 0,2 0,7 0,1 0,95 0,05

75 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik Beispiel 2) Laufbahnmöglichkeiten IL II Übergangs- matrix uEmEhEAvhEAvdS uE 0,80,1500,050 mE 00,70,20,10 hE 000,9500,05 AvhE AvdS 00001

76 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik R Q Beispiel 2) Laufbahnmöglichkeiten IL III – Partitionieren der Übergangsmatrix Übergangs- matrix uEmEhEAvhEAvdS uE 0,80,1500,050 mE 00,70,20,10 hE 000,9500,05 AvhE AvdS 00001

77 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik Beispiel 2) Laufbahnmöglichkeiten IL IV Aufgabenstellung: Wie lange befindet man sich in einem der transienten Zustände, wenn man in irgendeinem transienten Zusand startet bzw. wie oft könnte man erwarten, einen transienten Zustand zu erreichen, bevor man zu einem absorbierenden Zustand kommt ? –Zu berechnen mittels (I – Q)^(-1). Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten, dass man in einen absorbierenden Zustand kommt ? –Zu berechnen mittels (I – Q)^(-1) * R.

78 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik Beispiel 2) Laufbahnmöglichkeiten IL V

79 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik Beispiel 2) Laufbahnmöglichkeiten IL VI D.h. wenn jemand in der uE eintritt, bleibt er im Schnitt 5 Jahre in diesem Zustand. (In unserem Fall 5 Jahre, da 1 Schritt in einen anderen Zustand = 1 Jahr). Personen, die in der mE arbeiten, werden im Schnitt 13,33 Jahre in der hE verbringen.

80 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik Beispiel 2) Laufbahnmöglichkeiten IL VII Wenn man in der uE einsteigt, hat man eine 50 % Chance, in die hE aufzusteigen. Ist man bereits auf der mE, so erhöht sich diese Chance auf 2/3. Man scheidet mit einer Chance von 1/3 von der mE aus dem System aus, ohne die hE erreicht zu haben.

81 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik Hausübung 1) I Angaben : Eine Umfrage ergab, dass zum Zeitpunkt t = 0 40 Prozent der Hörer Sender A hörten und 60 % Sender B. Aus vorherigen Umfragen ist bekannt, dass die Hörer von Sender A mit einer Wahrscheinlichkeit von 15 % zu Sender B wechseln, während von Sender B 5 % zu Sender A wechseln ( pro Woche ). Aufgabenstellung: Stellen Sie diesen Vorgang als Markovkette dar und berechnen Sie folgende Punkte mittels Matlab ® :

82 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik Hausübung 1) II a)Wie hoch ist der Anteil der jeweiligen Hörer von Sender A und B zu den Zeitpunkten t = 1, t = 3 und t = 5 ? b)Wenn es eine Gesamthörerschaft von Menschen gibt, wieviele Menschen hören in der Woche t = 9 den Sender B ? c) Existiert für dieses System ein Gleichgewichtszustand ? Wenn ja, wie lauten die Anteile von A und B bzw. nach wievielen Wochen wird dieser Zustand erreicht ?

83 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik Hausübung 2) I Angabe: Eine Fertigungsmaschine produziert je nach Drehzahl eine unterschiedliche Menge von Produkten ( Beobachtungsintervall = 1 Woche ). Erfahrungswerte zeigen, dass wenn die Anlage mit 1000 U/min läuft, sie zu einer Wahrscheinlichkeit von 0,1 in der nächsten Woche ausfällt. Zu einer Wahrscheinlichkeit von 0,2 kann die Leistung von 1000 auf 1200 U/min gesteigert werden. Ausgehend von diesem Zustand, fällt sie jedoch zu 20 % aus. Fährt die Maschine mit 1200 U/min, fällt sie in der nächsten Woche mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5 wieder auf 1000 U/min zurück.

84 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik Hausübung 2) II Aufgabenstellung: Stellen Sie diesen Vorgang als Markovkette dar und berechnen Sie folgende Punkte mittels Matlab ® : a) Wieviele Tage dauert es im Schnitt, bis die Anlage ausfällt, wenn sie zum Zeitpunkt t = 0 ( Woche 0 ) im Zustand 1000 U/min produziert ? b)Nehmen Sie an, die Anlage kann innerhalb einer Woche repariert werden und prodziert danach wieder mit Drehzahl 1000 U/min. Wie groß ist die Verfügbarkeit der Anlage ? Hinweis: Je nach Aufgabenstellung ist der Zustand Ausfall einmal als absorbierd, einmal als nicht absorbierend anzunehmen.

85 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik 85 Operations Research für Logistik Warteschlangentheorie ( ) Ao. Univ. - Prof. Norbert SEIFTER Dipl. - Ing. Stefanie VOLLAND Sommersemester 2010

86 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik 86 Beispiel 1) Tankstelle I Angaben: PKW - Fahrer fahren zur Tankstelle um zu tanken, wenn ihr Tank zu ¼ voll ist. Die Tankstelle hat eine Zapfsäule. Es kommen durchschnittlich 6,3 Personen pro Stunde zur Tankstelle, wobei diese ihren Tank wieder zur Gänze auffüllen. Um einen PKW abzufertigen, vergehen durchschnittlich 4 Minuten. Die ZAZ (= Zwischenankunftszeiten) und die Bedienzeit sind exponentialverteilt anzunehmen.

87 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik 87 Beispiel 1) Tankstelle II Aufgabenstellung: a) Beschreiben Sie dieses System nach Kendall - Lee. b) Wieviele Kunden befinden sich durchschnittlich im System und wie lange verbringt ein Kunde durchschnittlich darin ? c)Die ÖMV prognostiziert Ölknappheit, was zu einer Veränderung des Systems führt. Die PKW - Fahrer fahren nun schon an die Zapfsäule, wenn sie bereits erst die Hälfte ihres vollen Tanks verbraucht haben. Da sie nun weniger tanken, sinkt die Bedienzeit auf 2 2/3 Minuten. Wie verändern sich dadurch die Größen L und W ?

88 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik 88 Beispiel 2) Kartenschalter I Angaben: Der Eingangsbereich einer Touristenattraktion verfügt über 2 Schalter. Im Durchschnitt betreten 4/3 Personen pro Minute den Bereich. Die durchschnittliche Bedienzeit beträgt 72 Sekunden. ZAZ und Bedienzeit sind exponential verteilt.

89 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik 89 Beispiel 2) Kartenschalter II Aufgabenstellung: a) Beschreiben Sie dieses System nach Kendall - Lee. b)Wie hoch ist der Bruchteil der Zeit, in der ein einzelner Schalter frei ist? c)Wie hoch ist die durchschnittliche Zeit, die ein Kunde im System verbringt ? d)Wie hoch ist die durchschnittliche Anzahl der Touristen im System ?

90 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik 90 Beispiel 3) Callcenter I Angaben: Ein Angestellter nimmt in einem Callcenter die Anrufe entgegen. Es rufen im Schnitt 35 Kunden pro Stunde an, wobei die Abfertigungsdauer bei durchschnittlich 320 Sekunden liegt ( ZAZ und Bedienzeit sind exponentialverteilt ). Ist die Warteschlangenkapazität von 11 Anrufern erschöpft, legen die neu hinzukommenden Kunden auf.

91 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik 91 Beispiel 3) Callcenter II Aufgabenstellung: a) Beschreiben Sie dieses System nach Kendall - Lee. b)Wie lange muss ein Anrufer im Schnitt in der Schleife warten und wie lange wartet er bis zur vollständigen Abfertigung seines Anrufs?

92 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik 92 Beispiel 4) Fertigung I Angaben: In einer Fertigung befinden sich 3 Fertigungsstationen. Im Schnitt kommen von außerhalb des Systems 11 Teile bei der Station A, 16 Teile bei der Station B und 10 Teile bei der Station C an. Die Bedienraten lauten A = 15 Stk/h, B = 28 Stk/h und C = 36 Stk/h ( ZAZ und Bedienraten sind exponentialverteilt ). Ist ein Teil bei der Station A fertig, geht es zu 50 % aus dem System, der Rest geht weiter zu Station B. Von Station B aus gehen ¼ der Teile aus dem System, während ¾ zu Station C wandern. Von Station C aus gehen ¾ der Teile aus dem System, der Rest geht zu jeweils 50 % an die Stationen A und B.

93 i n d u s t r i e l o g i s t i k m o n t a n u n i v e r s i t ä t l e o b e n © Lehrstuhl Industrielogistik 93 Beispiel 4) Fertigung II Aufgabenstellung: a) Bestimmen Sie eine Kendall - Lee - Notation für dieses System. b)Welchen Bruchteil der Zeit ist die Station B frei ? c) Wieviele Teile sind im Schnitt bei jeder Bedienstation ( 3 Antworten )? d)Wie hoch ist die durchschnittliche Zeit, die ein Teil im System verbringt ?


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