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Dahn 2009 Offener Unterricht und Lehrerausbildung StD Hürter Fachleiter Mathematik Studienseminar für das Lehramt an Gymnasien Kaiserslautern.

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1 Dahn 2009 Offener Unterricht und Lehrerausbildung StD Hürter Fachleiter Mathematik Studienseminar für das Lehramt an Gymnasien Kaiserslautern

2 HH 2 Offener Unterricht : Möglichkeiten und Schwierigkeiten (in einer Lehrprobe und im Alltag)

3 HH 3

4 4

5 5

6 6

7 7 Offener Unterricht Merkmale offenen Unterrichts: Organisatorisch Schüler bestimmen Zeit, Raum und Partner der Bearbeitung mit Ermöglichung von Einzel-, Partner-, und Gruppenarbeit Methodisch Schüler bestimmen Medien und Methoden der Bearbeitung mit Methodenvielfalt Betonung von experimentellem, entdeckendem, kreativen Lernen Inhaltlich Schüler bestimmen Thema und Gegenstand der Bearbeitung mit Reihenfolge der Bearbeitung ist nicht fest Sozial und Persönlich Schüler bestimmen Regeln der Bearbeitung und Werte mit

8 HH 8 Der Lehrer bestimmt Thema, Lernort, Lernzeit, Methoden, …

9 HH 9 Schüler bestimmen Thema und Partner Schüler bestimmen Lernort und Medien

10 HH 10 Offener Unterricht im Alltag und in Lehrproben Ziel: Statt eines Plädoyers für offene Formen will ich am Beispiel einer Unterrichtsstunde die ich vor kurzem in als Lehrprobe gesehen habe auf viele kleine Gelegenheiten einer Unterrichtsgestaltung zur Diskussion stellen, die sich unter dem Oberbegriff Öffnung subsumieren lassen.

11 HH 11 Mögliche Themen heute Eine Lehrprobenstunde: Es wird die Planung von Lehrprobenstunden an einem Beispiel aufgezeigt, um Alternativen zur vorhandenen Planung unter dem Aspekt der Öffnung zu reflektieren und zu diskutieren. Variation nach Schupp: Die Methode Aufgabenvariation im Mathematikunterricht wird an einem Beispiel erläutert und diskutiert. Computereinsatz: Nach Wahl können einige Dateien (Dynageo, Tabellenkalkulation, Präsentationssoftware, …) präsentiert und diskutiert werden.

12 HH 12 Beispiel: Extremwertaufgabe Klasse 11 (LK) Lehrprobenstunde: Einstiegsfolie

13 HH 13 Beispiel: Extremwertaufgabe Klasse 11 Verlaufsplan Hinweise auf Öffnungsmöglichkeiten

14 HH 14 Beispiel: Extremwertaufgabe Klasse 11 Lehrprobenstunde: Arbeitsauftrag auf dem Arbeitsblatt

15 HH 15 Beispiel: Extremwertaufgabe Klasse 11 Lehrprobenstunde: Hilfen

16 HH 16 Beispiel: Extremwertaufgabe Klasse 11 Wo gibt es Möglichkeiten der Öffnung? Alternativen zur Problemauswahl Vorstellen verschiedener Probleme (eventuell schon in der vorangegangenen Stunde) Auswahl des zu bearbeitenden Problems durch die Schüler (nach Neigung) oder durch den Lehrer Die oben vorgestellte Methode findet je nach Schulbuch mehr oder weniger Unterstützung. Cornelsen blaue Reihe verwendet Aufträge (folgende Folie). Andere Präsentation und Bearbeitung des gegebenen Problems wird im folgenden auch genauer untersucht.

17 HH 17 Extremwertaufgaben: Aufträge

18 HH 18 Beispiel: Extremwertaufgabe Klasse 11 Wo gibt es Möglichkeiten der Öffnung? Problemgrund: Im Unterricht wurde zu der abgebildeten Situation eine Geschichte vorgelesen. Ich erzähle euch mal eine Geschichte. … Schaut mal. Wer erfindet eine Geschichte zu der Abbildung. Alternativen: --- Stiller Impuls ---

19 HH 19 Beispiel: Extremwertaufgabe Klasse 11 Wo gibt es Möglichkeiten der Öffnung? Problemfindung und Problemerkenntnis: Im Unterricht wurde nach kurzem Warten der kürzeste Weg als Lösung vorgeschlagen. Der Lehrer lies ihn einzeichnen und fragte: Warum ist das der kürzeste Weg? Danach wurde kurz über die vorliegenden Geschwindigkeiten diskutiert. Die Schüler vermuteten an Land 4m/s bis 8m/s. Der Lehrer teilte mit: Die gehen von 10m/s und 2m/s aus. Diskussion über mögliche Wege ohne Kommentar weiter laufen lassen. Geschwindigkeiten nach Wahl der Schüler übernehmen. Dies ermöglicht eher eine anschließende Diskussion und Variation. Alternativen: Computereinsatz: Recherchieren von Geschwindigkeiten (falls nötig)

20 HH 20 Beispiel: Extremwertaufgabe Klasse 11 Wo gibt es Möglichkeiten der Öffnung? Überlegungen zur Problemlösung: Wird die Gradlinigkeit der Bewegung problematisiert? Alternativen und Fragen: Wird die Konstanz der Geschwindigkeit problematisiert? Soll man Beispiele rechnen lassen für die Schülervorschläge: Direkter Weg, Abbiegen nach 25m, Abbiegen nach 50m (schlechter Schwimmer bleibt so lange wie möglich an Land). Wird eine Koordinatensystem zu Grunde gelegt? Wird die Geschwindigkeit in km/h umgerechnet?

21 HH 21 Beispiel: Extremwertaufgabe Klasse 11 Wo gibt es Möglichkeiten der Öffnung? C F Durchführung der Problemlösung: Alternativen und Fragen: Wird ein Lösungsschema verwendet/vorgegeben? Soll das Arbeitsblatt eine Skizze enthalten? Werden C und die Verbindungsstrecke vorgegeben? Kann C auch links von A oder rechts vom Lotfußpunkt F liegen? Wird die Variable x für AC oder für CF eingeführt? Differenzierung: Welche Hilfen werden auf welche Art gegeben? Frontalunterricht, Einzel-, Partner- oder Gruppenarbeit? Ist Computereinsatz möglich? Kurzer Blick auf Geogebra?Kurzer Blick auf Geogebra?

22 HH 22 Beispiel: Extremwertaufgabe Klasse 11 Wo gibt es Möglichkeiten der Öffnung? C F Größe, die extremal werden soll: Zeit beim Zurücklegen von AC+CB Term für die zu optimierende Größe: Aufstellen von Nebenbedingungen: Öffnen würde bedeuten, beide Alternativen zuzulassen.

23 HH 23 Beispiel: Extremwertaufgabe Klasse 11 Wo gibt es Möglichkeiten der Öffnung? C F Aufstellen einer Funktion für die zu optimierende Größe: Berechnen von Beispielen mit oder ohne Computer. Alternativ:

24 HH 24 Beispiel: Extremwertaufgabe Klasse 11 Wo gibt es Möglichkeiten der Öffnung? C F Notation der Definitionsmenge der Zielfunktion unter Beachtung der Randbedingungen des Problems Alternativen und Fragen:

25 HH 25 Beispiel: Extremwertaufgabe Klasse 11 Wo gibt es Möglichkeiten der Öffnung? C F Durchführung der Problemlösung: Alternativen und Fragen: Wird ein Lösungsschema verwendet/vorgegeben? Soll das Arbeitsblatt eine Skizze enthalten? Werden C und die Verbindungsstrecke vorgegeben? Kann C auch links von A oder rechts vom Lotfußpunkt F liegen? Wird die Variable x für AC oder für CF eingeführt? Differenzierung: Welche Hilfen werden auf welche Art gegeben? Frontalunterricht, Einzel-, Partner- oder Gruppenarbeit? Ist Computereinsatz möglich? Kurzer Blick auf Geogebra?Kurzer Blick auf Geogebra?

26 HH 26 Beispiel: Extremwertaufgabe Klasse 11 Wo gibt es Möglichkeiten der Öffnung? C F Untersuchung der Zielfunktion auf lokale Extremstellen: Notwendige Bedingung Probe in der Ausgangsgleichung zeigt, dass -8,16 keine Lösung ist (man braucht dazu keinen Vergleich mit der Definitionsmenge).

27 HH 27 Beispiel: Extremwertaufgabe Klasse 11 Wo gibt es Möglichkeiten der Öffnung? C F Berechnung der 2. Ableitung … Alternativen und Fragen: Berechnung von t(x+h) und t(x-h) für kleine h (Vorzeichenwechsel) Argumentieren: t(0) ist negativ, t(50) positiv. t hat also einen Vorzeichenwechsel in [0;50]. Da t in [0;50] nur eine Nullstelle hat, muss dieser Vorzeichenwechsel bei dieser Nullstelle vorliegen. Untersuchung der Zielfunktion auf lokale Extremstellen: Hinreichende Bedingung

28 HH 28 Beispiel: Extremwertaufgabe Klasse 11 Wo gibt es Möglichkeiten der Öffnung? C F Untersuchung der Zielfunktion am Rand Für D=[0;50] erhält man t(0)=25 und t(50)32 (s.u.), für D=R muss man das Verhalten von f(x) für x gegen + und - betrachten. Der Grenzwert ist jeweils +. Alternativen je nach Rand

29 HH 29 Beispiel: Extremwertaufgabe Klasse 11 Wo gibt es Möglichkeiten der Öffnung? C F Untersuchung der Zielfunktion auf lokale Extremstellen: Ergebnis Die Funktion hat eine lokale Extremstelle bei x8,16. Es handelt sich um einen Tiefpunkt. Das Minimum ist t(8,16) 24,6 Man macht keinen großen Fehler, wenn man bis F läuft und dann erst ins Wasser geht.

30 HH 30 Beispiel: Extremwertaufgabe Klasse 11 Wo gibt es Möglichkeiten der Öffnung? Sicherung: Präsentation der Ergebnisse, Reflexion der Lösungen Alternativen und Fragen: Wie viele Schüler präsentieren? Wie viele verschiedene Präsentationen werden durchgeführt? Wer moderiert die Präsentation? Wann unterbricht der Lehrer die Präsentation (wenn überhaupt)? Wie wird bei Fehlern reagiert? Welche Möglichkeiten der Vertiefung bieten sich (im Zusammenhang mit der Präsentation)? Welche Möglichkeiten der Vertiefung werden genutzt? Wie werden die präsentierenden Schüler ausgewählt?

31 HH 31 Beispiel: Extremwertaufgabe Klasse 11 Wo gibt es Möglichkeiten der Öffnung? Möglichkeiten zur Vertiefung: Alternativen : Geringfügig ändern: Variation der Geschwindigkeitsparameter Ersetzen von Bedingungen: Statt Minimum wird Maximum gesucht … Verallgemeinern: Lösung mit Geschwindigkeiten v L =u und v W =w A vom Ufer wegbewegen Spezialisieren (Hinzufügen von Bedingungen): v L =v W, v L =2v W … Grenzfälle betrachten: v L =v W … Vergleichen: Vergleich von Lösungswegen mit x und 50-x Umorientieren/Ziel ändern: Möglichst wenig nass werden Gibt es u und v, so dass kein Minimum existiert? Kontext ändern: Lichtstrahl in zwei Medien … (Schupp nennt insgesamt 24 Möglichkeiten; Hans Schupp: Thema mit Variationen, franzbecker Verlag 2002)

32 HH 32 Beispiel: Extremwertaufgabe Klasse 11 Wo gibt es Möglichkeiten der Öffnung? Erhält jeder Schüler alle Hilfen sofort oder bei Bedarf? Welche Hilfen sind wirklich notwendig? Wo werden die Hilfen ausgelegt? Inhaltlich könnte man die Hilfen reduzieren (keine Nummern, nur Formeln, …) Statt Hilfen könnte man auch Lösungskontrollen zur Verfügung stellen.

33 HH 33 Teil 2 Aufgabenvariation im Mathematikunterricht

34 HH 34 Variationen nach Schupp Vorgehensweise im Unterricht Vorgabe der Einstiegsaufgabe, z.B. auf einem Arbeitsblatt Schüler bearbeiten und lösen diese Aufgabe in Einzel- oder Partnerarbeit, möglicherweise auf verschiedene Art. Besprechung der Lösungen der ersten Aufgabe, z.B. an der Tafel, möglicherweise alternative Lösungswege Schüler werden zum Variieren der Einstiegsaufgabe aufgefordert (eventuell kennen sie dazu schon Regeln) und erfinden veränderte Aufgaben in Einzel- oder Partnerarbeit Die Vorschläge der Schüler werden (z.B. mit Hilfe der Tafel) aufgegriffen, bewertet, strukturiert, geordnet und ausgewählt (z.B. im Unterrichtsgespräch). Gemeinsam ausgewählte Aufgabenvorschläge werden gelöst. Die Lösungen der variierten Aufgaben werden vorgestellt. 1 2

35 HH 35 Beispiel: Auftrag

36 HH 36 Beispiel: Ergebnisse

37 HH 37 Beispiel: Ergebnisse

38 HH 38 Beispiel: Ergebnisse

39 HH 39 Beispiel: Ergebnisse

40 HH 40 Beispiel: Ergebnisse

41 HH 41 Beispiel: Ergebnisse

42 HH 42 Beispiel: Ergebnisse

43 HH 43 Bei Interesse: Computereinsatz zum Entdeckenden Lernen:

44 HH 44 Sechs kleine Dateien zum Thema Winkelsumme im Dreieck, als Versuch entdeckenden Lernens Sechs kleine Dateien zum Thema Winkelsumme im Dreieck, als Versuch entdeckenden Lernens Dazu passend: Arbeitsblätter zu Winkeln in Klasse 7Arbeitsblätter zu Winkeln in Klasse 7 Weniger offen, bei den Schülern aber extrem beliebt: Kleine Powerpointpräsentationen Weniger offen, bei den Schülern aber extrem beliebt: Kleine Powerpointpräsentationen Dazu passend: Arbeitsblätter zur Multiplikation von Brüchen: Teilweise offenArbeitsblätter zur Multiplikation von Brüchen Zu guter Letzt: Doch noch ein Lernzirkel (Lernzirkel zur Addition von Brüchen)Lernzirkel zur Addition von Brüchen


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