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Komposition von quadratischen Formen Lukasz Dworzecki (Betrachtung nach Hurwitz)

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Präsentation zum Thema: "Komposition von quadratischen Formen Lukasz Dworzecki (Betrachtung nach Hurwitz)"—  Präsentation transkript:

1 Komposition von quadratischen Formen Lukasz Dworzecki (Betrachtung nach Hurwitz)

2 Komposition von quadratischen Formen Gauß Arbeiten beschäftigten sich in der Regel mit der Ausarbeitung von klassischen Formeln, wie z.B.: Oder allgemeiner gefasst:

3 Komposition von quadratischen Formen Hurwitz beschäftigte sich mit dem Problem der Komposition einer Form durch ein Produkt zweier Formen durch die Substitusion Σ: Sämltiche Koeffizienten sind dabei ganzzahlig.

4 Komposition von quadratischen Formen Substitution: Die Determinanten der Untermatrizen von werden abgekürzt: und substituiert durch: P,Q,R,S,T,U.

5 Komposition von quadratischen Formen Für F, f und f ergeben sich folgende Determinanten:, für die wir schreiben:

6 Komposition von quadratischen Formen Mit der Annahme, dass x und y feste aber willkürliche Konstanten sind und unter der Annahme dass F=f*f nach Σ, wird F durch die Substitution in.

7 Komposition von quadratischen Formen Als Konsequenz erhält man daraus die Identität:, oder. Analog erhält man die Gleichung:

8 Komposition von quadratischen Formen Nach längerem Umstellen erhält man die Gleichungen:

9 Komposition von quadratischen Formen Da n und n ganzzahlig sind, so stehen die Determinanten von F, f und f im Verhältnis von Quadratzahlen (Gauß erste Schlussfolgerung). Stellen m und m nun den ggT von f und f dar, so sind mn und mn ganzzahlig. So ergibt sich durch die Definition von n und n, d.h.: D teilt dm² und dm². (Gauß zweite Schlussfolgerung).

10 Komposition von quadratischen Formen Die dritte Schlussfolgerung fällt mit den oberen Gleichungen zusammen.

11 Die vierte Folgerung besagt, dass Dk² der ggT von dm² und dm² ist. Dabei ist k der ggT der Determinanten der Untermatrizen von Komposition von quadratischen Formen

12 Nach der fünften Folgerung ist (mm)/M ganzzahlig, wobei M der Teiler von F ist. Sechste Folgerung: mm teilt Mk². Komposition von quadratischen Formen

13 Gauß versuchte bisher zu zeigen, dass eine Transformation der Form F in ein Produkt zweier Formen f und f vorliegt. Betrachtet man nun den Fall k=1, so ist der ggT von P,Q,R,S,T,U eben genau 1. In diesem Fall ist F eine Komposition von f und f.

14 Komposition von quadratischen Formen Nun werden X und Y mittels in. Somit ist die neue Form F* mit den Variablen X* und Y* durch die Substitution ΣT transformiert in das Produkt von f und f.


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