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Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.20131 Der graphikfähige Taschenrechner (GTR) im Mathematikunterricht der gymnasialen Oberstufe Unterrichtlicher.

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1 Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: Der graphikfähige Taschenrechner (GTR) im Mathematikunterricht der gymnasialen Oberstufe Unterrichtlicher Mehrwert Sek. II Einsatz- möglichkeiten Sek. I Unterrichtlicher Mehrwert Sek. II Einsatz- möglichkeiten Sek. I Funktionalitäten des GTR Funktionalitäten des GTR Fortbildungs- möglichkeiten Fortbildungs- möglichkeiten Fachübergreifende Möglichkeiten Fachübergreifende Möglichkeiten Finanzierungs- modelle Finanzierungs- modelle Rechtliche Grundlagen Rechtliche Grundlagen Einsatz des GTR in der Sek. II Einsatz des GTR in der Sek. II Vorschläge zur Einführung Vorschläge zur Einführung

2 Übersicht Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: Der graphikfähige Taschenrechner unterstützt den Erwerb mathematischer Kompetenzen. Unterrichtlicher Mehrwert in der S II Entdecken mathematischer Zusammenhänge Verständnis- förderung durch Visualisierung Reduktion schematischer Abläufe Verarbeitung größerer Datenmengen Kontrolle von Ergebnissen Konzentration auf den mathe- matischen Kern eines Problems Experimentieren und Erkunden Unterstützung von begriffsbildendem Arbeiten

3 Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: Rechtliche Grundlagen Übersicht

4 Übersicht Verpflichtung zum Einsatz des graphikfähigen Taschenrechners (GTR) ab dem Schuljahr 2014/15 (Erlass vom )Erlass vom in der gymnasialen Oberstufe (Gymnasien, Gesamtschulen, Weiterbildungskollegs, Waldorfschulen) im Beruflichen Gymnasium Alternativ weiterhin möglich: Einsatz von Computer-Algebra-Systemen (CAS) Rechtliche Grundlagen Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand:

5 Übersicht Gebrauch von graphikfähigen Taschenrechnern im Mathematikunterricht der gymnasialen Oberstufe und des Beruflichen Gymnasiums RdErl. d. Ministeriums für Schule und Weiterbildung v – Die fachdidaktische Entwicklung in der Mathematik weist den so genannten Werkzeugen eine immer größere Bedeutung vor allem in der Sekundarstufe II zu. Der Gebrauch von graphikfähigen Taschenrechnern erlaubt nach fachdidaktischen Gesichtspunkten eine Entlastung von kalkülorientierten Routineberechnungen und eine schnelle Visualisierung von Graphen. Er ermöglicht damit einen kreativen Umgang mit mathematischen Fragestellungen. Aus diesem Grund wird die Nutzung graphikfähiger Taschenrechner (GTR) ab dem 1. August 2014 für die gymnasiale Oberstufe und das Berufliche Gymnasium verbindlich. Im Zentralabitur werden die Mathematikaufgaben erstmals im Jahr 2017 dieses Hilfsmittel voraussetzen. Für diejenigen Schulen, an denen ein Computer-Algebra-System (CAS) eingeführt ist, wird darüber hinaus weiterhin ein Satz von CAS-Aufgaben angeboten. Regelungen zur Gewährung eines individuellen Nachteilsausgleichs werden hiervon nicht berührt. ABl. NRW. 08/12 S. 432 Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: Rechtliche Grundlagen zurück

6 Übersicht Konsequenz für Zentralabitur und zentrale Klausuren Einsatz des GTR ab dem Zentralabitur 2017 Einsatz des GTR bereits in der zentralen Klausur am Ende der Einführungsphase ab dem Schuljahr 2014/2015 vorgesehen (Gesamtschulen, Gymnasien und Weiterbildungskollegs) Vorgaben zum Zentralabitur und zu den zentralen Klausuren (CAS-Aufgabensatz sowohl für die zentrale Klausur als auch für das Zentralabitur 2017) Rechtliche Grundlagen Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand:

7 Übersicht Nutzung eines CAS Schulen können statt eines GTR auf freiwilliger Basis ein CAS mit erweiterter Funktionalität einführen. Im Zentralabitur wird weiterhin CAS als Hilfsmittel zugelassen. Die Entscheidung zwischen CAS und GTR liegt in der Verantwortung der Schule. Rechtliche Grundlagen Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand:

8 Übersicht Einführung des GTR in der Sekundarstufe I GTR-Einsatz für alle Schulformen in der Sek. I möglich keine Verpflichtung, Schule entscheidet über Zeitpunkt und Klassenstufe der GTR-Einführung in der Sek. I Wenn alle Schülerinnen und Schüler einer Klasse in der Sek. I einen GTR zur Verfügung haben, kann er auch mit allen Funktionen genutzt werden. Rechtliche Grundlagen Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand:

9 Übersicht Verpflichtung zur Anschaffung des GTR in der gymnasiale Oberstufe und am Beruflichen Gymnasium Taschenrechner sind keine Lernmittel, sondern Gegenstände der persönlichen Ausstattung der Schülerinnen und Schüler. Die Anschaffung obliegt damit grundsätzlich den Erziehungsberechtigten bzw. den volljährigen Schülerinnen und Schülern. Empfehlung:Erarbeitung eines tragfähigen Finanzierungsmodells mit sozialer Komponente auf der Basis umfassender Information und Beteiligung der schulischen Mitwirkungsgremien. Rechtliche Grundlagen Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand:

10 Übersicht Taschenrechnermodelle Kein Zulassungsverfahren für Taschenrechnermodelle Eingeführter Taschenrechner muss durch Graphikfähigkeit und weitere Funktionalitäten dem Einsatz im Unterricht und in Prüfungen gerecht werden.Funktionalitäten Die innerhalb einer Lerngruppe verwendeten Geräte müssen in ihrer Funktionalität vergleichbar sein. Die vollständige Integration in die unterrichtliche Arbeit wird durch ein einheitliches Taschenrechnermodell erleichtert. Die Verpflichtung zur Anschaffung von Taschenrechnern bezieht sich jedoch nur auf die Funktionalitäten und nicht auf ein bestimmtes Modell. Rechtliche Grundlagen Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand:

11 Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: Vorschläge zur Einführung des GTR an der Schule Übersicht

12 Übersicht Mögliche Entscheidungswege und Zeitplan Ab Frühjahr 2013: Beratungen der Fachschaft Mathematik zur Auswahl eines GTR- Modells –Beachtung der geforderten FunktionalitätenFunktionalitäten –Preisvergleich und Vergleich der Lieferbedingungen der Hersteller/Händler –Überlegungen zu einem Einsatz des GTR bereits in der S I, ggf. gestufte Einführung –Längerfristige Nutzung eines Modells (Verlässlichkeit, Wiederverkaufsmöglichkeit, Aufbau eines Gerätepools) Vorschläge zur Einführung des GTR Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand:

13 Übersicht Einbeziehung weiterer Fachschaften zur Abstimmung fachübergreifender Nutzungsmöglichkeiten Erarbeitung eines tragfähigen Finanzierungsmodells in einem Arbeitskreis (Schulleitung, evtl. weitere Vertreterinnen und Vertreter der Lehrerkonferenz, Mitglieder der Schulpflegschaft, der Schülervertretung und des Fördervereins) Beschluss der Fachkonferenz Mathematik als Empfehlung zur Einführung des ausgewählten GTR-Modells Erstellung einer Vorlage für die schulischen Gremien Planung der Fortbildungsmaßnahmen zum GTR-EinsatzFortbildungsmaßnahmen Hinweise zur Einführung des GTR Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand:

14 Übersicht Ab September 2013: Information und Beteiligung der Mitwirkungsgremien Wahrnehmung der Fortbildungsmaßnahmen Methodische und didaktische Überlegungen zum GTR-Einsatz im Mathematikunterricht Zum Beginn des Schuljahres 2014/15: Nutzung des GTR im Rahmen des erarbeiteten Finanzierungsmodells und der verhandelten Konditionen Hinweise zur Einführung des GTR Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand:

15 Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: Funktionalitäten des GTR Übersicht

16 Übersicht Anforderungen an die Funktionalität eines GTR in der S II I. Wertetabellen und Listen Erstellen und bearbeiten von Tabellen und Listen graphische Darstellung von Werten einer Tabelle (z. B. als Punktwolke) II. Analysis Graphische Darstellung von o Funktionen o Tangenten an einen Funktionsgraphen an einer Stelle o Integralfunktionen Variieren von Parametern von Funktionstermen Funktionalitäten des GTR Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand:

17 Übersicht Ermitteln von Koordinaten ausgewählter Punkte, auch durch Abfahren der Graphen (Trace-Modus), Kontrolle rechnerischer Ergebnisse (z. B. lokale Extremstellen, Wendestellen, Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen) Numerische Berechnungen o Ableitung einer Funktion an einer Stelle o bestimmte Integrale o Lösen von Gleichungen Funktionalitäten des GTR Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand:

18 Übersicht III. Lineare Algebra Lineare Gleichungssysteme (mind. mit 6 Unbekannten) Bestimmung der Lösungsmenge von Gleichungssystemen Lösungsmengen auch von unterbestimmten linearen Gleichungssystemen z.B. mithilfe der reduzierten Zeilenstufenform einer erweiterten Koeffizientenmatrix Analytische Geometrie/Matrizen (mind. bis zur Dimension 6 x 6) Elementare Rechenoperationen mit Vektoren und Matrizen Matrizenmultiplikation Potenzieren quadratischer Matrizen Funktionalitäten des GTR Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand:

19 Übersicht IV. Stochastik Berechnen von Kennzahlen statistischer Daten (Mittelwert, Standardabweichung) Wahrscheinlichkeitsverteilungen –Erstellen von Histogrammen –Variieren der Parameter –Berechnen von Kennzahlen (Erwartungswert, Standardabweichung) Berechnen von Wahrscheinlichkeiten bei binomial- und normalverteilten Zufallsgrößen Berechnen von kumulierten Wahrscheinlichkeiten Generieren von Listen mit Zufallszahlen Funktionalitäten des GTR Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand:

20 Übersicht Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: Finanzierungsmodelle

21 Übersicht In der Schulpraxis bieten sich oft Mischmodelle an. Finanzierungsmodelle Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: Kauf Miete Ausleihe Soziale Komponente

22 Übersicht Kaufmodell Sammelbestellung über die Schule (Beteiligung freiwillig) –vergünstigte Konditionen –Nutzung von Sozialprogrammen der Hersteller möglich –Freigeräte Freigeräte werden bedürftigen Schülerinnen und Schülern zur Verfügung gestellt Schule hält ggf. zusätzliche Geräte zur Ausleihe bereit Option: Nach einem Durchgang wird eine Börse für gebrauchte GTR eingerichtet (z. B. Weiterverkauf der GTR von Abiturienten) Finanzierungsmodelle Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: Beispiel 1: Variante eines Kaufmodells

23 Übersicht Mietmodell Schule schafft einen Satz GTR zur Vermietung an –vergünstigte Konditionen –Freigeräte Anschubfinanzierung durch den Förderverein Festlegung eines angemessenen Mietpreises für den GTR Schriftliche Nutzungsvereinbarung zwischen Schule und Erziehungsberechtigten Bei bedürftigen Schülerinnen und Schülern übernimmt der Förderverein den Mietpreis oder es wird unentgeltlich ein GTR ausgeliehen. Finanzierungsmodelle Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: Beispiel 2: Variante eines Mietmodells

24 Übersicht Finanzierungsmodelle Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand:

25 Übersicht Wahlmöglichkeit zwischen drei Optionen: Kauf des Gerätes über Sammelbestellung der Schule Mieten des Gerätes von der Schule Anschaffung des Gerätes in eigener Verantwortung Für bedürftige Schülerinnen und Schüler übernimmt der Förderverein der Schule die Mietkosten. Anschubfinanzierung durch den Förderverein (Sponsoren, Darlehen) Finanzierungsmodelle Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: Beispiel 3: Mischmodell

26 Übersicht Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: Unterrichtlicher Mehrwert in der S II

27 27 Übersicht über die Beispiele 1 EF Modellieren mit Exponentialfunktionen 5 EF, Q1 Extremwertprobleme 9 Q1 Lage von Gerade und Ebene zueinander (LGS lösen) 2 Q1 Ein Weg zur linearen Regression 6 Q1 Berechnen von Integralen (mit/ohne Bilanzierung) 10 Q2 Arbeiten mit Übergangsmatrizen 3 EF Entdecken der Potenzregel 7 Q1 Untersuchung von Integralfunktionen 11 Q1, Q2 Ein Weg zur Normalverteilung 4 EF Elemente einer Kurvendiskussion 8 Q1, Q2 Ein Weg zur e-Funktion 12 Q2 Ein Weg zum Vertrauensintervall Übersicht

28 Beispiel 1 EF Modellieren mit Exponentialfunktionen Zu einer offenbar nicht linearen Entwicklung wird ein neues, nicht quadratisches Modell gesucht, z.B.: Der GTR … nimmt die Daten auf (Tabelle), zeigt die Punktwolke (Streudiagramm), zeigt Graph zu neuem Modell (nicht linear, nicht quadratisch), übernimmt weitere Rechnungen (Wie lange dauert es, bis …) 28 Bierschaum- zerfall Schoko- linsen- abnahme Abkühlungs- prozesse Übersicht Beispiele Übersicht

29 Beispiel 1 EF Modellieren mit Exponentialfunktionen Zu einer offenbar nicht linearen Entwicklung wird ein neues, nicht quadratisches Modell gesucht, z.B.: Der GTR … nimmt die Daten auf (Tabelle), zeigt die Punktwolke (Streudiagramm), zeigt Graph zu neuem Modell (nicht linear, nicht quadratisch), übernimmt weitere Rechnungen (Wie lange dauert es, bis …) 29 Bierschaum- zerfall Schoko- linsen- abnahme Abkühlungs- prozesse Übersicht Beispiele Übersicht

30 1. Die experimentell ermittelten Daten als Liste 3. Ein mögliches Modell: Funktionsterm 5. Ziel: Zeit bis Höhe 0,5 2. Der Datensatz als Punktplot (Streudiagramm) 4. Ein mögliches Modell: Graph 6. Wertetabelle zu Y1 30 Übersicht Beispiele Übersicht

31 1. Die experimentell ermittelten Daten als Liste 3. Ein mögliches Modell: Funktionsterm 5. Ziel: Zeit bis Höhe 0,5 2. Der Datensatz als Punktplot (Streudiagramm) 4. Ein mögliches Modell: Graph 6. Wertetabelle zu Y1 31 Übersicht Beispiele Übersicht

32 Beispiel 2 EF Ein Weg zur linearen Regression Zu einem bivariaten Datensatz (z.B. Körpergröße – Schuhgröße o.ä) wird ein lineares Modell gesucht, das diesen Datensatz optimal beschreibt. Der GTR zeigt das Streudiagramm und die Lage der ersten Modelle, berechnet Qualitätskriterien, berechnet die Parameter für die optimale Ausgleichsgerade (m, b), zeigt den optimalen Graphen, und berechnet Residuen bzw. Abweichungssummen. 32 Übersicht Beispiele Übersicht

33 Beispiel 2 EF Ein Weg zur linearen Regression Zu einem bivariaten Datensatz (z.B. Körpergröße – Schuhgröße o.ä) wird ein lineares Modell gesucht, das diesen Datensatz optimal beschreibt. Der GTR zeigt das Streudiagramm und die Lage der ersten Modelle, berechnet Qualitätskriterien, berechnet die Parameter für die optimale Ausgleichsgerade (m, b), zeigt den optimalen Graphen und berechnet Residuen bzw. Abweichungssummen. 33 Übersicht Beispiele Übersicht

34 1. Die originalen Daten 3. Ein erster Versuch für eine Ausgleichsgerade 5. Ein besseres Modell (oder GTR-Regression) 2. Das Streudiagramm 4. Eine erste Evaluation: Quadratsumme 6. Eine weitere Evaluation 34 Übersicht Beispiele Übersicht

35 1. Die originalen Daten 3. Ein erster Versuch für eine Ausgleichsgerade 5. Ein besseres Modell (oder GTR-Regression) 2. Das Streudiagramm 4. Eine erste Evaluation: Quadratsumme 6. Eine weitere Evaluation 35 Übersicht Beispiele Übersicht

36 Beispiel 3 EF Entdeckung der Potenzregel Kann man Regelmäßigkeiten entdecken, wenn man zu Potenzfunktionen (z.B. x 2 bis x 4 ) mittlere Änderungsraten berechnet (z.B. mit h = 0,1) und graphisch darstellt? Der GTR … berechnet (z.B.) zu f(x) = x 4 in einem ausgewählten Intervall 10 – 12 mittlere Änderungsraten, plottet diese Daten zusammen mit der Potenzfunktion, Als Modell für die Änderungsraten bietet sich an f*(x) = 4x 3. Weitere Gruppen untersuchen y = x 2 usw. Im Vergleich ergibt sich eine belastbare Vermutung zur Potenzregel. Anschließen wird sich der algebraische Beweis. 36 Übersicht Beispiele Übersicht

37 Beispiel 3 EF Entdeckung der Potenzregel Kann man Regelmäßigkeiten entdecken, wenn man zu Potenzfunktionen (z.B. x 2 bis x 4 ) mittlere Änderungsraten berechnet (z.B. mit h = 0,1) und graphisch darstellt? Der GTR … berechnet (z.B.) zu f(x) = x 4 in einem ausgewählten Intervall 10 – 12 mittlere Änderungsraten, plottet diese Daten zusammen mit der Potenzfunktion, Als Modell für die Änderungsraten bietet sich an f*(x) = 4x 3. Weitere Gruppen untersuchen y = x 2 usw. Im Vergleich ergibt sich eine belastbare Vermutung zur Potenzregel. Anschließen wird sich der algebraische Beweis. 37 Übersicht Beispiele Übersicht

38 1. Der Graph zu f(x) = x 4 4. Der Plot der Änderungsraten 2. Die Stützstellen 5. Bildungsgesetz für die Änderungsraten (1. Versuch: x 3 ) 3. Die Änderungsraten 6. (2. Versuch: 4x 3 ) 38 Übersicht Beispiele Übersicht

39 1. Der Graph zu f(x) = x 4 4. Der Plot der Änderungsraten 2. Die Stützstellen 5. Bildungsgesetz für die Änderungsraten (1. Versuch: x 3 ) 3. Die Änderungsraten 6. (2. Versuch: 4x 3 ) 39 Übersicht Beispiele Übersicht

40 Beispiel 4 EF Elemente einer Kurvendiskussion Eine Funktion bzw. ihr Graph soll auf lokale Eigenschaften, z.B. Nullstellen Hoch-/Tiefpunkte Wendepunkte hin untersucht werden. Der GTR … liefert eine erste wertemäßige Übersicht (Ablaufen mit Trace), berechnet Nullstellen und Ableitungen an isolierten Stellen, zeigt die Ableitungsfunktion, berechnet die (lokalen) Extremstellen und die Wendestellen, zeigt ggf. Tangenten, u.a. die (den Graphen schneidende!) Wendetangente. 40 Übersicht Beispiele Übersicht

41 Beispiel 4 EF Elemente einer Kurvendiskussion Eine Funktion bzw. ihr Graph soll auf lokale Eigenschaften, z.B. Nullstellen Hoch-/Tiefpunkte Wendepunkte hin untersucht werden. Der GTR … liefert eine erste wertemäßige Übersicht (Ablaufen mit Trace), berechnet Nullstellen und Ableitungen an isolierten Stellen, zeigt die Ableitungsfunktion, berechnet die (lokalen) Extremstellen und die Wendestellen, zeigt ggf. Tangenten, u.a. die (den Graphen schneidende!) Wendetangente. 41 Übersicht Beispiele Übersicht

42 1. Der Graph 4. Die Ableitung an isolierten Stellen 7. Der Hochpunkt 2. Das Ablaufen mit Trace (erste Näherung) 5. Der Ableitungs- befehl 8. Die Wende- stellen 3. Die Nullstellen 6. Der Ableitungs- graph 9. Die Wende- tangente(n) 42 Übersicht Beispiele Übersicht

43 1. Der Graph 4. Die Ableitung an isolierten Stellen 7. Der Hochpunkt 2. Das Ablaufen mit Trace (erste Näherung) 5. Der Ableitungs- befehl 8. Die Wende- stellen 3. Die Nullstellen 6. Der Ableitungs- graph 9. Die Wende- tangente(n) 43 Übersicht Beispiele Übersicht

44 Beispiel 5 EF, Q1 Extremwertprobleme Zu einem Sachproblem soll eine optimale Lösung gefunden und evaluiert werden. Der GTR … zeigt den Graphen der Zielfunktion, berechnet ein (numerisches) Optimum. Direkt am Graphen erkennt man, inwieweit die Randwerte für die Lösung des Sachproblems von Bedeutung sind. 44 Übersicht Beispiele Übersicht

45 Beispiel 5 EF, Q1 Extremwertprobleme Zu einem Sachproblem soll eine optimale Lösung gefunden und evaluiert werden. Der GTR … zeigt den Graphen der Zielfunktion, berechnet ein (numerisches) Optimum. Direkt am Graphen erkennt man, inwieweit die Randwerte für die Lösung des Sachproblems von Bedeutung sind. 45 Übersicht Beispiele Übersicht

46 46 1. Das Problem 2. Die Zielfunktion 3. der Graph und sein Hochpunkt Übersicht Beispiele Übersicht

47 47 1. Das Problem 2. Die Zielfunktion 3. der Graph und sein Hochpunkt Übersicht Beispiele Übersicht

48 48 Beispiel 6 Q1 Berechnen von Integralen (mit/ohne Bilanzierung) In einer Sachsituation sollen anhand der Modellfunktion Berechnungen durchgeführt werden, bei denen die Orientierung der Flächen eine Rolle spielt, z. B. Veränderung der Wassermenge im Becken vs. Menge an gepumptem Wasser Der GTR … berechnet die Bilanz der beteiligten Flächen (Veränderung im Becken) berechnet mithilfe der Betragsfunktion die echte/bilanzfreie Fläche (Menge gepumpten Wassers), zeigt anhand des Graphen eine Veranschaulichung dieser beiden Standardsituation. Übersicht Beispiele Übersicht

49 49 Beispiel 6 Q1 Berechnen von Integralen (mit/ohne Bilanzierung) In einer Sachsituation sollen anhand der Modellfunktion Berechnungen durchgeführt werden, bei denen die Orientierung der Flächen eine Rolle spielt, z. B. Veränderung der Wassermenge im Becken vs. Menge an gepumptem Wasser Der GTR … berechnet die Bilanz der beteiligten Flächen (Veränderung im Becken) berechnet mithilfe der Betragsfunktion die echte/bilanzfreie Fläche (Menge gepumpten Wassers), zeigt anhand des Graphen eine Veranschaulichung dieser beiden Standardsituation. Übersicht Beispiele Übersicht

50 1. Der Funktionsterm 2. Der Graph: Zufluss/Abfluss (Änderungsrate) 3. Die Veränderung nach 5 Minuten 4. Der neue Term 5. Der neue Graph 6. In den 5 Minuten bewegte Wassermenge 50 Übersicht Beispiele Übersicht

51 1. Der Funktionsterm 2. Der Graph: Zufluss/Abfluss (Änderungsrate) 3. Die Veränderung nach 5 Minuten 4. Der neue Term 5. Der neue Graph 6. In den 5 Minuten bewegte Wassermenge 51 Übersicht Beispiele Übersicht

52 52 Beispiel 7 Q1 Untersuchung von Integralfunktionen Integralfunktionen sind als Objekte schwerer zu greifen als die bestimmten Integral, die gut veranschaulicht werden können. Die Integralfunktion kann genutzt werden, … um die Bilanzierungseigenschaft des Riemann-Integrals zu vertiefen, ggf. den Hauptsatz vor- oder nachzubereiten, Grenzen für ein Integral (bei vorgegebener Fläche bzw. Bilanz) zu berechnen. Übersicht Beispiele Übersicht

53 53 Beispiel 7 Q1 Untersuchung von Integralfunktionen Integralfunktionen sind als Objekte schwerer zu greifen als die bestimmten Integral, die gut veranschaulicht werden können. Die Integralfunktion kann genutzt werden, … um die Bilanzierungseigenschaft des Riemann-Integrals zu vertiefen, Grenzen für ein Integral (bei vorgegebener Fläche bzw. Bilanz) zu berechnen, ggf. den Hauptsatz vor- oder nachzubereiten. Übersicht Beispiele Übersicht

54 1. Der Randgraph 4. Ist es schon 1? Flächeninhalt von 0 bis b sei 1 2. Eingabe der Integralfunktion, Start bei a = 0 5. Lösung mittels Schnittpunkten von Funktionen 3. Der Graph der Integralfunktion (a = 0, a = -1) 6. Lösung mittels Wertetabelle 54 Übersicht Beispiele Übersicht

55 1. Der Randgraph 4. Ist es schon 1? Flächeninhalt von 0 bis b sei 1 2. Eingabe der Integralfunktion, Start bei a = 0 5. Lösung mittels Schnittpunkten von Funktionen 3. Der Graph der Integralfunktion (a = 0, a = -1) 6. Lösung mittels Wertetabelle 55 Übersicht Beispiele Übersicht

56 56 Beispiel 8 Q2 Ein Weg zur e-Funktion Gesucht wird (zunächst) nach einem Zusammenhang zwischen einer Exponentialfunktion und ihren Ableitungen. Der GTR … berechnet für y = 2 x (und y = 3 x ) an ausgewählten Stellen mittlere Änderungsraten, führt mithilfe einerTabellierung zu der Vermutung f(x) = f(0) f(x), ermöglicht mittels einer graphischen Darstellung eine erste Näherung für e: Suche f mit f(x) = 1 f(x). Übersicht Beispiele Übersicht

57 57 Beispiel 8 Q2 Ein Weg zur e-Funktion Gesucht wird (zunächst) nach einem Zusammenhang zwischen Exponentialfunktion und ihren Ableitungen. Der GTR … berechnet für y = 2 x (und y = 3 x ) an ausgewählten Stellen mittlere Änderungsraten, führt mithilfe einer Tabellierung zu der Vermutung f(x) = f(0) f(x), ermöglicht mittels einer graphischen Darstellung eine erste Näherung für e: Suche f mit f(x) = 1 f(x). Übersicht Beispiele Übersicht

58 1. Stützstellen, Funktionswerte, Änderungsraten für f(x) = 2 x 3. Der Graph zu f(x) = 2 x und die Änderungsraten 5. b = 3 Graph 2. Quotienten- probe 4. Variation der Basis: b = 3 Quotientenprobe 6. gezielte Suche: b = Übersicht Beispiele Übersicht

59 1. Stützstellen, Funktionswerte, Änderungsraten für f(x) = 2 x 3. Der Graph zu f(x) = 2 x und die Änderungsraten 5. b = 3 Graph 2. Quotienten- probe 4. Variation der Basis: b = 3 Quotientenprobe 6. gezielte Suche: b = Übersicht Beispiele Übersicht

60 60 Beispiel 9 Q1 Lage von Gerade und Ebene zueinander (LGS lösen) Gegeben sind die beiden Parameterformen zu den drei möglichen Fällen. Bekannt sei das algebraische Verfahren: Lösen eines LGS mit dem Gauss- Algorithmus. Der GTR … übernimmt die (normierte) Koeffizientenmatrix berechnet zu der Koeffizienten- matrix die zugehörige Dreiecks- bzw. Diagonalmatrix. Letztere ermöglicht das direkte Ablesen der drei möglichen Fälle. Zudem liefert sie, falls ein Schnittpunkt existiert, die benötigten Parameter. Übersicht Beispiele Übersicht

61 61 Beispiel 9 Q1 Lage von Gerade und Ebene zueinander (LGS lösen) Gegeben sind die beiden Parameterformen zu den drei möglichen Fällen. Bekannt sei das algebraische Verfahren: Lösen eines LGS mit dem Gauss- Algorithmus. Der GTR … übernimmt die (normierte) Koeffizientenmatrix berechnet zu der Koeffizienten- matrix die zugehörige Dreiecks- bzw. Diagonalmatrix. Letztere ermöglicht das direkte Ablesen der drei möglichen Fälle. Zudem liefert sie, falls ein Schnittpunkt existiert, die benötigten Parameter. Übersicht Beispiele Übersicht

62 62 1. Die drei Fälle 2. g schneidet E (in genau einem Punkt) 3. g ist echt parallel zu E 4. g liegt in E Übersicht Beispiele Übersicht

63 63 1. Die drei Fälle 2. g schneidet E (in genau einem Punkt) 3. g ist echt parallel zu E 4. g liegt in E Übersicht Beispiele Übersicht

64 64 Beispiel 10 Q2 Arbeiten mit Übergangsmatrizen Eine bekannte Übergangsmatrix soll genutzt werden, um den ebenfalls gegebenen Systemzustand kurzfristig, langfristig oder rückwirkend zu modellieren und ggf. einen Fixvektor zu bestimmen. Der GTR … führt die Potenzbildung für kleine und große Intervalle durch, berechnet mittels der inversen Matrix zurückliegende Zustände, nutzt die Einheitsmatrix, um den Fixvektor zu berechnen. Übersicht Beispiele Übersicht

65 65 Beispiel 10 Q2 Arbeiten mit Übergangsmatrizen Eine bekannte Übergangsmatrix soll genutzt werden, um den ebenfalls gegebenen Systemzustand kurzfristig, langfristig oder rückwirkend zu modellieren und ggf. einen Fixvektor zu bestimmen. Der GTR … führt die Potenzbildung für kleine und große Intervalle durch, berechnet mittels der inversen Matrix zurückliegende Zustände, nutzt die Einheitsmatrix, um den Fixvektor zu berechnen. Übersicht Beispiele Übersicht

66 1. Die Übergangsmatrix 4. Die Verteilung am Ende der Woche 7. Fixvektor, Schritt I 2. Die Verteilung zu Beginn 5. Die Verteilung nach 1 Monat 8. Fixvektor, Schritt II 3. Die Verteilung nach 1 Tag 6. Hatte die Startverteilung einen Vorlauf? 9. Fixvektor, Schritt III 66 Übersicht Beispiele Übersicht

67 1. Die Übergangsmatrix 4. Die Verteilung am Ende der Woche 7. Fixvektor, Schritt I 2. Die Verteilung zu Beginn 5. Die Verteilung nach 1 Monat 8. Fixvektor, Schritt II 3. Die Verteilung nach 1 Tag 6. Hatte die Startverteilung einen Vorlauf? 9. Fixvektor, Schritt III 67 x x 4 = 0 … x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 1 x 4 0,42 x 1 0,39, x 2 0,1, x 3 0,09 Übersicht Beispiele Übersicht

68 Beispiel 11 Q1, Q2 Ein Weg zur Normalverteilung Wichtige Kenngrößen für den Werteverlauf einer binomialverteilten Zufallsgröße sind µ und σ. Kann man diese beiden Werte für eine Normierung nutzen? Ja! Es ergibt sich eine Normierung, wenn man den Graphen um µ Einheiten nach links verschiebt, dann mit σ in x-Richtung staucht und zur Kompensation in y-Richtung mit σ streckt. Als Modellfunktion bietet sich an 68 Übersicht Beispiele Übersicht

69 Beispiel 11 Q1, Q2 Ein Weg zur Normalverteilung Wichtige Kenngrößen für den Werteverlauf einer binomialverteilten Zufallsgröße sind µ und σ. Kann man diese beiden Werte für eine Normierung nutzen? Ja! Es ergibt sich eine Normierung, wenn man den Graphen um µ Einheiten nach links verschiebt, dann mit σ in x-Richtung staucht und zur Kompensation in y-Richtung mit σ streckt. Als Modellfunktion bietet sich an 69 Übersicht Beispiele Übersicht

70 1. Die Grunddaten und Kenngrößen 3. Die neu berechneten Werte 5. Ein weiteres Beispiel mit neuen Werten für n und p 2. Die Werte der Verteilung 4. Die graphische Darstellung 6. Die Modellfunktion 70 Übersicht Beispiele Übersicht

71 1. Die Grunddaten und Kenngrößen 3. Die neu berechneten Werte 5. Ein weiteres Beispiel mit neuen Werten für n und p 2. Die Werte der Verteilung 4. Die graphische Darstellung 6. Die Modellfunktion 71 Übersicht Beispiele Übersicht

72 72 Beispiel 12 Q1, Q2 Ein Weg zum Vertrauensintervall Im Vorfeld einer Wahl erhält eine Partei bei einer Umfrage 621 Stimmen von 1200 Befragten. Kann die Partei halbwegs sicher sein, bei der Wahl 50% der Stimmen zu bekommen? Der GTR berechnet mit Hilfe der σ-Regeln, für welche Werte von p die gegebene Häufigkeit in der 2σ- Umgebung liegt, unterstützt mit einer graphischen Darstellung vertiefende Analysen, z. B. zu algebraischen Modellen (Funktionen) für die Ellipse. Übersicht Beispiele Übersicht

73 73 Beispiel 12 Q1, Q2 Ein Weg zum Vertrauensintervall Im Vorfeld einer Wahl erhält eine Partei bei einer Umfrage 621 Stimmen von 1200 Befragten. Kann die Partei halbwegs sicher sein, bei der Wahl mindestens 50% der Stimmen zu bekommen? Der GTR berechnet mit Hilfe der σ-Regeln, für welche Werte von p die gegebene Häufigkeit in der 2σ- Umgebung liegt, unterstützt mit einer graphischen Darstellung vertiefende Analysen, z. B. zu algebraischen Modellen (Funktionen) für die Ellipse. Übersicht Beispiele Übersicht

74 1. µ und σ für 0.45 p die 2σ-Umgebungen für 0.45 p 0.55 und … 3. … die plausiblen Wahrscheinlichkeiten 4. graphische Darstellung für 0.45 p graphische Darstellung für 0 p 1 6. Rekonstruktion mit Wurzelfunktionen und Schnittpunkten 74 Übersicht Beispiele Übersicht

75 1. µ und σ für 0.45 p die 2σ-Umgebungen für 0.45 p 0.55 und … 3. … die plausiblen Wahrscheinlichkeiten 4. graphische Darstellung für 0.45 p graphische Darstellung für 0 p 1 6. Rekonstruktion mit Wurzelfunktionen und Schnittpunkten 75 Übersicht Beispiele Übersicht

76 Ein GTR im Mathematikunterricht unterstützt u.a.: Beispiele Exploratives und entdeckendes Arbeiten 3838 Potenzregel e, e-Funktion Begriffsbildendes Arbeiten 2 12 Regression Vertrauensintervall Wechsel zwischen Darstellungsformen: Term (Algebra), Werte (numerisch), Graph 7171 Integralfunktion Exponentialfunktion Reduktion von Routine-Algorithmen: mehr Zeit für vertiefendes Verständnis Kurvendiskussion Integration LGS Übergangsmatrizen Modellieren, außer- und innermathematisch 5 11 Extremwerte Normalverteilung 76 Übersicht Beispiele Übersicht

77 Übersicht Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: Einsatzmöglichkeiten in der S I

78 Übersicht über die Beispiele 1 Wechsel der Darstellungsform: Term, Tabelle, Graph 4 Graphisches Lösen quadratischer Gleichungen 7 Vergleich von Testläufen mit Boxplots 2 Experimentell ermittelter Näherungswert für 5 Bestimmung von Extremwerten in Sachsituationen 8 Heron – graphisch und algebraisch 3 Variation von Parametern bei Funktionen 6 Auswertung von Zufallsversuchen in Histogrammen 9 Modellieren mit der Sinusfunktion 78 Übersicht

79 Beispiel 1 Wechsel der Darstellungsform: Term, Tabelle, Graph Eine Sach-/Problemsituation (z.B. der Vergleich zweier Vorschläge zu Lohnerhöhungen) wird in unterschiedlichen Darstellungs- formen wiedergegeben. Der GTR … sammelt erste (ggf. Kopf-) Rechenergebnisse stellt die Ergebnisse graphisch dar zeigt zu geeigneten Funktionstermen die Graphen an liefert Wertetabellen 79 Übersicht Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: Übersicht Beispiele

80 Beispiel 1 Wechsel der Darstellungsform: Term, Tabelle, Graph Eine Sach-/Problemsituation (z.B. der Vergleich zweier Vorschläge zu Lohnerhöhungen) wird in unterschiedlichen Darstellungs- formen wiedergegeben. Der GTR … sammelt erste (ggf. Kopf-) Rechenergebnisse stellt die Ergebnisse graphisch dar zeigt zu geeigneten Funktionstermen die Graphen an liefert Wertetabellen 80 Übersicht Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: Übersicht Beispiele

81 1. Erste Werte (Kennenlernen der Situation) 2. Formeln in Listen bzw. Tabellen (Vorform für Terme) 3. Graphische Darstellung (Punktplot) 4. Funktionsterme 5. Funktionsgraphen 6. Wertetabellen 81 Übersicht Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: Übersicht Beispiele

82 1. Erste Werte (Kennenlernen der Situation) 2. Formeln in Listen bzw. Tabellen (Vorform für Terme) 3. Graphische Darstellung (Punktplot) 4. Funktionsterme 5. Funktionsgraphen 6. Wertetabellen 82 Übersicht Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: Übersicht Beispiele

83 Beispiel 2 Experimentell ermittelter Näherungswert für Für eine Vielzahl von zylindrischen Objekten werden Umfang und Durchmesser gemessen und als Tabelle und Graph aufbereitet. Gesucht wird ein systematischer Zusammenhang. Der GTR … erfasst die Daten in einer Tabelle bzw. Urliste zeigt deren graphische Darstellung zeichnet die Graphen von Modellfunktionen berechnet die Quotienten der Wertepaare und deren Mittelwert 83 Übersicht Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: Übersicht Beispiele

84 Beispiel 2 Experimentell ermittelter Näherungswert für Für eine Vielzahl von zylindrischen Objekten werden Umfang und Durchmesser gemessen und als Tabelle und Graph aufbereitet. Gesucht wird ein systematischer Zusammenhang. Der GTR … erfasst die Daten in einer Tabelle bzw. Urliste zeigt deren graphische Darstellung zeichnet die Graphen von Modellfunktionen berechnet die Quotienten der Wertepaare und deren Mittelwert 84 Übersicht Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: Übersicht Beispiele

85 1. Die Rohdaten der Erhebung 3. Ein erstes Modell (proportional) 5. Quotienten (Proportionalitäts- faktor) 2. Die graphische Darstellung 4. Der zugehörige Graph (Ursprungsgerade) 6. Mittelwert 85 Übersicht Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: Übersicht Beispiele

86 1. Die Rohdaten der Erhebung 3. Ein erstes Modell (proportional) 5. Quotienten (Proportionalitäts- faktor) 2. Die graphische Darstellung 4. Der zugehörige Graph (Ursprungsgerade) 6. Mittelwert 86 Übersicht Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: Übersicht Beispiele

87 Beispiel 3 Variation von Parametern bei Funktionen Ein Parameter - z.B. in der Scheitelpunktform - soll zunächst in seiner Bedeutung für den Verlauf des Graphen erkannt werden. Um das beobachtete Verhalten zu erklären wird untersucht, wie sich die Wertetabelle bei der Variation des Parameters ändert. Der GTR … zeigt die zugehörigen Parabeln berechnet die zugehörigen Wertetabellen liefert bei dem Vergleich beider Darstellungsformen Hinweise, die eine Erklärung für das beobachtete Verhalten zulassen. 87 Übersicht Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: Übersicht Beispiele

88 Beispiel 3 Variation von Parametern bei Funktionen Ein Parameter - z.B. in der Scheitelpunktform - soll zunächst in seiner Bedeutung für den Verlauf des Graphen erkannt werden. Um das beobachtete Verhalten zu erklären wird untersucht, wie sich die Wertetabelle bei der Variation des Parameters ändert. Der GTR … zeigt die zugehörigen Parabeln berechnet die zugehörigen Wertetabellen liefert bei dem Vergleich beider Darstellungsformen Hinweise, die eine Erklärung für das beobachtete Verhalten zulassen. 88 Übersicht Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: Übersicht Beispiele

89 1. Auswahl des Parameters, Definition der Funktion 3. Variiere d 5. Die Wertetabellen 2. Die beiden Graphen im Vergleich 4. Vermutung für (x+3) 2 ? 6. Variiere d 89 Übersicht Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: Übersicht Beispiele

90 1. Auswahl des Parameters, Definition der Funktion 3. Variiere d 5. Die Wertetabellen 2. Die beiden Graphen im Vergleich 4. Vermutung für (x+3) 2 ? 6. Variiere d 90 Übersicht Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: Übersicht Beispiele

91 Beispiel 4 Graphisches Lösen quadratischer Gleichungen Quadratische Gleichungen werden als Schnittpunktsituationen interpretiert (oder umgekehrt). Die äquivalente Umformung führt zu der Frage, wo die zugehörige Differenzfunktion ihre Nullstellen hat. Der GTR … zeigt die Graphen zu den beiden Seite der Gleichung berechnet die Schnittpunkte zeigt die äquivalente Differenzfunktion berechnet die zugehörigen Nullstellen 91 Übersicht Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: Übersicht Beispiele

92 Beispiel 4 Graphisches Lösen quadratischer Gleichungen Quadratische Gleichungen werden als Schnittpunktsituationen interpretiert (oder umgekehrt). Die äquivalente Umformung führt zu der Frage, wo die zugehörige Differenzfunktion ihre Nullstellen hat. Der GTR … zeigt die Graphen zu den beiden Seite der Gleichung berechnet die Schnittpunkte zeigt die äquivalente Differenzfunktion berechnet die zugehörigen Nullstellen 92 Übersicht Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: Übersicht Beispiele

93 1. Die beiden Seiten der Gleichung 3. Schnittpunkt- näherung (Trace) 5. Die Differenzfunktion 2. Die Graphen 4. Schnittpunkt- berechnung 6. Nullstelle 93 Übersicht Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: Übersicht Beispiele

94 1. Die beiden Seiten der Gleichung 3. Schnittpunkt- näherung (Trace) 5. Die Differenzfunktion 2. Die Graphen 4. Schnittpunkt- berechnung 6. Nullstelle 94 Übersicht Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: Übersicht Beispiele

95 Beispiel 5 Bestimmung von Extremwerten in Sachsituationen Mit 900 m Zaun soll an einem Bachlauf ein rechteckiges Gelände abgesteckt werden. Benötigt werden 10 ha. Schafft man das? Wie viel fehlt bzw. ist nach oben noch Luft? Der GR … erfasst tabellarisch erste Daten für Kandidaten stellt die Ergebnisse graphisch dar (Punktplot) zeichnet den Graphen der Zielfunktion liefert den Hochpunkt liefert ggf. ein sinnvolles Ziel- Intervall 95 Übersicht Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: Übersicht Beispiele

96 Beispiel 5 Bestimmung von Extremwerten in Sachsituationen Mit 900 m Zaun soll an einem Bachlauf ein rechteckiges Gelände abgesteckt werden. Benötigt werden 10 ha. Schafft man das? Wie viel fehlt bzw. ist nach oben noch Luft? Der GR … erfasst tabellarisch erste Daten für Kandidaten stellt die Ergebnisse graphisch dar (Punktplot) zeichnet den Graphen der Zielfunktion liefert den Hochpunkt liefert ggf. ein sinnvolles Ziel- Intervall 96 Übersicht Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: Übersicht Beispiele

97 1. Kandidaten (parallel – senkrecht, Flächeninhalt) 3. Der zugehörige Graph (Parabel?) samt Hochpunkt 5. Der Graph der Zielfunktion (Parabel!) samt Maximum 2. (ggf. systematische) Variation der Parallelstrecke 4. Der Term der Zielfunktion 6. sinnvolles Intervall (Schnittstellen mit y = ) 97 Übersicht Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: Übersicht Beispiele

98 1. Kandidaten (parallel – senkrecht, Flächeninhalt) 3. Der zugehörige Graph (Parabel?) samt Hochpunkt 5. Der Graph der Zielfunktion (Parabel!) samt Maximum 2. (ggf. systematische) Variation der Parallelstrecke 4. Der Term der Zielfunktion 6. sinnvolles Intervall (Schnittstellen mit y = ) 98 Übersicht Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: Übersicht Beispiele

99 Beispiel 6 Auswertung von Zufallsversuchen in Histogrammen Die Summe zweier Würfel soll simuliert werden. Die Simulation soll die Grundlage für ein erstes Modell für eine Wahrscheinlichkeits- verteilung liefern. Der GTR … simuliert die beiden Würfe, berechnet deren Summe, führt 100, 500, … Würfe durch, zeigt das zugehörige Histogramm. 99 Übersicht Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: Übersicht Beispiele

100 Beispiel 6 Auswertung von Zufallsversuchen in Histogrammen Die Summe zweier Würfel soll simuliert werden. Die Simulation soll die Grundlage für ein erstes Modell für eine Wahrscheinlichkeits- verteilung liefern. Der GTR … simuliert die beiden Würfe, berechnet deren Summe, führt 100, 500, … Würfe durch, zeigt das zugehörige Histogramm. 100 Übersicht Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: Übersicht Beispiele

101 Doppelwürfe 3. Das Histogramm Doppelwürfe 2. Die 100 Summen neue Versuche 6. Ein weiterer 500-Lauf 101 Übersicht Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: Übersicht Beispiele

102 Doppelwürfe 3. Das Histogramm Doppelwürfe 2. Die 100 Summen neue Versuche 6. Ein weiterer 500-Lauf 102 Übersicht Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: Übersicht Beispiele

103 Beispiel 7 Vergleich von Testläufen mit Boxplots Wie lang ist eigentlich eine Minute? Wenn ich beim ersten Mal daneben lag, werde ich dann beim zweiten Mal besser liegen? Wie kann ich die beiden Durchläufe vergleichen? Der GTR … sammelt die Daten der beiden Testdurchläufe in einer Tabelle berechnet die Abweichungen von der anvisierten Minute stellt die jeweiligen Datensätze als Boxplots dar und zeigt die Quartile an 103 Übersicht Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: Übersicht Beispiele

104 Beispiel 7 Vergleich von Testläufen mit Boxplots Wie lang ist eigentlich eine Minute? Wenn ich beim ersten Mal daneben lag, werde ich dann beim zweiten Mal besser liegen? Wie kann ich die beiden Durchläufe vergleichen? Der GTR … sammelt die Daten der beiden Testdurchläufe in einer Tabelle berechnet die Abweichungen von der anvisierten Minute stellt die jeweiligen Datensätze als Boxplots dar und zeigt die Quartile an 104 Übersicht Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: Übersicht Beispiele

105 1. Die beiden Testdurchläufe (Klassensätze) 3. Die Abweichungen 5. Statistische Daten 2. Die zugehörigen Boxplots (samt Median) 4. Die zugehörigen Boxplots (samt 1. Quartil) 6. Die individuellen Veränderungen 105 Übersicht Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: Übersicht Beispiele

106 1. Die beiden Testdurchläufe (Klassensätze) 3. Die Abweichungen 5. Statistische Daten 2. Die zugehörigen Boxplots (samt Median) 4. Die zugehörigen Boxplots (samt 1. Quartil) 6. Die individuellen Veränderungen 106 ? Übersicht Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: Übersicht Beispiele

107 Beispiel 8 Heronverfahren: graphisch Ein (1) Aspekt des Heronverfahrens – die Annäherung von Rechtecken an Quadrate gleichen Flächeninhalts – soll für eine elegante Berechnung von Wurzeln genutzt werden. Der GTR … berechnet die jeweils zweite Rechtecksseite zeigt möglicher Rechtecks- varianten (unterschiedliche Seitenlängen) im KOS plottet die zugehörige Hyperbel berechnet den Schnittpunkt mit der Winkelhalbierenden (gleiche Seitenlängen) 107 Übersicht Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: Übersicht Beispiele

108 Beispiel 8 Heronverfahren: graphisch Éin Aspekt des Heronverfahrens – die Annäherung von Rechtecken an Quadrate gleichen Flächeninhalts – soll für eine elegante Berechnung von Wurzeln genutzt werden. Der GTR … berechnet die jeweils zweite Rechtecksseite zeigt möglicher Rechtecks- varianten (unterschiedliche Seitenlängen) im KOS plottet die zugehörige Hyperbel berechnet den Schnittpunkt mit der Winkelhalbierenden (gleiche Seitenlängen) 108 Übersicht Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: Übersicht Beispiele

109 1. Rechtecke mit A = 12 im KOS 3. Punktplot 5. Schnittpunkt mit y = x 2. Einzelne Eckpunkte 4. Zugehörige Hyperbel-Funktion 6. Probe 109 Übersicht Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: Übersicht Beispiele

110 1. Rechtecke mit A = 12 im KOS 3. Punktplot 5. Schnittpunkt mit y = x 2. Einzelne Eckpunkte 4. Zugehörige Hyperbel-Funktion 6. Probe 110 Übersicht Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: Übersicht Beispiele

111 Beispiel 9 Modellieren mit der Sinusfunktion Zu einem gegebenen Datensatz, der eine periodische Entwicklung – z.B. die tägliche Sonnenscheindauer – beschreibt, soll eine Modellfunktion ermittelt werden. Als Ausgangspunkt wird die Sinusfunktion genommen. Der GTR … erfasst die experimentellen Daten, zeigt die Modellfunktion(en), ermöglicht Variation der Parameter für die Anpassung/Optimierung von Modellen Vertiefung in EF bzw. Q1: - Transformationen - Regression 111 Übersicht Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: Übersicht Beispiele

112 Beispiel 9 Modellieren mit der Sinusfunktion Zu einem gegebenen Datensatz, der eine periodische Entwicklung beschreibt, z.B. die tägliche Sonnenscheindauer (Durchschnitt pro Monat), soll eine Modellfunktion ermittelt werden. Als Ausgangspunkt wird die Sinusfunktion genommen. Der GTR … erfasst die experimentellen Daten, zeigt die Modellfunktion(en), ermöglicht Variation der Parameter für die Anpassung/Optimierung von Modellen Vertiefung in EF bzw. Q1: - Transformationen - Regression (fachübergreifend) 112 Übersicht Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: Übersicht Beispiele

113 1. Der Datensatz Monat Anzahl Stunden pro Tag ( ) 3. Die nicht angepasste Sinusfunktion (Einstellung: DEG) 5. Verschieben in y-Richtung: 4,5 sin(360/12 x) Der Punktplot zum Datensatz 4. Anpassung von Periode und Amplitude: 4,5 sin(360/12 x) 6. Verschieben in x-Richtung: 4,5 sin(360/12 (x-3)) Übersicht Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: Übersicht Beispiele

114 1. Der Datensatz Monat Anzahl Stunden pro Tag ( ) 3. Die nicht angepasste Sinusfunktion (Einstellung: DEG) 5. Verschieben in y-Richtung: 4,5 sin(360/12 x) Der Punktplot zum Datensatz 4. Anpassung von Periode und Amplitude: 4,5 sin(360/12 x) 6. Verschieben in x-Richtung: 4,5 sin(360/12 (x-3)) Übersicht Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: Übersicht Beispiele

115 Ein GTR im Mathematikunterricht unterstützt u.a.: Beispiele Exploratives und entdeckendes Arbeiten3Parametervariation Begriffsbildendes Arbeiten 2626 Histogramme Wechsel zwischen Darstellungsformen: Term (Algebra), Werte (numerisch), Graph 1818 Darstellungsformen Heron Reduktion von Routine-Algorithmen: mehr Zeit für vertiefendes Verständnis 7474 Boxplots Quadratische Gleichungen Modellieren, außer- und innermathematisch 5959 Extremwerte Sinusfunktion 115 Übersicht Beispiele Übersicht Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand:

116 Übersicht Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: Fachübergreifende Möglichkeiten

117 Beispiel 1 Physik: Speicherung elektrischer Energie, Kondensator Der Kondensator bietet eine gute Möglichkeit zum Einsatz von Schülerexperimenten in der Sek II. Untersucht werden kann z.B. der Entladevorgang. Nutzung des GTR Eingabe/Aufnahme der Messwerte Graphische Darstellung der Punktwolke Bestimmung einer Regressions- kurve Bestimmung von Gesetzmäßigkeiten bei der Kondensatorentladung Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: Kondensator Übersicht

118 1. Der Versuchsaufbau (Schaltplan) 3. Ein Beispielgraph 2. Erfassung der Messwerte 118 Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: Übersicht

119 Beispiel 2 Chemie: Erstellen einer Eichkurve, Konzentrationsbestimmung Bei der Bestimmung der Konzentration von Natriumchlorid in Meerwasser soll eine Eichkurve erstellt werden. Nutzung des GTR Eingabe/Aufnahme der Messwerte Graphische Darstellung der Punktwolke Bestimmung der Eichkurve als Funktion Eichkurve Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: Übersicht

120 1. Versuchsaufbau 3. Messwertabelle 2. Auswählen der Sensoren 4. Eichkurve Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: Übersicht

121 Beispiel 3 Technik: Kennlinie einer Solarzelle Bei der Untersuchung einer Solarzelle stellt sich die Frage nach einem optimalen Betriebspunkt, dazu wird eine Kennlinie erstellt. Nutzung des GTR Eingabe/Aufnahme der Messwerte Graphische Darstellung der Punktwolke Berechnung der Leistung; Graphische Darstellung der Kennlinie Bestimmung des optimalen Betriebspunktes 121 Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: Solarzelle Übersicht

122 1. Die experimentell ermittelten Daten als Liste 3. Die berechnete Leistung 2. Der Datensatz als Punktplot (Streudiagramm) 4. Ein mögliches Modell: Graph 122 Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: Übersicht

123 Beispiel 4 Sport/Biologie: Trainingslehre und Stoffwechselphysiologie Zur Verknüpfung von Theorie und Praxis wird der Puls vor, während und nach einer Belastung gemessen und anschließend hinsichtlich der Fragestellung nach der Sauerstoffversorgung ausgewertet. Nutzung des GTR Eingabe/Aufnahme der Messwerte Graphische Darstellung Bestimmung und Vergleich der Flächen zu Beginn und nach der Belastung hinsichtlich der Sauerstoffversorgung 123 Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: Übersicht

124 1. Die experimentell ermittelten Daten als Liste 3. Vergleich der Flächen 2. Der Datensatz als Punktplot (Streudiagramm) 124 Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: Sauerstoffdefizit Sauerstoffschuld Übersicht

125 Übersicht Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: Fortbildungs- möglichkeiten


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