Einsatz des GTR in der Sek. II

Einsatz des GTR in der Sek. II
Der graphikfähige Taschenrechner (GTR) im Mathematikunterricht der gymnasialen Oberstufe Unterrichtlicher Mehrwert Sek. II Einsatz- möglichkeiten Sek. I Funktionalitäten des GTR Fortbildungs- möglichkeiten Fachübergreifende Möglichkeiten Finanzierungs- modelle Rechtliche Grundlagen Einsatz des GTR in der Sek. II Vorschläge zur Einführung Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand:

Unterrichtlicher Mehrwert in der S II
Der graphikfähige Taschenrechner unterstützt den Erwerb mathematischer Kompetenzen. Reduktion schematischer Abläufe Verständnis-förderung durch Visualisierung Konzentration auf den mathe-matischen Kern eines Problems Entdecken mathematischer Zusammenhänge Unterstützung von begriffsbildendem Arbeiten Kontrolle von Ergebnissen Verarbeitung größerer Datenmengen Experimentieren und Erkunden Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand:

Rechtliche Grundlagen
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand:  Übersicht

Verpflichtung zum Einsatz des graphikfähigen Taschenrechners (GTR) ab dem Schuljahr 2014/15 (Erlass vom ) in der gymnasialen Oberstufe (Gymnasien, Gesamtschulen, Weiterbildungskollegs, Waldorfschulen) im Beruflichen Gymnasium Alternativ weiterhin möglich: Einsatz von Computer-Algebra-Systemen (CAS) Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand:

Gebrauch von graphikfähigen Taschenrechnern im Mathematikunterricht der gymnasialen Oberstufe und des Beruflichen Gymnasiums RdErl. d. Ministeriums für Schule und Weiterbildung v – Die fachdidaktische Entwicklung in der Mathematik weist den so genannten „Werkzeugen“ eine immer größere Bedeutung vor allem in der Sekundarstufe II zu. Der Gebrauch von graphikfähigen Taschenrechnern erlaubt nach fachdidaktischen Gesichtspunkten eine Entlastung von kalkülorientierten Routineberechnungen und eine schnelle Visualisierung von Graphen. Er ermöglicht damit einen kreativen Umgang mit mathematischen Fragestellungen. Aus diesem Grund wird die Nutzung graphikfähiger Taschenrechner (GTR) ab dem 1. August 2014 für die gymnasiale Oberstufe und das Berufliche Gymnasium verbindlich. Im Zentralabitur werden die Mathematikaufgaben erstmals im Jahr 2017 dieses Hilfsmittel voraussetzen. Für diejenigen Schulen, an denen ein Computer-Algebra-System (CAS) eingeführt ist, wird darüber hinaus weiterhin ein Satz von CAS-Aufgaben angeboten. Regelungen zur Gewährung eines individuellen Nachteilsausgleichs werden hiervon nicht berührt. ABl. NRW. 08/12 S. 432 Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand:  zurück

Konsequenz für Zentralabitur und zentrale Klausuren Einsatz des GTR ab dem Zentralabitur 2017 Einsatz des GTR bereits in der zentralen Klausur am Ende der Einführungsphase ab dem Schuljahr 2014/2015 vorgesehen (Gesamtschulen, Gymnasien und Weiterbildungskollegs) Vorgaben zum Zentralabitur und zu den zentralen Klausuren (CAS-Aufgabensatz sowohl für die zentrale Klausur als auch für das Zentralabitur 2017) Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand:

Nutzung eines CAS Schulen können statt eines GTR auf freiwilliger Basis ein CAS mit erweiterter Funktionalität einführen. Im Zentralabitur wird weiterhin CAS als Hilfsmittel zugelassen. Die Entscheidung zwischen CAS und GTR liegt in der Verantwortung der Schule. Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand:

Einführung des GTR in der Sekundarstufe I GTR-Einsatz für alle Schulformen in der Sek. I möglich keine Verpflichtung, Schule entscheidet über Zeitpunkt und Klassenstufe der GTR-Einführung in der Sek. I Wenn alle Schülerinnen und Schüler einer Klasse in der Sek. I einen GTR zur Verfügung haben, kann er auch mit allen Funktionen genutzt werden. Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand:

Verpflichtung zur Anschaffung des GTR in der gymnasiale Oberstufe und am Beruflichen Gymnasium Taschenrechner sind keine Lernmittel, sondern Gegenstände der persönlichen Ausstattung der Schülerinnen und Schüler. Die Anschaffung obliegt damit grundsätzlich den Erziehungsberechtigten bzw. den volljährigen Schülerinnen und Schülern. Empfehlung: Erarbeitung eines tragfähigen Finanzierungsmodells mit sozialer Komponente auf der Basis umfassender Information und Beteiligung der schulischen Mitwirkungsgremien. Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand:

Taschenrechnermodelle Kein Zulassungsverfahren für Taschenrechnermodelle Eingeführter Taschenrechner muss durch Graphikfähigkeit und weitere Funktionalitäten dem Einsatz im Unterricht und in Prüfungen gerecht werden. Die innerhalb einer Lerngruppe verwendeten Geräte müssen in ihrer Funktionalität vergleichbar sein. Die vollständige Integration in die unterrichtliche Arbeit wird durch ein einheitliches Taschenrechnermodell erleichtert. Die Verpflichtung zur Anschaffung von Taschenrechnern bezieht sich jedoch nur auf die Funktionalitäten und nicht auf ein bestimmtes Modell. Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand:

Vorschläge zur Einführung des GTR an der Schule

Vorschläge zur Einführung des GTR
Mögliche Entscheidungswege und Zeitplan Ab Frühjahr 2013: Beratungen der Fachschaft Mathematik zur Auswahl eines GTR-Modells Beachtung der geforderten Funktionalitäten Preisvergleich und Vergleich der Lieferbedingungen der Hersteller/Händler Überlegungen zu einem Einsatz des GTR bereits in der S I, ggf. gestufte Einführung Längerfristige Nutzung eines Modells (Verlässlichkeit, Wiederverkaufsmöglichkeit, Aufbau eines Gerätepools) Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand:

Hinweise zur Einführung des GTR
Einbeziehung weiterer Fachschaften zur Abstimmung fachübergreifender Nutzungsmöglichkeiten Erarbeitung eines tragfähigen Finanzierungsmodells in einem Arbeitskreis (Schulleitung, evtl. weitere Vertreterinnen und Vertreter der Lehrerkonferenz, Mitglieder der Schulpflegschaft, der Schülervertretung und des Fördervereins) Beschluss der Fachkonferenz Mathematik als Empfehlung zur Einführung des ausgewählten GTR-Modells Erstellung einer Vorlage für die schulischen Gremien Planung der Fortbildungsmaßnahmen zum GTR-Einsatz Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand:

Hinweise zur Einführung des GTR
Ab September 2013: Information und Beteiligung der Mitwirkungsgremien Wahrnehmung der Fortbildungsmaßnahmen Methodische und didaktische Überlegungen zum GTR-Einsatz im Mathematikunterricht Zum Beginn des Schuljahres 2014/15: Nutzung des GTR im Rahmen des erarbeiteten Finanzierungsmodells und der verhandelten Konditionen Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand:

Funktionalitäten des GTR

Anforderungen an die Funktionalität eines GTR in der S II I. Wertetabellen und Listen Erstellen und bearbeiten von Tabellen und Listen graphische Darstellung von Werten einer Tabelle (z. B. als Punktwolke) II. Analysis Graphische Darstellung von Funktionen Tangenten an einen Funktionsgraphen an einer Stelle Integralfunktionen Variieren von Parametern von Funktionstermen Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand:

Ermitteln von Koordinaten ausgewählter Punkte, auch durch Abfahren der Graphen (Trace-Modus), Kontrolle rechnerischer Ergebnisse (z. B. lokale Extremstellen, Wendestellen, Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen) Numerische Berechnungen Ableitung einer Funktion an einer Stelle bestimmte Integrale Lösen von Gleichungen Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand:

III. Lineare Algebra Lineare Gleichungssysteme (mind. mit 6 Unbekannten) Bestimmung der Lösungsmenge von Gleichungssystemen Lösungsmengen auch von unterbestimmten linearen Gleichungssystemen z.B. mithilfe der reduzierten Zeilenstufenform einer erweiterten Koeffizientenmatrix Analytische Geometrie/Matrizen (mind. bis zur Dimension 6 x 6) Elementare Rechenoperationen mit Vektoren und Matrizen Matrizenmultiplikation Potenzieren quadratischer Matrizen Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand:

IV. Stochastik Berechnen von Kennzahlen statistischer Daten (Mittelwert, Standardabweichung) Wahrscheinlichkeitsverteilungen Erstellen von Histogrammen Variieren der Parameter Berechnen von Kennzahlen (Erwartungswert, Standardabweichung) Berechnen von Wahrscheinlichkeiten bei binomial- und normalverteilten Zufallsgrößen Berechnen von kumulierten Wahrscheinlichkeiten Generieren von Listen mit Zufallszahlen Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand:

Finanzierungsmodelle
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand:

In der Schulpraxis bieten sich oft Mischmodelle an. Kauf Miete Ausleihe Soziale Komponente Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand:

Beispiel 1: Variante eines Kaufmodells Kaufmodell Sammelbestellung über die Schule (Beteiligung freiwillig) vergünstigte Konditionen Nutzung von Sozialprogrammen der Hersteller möglich Freigeräte Freigeräte werden bedürftigen Schülerinnen und Schülern zur Verfügung gestellt Schule hält ggf. zusätzliche Geräte zur Ausleihe bereit Option: Nach einem Durchgang wird eine Börse für gebrauchte GTR eingerichtet (z. B. Weiterverkauf der GTR von Abiturienten) Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand:

Beispiel 2: Variante eines Mietmodells Mietmodell Schule schafft einen Satz GTR zur Vermietung an vergünstigte Konditionen Freigeräte Anschubfinanzierung durch den Förderverein Festlegung eines angemessenen Mietpreises für den GTR Schriftliche Nutzungsvereinbarung zwischen Schule und Erziehungsberechtigten Bei bedürftigen Schülerinnen und Schülern übernimmt der Förderverein den Mietpreis oder es wird unentgeltlich ein GTR ausgeliehen. Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand:

Beispiel 3: Mischmodell Wahlmöglichkeit zwischen drei Optionen: Kauf des Gerätes über Sammelbestellung der Schule Mieten des Gerätes von der Schule Anschaffung des Gerätes in eigener Verantwortung Für bedürftige Schülerinnen und Schüler übernimmt der Förderverein der Schule die Mietkosten. Anschubfinanzierung durch den Förderverein (Sponsoren, Darlehen) Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand:

Unterrichtlicher Mehrwert in der S II

Übersicht über die Beispiele
1 EF Modellieren mit Exponentialfunktionen 5 EF, Q1 Extremwertprobleme 9 Q1 Lage von Gerade und Ebene zueinander (LGS lösen) 2 Ein Weg zur linearen Regression 6 Berechnen von Integralen (mit/ohne Bilanzierung) 10 Q2 Arbeiten mit Übergangsmatrizen 3 Entdecken der Potenzregel 7 Untersuchung von Integralfunktionen 11 Q1, Q2 Ein Weg zur Normalverteilung 4 Elemente einer Kurvendiskussion 8 Ein Weg zur e-Funktion 12 Ein Weg zum Vertrauensintervall  Übersicht

Modellieren mit Exponentialfunktionen
Beispiel 1 EF Modellieren mit Exponentialfunktionen Zu einer offenbar nicht linearen Entwicklung wird ein neues, nicht quadratisches Modell gesucht, z.B.: Der GTR … nimmt die Daten auf (Tabelle), zeigt die Punktwolke (Streudiagramm), zeigt Graph zu neuem Modell (nicht linear, nicht quadratisch), übernimmt weitere Rechnungen („Wie lange dauert es, bis …“) Bierschaum- zerfall Schoko- linsen- abnahme Abkühlungs- prozesse  Übersicht Beispiele  Übersicht

1. Die experimentell ermittelten Daten als Liste
3. Ein mögliches Modell: Funktionsterm 5. Ziel: Zeit bis „Höhe“ 0,5 2. Der Datensatz als Punktplot (Streudiagramm) 4. Ein mögliches Modell: Graph 6. Wertetabelle zu Y1  Übersicht Beispiele  Übersicht

Ein Weg zur linearen Regression
Beispiel 2 EF Ein Weg zur linearen Regression Zu einem bivariaten Datensatz (z.B. Körpergröße – Schuhgröße o.ä) wird ein lineares Modell gesucht, das diesen Datensatz „optimal“ beschreibt. Der GTR zeigt das Streudiagramm und die Lage der ersten Modelle, berechnet Qualitätskriterien, berechnet die Parameter für die optimale Ausgleichsgerade (m, b), zeigt den optimalen Graphen, und berechnet Residuen bzw. Abweichungssummen.  Übersicht Beispiele  Übersicht

Ein Weg zur linearen Regression
Beispiel 2 EF Ein Weg zur linearen Regression Zu einem bivariaten Datensatz (z.B. Körpergröße – Schuhgröße o.ä) wird ein lineares Modell gesucht, das diesen Datensatz „optimal“ beschreibt. Der GTR zeigt das Streudiagramm und die Lage der ersten Modelle, berechnet Qualitätskriterien, berechnet die Parameter für die optimale Ausgleichsgerade (m, b), zeigt den optimalen Graphen und berechnet Residuen bzw. Abweichungssummen.  Übersicht Beispiele  Übersicht

3. Ein erster Versuch für eine Ausgleichsgerade
1. Die originalen Daten 3. Ein erster Versuch für eine Ausgleichsgerade 5. Ein besseres Modell (oder GTR-Regression) 2. Das Streudiagramm 4. Eine erste Evaluation: Quadratsumme 6. Eine weitere Evaluation  Übersicht Beispiele  Übersicht

Entdeckung der Potenzregel
Beispiel 3 EF Entdeckung der Potenzregel Kann man Regelmäßigkeiten entdecken, wenn man zu Potenzfunktionen (z.B. x2 bis x4) mittlere Änderungsraten berechnet (z.B. mit h = 0,1) und graphisch darstellt? Der GTR … berechnet (z.B.) zu f(x) = x4 in einem ausgewählten Intervall 10 – 12 mittlere Änderungsraten, plottet diese Daten zusammen mit der Potenzfunktion, Als Modell für die Änderungsraten bietet sich an f*(x) = 4x3. Weitere Gruppen untersuchen y = x2 usw. Im Vergleich ergibt sich eine belastbare Vermutung zur Potenzregel. Anschließen wird sich der algebraische Beweis.  Übersicht Beispiele  Übersicht

4. Der Plot der Änderungsraten
1. Der Graph zu f(x) = x4 4. Der Plot der Änderungsraten 2. Die Stützstellen 5. Bildungsgesetz für die Änderungsraten (1. Versuch: x3) 3. Die Änderungsraten 6. (2. Versuch: 4x3)  Übersicht Beispiele  Übersicht

Elemente einer Kurvendiskussion
Beispiel 4 EF Elemente einer Kurvendiskussion Eine Funktion bzw. ihr Graph soll auf lokale Eigenschaften, z.B. Nullstellen Hoch-/Tiefpunkte Wendepunkte hin untersucht werden. Der GTR … liefert eine erste wertemäßige Übersicht (Ablaufen mit „Trace“), berechnet Nullstellen und Ableitungen an isolierten Stellen, zeigt die Ableitungsfunktion, berechnet die (lokalen) Extremstellen und die Wendestellen, zeigt ggf. Tangenten, u.a. die (den Graphen schneidende!) Wendetangente.  Übersicht Beispiele  Übersicht

Die Ableitung an isolierten Stellen 7. Der Hochpunkt
1. Der Graph 4. Die Ableitung an isolierten Stellen 7. Der Hochpunkt 2. Das Ablaufen mit „Trace“ (erste Näherung) 5. Der Ableitungs- befehl 8. Die Wende- stellen 3. Die Nullstellen 6. Der Ableitungs- graph 9. Die Wende- tangente(n)  Übersicht Beispiele  Übersicht

zeigt den Graphen der Zielfunktion,
Beispiel 5 EF, Q1 Extremwertprobleme Zu einem Sachproblem soll eine optimale Lösung gefunden und evaluiert werden. Der GTR … zeigt den Graphen der Zielfunktion, berechnet ein (numerisches) Optimum. Direkt am Graphen erkennt man, inwieweit die Randwerte für die Lösung des Sachproblems von Bedeutung sind.  Übersicht Beispiele  Übersicht

3. der Graph und sein Hochpunkt
1. Das Problem 2. Die Zielfunktion 3. der Graph und sein Hochpunkt  Übersicht Beispiele  Übersicht

Berechnen von Integralen (mit/ohne Bilanzierung)
Beispiel 6 Q1 Berechnen von Integralen (mit/ohne Bilanzierung) In einer Sachsituation sollen anhand der Modellfunktion Berechnungen durchgeführt werden, bei denen die Orientierung der Flächen eine Rolle spielt, z. B. „Veränderung der Wassermenge im Becken“ vs. „Menge an gepumptem Wasser“ Der GTR … berechnet die Bilanz der beteiligten Flächen („Veränderung im Becken“) berechnet mithilfe der Betragsfunktion die „echte/bilanzfreie“ Fläche („Menge gepumpten Wassers“), zeigt anhand des Graphen eine Veranschaulichung dieser beiden Standardsituation.  Übersicht Beispiele  Übersicht

2. Der Graph: „Zufluss/Abfluss“
1. Der Funktionsterm 2. Der Graph: „Zufluss/Abfluss“ (Änderungsrate) 3. „Die Veränderung nach 5 Minuten“ 4. Der neue Term 5. Der neue Graph 6. „In den 5 Minuten bewegte Wassermenge“  Übersicht Beispiele  Übersicht

Untersuchung von Integralfunktionen
Beispiel 7 Q1 Untersuchung von Integralfunktionen Integralfunktionen sind als Objekte schwerer zu greifen als die bestimmten Integral, die gut veranschaulicht werden können. Die Integralfunktion kann genutzt werden, … um die Bilanzierungseigenschaft des Riemann-Integrals zu vertiefen, ggf. den Hauptsatz vor- oder nachzubereiten, Grenzen für ein Integral (bei vorgegebener Fläche bzw. Bilanz) zu berechnen.  Übersicht Beispiele  Übersicht

Untersuchung von Integralfunktionen
Beispiel 7 Q1 Untersuchung von Integralfunktionen Integralfunktionen sind als Objekte schwerer zu greifen als die bestimmten Integral, die gut veranschaulicht werden können. Die Integralfunktion kann genutzt werden, … um die Bilanzierungseigenschaft des Riemann-Integrals zu vertiefen, Grenzen für ein Integral (bei vorgegebener Fläche bzw. Bilanz) zu berechnen, ggf. den Hauptsatz vor- oder nachzubereiten.  Übersicht Beispiele  Übersicht

Flächeninhalt von 0 bis b sei 1
1. Der Randgraph 4. „Ist es schon 1?“ Flächeninhalt von 0 bis b sei 1 2. Eingabe der Integralfunktion, Start bei a = 0 5. Lösung mittels Schnittpunkten von Funktionen 3. Der Graph der Integralfunktion (a = 0, a = -1) 6. Lösung mittels Wertetabelle  Übersicht Beispiele  Übersicht

führt mithilfe einerTabellierung zu der Vermutung f‘(x) = f‘(0) f(x),
Beispiel 8 Q2 Ein Weg zur e-Funktion Gesucht wird (zunächst) nach einem Zusammenhang zwischen einer Exponentialfunktion und ihren Ableitungen. Der GTR … berechnet für y = 2x (und y = 3x) an ausgewählten Stellen mittlere Änderungsraten, führt mithilfe einerTabellierung zu der Vermutung f‘(x) = f‘(0) f(x), ermöglicht mittels einer graphischen Darstellung eine erste Näherung für e: Suche f mit f‘(x) = 1 f(x).  Übersicht Beispiele  Übersicht

führt mithilfe einer Tabellierung zu der Vermutung f‘(x) = f‘(0) f(x),
Beispiel 8 Q2 Ein Weg zur e-Funktion Gesucht wird (zunächst) nach einem Zusammenhang zwischen Exponentialfunktion und ihren Ableitungen. Der GTR … berechnet für y = 2x (und y = 3x) an ausgewählten Stellen mittlere Änderungsraten, führt mithilfe einer Tabellierung zu der Vermutung f‘(x) = f‘(0) f(x), ermöglicht mittels einer graphischen Darstellung eine erste Näherung für e: Suche f mit f‘(x) = 1 f(x).  Übersicht Beispiele  Übersicht

Stützstellen, Funktionswerte, Änderungsraten für f(x) = 2x 3.
1. Stützstellen, Funktionswerte, Änderungsraten für f(x) = 2x 3. Der Graph zu f(x) = 2x und die 5. b = 3 Graph 2. Quotienten- probe 4. Variation der Basis: b = 3 Quotientenprobe 6. gezielte Suche: b = 2.7  Übersicht Beispiele  Übersicht

Lage von Gerade und Ebene zueinander (LGS lösen)
Beispiel 9 Q1 Lage von Gerade und Ebene zueinander (LGS lösen) Gegeben sind die beiden Parameterformen zu den drei möglichen Fällen. Bekannt sei das algebraische Verfahren: Lösen eines LGS mit dem Gauss-Algorithmus. Der GTR … übernimmt die (normierte) Koeffizientenmatrix berechnet zu der Koeffizienten- matrix die zugehörige Dreiecks- bzw. Diagonalmatrix. Letztere ermöglicht das direkte Ablesen der drei möglichen Fälle. Zudem liefert sie, falls ein Schnittpunkt existiert, die benötigten Parameter.  Übersicht Beispiele  Übersicht

2. g schneidet E (in genau einem Punkt)
1. Die drei Fälle 2. g schneidet E (in genau einem Punkt) 3. g ist echt parallel zu E 4. g liegt in E  Übersicht Beispiele  Übersicht

Arbeiten mit Übergangsmatrizen
Beispiel 10 Q2 Arbeiten mit Übergangsmatrizen Eine bekannte Übergangsmatrix soll genutzt werden, um den ebenfalls gegebenen Systemzustand kurzfristig, langfristig oder rückwirkend zu modellieren und ggf. einen Fixvektor zu bestimmen. Der GTR … führt die Potenzbildung für kleine und große Intervalle durch, berechnet mittels der inversen Matrix zurückliegende Zustände, nutzt die Einheitsmatrix, um den Fixvektor zu berechnen.  Übersicht Beispiele  Übersicht

4. Die Verteilung am Ende der Woche 7. Fixvektor, Schritt I
1. Die Übergangsmatrix 4. Die Verteilung am Ende der Woche 7. Fixvektor, Schritt I 2. Die Verteilung zu Beginn 5. Die Verteilung nach 1 Monat 8. Fixvektor, Schritt II 3. Die Verteilung nach 1 Tag 6. Hatte die Startverteilung einen Vorlauf? 9. Fixvektor, Schritt III  Übersicht Beispiele  Übersicht

4. Die Verteilung am Ende der Woche 7. Fixvektor, Schritt I
1. Die Übergangsmatrix 4. Die Verteilung am Ende der Woche 7. Fixvektor, Schritt I 2. Die Verteilung zu Beginn 5. Die Verteilung nach 1 Monat 8. Fixvektor, Schritt II 3. Die Verteilung nach 1 Tag 6. Hatte die Startverteilung einen Vorlauf? 9. Fixvektor, Schritt III x x4 = 0 … x1 + x2 + x3 + x4 = 1 x4  0,42  x1  0,39, x2  0,1, x3  0,09  Übersicht Beispiele  Übersicht

Ein Weg zur Normalverteilung
Beispiel 11 Q1, Q2 Ein Weg zur Normalverteilung Wichtige Kenngrößen für den Werteverlauf einer binomialverteilten Zufallsgröße sind µ und σ. Kann man diese beiden Werte für eine „Normierung“ nutzen? Ja! Es ergibt sich eine „Normierung“, wenn man den Graphen um µ Einheiten nach links verschiebt, dann mit σ in x-Richtung staucht und zur Kompensation in y-Richtung mit σ streckt. Als Modellfunktion bietet sich an  Übersicht Beispiele  Übersicht

1. Die Grunddaten und Kenngrößen 3. Die neu berechneten Werte 5.
Ein weiteres Beispiel mit neuen Werten für n und p 2. Die Werte der Verteilung 4. Die graphische Darstellung 6. Die Modellfunktion  Übersicht Beispiele  Übersicht

Ein Weg zum Vertrauensintervall
Beispiel 12 Q1, Q2 Ein Weg zum Vertrauensintervall Im Vorfeld einer Wahl erhält eine Partei bei einer Umfrage 621 Stimmen von Befragten. Kann die Partei „halbwegs sicher“ sein, bei der Wahl 50% der Stimmen zu bekommen? Der GTR berechnet mit Hilfe der σ-Regeln, für welche Werte von p die gegebene Häufigkeit in der 2σ- Umgebung liegt, unterstützt mit einer graphischen Darstellung vertiefende Analysen, z. B. zu algebraischen Modellen (Funktionen) für die Ellipse.  Übersicht Beispiele  Übersicht

Ein Weg zum Vertrauensintervall
Beispiel 12 Q1, Q2 Ein Weg zum Vertrauensintervall Im Vorfeld einer Wahl erhält eine Partei bei einer Umfrage 621 Stimmen von Befragten. Kann die Partei „halbwegs sicher“ sein, bei der Wahl mindestens 50% der Stimmen zu bekommen? Der GTR berechnet mit Hilfe der σ-Regeln, für welche Werte von p die gegebene Häufigkeit in der 2σ- Umgebung liegt, unterstützt mit einer graphischen Darstellung vertiefende Analysen, z. B. zu algebraischen Modellen (Funktionen) für die Ellipse.  Übersicht Beispiele  Übersicht

2. die 2σ-Umgebungen für 0.45 ≤ p ≤ 0.55 und …
1. µ und σ für 0.45 ≤ p ≤ 0.55 2. die 2σ-Umgebungen für 0.45 ≤ p ≤ 0.55 und … 3. … die „plausiblen“ Wahrscheinlichkeiten 4. graphische Darstellung für 0.45 ≤ p ≤ 0.55 5. graphische Darstellung für 0 ≤ p ≤ 1 6. Rekonstruktion mit Wurzelfunktionen und Schnittpunkten  Übersicht Beispiele  Übersicht

Ein GTR im Mathematikunterricht unterstützt u.a.: Beispiele
Exploratives und entdeckendes Arbeiten 3 8 Potenzregel e , e-Funktion Begriffsbildendes Arbeiten 2 12 Regression Vertrauensintervall Wechsel zwischen Darstellungsformen: Term (Algebra), Werte (numerisch), Graph 7 1 Integralfunktion Exponentialfunktion Reduktion von Routine-Algorithmen: mehr Zeit für vertiefendes Verständnis 4 6 9 10 Kurvendiskussion Integration LGS Übergangsmatrizen Modellieren, außer- und innermathematisch 5 11 Extremwerte Normalverteilung  Übersicht Beispiele  Übersicht

Einsatzmöglichkeiten in der S I

Übersicht über die Beispiele
1 Wechsel der Darstellungsform: Term, Tabelle, Graph 4 Graphisches Lösen quadratischer Gleichungen 7 Vergleich von Testläufen mit Boxplots 2 Experimentell ermittelter Näherungswert für  5 Bestimmung von Extremwerten in Sachsituationen 8 Heron – graphisch und algebraisch 3 Variation von Parametern bei Funktionen 6 Auswertung von Zufallsversuchen in Histogrammen 9 Modellieren mit der Sinusfunktion  Übersicht

Wechsel der Darstellungsform: Term, Tabelle, Graph
Beispiel 1 Wechsel der Darstellungsform: Term, Tabelle, Graph Eine Sach-/Problemsituation (z.B. der Vergleich zweier Vorschläge zu Lohnerhöhungen) wird in unterschiedlichen Darstellungs-formen wiedergegeben. Der GTR … sammelt erste (ggf. Kopf-) Rechenergebnisse stellt die Ergebnisse graphisch dar zeigt zu geeigneten Funktionstermen die Graphen an liefert Wertetabellen Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand:  Übersicht Beispiele  Übersicht

(Kennenlernen der Situation)
1. Erste Werte (Kennenlernen der Situation) 2. Formeln in Listen bzw. Tabellen (Vorform für Terme) 3. Graphische Darstellung (Punktplot) 4. Funktionsterme 5. Funktionsgraphen 6. Wertetabellen Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand:  Übersicht Beispiele  Übersicht

Experimentell ermittelter Näherungswert für 
Beispiel 2 Experimentell ermittelter Näherungswert für  Für eine Vielzahl von zylindrischen Objekten werden Umfang und Durchmesser gemessen und als Tabelle und Graph aufbereitet. Gesucht wird ein systematischer Zusammenhang. Der GTR … erfasst die Daten in einer Tabelle bzw. Urliste zeigt deren graphische Darstellung zeichnet die Graphen von Modellfunktionen berechnet die Quotienten der Wertepaare und deren Mittelwert Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand:  Übersicht Beispiele  Übersicht

Die Rohdaten der Erhebung 3. Ein erstes Modell (proportional) 5.
1. Die Rohdaten der Erhebung 3. Ein erstes Modell (proportional) 5. Quotienten (Proportionalitäts- faktor) 2. Die graphische Darstellung 4. Der zugehörige Graph (Ursprungsgerade) 6. Mittelwert Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand:  Übersicht Beispiele  Übersicht

Variation von Parametern bei Funktionen
Beispiel 3 Variation von Parametern bei Funktionen Ein Parameter - z.B. in der Scheitelpunktform - soll zunächst in seiner Bedeutung für den Verlauf des Graphen erkannt werden. Um das beobachtete Verhalten zu erklären wird untersucht, wie sich die Wertetabelle bei der Variation des Parameters ändert. Der GTR … zeigt die zugehörigen Parabeln berechnet die zugehörigen Wertetabellen liefert bei dem Vergleich beider Darstellungsformen Hinweise, die eine Erklärung für das beobachtete Verhalten zulassen. Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand:  Übersicht Beispiele  Übersicht

Auswahl des Parameters, Definition der Funktion 3. Variiere d 5.
1. Auswahl des Parameters, Definition der Funktion 3. Variiere d 5. Die Wertetabellen 2. Die beiden Graphen im Vergleich 4. Vermutung für (x+3)2 ? 6. Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand:  Übersicht Beispiele  Übersicht

Graphisches Lösen quadratischer Gleichungen
Beispiel 4 Graphisches Lösen quadratischer Gleichungen Quadratische Gleichungen werden als Schnittpunktsituationen interpretiert (oder umgekehrt). Die äquivalente Umformung führt zu der Frage, wo die zugehörige Differenzfunktion ihre Nullstellen hat. Der GTR … zeigt die Graphen zu den beiden Seite der Gleichung berechnet die Schnittpunkte zeigt die „äquivalente Differenzfunktion“ berechnet die zugehörigen Nullstellen Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand:  Übersicht Beispiele  Übersicht

Die beiden Seiten der Gleichung 3. Schnittpunkt- näherung („Trace“) 5.
1. Die beiden Seiten der Gleichung 3. Schnittpunkt- näherung („Trace“) 5. Die Differenzfunktion 2. Die Graphen 4. Schnittpunkt- berechnung 6. Nullstelle Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand:  Übersicht Beispiele  Übersicht

Bestimmung von Extremwerten in Sachsituationen
Beispiel 5 Bestimmung von Extremwerten in Sachsituationen Mit 900 m Zaun soll an einem Bachlauf ein rechteckiges Gelände abgesteckt werden. Benötigt werden 10 ha. Schafft man das? Wie viel fehlt bzw. ist nach oben noch Luft? Der GR … erfasst tabellarisch erste Daten für „Kandidaten“ stellt die Ergebnisse graphisch dar (Punktplot) zeichnet den Graphen der Zielfunktion liefert den Hochpunkt liefert ggf. ein sinnvolles Ziel- Intervall Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand:  Übersicht Beispiele  Übersicht

(parallel – senkrecht, Flächeninhalt) 3.
1. Kandidaten (parallel – senkrecht, Flächeninhalt) 3. Der zugehörige Graph (Parabel?) samt Hochpunkt 5. Der Graph der Zielfunktion (Parabel!) samt Maximum 2. (ggf. systematische) Variation der Parallelstrecke 4. Der Term der Zielfunktion 6. sinnvolles Intervall (Schnittstellen mit y = ) Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand:  Übersicht Beispiele  Übersicht

Auswertung von Zufallsversuchen in Histogrammen
Beispiel 6 Auswertung von Zufallsversuchen in Histogrammen Die Summe zweier Würfel soll simuliert werden. Die Simulation soll die Grundlage für ein erstes Modell für eine Wahrscheinlichkeits-verteilung liefern. Der GTR … simuliert die beiden Würfe, berechnet deren Summe, führt 100, 500, … Würfe durch, zeigt das zugehörige Histogramm. Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand:  Übersicht Beispiele  Übersicht

1. 100 Doppelwürfe 3. Das Histogramm 5. 500 Doppelwürfe 2.
Die 100 Summen 4. 100 neue Versuche 6. Ein weiterer 500-Lauf Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand:  Übersicht Beispiele  Übersicht

Vergleich von Testläufen mit Boxplots
Beispiel 7 Vergleich von Testläufen mit Boxplots Wie lang ist eigentlich eine Minute? Wenn ich beim ersten Mal daneben lag, werde ich dann beim zweiten Mal besser liegen? Wie kann ich die beiden Durchläufe vergleichen? Der GTR … sammelt die Daten der beiden Testdurchläufe in einer Tabelle berechnet die Abweichungen von der anvisierten Minute stellt die jeweiligen Datensätze als Boxplots dar und zeigt die Quartile an Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand:  Übersicht Beispiele  Übersicht

Die beiden Testdurchläufe (Klassensätze) 3. Die Abweichungen 5.
1. Die beiden Testdurchläufe (Klassensätze) 3. Die Abweichungen 5. Statistische Daten 2. Die zugehörigen Boxplots (samt Median) 4. (samt 1. Quartil) 6. Die individuellen Veränderungen Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand:  Übersicht Beispiele  Übersicht

Die beiden Testdurchläufe (Klassensätze) 3. Die Abweichungen 5.
1. Die beiden Testdurchläufe (Klassensätze) 3. Die Abweichungen 5. Statistische Daten 2. Die zugehörigen Boxplots (samt Median) 4. (samt 1. Quartil) 6. Die individuellen Veränderungen ? Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand:  Übersicht Beispiele  Übersicht

Heronverfahren: graphisch
Beispiel 8 Heronverfahren: graphisch Ein (1) Aspekt des Heronverfahrens – die Annäherung von Rechtecken an Quadrate gleichen Flächeninhalts – soll für eine elegante Berechnung von Wurzeln genutzt werden. Der GTR … berechnet die jeweils zweite Rechtecksseite zeigt möglicher Rechtecks- varianten (unterschiedliche Seitenlängen) im KOS plottet die zugehörige Hyperbel berechnet den Schnittpunkt mit der Winkelhalbierenden (gleiche Seitenlängen) Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand:  Übersicht Beispiele  Übersicht

Heronverfahren: graphisch
Beispiel 8 Heronverfahren: graphisch Éin Aspekt des Heronverfahrens – die Annäherung von Rechtecken an Quadrate gleichen Flächeninhalts – soll für eine elegante Berechnung von Wurzeln genutzt werden. Der GTR … berechnet die jeweils zweite Rechtecksseite zeigt möglicher Rechtecks- varianten (unterschiedliche Seitenlängen) im KOS plottet die zugehörige Hyperbel berechnet den Schnittpunkt mit der Winkelhalbierenden (gleiche Seitenlängen) Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand:  Übersicht Beispiele  Übersicht

Zugehörige Hyperbel-Funktion
1. Rechtecke mit A = 12 im KOS 3. Punktplot 5. Schnittpunkt mit y = x 2. Einzelne Eckpunkte 4. Zugehörige Hyperbel-Funktion 6. Probe Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand:  Übersicht Beispiele  Übersicht

Modellieren mit der Sinusfunktion
Beispiel 9 Modellieren mit der Sinusfunktion Zu einem gegebenen Datensatz, der eine periodische Entwicklung – z.B. die tägliche Sonnenscheindauer – beschreibt, soll eine Modellfunktion ermittelt werden. Als Ausgangspunkt wird die Sinusfunktion genommen. Der GTR … erfasst die experimentellen Daten, zeigt die Modellfunktion(en), ermöglicht Variation der Parameter für die Anpassung/Optimierung von Modellen Vertiefung in EF bzw. Q1: - Transformationen - Regression Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand:  Übersicht Beispiele  Übersicht

die tägliche Sonnenscheindauer (Durchschnitt pro Monat),
Beispiel 9 Modellieren mit der Sinusfunktion Zu einem gegebenen Datensatz, der eine periodische Entwicklung beschreibt, z.B. die tägliche Sonnenscheindauer (Durchschnitt pro Monat), soll eine Modellfunktion ermittelt werden. Als Ausgangspunkt wird die Sinusfunktion genommen. Der GTR … erfasst die experimentellen Daten, zeigt die Modellfunktion(en), ermöglicht Variation der Parameter für die Anpassung/Optimierung von Modellen Vertiefung in EF bzw. Q1: - Transformationen - Regression (fachübergreifend) Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand:  Übersicht Beispiele  Übersicht

Anzahl Stunden pro Tag () 3. Die nicht angepasste Sinusfunktion
1. Der Datensatz Monat  Anzahl Stunden pro Tag () 3. Die nicht angepasste Sinusfunktion (Einstellung: DEG) 5. Verschieben in y-Richtung: 4,5sin(360/12x)+12 2. Der Punktplot zum Datensatz 4. Anpassung von Periode und Amplitude: 4,5sin(360/12x) 6. Verschieben in x-Richtung: 4,5 sin(360/12(x-3))+12 Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand:  Übersicht Beispiele  Übersicht

Ein GTR im Mathematikunterricht unterstützt u.a.: Beispiele
Exploratives und entdeckendes Arbeiten 3 Parametervariation Begriffsbildendes Arbeiten 2 6  Histogramme Wechsel zwischen Darstellungsformen: Term (Algebra), Werte (numerisch), Graph 1 8 Darstellungsformen Heron Reduktion von Routine-Algorithmen: mehr Zeit für vertiefendes Verständnis 7 4 Boxplots Quadratische Gleichungen Modellieren, außer- und innermathematisch 5 9 Extremwerte Sinusfunktion Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand:  Übersicht Beispiele  Übersicht

Fachübergreifende Möglichkeiten

Speicherung elektrischer Energie, Kondensator
Beispiel 1 Physik: Speicherung elektrischer Energie, Kondensator Der Kondensator bietet eine gute Möglichkeit zum Einsatz von Schülerexperimenten in der Sek II. Untersucht werden kann z.B. der Entladevorgang. Nutzung des GTR Eingabe/Aufnahme der Messwerte Graphische Darstellung der Punktwolke Bestimmung einer Regressions- kurve Bestimmung von Gesetzmäßigkeiten bei der Kondensatorentladung Kondensator Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand:  Übersicht

2. Erfassung der Messwerte
1. Der Versuchsaufbau (Schaltplan) 3. Ein Beispielgraph 2. Erfassung der Messwerte Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand:  Übersicht

Erstellen einer Eichkurve, Konzentrationsbestimmung
Beispiel 2 Chemie: Erstellen einer Eichkurve, Konzentrationsbestimmung Bei der Bestimmung der Konzentration von Natriumchlorid in Meerwasser soll eine Eichkurve erstellt werden. Nutzung des GTR Eingabe/Aufnahme der Messwerte Graphische Darstellung der Punktwolke Bestimmung der Eichkurve als Funktion Eichkurve Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand:  Übersicht 119

2. Auswählen der Sensoren
1. Versuchsaufbau 3. Messwertabelle 2. Auswählen der Sensoren 4. Eichkurve Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand:  Übersicht 120

Kennlinie einer Solarzelle
Beispiel 3 Technik: Kennlinie einer Solarzelle Bei der Untersuchung einer Solarzelle stellt sich die Frage nach einem optimalen Betriebspunkt, dazu wird eine Kennlinie erstellt. Nutzung des GTR Eingabe/Aufnahme der Messwerte Graphische Darstellung der Punktwolke Berechnung der Leistung; Graphische Darstellung der Kennlinie Bestimmung des optimalen Betriebspunktes Solarzelle Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand:  Übersicht

1. Die experimentell ermittelten Daten als Liste 3. Die berechnete
Leistung 2. Der Datensatz als Punktplot (Streudiagramm) 4. Ein mögliches Modell: Graph Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand:  Übersicht

Trainingslehre und Stoffwechselphysiologie
Beispiel 4 Sport/Biologie: Trainingslehre und Stoffwechselphysiologie Zur Verknüpfung von Theorie und Praxis wird der Puls vor, während und nach einer Belastung gemessen und anschließend hinsichtlich der Fragestellung nach der Sauerstoffversorgung ausgewertet. Nutzung des GTR Eingabe/Aufnahme der Messwerte Graphische Darstellung Bestimmung und Vergleich der Flächen zu Beginn und nach der Belastung hinsichtlich der Sauerstoffversorgung Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand:  Übersicht

1. Die experimentell ermittelten Daten als Liste
3. Vergleich der Flächen „Sauerstoffdefizit“ „Sauerstoffschuld“ 2. Der Datensatz als Punktplot (Streudiagramm) Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand:  Übersicht

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