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Folie 1 Kapitel V. Determinanten Inhalt: Alternierende Formen Permutationen Determinanten Lineare Gleichungssysteme Anwendungen.

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Präsentation zum Thema: "Folie 1 Kapitel V. Determinanten Inhalt: Alternierende Formen Permutationen Determinanten Lineare Gleichungssysteme Anwendungen."—  Präsentation transkript:

1 Folie 1 Kapitel V. Determinanten Inhalt: Alternierende Formen Permutationen Determinanten Lineare Gleichungssysteme Anwendungen

2 Folie 2 § 26 Inhaltsmessung von Parallelogrammen In diesem Paragrafen soll die Einführung der Determinante über einen geometrischen Ansatz motiviert werden. Die Ebene wird durch R 2 repräsentiert, ein Parallelogramm wird durch 2 Vektoren gegeben: Es geht um die Eigenschaften des Flächeninhalts von Parallelogrammen in der euklidischen Ebene. w v P Wir bezeichnen mit F(v,w) die Fläche von dem von v und w aufgespannten Parallelogramm P. Dabei soll F(v,w) gerichtet sein, insofern, als F(v,w) = -F(w,v) gilt. Zum Beispiel: F(v,w) positiv, wenn v vor w im Gegenuhrzeigersinn.

3 Folie 3 Kapitel V, §26 w v P u Elementargeometrische Überlegungen zeigen: F(v + u,w) = F(v,w) + F(u,w) Und ebenso: F(v,w + z) = F(v,w) + F(v,z) Weiterhin: F(v,sw) = sF(v,w) = F(sv,w) für positive s. Schließlich: F(-v,w) = -F(v,w) = F(v,-w) w v -v

4 Folie 4 Kapitel V, §26 Insgesamt: F ist bilinear und alternierend, dh. F(v,w) = -F(w,v) Daher: F(v,w) = F 11 v 1 w 1 + F 21 v 2 w 1 + F 12 v 1 w 2 + F 22 v 2 w 2 mit F 11 = 0 = F 22 und F 12 = - F 21, weil F alternierend. Daher gilt F(v,w) = s(v 1 w 2 – v 2 w 1 ) mit einer Konstanten s. Mit der Festlegung F(e 1,e 2 ) = 1 (Normierung von F, so dass das Ein- heitsquadrat den Flächeninhalt 1 erhält) wird diese Konstante zu 1 : F(v,w) = Δ(v 1,w 1,v 2,w 2 ) (vgl. §1) =: det(v,w) Die beiden Spaltenvektoren v,w lassen sich als die Spaltenvektoren von (2,2)-Matrizen A = (v,w) verstehen. Insofern definiert det eine Abbildung

5 Folie 5 Kapitel V, §26 wobei tr A := a + d (Spur von A). Im übrigen ist det auch bilinear in den Zeilenvektoren. Eigenschaften von det : (26.1) Satz: Für A aus R 2x2 gilt: (26.2) Korollar: Für A aus R 2x2 : (26.3) Satz: Für A,B aus R 2x2 : det (AB) = (det A)(det B). (26.4) Satz von Cayley: Für A aus R 2x2 ist (26.5) Satz: Für A,B,C aus R 2x2 : 1 o (AB –BA) 2 = (det(AB –BA))E 2 o (AB –BA) 2 C = C(AB –BA) 2.


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