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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 26.10.2006 Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlich wird morgen die Sonne scheinen Die Chancen, dass.

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Präsentation zum Thema: "Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 26.10.2006 Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlich wird morgen die Sonne scheinen Die Chancen, dass."—  Präsentation transkript:

1 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlich wird morgen die Sonne scheinen Die Chancen, dass ich die Klausur bestehe, sind 50:50 Das jährliche Risiko, durch einen Blitzschlag zu sterben, beträgt 1:10 Millionen Struktur: Wahrscheinlichkeitsaussagen beziehen sich auf Ereignisse, deren Eintreten unbekannt ist.

2 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Die Wahrscheinlichkeit nach Laplace Laplace ( ): Zahl der günstigen Fälle Zahl aller (gleich) möglichen Fälle Beispiel: P(Es wird eine 6 gewürfelt) = 1/6 P(Es wir eine gerade Zahl gewürfelt) = 3/6

3 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Laplace-Wahrscheinlichkeit (2) Problem: P(Morgen scheint die Sonne) Möglichkeiten = {Sonne, Regen, bewölkt} P(Sonne) = 1/3 ???? Definition ist zyklisch (gleich) möglich = gleich wahrscheinlich

4 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Frequentistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff R. von Mises ( ) Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die langfristige relative Häufigkeit seines Auftretens n A : Anzahl der Erfolge n : Anzahl der Versuche

5 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Frequentistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff Probleme: Einmalige Ereignisse Grenzwertdefinition Experimentdurchführung

6 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Subjektivistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff Laplace, Ramsey, de Finetti: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist der Grad der Überzeugung, mit der ein Beobachter aufgrund eines bestimmten Informationsstandes an das Eintreten eines Ereignisses glaubt Beispiele: Münzwurf: Einsatz auf Zahl bis zu 0,50 sinnvoll Würfel: Einsatz bis zu 1/3 auf 5 oder 6 P(A) ist der Wetteinsatz () in, die eine Person höchstens einzugehen bereit ist, falls er bei Eintreten von A 1 gewinnt.

7 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Subjektivistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff Probleme: Subjektiv = Unwissenschaftlich ? Wettdefinition Informationsstand

8 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Axiomatische Einführung der Wahrscheinlichkeitsrechnung Kolmogorov (1933): Wahrscheinlichkeit ist Funktion, die gewissen Regeln, den sog. Kolmogorovschen Axiomen genügt Grundlage bildet das Zufallsexperiment: Vorgang, der genau ein Ergebnis liefert, das nicht deterministisch bestimmt ist. Menge der Ergebnisse:

9 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Zufallsexperimente Experiment Ergebnismenge Würfelwurf1, 2, 3, 4, 5, 6 MünzwurfKopf, Zahl Diagnosetestpositiv, negativ Blutwertalles positive Zahlen EKG-Parameter alle positiven Zahlenpaare (0, ) x (0, )

10 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Ereignisse Ereignisse sind Teilmengen von Beispiele: 1.gerade Zahl = {2,4,6} 1 oder 2 = {1,2} 2.Kopf = {K} 3.Blutwert > 90 (90, ) 4.Beide EKG-Werte >10 {(x, y)|x >10, y >10} Ereignissen sollen Wahrscheinlichkeiten zugeordnet werden. Wir bezeichnen Ereignisse mit A,B,C...

11 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Ereignisoperationen A B : Vereinigung = A oder B B Durchschnitt = A und B A C omplement = Nicht A eispiel: = {1,2,3,4,5,6} A = {2,4,6} gerade B = {4,5,6} groß A B = {2,4,5,6} groß oder gerade A B = {4,6} gerade und groß A C = {1,3,5} ungerade

12 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Axiome von Kolmogorov mit Ereignissen A,B,C... Eine Wahrscheinlichkeit P hat folgende Eigenschaften 1.0 P(A) für alle EreignissePositivität 2.P(A P(A) + P(B) für disjunkte EreignisseAdditivität 3.P( Normiertheit Beispiel: Laplace-Wahrscheinlichkeit für Würfel: P({1,2,3,4,5,6}) = 6/6 = 1 P({1,2} P({1,2}) + P({3,4}) Positivität ist offensichtlich

13 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Axiome und Wahrscheinlichkeitsbegriff Die Laplace-Wahrscheinlichkeit und die frequentistische Wahrscheinlichkeit erfüllen die Axiome. Auch von den subjektiven Wahrscheinlichkeiten ist die Forderung der Erfüllung der Axiome sinnvoll.

14 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Wichtige Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten Gegenereignis: P(A C ) = 1- P(A) Additionssatz : P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) eispiel A = {2,4,6} gerade B = {4,5,6} groß A B = {2,4,5,6} groß oder gerade A B = {4,6} groß und gerade P(A B ) = 4/6 P(A) + P(B) - P(A B) = 3/6+3/6-2/6

15 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Beispiel zur bedingten Wahrscheinlichkeit: Herzoperation im Krankenhaus Überleben der Operation Frage: In welchem Krankenhaus würden Sie sich behandeln lassen?

16 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Schwere der behandelten Fälle Frage: Bleiben Sie bei Ihrer Entscheidung?

17 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Überleben der Operation aufgeteilt nach der Schwere der behandelten Fälle

18 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit In dem Beispiel betrachten wir das Risiko gegeben schwerer Fall: Das Risiko wird berechnet durch Allgemein definieren wir die Wahrscheinlichkeit von Ereignis B gegeben A

19 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Im Beispiel B: nicht Überleben A: Schwerer Fall Krankenhaus U Krankenhaus K

20 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Beispiel: Würfeln = {1,2,3,4,5,6} A = {2,4,6} gerade B = {4,5,6} groß P(A) = 3/6 P(A B) = 2/6 P(B|A) = (2/6)/(3/6) =2/3 Interpretation: Wenn bekannt ist, daß die gewürfelte Zahl gerade ist, steigt die Wahrscheinlichkeit für groß auf 2/3.

21 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Beispiel: Test 1000 Tiere werden getestet 600 Männlich, davon 450 positiv 400 Weiblich, davon 300 positiv 1 Tier Interpretation: Die Ereignisse Männlich und Positiv sind unabhängig P(M) = 0.6 P(W) = 0.4 P(Pos) = 0.75 P(M Pos) = 0.45 P(Pos|M) = 0.45/0.6 = 0.75 P(M|Pos) = 0.45/0.75 = 0.6

22 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Definition stochastische Unabhängigkeit Zwei Ereignisse A und B heißen unabhängig, falls gilt:

23 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Beispiel: mehrmaliges Würfeln Annahme: Zwei Würfel fallen voneinander unabhängig P(keine 6) = P(1. Würfel keine 6 und 2. Würfel keine 6) = P(1. Würfel keine 6)* P(2. Würfel keine 6) = 5/6* 5/6 = 25/36 Mit der Regel für das Gegenereignis ergibt sich: P(mindestens eine 6) = 1- 25/36 = 11/36

24 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Fehlklassifikation Ein diagnostischer Schnelltest T prüft, ob ein Symptom vorliegt oder nicht. Anhand eines Standardverfahrens K kann mit großem Aufwand der Nachweis zweifelsfrei erbracht werden. Diagnose Test T Wahrheit (goldener Standard K) positiv (=1) negativ (=0) positiv (=1) negativ (=0) richtig falsch positiv falsch negativ richtig

25 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Fehlspezifikationswahrscheinlichkeiten (bedingte) Klassifikationswahrscheinlichkeiten Diagnose: Klassifikation wahrer Status positiv negativ positiv negativ Sensitivität Empfindlichkeit P(T+|K+) Spezifität Treffsicherheit P(T-|K-)

26 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Goldener Standard Ist ein Goldener Standard als Definition der Wahrheit bekannt, so können die Diagnosewahrscheinlichkeiten aus einer Stichprobe geschätzt werden. Diagnose: Klassifikation Goldener Standard positiv (=1) negativ (=0) positiv (=1) negativ (=0) n(+|+) n(+|-) n(-|+) n(-|-)

27 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Schätzung von Sensitivität und Spezifität Schätzer für Sensitivität: Schätzer für Spezifität:

28 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Schätzung von Sensitivität und Spezifität Goldener Standard: Beispiel Test wahrer Befund positiv negativ positiv negativ Bei 500 wahr positiven und 300 wahr negativen Proben wird ein neues Testsystem validiert Schätzer für Sensitivität: Schätzer für Spezifität:


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