Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

Cassebaum, Stochastik SekII 1 P(X=k ) 0,2 0,1 2244 0,3 6688 00 StochastikStochastik Thomas Cassebaum Permutationen Binomialkoeffizient Binomischer Lehrsatz.

Ähnliche Präsentationen


Präsentation zum Thema: "Cassebaum, Stochastik SekII 1 P(X=k ) 0,2 0,1 2244 0,3 6688 00 StochastikStochastik Thomas Cassebaum Permutationen Binomialkoeffizient Binomischer Lehrsatz."—  Präsentation transkript:

1 Cassebaum, Stochastik SekII 1 P(X=k ) 0,2 0, , StochastikStochastik Thomas Cassebaum Permutationen Binomialkoeffizient Binomischer Lehrsatz Zufallsversuche Wahrscheinlichkeit Additionssatz Multiplikationssatz Zufallsgrößen Erwartungswert Verteilungen Bernoulli-Ketten Bernoulli-Formel Binomialverteilung Poissonverteilung Geometrische Verteilung Permutationen Binomialkoeffizient Binomischer Lehrsatz Zufallsversuche Wahrscheinlichkeit Additionssatz Multiplikationssatz Zufallsgrößen Erwartungswert Verteilungen Bernoulli-Ketten Bernoulli-Formel Binomialverteilung Poissonverteilung Geometrische Verteilung

2 Cassebaum, Stochastik SekII 2KombinatorikKombinatorik Die Kombinatorik beschäftigt sich mit Fragen folgender Art: Wie viele Möglichkeiten gibt es, vier Buchstaben verschieden anzuordnen? Wie viele Möglichkeiten gibt es, 6 verschiedene Zahlen aus der Zahlenmenge { 1; 2; …;49 } auszuwählen? META EMTAATEM AMTE TEAM MEAT ATME ETAM TEMA MATE

3 Cassebaum, Stochastik SekII 3PermutationPermutation Wie viele Möglichkeiten gibt es, n verschiedenfar- bige Kugeln nebeneinander zu legen? Fall n=2 : Es gibt 2 Möglichkeiten 1! 2 = 2! = 2 Die zusätzliche gelbe Kugel kann vor- oder nach der roten Kugel gelegt angeordnet werden. Fall n=3: Es gibt 6 Möglichkeiten: 2! 3 = 3! = 6 Die zusätzliche Kugel kann vor-, nach- und zwischen den zwei bisher benutzten Kugeln angeordnet werden. Fall n+1Annahme: P n = n! = 1 2 … n Möglichkeiten Für n+1 folgt n! (n+1) = (n+1)! Die n+1-te Kugel wird vor-, nach- und zwi- schen den n bisher benutzten Kugeln (also insgesamt n+1 mal) angeordnet. Fall n=1 : Es gibt 1 Möglichkeit 1! = 1 (ohne Wiederholung)

4 Cassebaum, Stochastik SekII 4PermutationPermutation Zur Anschauung: Alle 24 Möglichkeiten für vier verschiedene Kugeln: Aus jeder der sechs Möglichkeiten für drei Kugeln entstehen vier Möglichkeiten für vier Kugeln. Die vierte (blaue) Kugel wird dabei vor-, zwischen- oder nachgestellt. Mathematisch: 3! 4 = 4! = = (ohne Wiederholung)

5 Cassebaum, Stochastik SekII 5 Beispiel Die fünf vom Trainer für das Elf- meterschiessen ausgewählten Spieler sollen die Schussreihenfolge untereinan- der selbst bestimmen. Der beteiligte Kapitän darf nicht als Erster schiessen. Wie viele Vari- anten gibt es für die Reihenfolge? Lösung: Alle Möglichkeiten werden mit der einfachen Permutation 5! = 120 errechnet. Von dieser Anzahl ist die Anzahl 4! = 24 für die Varianten abzuziehen, bei denen der Kapitän zuerst schiesst. n = 5! – 4! = 120 – 24 = 96 Die gesuchte Anzahl ist also 96.

6 Cassebaum, Stochastik SekII 6PermutationPermutation Wie viele Möglichkeiten gibt es, 10 Kugeln neben- einander zu legen, von denen je 3 rot, blau oder gelb und eine Kugel grün gefärbt ist? Die Reihenfolge gleichgefärbter Kugeln untereinander sei gleichgültig. n!n! p 1 ! p 2 ! … p m ! 10! 3! 3! 3! 1! (mit Wiederholung)

7 Cassebaum, Stochastik SekII 7 Beispiel Man bestimme die Anzahl aller achtstelligen Wörter aus fünf Zeichen A und 3 Zeichen B, in denen die Zeichen A nicht sämtlich nebenein- ander stehen. Gültige Wörter: ABBBAAAA, ABABABAA Ungültig wären: BBAAAAAB, AAAAABBB Lösung : Alle Möglichkeiten werden mit der Formel für Gruppenper- mutationen bestimmt. Es sind vier ungültige Möglichkeiten abzuziehen, die Wörter mit fünf aufeinander folgenden A-Zeichen enthalten: AAAAABBBBAAAAABBBBAAAAABBBBAAAAA AAAAABBB, BAAAAABB, BBAAAAAB, BBBAAAAA. Die gesuchte Anzahl ist also 52.

8 Cassebaum, Stochastik SekII 8 Aufgaben 1. Vier Schwimmer diskutieren über die unterschiedlichen Startmöglichkeiten auf vier Bahnen. Wie viele gibt es? 2. Von einer Geheimzahl sind alle Ziffern, aber nicht deren Rei- henfolge bekannt. Es ist weiter bekannt, dass alle Ziffern ver- schieden sind und dass es Varianten gibt, diese Ziffern anzuordnen. Wie viele Ziffern sind es? 3. Bei der Fußball-WM 1998 nahmen 32 Nationen teil. Wie viele Möglichkeiten gab es im Halbfinale ( = Runde der letzten 4 ) a) für die Teilnehmer des Halbfinales, b) für die Reihenfolge der ersten 4 Plätzen im Halbfinale? 4. Tim hat 4 Ein-, 5 Zwei-, 3 Fünf- und 2 Zehn-Cent-Münzen. Wie viele Varianten gibt es, die Münzen in einer bestimmten Rei- henfolge zu stapeln? 5. Tim schenkt seiner Freundin Julia von jedem Münzwert aus Aufgabe 4 je ein Stück. In wie vielen verschiedenen Varianten kann nun a) Julia ihre und b) Tim seine Münzen stapeln? c) Wie viele Varianten der getrennten Stapelbildung gibt es insgesamt für Tim und Julia gemeinsam? 6. Berechnen Sie, wie viele Möglichkeiten der Anordnung es für a) 6 rote, 2 blaue und 4 gelbe Kugeln und b) m schwarze und 1 weiße Kugel gibt.

9 Cassebaum, Stochastik SekII 9 Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn 3 Kugeln aus 5 verschiedenfarbigen Kugeln zufällig bestimmt werden? Lösung: Möglichkeiten Die Lösung des Problems mit Hilfe des Binomialkoeffizienten läßt sich da- durch begründen, dass alle k ausgewählten Kugeln zur Gruppe 1 und alle (n-k) nicht ausgewählten Kugeln zur (Rest-)Gruppe 2 zugeordnet werden. Die Reihenfolge innerhalb der Gruppe ist unerheblich, somit stimmt die Formel zur Gruppenlösung der Permutation mit der für den Binomialkoeffizienten überein. Allgemein gilt : Möglichkeiten. Diese symbolische Darstellung und die zugehörige Berech- nungsvorschrift wird Binomialkoeffizient C n k = genannt. Beispiel KombinationKombination (ohne Wiederholung)

10 Cassebaum, Stochastik SekII 10 Binomial- koeffizient Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn k n Kugeln aus n verschiedenfarbigen Kugeln zufällig bestimmt werden? Induktionsanfang : n=1, k=1 Es gibt 1 Möglichkeit Induktionsbehauptung n, k: Induktionsbehauptung n, k: Annahme: Es gibt Möglichkeiten. 1 2 … n 1 … k 1 1 Induktionsbeweisn+1, k+1: Induktionsbeweisn+1, k+1: 1 2 … n 1 … k k+1 n+1

11 Cassebaum, Stochastik SekII 11 BeispieleBeispiele Beispielaufgaben: Wie viele Möglichkeiten gibt es für einen Mitspieler, 4 Karten der insgesamt 32 ver- schiedenen Spielkarten bei der Kartenausgabe beim Mau-Mau-Spiel zu bekommen? Wie viele Möglichkeiten gibt es für die zwei Karten im Skat, wenn man die eigenen 10 Karten ausschliesst? Lösung : Es gibt Möglichkeiten für Mau-Mau. Für die Möglichkeiten des Skatinhaltes ist die Gesamtanzahl der möglichen Karten um die des Spielers zu vermindern. n = = 22 Es gibt demnach Möglichkeiten für den Skat. Hinweis: Beim Skat erhalten drei Spieler je zehn der insgesamt 32 verschiedenen Spiel- karten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man Skat, der für den Spielver- lauf ebenfalls von Bedeutung ist.

12 Cassebaum, Stochastik SekII 12 Beispielaufgaben: Wie viele Möglichkeiten gibt es, 6 Zahlen aus 49 Zahlen eines Lottoscheines anzukreuzen? Wie viele Varianten gibt es vier verschiedene Schachfiguren auf ein Schachbrett zu stellen? Lösung : Es gibt Möglichkeiten im Lotto. Es gibt Möglichkeiten, vier Schachfelder für Figurensetzungen zu bestimmen. Die vier gesetzten Figuren können weiter mit 4! = 24 Permutationen auf die gewählten Felder gesetzt werden. Insgesamt gibt es also = Möglichkeiten, vier verschiedene Figuren auf 64 Schachfeldern unterschiedlich aufzustellen BeispieleBeispiele

13 Cassebaum, Stochastik SekII 13 Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn 3 Kugeln aus fünf verschiedenfarbigen Kugeln zufällig bestimmt werden? Lösung: Möglichkeiten Allgemein gilt : Möglichkeiten. Die symbolische Darstellung ist W C n k. KombinationKombination(mitWiederholung)(mitWiederholung) Die Kugeln werden nach jeder Ziehung wieder zurückgelegt, d.h. es können im Ergebnis Farben mehrfach auftreten. Die Kugeln werden nach jeder Ziehung wieder zurückgelegt, d.h. es können im Ergebnis Farben mehrfach auftreten.

14 Cassebaum, Stochastik SekII 14 BinomischerLehrsatz Binomischer Lehrsatz Wie kann man den Term (a+b) n einfach ausmultiplizieren? Die Koeffizienten, die im binomischen Lehrsatz durch Bino- mialkoeffizienten gebildet werden, können einfach mit dem Pascalschen Dreieck errechnet werden: Die Koeffizienten sind an den Rändern immer 1, der Rest wird durch Summation der darüber liegenden Koeffizienten gebildet. Beispiel: 15 = (a+b)³ = 1a³ + 3a²b + 3ab² + 1b³ Die Koeffizienten sind an den Rändern immer 1, der Rest wird durch Summation der darüber liegenden Koeffizienten gebildet. Beispiel: 15 = (a+b)³ = 1a³ + 3a²b + 3ab² + 1b³

15 Cassebaum, Stochastik SekII 15Aufgaben 6. Es sollen sechs von 17 Schülern einer Schulklasse für eine Volleyballmann- schaft ausgewählt werden. a) Wie viele Möglichkeiten der Bildung einer Mannschaft gibt es? b) Warum gibt es bei der Auswahl einer Fußballmannschaft mit 11 Spielern ebenso viele Varianten? 7. Ein geheimes Codewort setzt sich aus vier verschiedenen der 26 Buchstaben des englischen Alphabets zusammen. Wie viele Vari- anten existieren bei einem Codewort mit vier Buchstaben? 8. Acht Schüler betreten ein Restaurant. Es ist nur ein Tisch mit sechs Plätzen frei. a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, sechs der acht Schüler für die freien Plätze auszuwählen? b) Wie viele Varianten gibt es, nach erfolgter Wahl der Schüler, diese Schüler auf die Stühle zu verteilen? 9. Könnte ein passionierter Skatspieler sämtliche möglichen Spiele (Kartenverteilungen) in seinem Leben spielen? Hinweis: Beim Skat erhalten drei Spieler je zehn der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man Skat, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.

16 Cassebaum, Stochastik SekII 16 Ergebnismenge Ergebnismenge ZufallsversuchZufallsversuch Stufe 1 Zufallsversuch Stufe 2 Stufe n …… Ergebnis 1 1 = (s 1, s 2, …,s n ) Ergebnis 1 Das Ergebnis 1 ist ein Element der Ergebnismenge Ω. Das Ergebnis setzt sich aus den Teilergebnissen der Stufen (s 1, s 2, …, s n ) zusammen. Ereignis E Das Ereignis E ist eine Teilmenge der Er- gebnismenge Ω. E Ereignis E { 1, 2, 3 } Ereignismenge 2 Ereignismenge 2 E2E2 E2E2 E E E3E3 E3E3 E1E1 E1E1 ØØ Ereignismenge Die Ereignismenge ist die Menge aller Teil- mengen von Ω. n-stufig

17 Cassebaum, Stochastik SekII 17 BeispielBeispiel 1.Münze 2-facher Münzwurf 2.Münze Ergebnis = (w,w) Ergebnis Das Ergebnis (w,w) ist ein Element der Ergebnismenge Ω. Ergebnismenge Ergebnismenge (w,w) Das Wurfergebnis setzt sich aus den Ergebnissen der beiden Einzelwürfe (s 1,s 2 ) zusammen. Ereignis Das Ereignis E Ω steht für den Fall, dass beide Münzen das gleiche zeigen. E Ereignis E { (w,w) ; (z,z) } w w= Wappen z z = Zahl (z,z) (w,z) (z,w) Ereignismenge 2 Ereignismenge 2 ØØ Ereignismenge Die Ereignismenge enthält alle Kombinationen mög- licher Wurfergebnisse. (w,z) (w,w) (z,w);(z,z) (w,w); (z,z) ……

18 Cassebaum, Stochastik SekII 18 ZufallsversuchZufallsversuch Ē Gegenereignis (Komplement) Ē ØunmöglicheΩsiche- res Das Ereignis Ē heißt Gegenereignis (Komplement) von E, wenn Ē alle Ergebnisse aus Ω enthält, die nicht in E enthalten sind. Das Ereig- nis Ø ist das unmögliche Ereignis. Das Ereignis Ω nennt man siche- res Ereignis. Ereignismenge(-raum) 2 Ω Ω Die Ereignismenge(-raum) 2 Ω ist die Menge aller Teilmengen von Ω. Besitzt die Ergebnismenge n = |Ω| Elemente, so gibt es 2 n verschie- dene Teilmengen von Ω. Zufallsversuch Ergebnissen i Ein Zufallsversuch ist ein Ver- such mit minimal 2 möglichen Ergebnissen i. Das Ergebnis kann nicht vorhergesagt werden. n-stufigen Zufallsexperiment Besteht ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten, so spricht man von einem n-stufigen Zufallsexperiment. Ereignis E Ein Ereignis E ={ 1, 2,…} steht für einen Teil der möglichen Ergeb- nisse. Tritt eines dieser Ergebnisse ein, so tritt das Ereignis E ein. Ω Ergebnismenge (-raum) Elementarereignis Eine Menge Ω heißt Ergebnismenge (-raum) eines Zufallsversuchs, wenn jedem möglichen Ergebnis genau ein Element zugeordnet ist. Ein solches Element (Ereignis) wird Elementarereignis genannt.

19 Cassebaum, Stochastik SekII 19 BeispieleBeispiele Der Münzwurf ist ein Zufallsversuch, weil es zwei (also mehrere) mögliche Ergebnisse (= Wappen, = Zahl ) gibt und es ist nicht vorhersehbar, welches eintritt. Erfolgt der Münzwurf zweifach, ist es ein 2-stufiger Zufallsversuch. Der Münzwurf ist ein Zufallsversuch, weil es zwei (also mehrere) mögliche Ergebnisse ( 1 = Wappen, 2 = Zahl ) gibt und es ist nicht vorhersehbar, welches eintritt. Erfolgt der Münzwurf zweifach, ist es ein 2-stufiger Zufallsversuch. ErgebnismengeΩ Elementarereignisse Die Ergebnismenge Ω = { 1 ; 2 } enthält zwei Ergebnisse 1 und 2 als Elemente (die Elementarereignisse Zahl und Wappen). Ereignismenge2 Ω Die Ereignismenge 2 Ω = { Ø ; { 1 }; { 2 }; Ω= { 1 ; 2 } } enthält 4 = 2 2 Teilmengen von Ω. Ø unmöglichΩ sicher Das Eintreten des Ereignisses Ø (weder Zahl noch Wappen) ist unmöglich, das Eintreten von Ω (entweder Zahl oderWappen) ist sicher. Gegenereignis Das Gegenereignis von E = { 1 } = {Wappen} Ē ist Ē = { 1 } = {Zahl}.

20 Cassebaum, Stochastik SekII 20 BeispieleBeispiele Beispielaufgaben: a) Bestimme für einen Wurf mit einem Spiel- würfel alle möglichen Elementarereignisse! b) Schreibe vier mögliche Ereignisse des Ereignisraumes von a) auf, die nicht nur einzelne Elementarereignisse repräsentieren! c) Notiere mit Elementarereignissen des einfachen Würfelns ein sicheres Ergebnis als Teilmenge der Ereignismenge! d) Notiere alle Elementarereignisse für den zwei- fachen Münzwurf als Ergebnismenge Ω ! Lösungen : {1}, {2}, {3}, {4}, {5} und {6} a)Die Elementarereignisse stehen für das Würfeln einer 1, 2, 3, 4, 5, 6. Es gibt also die insgesamt sechs Elementarereignisse: {1}, {2}, {3}, {4}, {5} und {6}. {1; 2}, {1; 2; 3}, {1; 4}, {1; 5} b)z.B. {1; 2}, {1; 2; 3}, {1; 4}, {1; 5} sind Teilmengen von Ω, wenn 1 für das Elementarereignis Würfeln einer 1 steht. {1} {2} {3} {4} {5} {6} ODER c) Ω = {1} {2} {3} {4} {5} {6} (Das Zeichen steht hier für ODER) { (w,w); (z,z); (w,z); (z,w) } d) Ω = { (w,w); (z,z); (w,z); (z,w) } mit w=Wappen und z=Zahl

21 Cassebaum, Stochastik SekII 21 Hausaufgaben Lesen im Lehrbuch: Kapitel C1: S.193 bis S.203 (S.204) Gib zum Zufallsexperiment eine geeignete Ergebnismenge an und bestimme | |! Eine Münze wird zweimal geworfen. Beobachtet wird, welche Seite oben liegt. C2 a) (S.204) Gib zum Zufallsexperiment eine geeignete Ergebnismenge an und bestimme | |! Eine Münze wird zweimal geworfen. Beobachtet wird, welche Seite oben liegt. (S.205) Gib die Ereignismenge 2 an ! a) 1 = { 0; 1 } b) 2 = { 1; 2; 3 } C4 (S.205) Gib die Ereignismenge 2 an ! a) 1 = { 0; 1 } b) 2 = { 1; 2; 3 } (S.205) An einem Wettbewerb nehmen 4 Sportler teil. A i = { Startnummer i erreicht Platz i } Interpretiere: B = A 1 A 2 A 3 A 4 C = A 1 A 2 A 3 A 4 D = C6(S.205) An einem Wettbewerb nehmen 4 Sportler teil. A i = { Startnummer i erreicht Platz i } Interpretiere: B = A 1 A 2 A 3 A 4 C = A 1 A 2 A 3 A 4 D = (S.205) Die deutschen Autokennzeichen bestehen aus einem Ortskürzel, sowie 1 oder 2 Buchstaben (inkl.ÄÖÜ) und einer 1 bis 4 stelligen Zahl. Wie viele solcher Kennzeichen können für eine Ortsregion vergeben werden? C7(S.205) Die deutschen Autokennzeichen bestehen aus einem Ortskürzel, sowie 1 oder 2 Buchstaben (inkl.ÄÖÜ) und einer 1 bis 4 stelligen Zahl. Wie viele solcher Kennzeichen können für eine Ortsregion vergeben werden? (S.205) Ermittle, wie viele Ereignisse zu einem Zufallsversuch mit 2,3,…,n Ergebnissen gehören! C10(S.205) Ermittle, wie viele Ereignisse zu einem Zufallsversuch mit 2,3,…,n Ergebnissen gehören! (S.205) Eine Urne enthält 15 nummerierte Kugeln. Eine Kugel wird gezogen und die Nummer registriert. Gib für die Ereignisse E 1 bis E 9 die Ergebnismengen an! C11(S.205) Eine Urne enthält 15 nummerierte Kugeln. Eine Kugel wird gezogen und die Nummer registriert. Gib für die Ereignisse E 1 bis E 9 die Ergebnismengen an! a) Primzahl b) 3 ist Teiler c) ungerade Zahl d) größer als 12 e) kleiner als 8 f) keine Nummer g) schwarze Kugel h) durch 2 und 3 teilbar i) Nummer 17

22 Cassebaum, Stochastik SekII 22 HäufigkeitenHäufigkeiten Wird ein Zufallsexperiment (z.B. Würfeln) 30-mal (n-mal) hinterein- ander ausgeführt und tritt dabei ein bestimmtes Ergebnis (z.B. 4) genau 7-mal (k-mal) auf. Bestimme die absolute Häufigkeit H n (E) und die relative Häufigkeit h n (E) für dieses Experiment: Die relative Häufigkeit h n ( ) (h n ( E )) ist die Anzahl des Eintretens des Ergebnisses (des Ereignisses E) geteilt durch n bei n Versuchen. h n ( ) = k/n mit (1) 0 h( ) 1 und (2) h(E)= Im Beispiel gilt allso: h 30 (4) = 7/30 = 0,233 h n wird oft in % angegeben: h 30 ( 4 ) = 0,233 ( 100) = 23,3% Tritt das Ergebnis (6) dreimal auf, gilt für das Ereignis E = {4;6} h(E) = h(4) + h(6) = 0, ,1 = 0,333 ( 100) = 33,3% Die absolute Häufigkeit H n ( ) (H n ( E )) ist die Anzahl des Eintretens des Ergebnisses (des Ereignisses E) bei n Versuchen. Im Beispiel gilt demnach:H 30 (4) = 7

23 Cassebaum, Stochastik SekII 23 Wahrscheinlich -keitsmaß Wie groß ist die Wahrschein- lichkeit des Ereignisses des Auf- tretens von einer Sechs bei einem Wurf mit einem idealen Würfel ? Die Aufgabe nimmt Bezug zum Laplaceschen Wahrscheinlichkeitmaß P(A), das ein Verhältnis zwischen den günstigen Ereignissen und allen möglichen Ereignissen herstellt. P(A) = Anzahl der für A günstigen Ereignisse |A| Anzahl der möglichen Ereignisse |Ω| Ein Würfel ist ideal, wenn er jeden möglichen Punktwert (1…6) gleichwahrscheinlich erreicht. Die Wahrscheinlichkeit P(A) kann für einen Wurf einfach errechnet werden: P(A) = = |A| 1 6 |Ω||Ω| Das einzige günstige Ereignis Wurf der 6 von insgesamt sechs möglichen

24 Cassebaum, Stochastik SekII 24 Baum- diagramme Es werden aus einer Urne, die drei rote und zwei grüne Kugeln enthält, zwei Kugeln nacheinender ohne Zurückle- gen gezogen. Welche Wahr- scheinlichkeiten ergeben sich für die 4 möglichen Versuchsergeb- nisse = {(g,g), (g,r), (r,g), (r,r)} ? 3/5 2/5 3/4 1/4 2/4 2/5 1/4 = 1/10 2/5 3/4 = 3/10 3/5 2/4 = 3/10 Baumdiagramm Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann nach der Zeichnung des Baumdiagrammes mit Hilfe der 1. Pfadregel einfach bestimmt werden: Setzt sich ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten zusammen, ist k =| | die Anzahl der möglichen Ergeb- nisse und ist i das Ergebnis des Teilexperimentes i. 1.Pfadregel (Produktregel): Dann gilt die 1.Pfadregel (Produktregel): P ( 1, 2, …, k ) = P ( 1 ) P ( 2 ) … P ( k ) 0,3 Im Baumdiagramm müssen also jeweils die durchlaufenen Wegwahrschein- lichkeiten multipliziert werden. Im Beispiel werden aus einer Urne, die drei rote und zwei grüne Kugeln enthält, zwei Kugeln nacheinender gezogen. Die erste Kugel wird nicht zurückgelegt. P(r;g) = 3/5 2/4 = 3/10 = 0,3 Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann nach der Zeichnung des Baumdiagrammes mit Hilfe der 1. Pfadregel einfach bestimmt werden: Setzt sich ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten zusammen, ist k =| | die Anzahl der möglichen Ergeb- nisse und ist i das Ergebnis des Teilexperimentes i. 1.Pfadregel (Produktregel): Dann gilt die 1.Pfadregel (Produktregel): P ( 1, 2, …, k ) = P ( 1 ) P ( 2 ) … P ( k ) 0,3 Im Baumdiagramm müssen also jeweils die durchlaufenen Wegwahrschein- lichkeiten multipliziert werden. Im Beispiel werden aus einer Urne, die drei rote und zwei grüne Kugeln enthält, zwei Kugeln nacheinender gezogen. Die erste Kugel wird nicht zurückgelegt. P(r;g) = 3/5 2/4 = 3/10 = 0,3

25 Cassebaum, Stochastik SekII 25 Baum- diagramme Es werden aus einer Urne, die drei rote und zwei grüne Kugeln enthält, zwei Kugeln nacheinender ohne Zurückle- gen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Kugel rot ist? 3/5 2/5 3/4 1/4 2/4 2/5 1/4 = 1/10 2/5 3/4 = 3/10 3/5 2/4 = 3/10 Baumdiagramm Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann wieder mit Hilfe des Baumdiagrammes, diesmal mit der 2. Pfadregel einfach bestimmt werden: Ein Ereignis E = { 1 ; 2 ; …; k } tritt ein, wenn eines der Elementarereignisse { i } eintritt. Für die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses E 2.Pfadregel (Summenregel) : gilt die 2.Pfadregel (Summenregel) : P(E) = P ({ 1 ; 2 ; …; k }) = P ( 1 ) + P ( 2 ) + … + P ( k ) Im Beispiel trete das Ereignis E ein, wenn als zweite Kugel eine rote Kugel gezogen wird. Es gilt also E= { (r,r); (g,r) } und damit: 0,6 P ( E ) = P ({ (r,r) }) + P ({ (g,r) }) = 3/10 + 3/10 = 3/5 = 0,6 Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann wieder mit Hilfe des Baumdiagrammes, diesmal mit der 2. Pfadregel einfach bestimmt werden: Ein Ereignis E = { 1 ; 2 ; …; k } tritt ein, wenn eines der Elementarereignisse { i } eintritt. Für die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses E 2.Pfadregel (Summenregel) : gilt die 2.Pfadregel (Summenregel) : P(E) = P ({ 1 ; 2 ; …; k }) = P ( 1 ) + P ( 2 ) + … + P ( k ) Im Beispiel trete das Ereignis E ein, wenn als zweite Kugel eine rote Kugel gezogen wird. Es gilt also E= { (r,r); (g,r) } und damit: 0,6 P ( E ) = P ({ (r,r) }) + P ({ (g,r) }) = 3/10 + 3/10 = 3/5 = 0,6

26 Cassebaum, Stochastik SekII 26 BeispieleBeispiele Beispielaufgaben: In einer Urne befinden sich je eine rote, grüne und blaue Kugel. Es wird zweimal eine Kugel zufällig entnommen und danach sofort wieder in die Urne zurückgelegt. a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine der 2 Kugeln rot ist! b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass keine der Kugeln rot ist! c) Berechne die Wahrscheinlichkeit aus Aufgabe b), wenn die erste gezogene Kugel nicht zurückgelegt wird! b)Es gibt 4 günstige Ergebnisse: { (g,g);(g,b);(b,g) ; (b,b)}. Es folgt analog a) nach der Laplace-Regel: 4 (günstige Ergebnisse) / 9 (mögliche Ergebnisse) = P( E ) = 4/9. gg rr bb bb gg rr gg rr bb rr gg bb Lösungen : a)Es gibt 9 mögl. Ergebnisse: Ω = { (r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(g,g);(g,b);(b,r);(b,g);(b,b) }. Es gilt Gleichwahrscheinlichkeit, daraus folgt für die fünf günstigen Ergebnisse E = { (r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(b,r) }: P( E ) = |E|/|Ω| = 5/9. c)In der 2. Ziehung kann nicht noch einmal die 1.Farbe gezogen werden. Von den 6 möglichen Pfaden {(r,g);(r,b);(g,r);(g,b);(b,r);(b,g)} enthalten 2 keine rote Kugel. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erechnet sich also mit 2 (günstige Ergebnisse) / 6 (mögliche Ergebnisse) = P( E ) = 1/3.

27 Cassebaum, Stochastik SekII 27 Aufgaben 10. Ein idealer Würfel wird zweimal hintereinander geworfen und jeweils die Augenzahl festgestellt. Gib die Wahrschein- lichkeiten folgender Ereignisse an: A: Die erste Augenzahl ist größer als die zweite. B: Die Summe beider Augenzahlen ist kleiner als 6. C: Das Produkt beider Augenzahlen ist größer als 9. D: Die erste Augenzahl ist gerade. 11. Es werden drei Münzen geworfen. Gib die Wahr- scheinlichkeiten der folgenden Ereignisse an: A: Wappen tritt mindestens zweimal auf. B: Zahl tritt genau zweimal auf. C: Alle drei Münzen zeigen die gleiche Seite.

28 Cassebaum, Stochastik SekII 28 AdditionssatzAdditionssatz Wie groß ist die Wahrschein- lichkeit des Ereignisses des Auftretens einer 6 bei zwei Würfen mit einem Würfel ? Dieser besagt, dass die Wahrschein- lichkeit des Auftreten eines der Ereignisse A oder B mit folgender Formel errechnet werden kann: P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) Im Fall dieser Aufgabe gilt P(A) + P(B) -P(A B) = + P(A) + P(B) -P(A B) = + P(A B) = Alle günstigen Ereignisse mit 6, das rote gibt es nur einmal! Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Additionssatz lösen.

29 Cassebaum, Stochastik SekII 29 BeispielBeispiel Es werden aus einer Urne, die drei rote und zwei grüne Kugeln enthält, zwei Kugeln nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass A) beide Kugeln gleichfarbig oder dass B) die erste Kugel rot ist? Es werden aus einer Urne, die drei rote und zwei grüne Kugeln enthält, zwei Kugeln nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass A) beide Kugeln gleichfarbig oder dass B) die erste Kugel rot ist? 3/5 2/5 3/4 1/4 2/4 2/5 1/4 = 1/10 2/5 3/4 = 3/10 3/5 2/4 = 3/10 Nach den Pfadregeln gilt: P(A) = 1/10+3/10 = 4/10 und P(B) = 3/5 Der Gedanke liegt nah, dass daraus folgen würde: P(A B) = P(A)+P(B) = (4+6)/10 = 1 Das ist aber falsch. Es läßt sich leicht erkennen, dass das Ergebnis (g,r) nicht Element des Ereignisses A B ist. Nach dem Additionssatz muss so gerechnet werden: P(A B) = P(A)+P(B) – P(A B) = (4+6-3)/10 = 7/10 A B {(r,r)} {(r,g)} {(g,g)} {(g,r)}

30 Cassebaum, Stochastik SekII 30 BeispieleBeispiele Beispielaufgaben: a)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ziehens mindestens eines Kreuz As beim zweimaligen Ziehen einer Karte aus einem Kartenspiel mit 32 Karten mit sofortigem Zurücklegen? b)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des Ziehens mindestens einer As-Karte beim zweimaligen Ziehen einer Karte aus einem Kartenspiel mit 52 Karten mit sofortigem Zurücklegen? Lösungen : Bei diesen Aufgaben kommt eine Auszählung der günstigen Elemen- tarereignisse wegen der Größe der Zahlen nicht mehr in Frage. 0, a)Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines Kreuz-As ist P(A)=1/32. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Ziehungen: P(A B) = 1/32 +1/32 – 1/1024 = 63/1024 = 0, ,1479 b)Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines beliebigen Asses ist P(A)=4/52. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Würfe: P(A B) = 4/52 +4/52 – 16/2704 = 400/2704 = 0,1479

31 Cassebaum, Stochastik SekII 31 Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des gemeinsamen Auftretens der Ereignisse A und B mit folgender Formel errechnet werden kann: P(A B) = P(A|B) P(B) P(A|B) = (P(B)>0) ist die bedingte Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A unter der Bedingung, dass das Ereignis B ein- getreten ist. Es gilt: A= 8 Augen B= kein Pasch P(B) = = P(A|B) = = P(A B) = P(A|B) P(B) = Multiplika- tionssatz Berechne die Wahrscheinlichkeit des Auftretens der Augensumme 8 bei einem Wurf mit zwei Würfeln! Das Auftreten eines Paschs wird immer als ungültig gewertet. Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Multiplikationssatz lösen. Pasch 8 Augen Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ist p = 0,11. 0,11 0,11 Ereignis BA B A

32 Cassebaum, Stochastik SekII 32 Bernoulli- Kette In einer Urne befinden sich weiße und schwarze Kugeln. Es soll experimentell die Wahrscheinlichkeit p w ermittelt wer- den, eine weiße Kugel aus der Urne zu ziehen. Bestimme auch die Wahrschein- lichkeit p s, eine schwarze Kugel zu ziehen! Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment mit der Ergeb- nismenge = { 0 ; 1 }. Das Ergebnis 1 = 1 tritt im Erfolgsfall mit der Wahrscheinlichkeit p, 2 =0 tritt sonst mit der Wahrscheinlichkeit 1-p ein. Zur Lösung der Aufgabe wird eine Kugel gezogen und nach farbgerech- ter Zählung (1 für schwarz und 0 für weiß) die Kugel in die Urne zurückge- legt. Die Kugeln der Urne werden gemischt und dann wird eine weitere Kugel gezogen und gezählt… n- Gesamtzahl aller gezogenen Kugeln w- Zahl der weißen Kugeln Nach der Laplace-Regel gilt: p s = p w = Zähltabelle s w n 34 Eine n-fache und unabhängig voneinander ausgeführte Realisierung eines Bernoulli- Experiments heisst Bernoulli-Kette der Länge n.

33 Cassebaum, Stochastik SekII 33 Bernoulli- Formel Berechne die Wahrscheinlichkeit des Auf- tretens von genau zweimal 2 Sechsen bei drei Würfen mit 2 Würfeln! (nicht einmal und nicht dreimal!) Berechne die Wahrscheinlichkeit des Auf- tretens von genau zweimal 2 Sechsen bei drei Würfen mit 2 Würfeln! (nicht einmal und nicht dreimal!) Die gegebene Aufgabe lässt sich mit einer Bernoulli-Kette lösen. Für genau k-mal Erfolg gilt die Bernoulli-Formel b(n; p; k) = P(X=k) = p k ( 1–p ) n-k b(n; p; k) = P(X=k) = p k ( 1–p ) n-k In der Aufgabe wird n=3 mal versucht, den Erfolg mit k=2 Sechsen zu erreichen. Aus vorherigen Aufgaben wissen wir, dass die Wahrscheinlichkeit des Erfolgs bei einem Versuch mit zwei Würfeln p=1/36ist. In der Aufgabe wird n=3 mal versucht, den Erfolg mit k=2 Sechsen zu erreichen. Aus vorherigen Aufgaben wissen wir, dass die Wahrscheinlichkeit des Erfolgs bei einem Versuch mit zwei Würfeln p=1/36 ist. b( 3 ; 1/36 ; 2 ) = ( 1/36 ) 2 (1-1/36) 3- = = b( 3 ; 1/36 ; 2 ) = ( 1/36 ) 2 (1-1/36) 3-2 = = = 0,00225 = 0,00225 nknknknk Es gibt 36 3 mögliche Ergebnisse und 3 mal 35 (alle außer (6,6)) günstige Er- gebnisse für genau 2 mal 2 Sechsen. Nach der Laplace-Regel: 0,00225

34 Cassebaum, Stochastik SekII 34 Bernoulli- Formel Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt genau zweimal die Sechs, wenn dreimal mit einem Würfel geworfen wird? Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette der Länge n = 3 mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p = 1/6. Kein Erfolg tritt bei einem Ein- zelwurf mit der Wahrscheinlichkeit 1-p = 5/6 ein. Um einen Gesamtüber- blick über alle möglichen Ereignisse dieses Versuches zu erhalten betrach- ten wir die 3-stufige Wurffolge als 1-0-Folge (1:Erfolg, 0:kein Erfolg). Jede Folge mit genau 2 Einsen ist also ein erfolgreicher Versuch. Erfolg / Nichterfolg : Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten der Folge 011 errechnet sich durch Multiplikation der Erfolgs-/ Nicht- erfolgs-Wahrscheinlichkeiten mit p 011 = (1-p) p p Durch bloße Vertauschung der Faktoren sind die Wahrscheinlichkeiten aller weite- ren Erfolgsfälle genauso groß Die Erfolgsanzahl wird mit dem Binomialkoeffizienten bestimmt (siehe Folie Binomialkoeffizient). Folie BinomialkoeffizientFolie Binomialkoeffizient Es gilt also: P(Erfolg=E) = p 2 (1-p) 3-2 = 3 1/36 5/6 = 5/72 = 0,06944 Allgemein gilt: P(E) = b( n; p; k) = p k (1-p) n-k nknknknk

35 Cassebaum, Stochastik SekII 35 Bernoulli- Formel b(n; p; k) = P(X=k) = p k (1-p) n-k b(n; p; k) = P(X=k) = p k (1-p) n-k nknknknk Faktor 1: Binomialkoeffizient zur Bestimmung der Anzahl der Möglich- keiten, k Elemente aus insgesamt n Elemen- ten zu erwählen. Faktor 1: Binomialkoeffizient zur Bestimmung der Anzahl der Möglich- keiten, k Elemente aus insgesamt n Elemen- ten zu erwählen. Faktor 2: k-faches Produkt der Wahrscheinlichkeit p für das Erreichen eines Einzel-Erfolges Faktor 2: k-faches Produkt der Wahrscheinlichkeit p für das Erreichen eines Einzel-Erfolges Faktor 3: (n-k)-faches Produkt der Wahrscheinlichkeit (1-p) für das Erreichen eines Einzel-Nicht-Erfolgs Faktor 3: (n-k)-faches Produkt der Wahrscheinlichkeit (1-p) für das Erreichen eines Einzel-Nicht-Erfolgs Die Wahrscheinlichkeit, daß in einer Bernoulli- Kette der Länge n, genau ein Experiment Erfolg hatte, ist P(A) = p (1-p) n-1. Der Additionsatz besagt, dass Wahrscheinlich- keiten für das Eintreten einander auschließender Ereignisse, gleich der Summe der Einzelwahr- scheinlichkeiten ist. Alle Summanden sind gleich groß, deshalb genügt es, P(A) mit der Anzahl der möglichen Erfolge zu multiplizieren. Die Wahrscheinlichkeit, daß in einer Bernoulli- Kette der Länge n, genau ein Experiment Erfolg hatte, ist P(A) = p (1-p) n-1. Der Additionsatz besagt, dass Wahrscheinlich- keiten für das Eintreten einander auschließender Ereignisse, gleich der Summe der Einzelwahr- scheinlichkeiten ist. Alle Summanden sind gleich groß, deshalb genügt es, P(A) mit der Anzahl der möglichen Erfolge zu multiplizieren.

36 Cassebaum, Stochastik SekII 36 Wertermittlung zur Bernoulliformel Es kann neben dem Taschenrech- ner oder dem PC auch die Tabelle aus der Zahlentafel zur Werter- mittlung benutzt werden. Prak- tisch sind Tabellen mit 2 Eingängen: nk 0,05 0,101/60,20k ,7738 0,2036 0,0214 0, nk0,950,905/60,80k b(5;0,05;2) = 0,02140,0214 0,05120, p=0,2 n-k=3 1-p=0,2 n-k=3 b(5;0,80;2) = b(5;0,20;3) = 1-p=0,2 n-k=3 1-p=0,2 n-k=3 b(5;0,80;2) = b(5;0,20;3) = 1. Bestimmung des Bereiches für n. 2. Bestimmung der Spalte für p. 3. Bestimmung der Zeile für k. 4. Wert für b(n;p;k) ablesen.

37 Cassebaum, Stochastik SekII 37 Aufgaben 12. Aus einem gut gemischten Skatspiel werden nacheinander (mit oder ohne Zurücklegen) vier Karten gezogen. Mit welcher Wahr- scheinlichkeit werden drei der Herzkarten gezogen? 13. Ein Sportschütze trifft im Mittel genau 7 von 10 Schüsse. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse in einem Schießwettkampf mit 50 Schüssen. Er trifft … a) … genau vierzig mal, b) … höchstens zehnmal, c) … mindestens 44 mal, d) … nie, e) … immer, f) … mindestens 34 und höchstens 36 mal. 14. Ein Bernoulli-Experiment mit der Erfolgswahrschein- lichkeit p=0,3 wird fünfmal nacheinander durchgeführt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für … a) … mindestens zwei Erfolge, a) … genau zwei Erfolge, c) … für genau einen Erfolg, d) … keinen Erfolg. e) Wie viele Durchführungen sind mindestens erforder- lich, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% mindestens zwei Erfolge zu registrieren?

38 Cassebaum, Stochastik SekII 38 Verteilungen diskreter Größen Verteilungsfunktionen ordnen den Werten der Zufallsgrößen passende Wahrscheinlichkeiten zu. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der diskreten Zufallsgröße X: x i p i = P(X=x i ) ist eine Funktion P({ und X( i ) = x i }) mit i {1;...; n;...}. Die Verteilungs- funktion von X ist F(x) = P(X x) 2-zeilige Matrixschreib- weise einer Wahrschein- lichkeitsverteilung xixixixi 123 x i P( x i ) 0,20,50,3 Tabellarische Darstel- lung einer Wahrschein- lichkeitsverteilung F(x) 1,0 0,6 0,8 0,4 0,2 xixi xixi P(X=x i ) 0,6 0,4 0,2 xixi xixi xixi xixi P(X=x i ) 0,6 0,4 0, Stabdiagramm Histogramm

39 Cassebaum, Stochastik SekII 39 Zufalls- größen Zwei Würfel mit den Augenwerten 1,4,4,4,4,6 und 2,2,3,5,5,5 werden für ein Spiel genutzt. Jeder der 2 Spieler wählt einen der Würfel aus. Im Spiel wür- felt jeder Spieler mit nur seinem Würfel je einmal. Der Gewinner mit der höheren Augenzahl erhält vom Verlierer die Augendifferenz in Cents aus- gezahlt. Welchen Würfel würdest du wählen? Zwei Würfel mit den Augenwerten 1,4,4,4,4,6 und 2,2,3,5,5,5 werden für ein Spiel genutzt. Jeder der 2 Spieler wählt einen der Würfel aus. Im Spiel wür- felt jeder Spieler mit nur seinem Würfel je einmal. Der Gewinner mit der höheren Augenzahl erhält vom Verlierer die Augendifferenz in Cents aus- gezahlt. Welchen Würfel würdest du wählen? Eine Zufallsgröße X: ist eine Funktion, die jedem Ergeb- nis i eines Zufallsexperimentes ein x i zuordnet.Eine diskrete Zufallsgröße X besitzt endlich oder abzählbar unend- lich viele verschiedene Funktionswerte x i. Eine Zufallsgröße X: ist eine Funktion, die jedem Ergeb- nis i eines Zufallsexperimentes ein x i zuordnet. Eine diskrete Zufallsgröße X besitzt endlich oder abzählbar unend- lich viele verschiedene Funktionswerte x i. Die Wahrscheinlichkeiten des Gewinns eines Spieles der ge- gebenen Aufgabe ist im Pfad- modell des 2-stufigen Zufalls- versuches für beide Würfel gleich. Wie sind aber die gewonne- nen und verlorenen Cents auf die Spieler verteilt? 1/6 4/6 1/6 (1,2) (1,2) 2/6 1/6 = 2/36 (1,3) (1,3) 1/6 1/6 = 1/36 (1,5) (1,5) 3/6 1/6 = 3/36 (4,2) (4,2) 2/6 4/6 = 8/36 (4,3) (4,3) 1/6 4/6 = 4/36 (4,5) (4,5) 3/6 4/6 = 12/36 (6,2) (6,2) 2/6 1/6 = 2/36 (6,3) (6,3) 1/6 1/6 = 1/36 (6,5) (6,5) 3/6 1/6 = 3/36 18/3618/36 (1,2) (1,2) 2/6 1/6 = 2/36 (1,3) (1,3) 1/6 1/6 = 1/36 (1,5) (1,5) 3/6 1/6 = 3/36 (4,2) (4,2) 2/6 4/6 = 8/36 (4,3) (4,3) 1/6 4/6 = 4/36 (4,5) (4,5) 3/6 4/6 = 12/36 (6,2) (6,2) 2/6 1/6 = 2/36 (6,3) (6,3) 1/6 1/6 = 1/36 (6,5) (6,5) 3/6 1/6 = 3/36 18/3618/36

40 Cassebaum, Stochastik SekII 40 Zufalls- größen Wie sind aber die gewonnenen und verlorenen Cents auf die Spieler verteilt? Welchen Würfel würdest du wählen? Die Zufallsgröße X: ist die Funktion, die jedem Ergebnis i =( z 1,z 2 ) des Zufalls- experimentes ein x i zuordnet. Im Beispiel ist folgendes sinnvoll: X( z 1,z 2 ) = p ({(z1, z2)}) (z 1 - z 2 ) Die Wahrscheinlichkei- ten des Gewinns eines Spieles der gegebenen Aufgabe ist im Pfadmo- dell des 2-stufigen Zu- fallsversuches für beide Würfel gleich, (1,2) (1,2) = -1 2/36=-2/36 (1,3) (1,3) = -2 1/36=-2/36 (1,5) (1,5) = -4 3/36=-12/36 (4,2) (4,2) = 2 8/36=+16/36 (4,3) (4,3) = 1 4/36=+4/36 (4,5) (4,5) = -112/36=-12/36 (6,2) (6,2) = 4 2/36=+8/36 (6,3) (6,3) = 3 1/36=+3/36 (6,5) (6,5) = 1 3/36=+3/ /36 = 1/6 (1,2) (1,2) = -1 2/36=-2/36 (1,3) (1,3) = -2 1/36=-2/36 (1,5) (1,5) = -4 3/36=-12/36 (4,2) (4,2) = 2 8/36=+16/36 (4,3) (4,3) = 1 4/36=+4/36 (4,5) (4,5) = -112/36=-12/36 (6,2) (6,2) = 4 2/36=+8/36 (6,3) (6,3) = 3 1/36=+3/36 (6,5) (6,5) = 1 3/36=+3/ /36 = 1/6 1/6 Der Würfel 1,4,4,4,4,6 ist günstiger. Für große n wird er n/6 Cents nach n Spielen gewinnen.

41 Cassebaum, Stochastik SekII 41 Binomial- verteilung Eine Urne enthält 4 gelbe, 3 grüne und 3 rote Kugeln. Es wird 5-mal je eine Kugel gezogen und zurückgelegt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit P(X=k) werden dabei genau k { 0;…;5 } grüne Kugeln gezogen? Eine Zufallsgröße X, die die Werte 0; 1; …;n mit den Wahr- scheinlichkeiten P(X=k) = b(n; p; k) annimmt, heißt binomial- verteilt mit den Parametern n und poder kurz B n;p -verteilt ( geschrieben: X~B n;p ). Die zugehörige Wahrscheinlichkeits- verteilung nennt man Binomialverteilung mit n und p. Die Wahrscheinlichkeit des Ziehens einer grü- nen Kugel beträgt 3/10 = 0,3. Es sind also für k=0;…;4 die Werte von b(5;0,3;k) zu ermitteln und darzustellen. Zur Wertermittlung sind Tabellen oder ein Taschenrechner geeignet: P(X=0)= 0,1681P(X=1)= 0,3602P(X=2)= 0,3087 P(X=3)= 0,1323P(X=4)= 0,0284P(X=5)= 0,0024 kk P(X=k ) 0,2 0, ,3 0,

42 Cassebaum, Stochastik SekII 42 Erwartungs- wert Wie sind aber die gewonnenen und verlorenen Cents auf die Spieler verteilt? Im Beispiel wird ein zweistufiges Zufallsexperiment für die beiden Würfel durchgeführt. Dem Ergebnis i, z.B. 1 = (1;2) wird der zugehörige Centwert als Zufallsgröße X, z.B. x 1 = 1-2 = -2 zugeordnet. Die Wahrscheinlichkeiten und Zufallsgrößen werden für die Aufgabe zusammengefasst: i i 1;21;31;54;24;34;56;26;36;5 xixixixi x i P( x i ) 2/361/363/368/364/3612/362/361/363/36 E(X) = Der Erwartungswert E(X) = Der Erwartungswert einer endlichen Zufallsgröße X wird mit den Formelzeichen E(X), EX (X), X oder geschrieben. Dieser Wert steht für den Mittelwert der Zufallsgröße X, der mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten P(xi) gewichtet wird. E(X) = -2/36-2/36-12/36+16/36+4/36-12/36+8/36+3/36+3/36 = + 1/6 Dieser Wert zeigt, daß über eine längere Spielfolge der Spieler mit dem 1/4/6-Würfel im Mittel pro Spiel 1/6 Cent gewinnt. Das Spiel ist also nicht fair. einer endlichen Zufallsgröße X wird mit den Formelzeichen E(X), EX (X), X oder geschrieben. Dieser Wert steht für den Mittelwert der Zufallsgröße X, der mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten P(xi) gewichtet wird. E(X) = -2/36-2/36-12/36+16/36+4/36-12/36+8/36+3/36+3/36 = + 1/6 Dieser Wert zeigt, daß über eine längere Spielfolge der Spieler mit dem 1/4/6-Würfel im Mittel pro Spiel 1/6 Cent gewinnt. Das Spiel ist also nicht fair.

43 Cassebaum, Stochastik SekII 43 Streuung oder Varianz Zufallsgrößen können sich trotz gleichem Erwartungswert erheb- lich unterscheiden, sie sind anders gestreut. xixixixi 123 x i P( x i ) 1/3 E(X) = 1/3+2/3+3/3 = 2 E(X) = 1/3+2/3+3/3 = 2 Der praktische Unterschied besteht in der Abweichung der zu erwartenden Zufallsgrößen von ihrem Erwartungswert. Als Maß für diese Abweichung benutzt man die mittlere quadratische Abweichung, die Streuung ² oder Varianz V(X) genannt wird. V(X) = (x1-E(X))² p1+(x2-E(X))² p2+…+(xn-E(X))² pn a)V(X) = (1-2)²1/3+ (2-2)²1/3+ (3-2)²1/3 = 1/3+1/3 = 2/3 = 0,666 b)V(X) = (1-2)²0,1+ (2-2)²0,8+ (3-2)²0,1 = 0,1+0,1 = 0,2 c)V(X) = (1-2)²0,4+ (2-2)²0,2+ (3-2)²0,4 = 0,4+0,4 = 0,8 Die Quadratwurzel aus der Streuung wird Standardabweichung oder DX oder (X) genannt. Sie entspricht besser der tatsächlichen mittleren Abweichung der Zufallsgrößen vom Erwartungswert. Der praktische Unterschied besteht in der Abweichung der zu erwartenden Zufallsgrößen von ihrem Erwartungswert. Als Maß für diese Abweichung benutzt man die mittlere quadratische Abweichung, die Streuung ² oder Varianz V(X) genannt wird. V(X) = (x1-E(X))² p1+(x2-E(X))² p2+…+(xn-E(X))² pn a)V(X) = (1-2)²1/3+ (2-2)²1/3+ (3-2)²1/3 = 1/3+1/3 = 2/3 = 0,666 b)V(X) = (1-2)²0,1+ (2-2)²0,8+ (3-2)²0,1 = 0,1+0,1 = 0,2 c)V(X) = (1-2)²0,4+ (2-2)²0,2+ (3-2)²0,4 = 0,4+0,4 = 0,8 Die Quadratwurzel aus der Streuung wird Standardabweichung oder DX oder (X) genannt. Sie entspricht besser der tatsächlichen mittleren Abweichung der Zufallsgrößen vom Erwartungswert. xixixixi 123 x i P( x i ) 0,10,80,1 E(X) = 0,1+1,6+0,3 = 2 E(X) = 0,1+1,6+0,3 = 2 xixixixi 123 x i P( x i ) 0,40,20,4 E(X) = 0,4+0,4+1,2 = 2 E(X) = 0,4+0,4+1,2 = 2 a) b) c)

44 Cassebaum, Stochastik SekII 44 C++ und die Binomial- verteilung Berechnung von B(n,p) für k=0,…,n Anzahl Zufallswerte n = 4 Wahrscheinlichkeit p = 0.3 B(4,0.3)(X=0) = B(4,0.3)(X=1) = B(4,0.3)(X=2) = B(4,0.3)(X=3) = B(4,0.3)(X=4) = Nochmal? [j/n] : _ Berechnung von B(n,p) für k=0,…,n Anzahl Zufallswerte n = 4 Wahrscheinlichkeit p = 0.3 B(4,0.3)(X=0) = B(4,0.3)(X=1) = B(4,0.3)(X=2) = B(4,0.3)(X=3) = B(4,0.3)(X=4) = Nochmal? [j/n] : _ Das dargestellte kleine C++- Programm ermöglicht die Be- rechnung beliebiger Wertfolgen zur Binomialverteilung. kk P(X=k ) 0,2 0, ,3 0,


Herunterladen ppt "Cassebaum, Stochastik SekII 1 P(X=k ) 0,2 0,1 2244 0,3 6688 00 StochastikStochastik Thomas Cassebaum Permutationen Binomialkoeffizient Binomischer Lehrsatz."

Ähnliche Präsentationen


Google-Anzeigen