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Grundbegriffe der Schulgeometrie SS 2008 Teil 7 (M. Hartmann) Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik.

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Präsentation zum Thema: "Grundbegriffe der Schulgeometrie SS 2008 Teil 7 (M. Hartmann) Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik."—  Präsentation transkript:

1 Grundbegriffe der Schulgeometrie SS 2008 Teil 7 (M. Hartmann) Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik

2 Ikonische Repräsentation Hauptziele: –Festhalten der Erfahrungen –Auswahl eines prägnanten Prototypen für mentales Modell Bei der ikonischen Darstellung ist darauf zu achten, dass –Wesentliches hervorgehoben wird (z.B. Farbe, Strichdicke…) –der Prototyp keinen Spezialfall darstellt –der Zusammenhang mit der vorangegangenen Handlung deutlich gemacht wird

3 Symbolische bzw. textliche Repräsentation Hauptziele: –Während der Handlungen (vor allem sprachlich): Klärung der noch undeutlichen Ideen Kommunikation der Entdeckungen Kommunikationstraining –zwar noch unscharfes aber dennoch verständliches Beschreiben –Verwenden eigener Bezeichnungen –Abschließend (als gespr. und geschr.Text): Ergänzen der ikonischen Repräsentation durch Texte –um Sachverhalte »allgemeingültig sowie »leicht kommunizierbar zu repräsentieren –zur Unterstützung des Memorierens (Vernetzung mit mentalem Modell) Training exakten Formulierens –Weiterführend (vor allem symbolisch): Möglichkeit einer abstrakten Weiterverarbeitung (z.B. als Formeln)

4 Bei der zusammenfassenden Formulierung durch den Lehrer bzw. der abschließenden textlichen Darstellung ist darauf zu achten, dass –knapp aber unmissverständlich formuliert wird (Literaturhinweis: Schulz v. Thun und Götz, Mathematik verständlich erklären, München 1976) –der Text in engem Bezug zu der ikonischen Darstellung steht (Aufgreifen von Bezeichnungen und Farben, räumliche Nähe…) –Achtung!!! Derartige Texte gelingen nicht spontan. Sie erfordern stets intensive Vorbereitung Bsp.: Außenwinkelsatz

5 Bsp.: Repräsentationen des geraden Drachens Enaktiv –Das Ausschneiden eines Drachen ist eine Handlung, deren Ergebnis zwar den geometrischen Begriff repräsentiert, die selbst aber in keinem Bezug zu den Eigenschaften desselben steht! (Inadäquate Repräsentation!) –Das Ausschneiden durch zwei Schnitte aus einem gefalteten Papier hingegen steht in direktem Bezug zu seiner Symmetrie –Das Operieren mit einem entspr. Gelenkviereck bzw. das Zusammenlegen zweier Paare jeweils gleichlanger Stifte steht ebenfalls in direktem Bezug zu seinen Eigenschaften. Beim Variieren der Winkel können zusätzliche Zusammenhänge bzw. Invarianten erkannt werden (Operatives Prinzip) –…–… Ikonisch –Inadäquate Repräsentation:… –Adäquate Repräsentationen:… Symbolisch –Text 1: Bei einem Drachen gilt a=b und c=d. (ungünstig, da Bezeichnungen ohne beschriftetes Bild nicht zwingend) –Text 2: Ein Drache setzt sich aus zwei Paaren jeweils gleichlanger Nachbarseiten zusammen. (günstig, da unabhängig von speziellen Bezeichnungen) –…–…

6 Die Sprache als zentrale Repräsentationsform oder Wie können Inhalte verständlich erklärt werden? Hamburger Verständlichkeitskonzept

7 Vorbemerkung Mathematik gilt als schwer zu begreifen Als guter Lehrer gilt, wer gut erklären kann Was aber macht eine gute Erklärung aus? Kann man gutes Erklären schulen? Hamburger Verständlichkeitskonzept

8 An welcher Stelle im Unterricht? Lehrervortrag Ergänzende Texte zu Lehrervortrag Tafelanschrift Gestaltung von Texten für Gruppenarbeit Gestaltung von Texten für Arbeitsblätter Hamburger Verständlichkeitskonzept

9 Aspekte guten Erklärens Inhalt des Textes Fachdidaktik Medienpsychologische Aspekte Stimmliche Gestaltung Gestaltung des Textes Verständlichkeitskonzept Atmosphäre Anpassung an Adressaten Hamburger Verständlichkeitskonzept

10 Das Hamburger Verständlichkeitskonzept Empirisch überprüftes Konzept zur Gestaltung verständlicher Texte ErfolgreichesTrainingsprogramm In verschiedenen Bereichen angewandt Hamburger Verständlichkeitskonzept

11 Was haben sie herausgefunden? Manche Texte wurden gut, andere schlecht verstanden Unabhängig vom Inhalt konnten 4 Hauptmerkmale (Dimensionen) als wesentlich identifiziert werden Jedes dieser Merkmale ist messbar Hamburger Verständlichkeitskonzept

12 Die vier Dimensionen der Verständlichkeit Einfachheit Gliederung-Ordnung Kürze-Prägnanz Zusätzliche Stimulanz Hamburger Verständlichkeitskonzept

13 Dimension: Einfachheit einfache Darstellungkomplizierte Darstellung kurze, einfache Sätzelange verschachtelte Sätze geläufige Wörterungeläufige Wörter Fachwörter erklärtFachwörter nicht erklärt konkretabstrakt anschaulichunanschaulich +++o--- optimal Hamburger Verständlichkeitskonzept

14 Dimension: Gliederung-Ordnung Formal gegliedertFormal ungegliedert folgerichtigzusammenhanglos, wirr gute Unterscheidung von Wesentlichem und Unwesentlichem schlechte Unterscheidung von Wesentlichem und Unwesentlichem der rote Faden bleibt sichtbar man verliert oft den roten Faden alles kommt der Reihe nach alles geht durcheinander +++o--- optimal Hamburger Verständlichkeitskonzept

15 Dimension: Kürze-Prägnanz zu kurz zu lang aufs Wesentliche beschränkt viel Unwesentliches gedrängt breit aufs Lehrziel konzentriert abschweifend knapp ausführlich jedes Wort ist notwendig vieles hätte man weglassen können +++o--- fast nur Formeln sehr viel alltagssprachlicher Text optimal Hamburger Verständlichkeitskonzept

16 Dimension: Zusätzliche Stimulanz Zum Mitdenken anregendKeine Anregungen zum Mitdenken lebendignüchtern interessantfarblos abwechslungsreichGleichbleibend neutral persönlichunpersönlich +++o--- optimal Hamburger Verständlichkeitskonzept

17 Optimalwerte in Übersicht EinfachheitGliederung-Ordnung Kürze-Prägnanz Zusätzliche Stimulanz ++ + o -+ o Hamburger Verständlichkeitskonzept

18 Textbeispiel A Vergleicht man zwei Strecken a und b hinsichtlich ihrer Größe, so kann es vorkommen, dass a in b genau r-mal enthalten ist, wobei r eine ganze Zahl darstellt. In diesem Fall können wir das Maß der Strecke b durch das von a ausdrücken, indem wir sagen, dass die Länge von b das r-fache der Länge von a ist. Oder es kann sich zeigen, dass man, wenn auch kein Vielfaches von a gleich b ist, doch a in, sagen wir, n gleiche Strecken von der Länge a/n teilen kann, so dass ein ganzes Vielfaches m der Strecke a/n gleich b wird: (1) Wenn eine Gleichung der Form (1) besteht, sagen wir, dass die beiden Strecken a und b kommensurabel sind, da sie als gemeinsames Maß die Strecke a/n haben, die n-mal in a und m-mal in b aufgeht. Einfachheit: - Gliederung-Ordnung: o Kürze-Prägnanz: o Zusätzlich Stimulanz: o -+ o Hamburger Verständlichkeitskonzept

19 Textbeispiel B Man sagt: 2 Strecken sind kommensurabel, wenn sie ein gemeinsames Maß haben. Was bedeutet das:ein gemeinsames Maß haben? Angenommen, eine Strecke ist 6cm die andere 10cm lang. Die beiden Strecken sind kommensurabel: Sie haben als gemeinsames Maß 2cm. Es passt in die eine Strecke genau 3mal, in die andere genau 5mal. Auch für zwei Strecken a = 1,6cm und b = 4,31cm existiert ein gemeinsames Maß: z.B. e = 0,01cm. Es steckt 160mal in Strecke a und 431mal in der Strecke b. Zwei Strecken a und b sind also dann kommensurabel, wenn es eine Strecke e gibt, mit der sowohl a als auch b restlos ausgelegt werden können. Geht das nicht immer? Nein! Wir werden zeigen, dass es auch Fälle nichtkommensurabler Strecken gibt. Egal, wie klein dort die Strecke e gewählt wird: es bleibt immer ein Rest! Einfachheit: + Gliederung-Ordnung: + Kürze-Prägnanz: o Zusätzlich Stimulanz: o ++ + o -+ o Hamburger Verständlichkeitskonzept


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