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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 16.11.2006 Stetige Zufallsgrößen Darstellung durch Dichtefunktion f.

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Präsentation zum Thema: "Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 16.11.2006 Stetige Zufallsgrößen Darstellung durch Dichtefunktion f."—  Präsentation transkript:

1 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Stetige Zufallsgrößen Darstellung durch Dichtefunktion f

2 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin : Verteilungsfunktion stetiger Zufallsgrößen b

3 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Erwartungswert und Varianz stetiger Zufallsgrößen Ist stetig mit Dichtefunktion, so definiert man:

4 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Erwartungswert von linear transformierten Zufallsgrößen Für eine Zufallsvariable X gilt (mit beliebigen Konstanten a und b):

5 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Eine stetige Zufallsvariable X heißt normalverteilt mit den Parametern, kurz X~N, falls sie die folgende Dichtefunktion besitzt: Erwartungswert Varianz Normalverteilung: Definition

6 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Normalverteilung Beschreibung: Glockenkurve

7 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Anwendung der Normalverteilung Die Normalverteilung dient als Verteilungsmodell in vielen praktischen Fragestellungen, z.B. bei Metrische Größen einer Population Summen und Durchschnitte von Zufallsgrößen Natürliche Variabilität Messfehler

8 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin

9 Schwankungsbereiche der Normalverteilung

10 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Beispiel zur Normalverteilung Bei 250 Katzen wurde der Creatinwert im Blut gemessen: Studie: Judit Zapirain Gastón et al. Prävalenzen des felinen Herpesvirus-1 felinen Calicivirus und von Chlamydophila felis in Mehrkatzenhaushalten

11 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Quantile der Normalverteilung: Beispiel Beispiel: Fehler bei Messung P (X > 20) P (5 < X < 20) P (-2 < X < 15) Es sei X eine normalverteilte Zufallsvariable mit =10 und =25. Bestimmen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten:

12 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin i.i.d. Zufallsgrößen seien unabhängig und identisch verteilt. Man schreibt auch dafür: i.i.d. steht für independent and identically distributed. Ist und, so gilt:

13 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Grenzwertsätze Gesetz der großen Zahlen: Ist der Erwartungswert einer ZG X, so liegt das der Mittelwert mit wachsendem n nahe bei Zentraler Grenzwertsatz: ist für große n annähernd normalverteilt. Bei einer Stichprobenziehung werden n Personen gefragt oder n unabhängige Experimente durchgeführt. Man ordnet jedem Versuch eine Zufallsgröße X n zu. Die n Zufallsgrößen sind dann i.i.d. Von Interesse ist dann u.a. die Verteilung des Stichprobenmittels

14 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Diskrete Wahrscheinlichkeitsmodelle Wahrscheinlichkeitsfunktion Poisson-Verteilung: Zählen seltener Ereignisse Beispiele: Zahl der Fischvergiftungen pro Zeiteinheit Zahl der Spontantumoren pro Zeiteinheit historisch: Zahl der Todesfälle durch Hufschlag pro Jahr und Regiment

15 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Beispiel für Possion-Verteilung Wahrscheinlichkeitsfunktion

16 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Lebensdauerverteilungen Beispiel: Lebensdauern Exponentialverteilung

17 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Zusammenfassung: Verteilungen Wahrscheinlichkeitsmodelle dienen dazu, bestimmte (unsichere) Phänomene zu charakterisieren. Das Wahrscheinlichkeitsmodell ist abhängig von der zu charakterisierenden Größe. In der Literatur gibt es eine Vielzahl solcher Verteilungen. Man unterscheidet diskrete und stetige Verteilungen (Wahrscheinlichkeitsmodelle). Wichtige Kennzahlen von Verteilungen sind Erwartungswert und Varianz. Verteilungen haben meist Parameter, die durch das Problem gegeben sind, oder aus Daten geschätzt werden.

18 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Statistische Erhebungen Befragungen z.B. Befragung der Landwirte über das Verhalten der Tiere im Stall Experimente z.B. Versuch, welches Arzneimittel am besten zur Heilung führt Beobachtungen Auftreten einer Krankheit Erhebungen zu Tieren in einer Tierklinik Bei der Erhebung von Daten unterscheidet man:

19 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Unterscheidungseinheiten / statistische Einheit / Merkmalsträger Einzelne Tiere Einzelne Herden Einzelne Landwirte Haushalte Individuen, die einer Erhebung zugrunde liegen Beispiele:

20 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Merkmale (Variablen) Eigenschaften Untersuchungseinheiten z.B. Krankheitsstatus Blutparameter Geschlecht Anzahl der Kühe (bei Untersuchungseinheit Landwirt) Merkmalsausprägungen mögliche Werte des Merkmals Messergebnisse / positive Zahlen krank / gesund

21 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Charakterisierung von Merkmalen quantitative Merkmale unterscheiden sich durch ihre Größe Alter, Gewicht, Milchleistung, Temperatur, Anzahl Keime, Schadstoffgehalt, … qualitative Merkmale unterscheiden sich durch ihre Art Geschlecht, Namen, Rassen, Haltungsform

22 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Merkmalswerte Die gemessenen, erfragten oder beobachteten Ausprägungen des Untersuchungsmerkmals sind die Merkmalswerte. Sie stellen die Daten der Erhebung dar. Wiederkauverhalten: z.B. in Stunden pro Tag Arzneimittel: Dosis 1, Dosis 2, Dosis 0 (Placebo) Befund: gesund, fraglich, erkrankt Keimzahlen: Anzahl in 1000

23 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Skalen Metrische Skala: Die Werte unterliegen einer Rangfolge und die Abstände zwischen den Werten der Skala lassen sich interpretieren. Gewicht, Keimzahlen, Schadstoffmessung Ordinalskala: Die Werte unterliegen einer Rangfolge, aber die Ab- stände zwischen den Werten der Skala lassen sich nicht interpretieren. Bewertung (Noten), Gesundheitszustand Nominalskala: Die Werte unterliegen keiner Rangfolge und sind nicht Vergleichbar Geschlecht, Rasse, Haltungsform

24 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Deskriptive Statistik Ziel: Beschreibung von Daten mit möglichst geringem Informationsverlust Eigenschaften und Strukturen sichtbar machen Graphisch und durch Kennwerte Eindimensional und mehrdimensional Zunächst keine Schlüsse auf die Grundgesamtheit

25 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Rohdaten und Datenmatrix Die Daten liegen in der Regel als Datenmatrix vor: Zeilen entsprechen Untersuchungseinheiten Spalten entsprechen Merkmalen Elemente der Matrix sind die Merkmalsausprägungen Fragen mit Mehrfachnennungen als Einzelne binäre Merkmale definieren Hinweise zur Eingabe unter:

26 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Beispiel: Daten zu Mastenten (Ausschnitt) - Ändern -

27 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Eindimensionale Statistische Kennwerte Lagemaßzahlen Wo liegt die Masse der Daten? Wo liegt die Mehrzahl der Daten? Wo liegt die Mitte der Daten? Welche Mehrmalsausprägung ist typisch für die Häufigkeitsverteilung?

28 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Statistische Kennwerte Über welchen Bereich erstrecken sich die Daten? Wie groß ist die Schwankung der Ausprägungen?

29 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Eindimensionale Häufigkeitsverteilung

30 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Der Modus Eigenschaften: oft nicht eindeutig nur bei gruppierten Daten oder bei Merkmalen mit wenigen Ausprägungen sinnvoll stabil bei allen eindeutigen Transformationen geeignet für alle Skalenniveaus Definition: Häufigster Wert

31 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Beispiel Modus Modus = 4

32 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Der Median 50% der Daten sind kleiner oder gleich med 50% der Daten sind größer oder gleich med med = sind geordnete Werte Definition: Wert für den gilt

33 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Eigenschaften des Median anschaulich stabil gegenüber monotonen Transformationen geeignet für ordinale Daten stabil gegenüber Ausreißern

34 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Beispiel Median

35 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Das Quantil (Perzentil) Anteil p der Daten sind kleiner oder gleich x p Anteil 1-p der Daten sind größer oder gleich x p Definition: Wert für den gilt

36 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Fünf-Punkte Zusammenfassung Minimum, 25%-Quantil, Median,75%-Quantil,Maximum

37 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Der Mittelwert (arithmetisches Mittel) bekanntestes Lagemaß instabil gegen extreme Werte geeignet für Intervallskalierte Daten

38 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Beispiel Mittelwert


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