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Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Ausgleichung ohne Linearisierung Problematik Lösen linearer, nicht überbestimmter Gleichungssysteme Lösen nicht.

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Präsentation zum Thema: "Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Ausgleichung ohne Linearisierung Problematik Lösen linearer, nicht überbestimmter Gleichungssysteme Lösen nicht."—  Präsentation transkript:

1 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Ausgleichung ohne Linearisierung Problematik Lösen linearer, nicht überbestimmter Gleichungssysteme Lösen nicht linearer, nicht überbestimmter Gleichungssysteme Lösen nicht linearer, überbestimmter Gleichungssysteme

2 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Beispiel: Tachymeter Zeiss Elta 2 Modell für Fehler- korrektur: Sinusschwingung Vergleich mit Laser-Interferometer Messstelle d [m]Differenz c [mm] 2,0352,8 4,042-1,6 5,998-7,5 7,973-7,1 10,002 -0,7

3 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Beispiel: Fortsetzung Näherungswerte: Gesucht: Wahrscheinlichste Werte der Parameter a 0 bis a 3 und ausgeglichene Beobachtungen d i bzw. c i

4 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Beispiel: Lösung (1) Fehlender Näherungswert: Erstes Wertepaar: Fehlermeldung, da Ausdruck bei arcsin >1 2. Wertpaar verwendet: a 3 =3,6

5 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Beispiel: Lösung (2) Ableitungen der Bedingungsgleichungen:

6 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Beispiel: Lösung (3) B -Matrix: Ableitungen nach c und d A -Matrix: Ableitungen nach a 0 bis a 3 Widerspruchsvektor w Gewichtsmatrix Einheitsmatrix Gleichungssystem

7 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Beispiel: Lösung (4) Auflösung liefert Unbekanntenzuschläge x und Verbesserungen v Hauptprobe: Geht nicht auf! Iteration notwendig

8 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Einfach lösbar weil … Einfache, geschlossen Berechnung der Näherungswerte Wie geht man vor, wenn keiner der vier Näherungswerte gegeben ist? Konvergierende Iteration

9 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Lösen nicht überbestimmter Gleichungssysteme Gegeben: Gesucht: Lösung des Systems (gemein- same Nullstellen der Polynome) Lösung: Diagonalfom: Lösung direkt ablesbar!

10 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Lösen nicht überbestimmter, nicht linearer Gleichungssysteme Gegeben: 2 Festpunkte, 2 Strecken zu Neupunkt Gesucht: Koordinaten des Neupunktes yx P155 P2155 vonnachs P1N8 P2N6

11 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Lösung (1) Funktionaler Zusammenhang: Ausmultipliziert: mit den Unbekannten x N und y N

12 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Lösung (2) Einsetzen der bekannten Werte Keine nette Form der Darstellung (Lösung nicht direkt ablesbar) Lösung direkt ablesbar aus (ohne Beweis):

13 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Lösung (3) Gesuchte Lösung des Systems ist: Lösung der Aufgabe: yx Lsg 111,40,2 Lsg 211,49,8 Frage: Wie sind wir auf das nette Gleichungssystem gekommen? Gröbner-Basis

14 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Gröbner-Basis Entwickelt von Buchberger in den 60er- Jahren des 20. Jahrhunderts Gegeben: System F von Polynomen Gesucht: Nullstellen von F F in System G transformiert, das nettere Eigenschaften hat F und G sind äquivalent Lösung von G ist auch Lösung on F

15 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Begriffe Multivariate Polynome: Polynom in mehreren Variablen – Kombinationen von Variablen sind erlaubt (z.B. xy ) Bivariate Polynome: 2 Variable

16 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Beispiel Gegeben sind: bivariate Polynome System von Polynomen

17 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Monomen Summanden: Monome Wichtigste Arten der Sortierung: –Nach dem Lexikon (lexikographisch) –Erst nach der Potenz, dann lexikographisch Im Beispiel: lexikographisch (erst nach y, dann nach x, dann absteigende Potenz) Erstes Monom: Führendes Monom

18 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Division/Reduktion (1) Einzelne Monome von g werden mit Hilfe von f 1 und f 2 eliminiert Mögliche Division: Reduziert g modulo f 1 Das führende Monom von (3y)f 1 muss eines der Monome von g eliminieren Mathematisch: ( g reduziert sich zu h modulo f 1 )

19 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Division/Reduktion (2) Im Allgemeinen viele verschiedene Reduktionen möglich In unserem Beispiel: Somit: und.

20 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Division/Reduktion (3) bedeutet, dass sich g über die Funktionen aus F zu h reduzieren lässt Reduktion über eine endliche Anzahl von Schritten: Wenn nicht mehr weiter reduzierbar:

21 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Eigenschaften der Reduktion Terminierung – es gibt keine unendliche Kette von Reduktionsschritten Reduktion ist algorithmisch – für alle g und F gibt es einen Algorithmus, der eine reduzierte Form erzeugt Nicht-Eindeutigkeit – aus g und F können unterschiedliche Ergebnisse h und k erzeugt werden:

22 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Gröbner-Basis Set von Polynomen mit eindeutiger Reduktion Definition: F ist eine Göbner-Basis F ist eindeutig, also

23 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil S-Polynom Gegeben 2 Polynome Mit einem solchen Monom multipliziert, sodass die führenden Monome gleich sind S-Polynom ist die Differenz der beiden Polynome

24 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Beispiel: S-Polynom Gegeben: Gesucht: S-Polynom Ergebnis:

25 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Bestimmung Gröbner-Basis Gegeben: Beliebige Menge F von Polynomen Gesucht: Menge G von Polynomen, die eine Gröbner-Basis bilden Berechnung: Buchberger-Algorithmus

26 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Buchberger-Algorithmus (1) Setze G=F Für jedes Paar von Polynomen f 1 und f 2 G : –S[f 1,f 2 ] berechnen und zur reduzierten Form h vereinfachen –Wenn h = 0 dann nächstes Paar –Wenn h 0 dann zu G hinzufügen und iterieren

27 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Buchberger-Algorithmus (2) Lineare Polynome: Ergebnis entspricht der Gaußschen Elminiation Verallgemeinerung der Gaußschen Elimination Nähere Beschreibung: Dissertation Bruno Buchberger: Berechnung: Software-Pakete

28 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Was können wir jetzt? Lösen von linearen Gleichungssystemen: z.B. Gaußsche Elimination Lösen von nicht linearen Gleichungs- systemen: Gröbner-Basis Lösen von überbestimmten, linearen Gleichungssystemen: Methode der kleinsten Quadrate

29 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Lösen überbestimmter, nicht linearer Gleichungssysteme Direkte Anwendung der Gröbner-Basis nicht möglich Lösung von Awange und Grafarend: –Bestimmung der eindeutigen Lösungen über Gröbner-Basis –Lösungen als Beobachtungen betrachten und Genauigkeit über Fehlerfortpflanzung –Lösung nach Ausgleichung direkter Beobachtungen

30 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Vorteile dieser Lösung Keine Linearisierung Somit keine Näherungswerte notwendig Keine Iteration nötig Für Detektion grober Fehler verwendbar (A 2)

31 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Beispiel: Überbestimmter Bogenschnitt Bogenschnitt von 3 Punkten 3 eindeutige Lösungen N12, N13, N23 Zufällige Fehler bewirken Abweichungen Vorschlag von Gauß: Eindeutige Lösung über gewichtetes arithmetisches Mittel, Gewichte aus Distanzen Jacobi: Gewichte aus Determinanten der Lösungen

32 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Kombinationsansatz (1) Lineares Problem: Aus je 2 Gleichungen eine Lösung: Lösungen

33 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Kombinationsansatz (2) Gewichtetes arithmetisches Mittel Gewichte aus

34 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Kombinationsansatz (3) Nicht lineares Problem: Gewichte über Fehlerfortpflanzung abzuleiten Liefert Varianz-Kovarianzmatrix Ausgleichung direkter Beobachtungen

35 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Zusammenfassung Notwendige Linearisierung bei Ausgleichs- problemen kann zu Schwierigkeiten führen Gröbner-Basis ermöglicht Lösung ohne Linearisierung (also auch ohne Näherungswerte) Vorteile: Rechenaufwand abschätzbar, Wiederholung einfach Nachteil: Mathematisch aufwändiger


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