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TEILCHENPHYSIK FÜR FORTGESCHRITTENE Peter Schleper Thomas Schörner-Sadenius Universität Hamburg, IExpPh Wintersemester 2005/06.

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1 TEILCHENPHYSIK FÜR FORTGESCHRITTENE Peter Schleper Thomas Schörner-Sadenius Universität Hamburg, IExpPh Wintersemester 2005/06

2 UHH, WS05/06 TSS, Teilchenphysik II2 ZIEL DER VORLESUNG blablabl

3 UHH, WS05/06 TSS, Teilchenphysik II3 ORGANISATION DER VORLESUNG Ablauf: 4 Stunden Vorlesung: Dienstag 12:30-14:00, Freitag 10:30-12:00 2 Stunden Übung: Freitag 12:30-14:00, Rm 9/104 Scheinerwerb 1 Klausur (mit Nachklausur für Grippeopfer etc.) Jeweils 50% der Punkte aus der Klausur und aus den Übungen Beteiligung in der Übung

4 UHH, WS05/06 TSS, Teilchenphysik II4 GLIEDERUNG DER VORLESUNG, TEIL I 1.Hinführung zur Dirac-Gleichung Schrödinger, Klein-Gordon und Dirac 2.Feynman-Regeln und –Graphen Herleitung mit Green-Funktionen Hinschreiben eines Matrix-Elements 3.Berechnung des Wirkungsquerschnitts e e Flussfaktor, Lorentz-Invarianter Phasenraum, Matrix-Element Crossing und weitere QED-Prozesse 4.Lepton-Hadronen-Streuung 5.Symmetrien und Erhaltungsgroessen 6.Ausblick: Renormierung Theorie jeweils unterfüttert mit experimentellen Ergebnissen!

5 UHH, WS05/06 TSS, Teilchenphysik II5 VORLESUNG, TEIL II (P. SCHLEPER) Eichprinzip Standard-Modell Higgs-Mechanismus Jenseits des Standard-Modells Supersymmetrie Grand Unified Theories …

6 UHH, WS05/06 TSS, Teilchenphysik II6 TEILCHENPHYSIK IM WS05/06 Vorlesung Physik V: Kern- und Teilchenphysik Klanner, Scobel, DiFr 10:30-12:00, HSII Vorlesung Teilchenphysik und Kosmologie Buchmueller, DiDo 10:15-11:45, Rm 9/103 Proseminar Grosse Entdeckungen und Nobelpreise der Teilchenphysik Geiser, Hagner, Klanner, Zimmermann, Di 14:15-15:45, HSIII Vorlesung Neutrino- und Astroteilchenphysik Hagner, Zimmermann, Fr 14:00-15:30, HS III

7 UHH, WS05/06 TSS, Teilchenphysik II7 TEILCHENPHYSIK IM WS05/06 Vorlesung QCD und Colliderphysik Jung, Mi 11:15-12:45, DESY 2a/Sm2 Vorlesung Evaluating Feynman Integrals Smirnov, Fr 10:15-11:45, DESY 1a, Sm1 Vorlesung Beschleunigerphysik II Rossbach, Do 13:30-14:00, HSIII

8 UHH, WS05/06 TSS, Teilchenphysik II8 KAPITEL 1 Hinführung zur Dirac-Gleichung

9 UHH, WS05/06 TSS, Teilchenphysik II9 DIE SCHRÖDINGER-GLEICHUNG (SGL) Teilchen/Welle-Dualität (Planck, de Broglie) Ebene Welle als Ansatz für freies Teilchen QM: Observable Operator (Eigenwertgleichungen) Energie/Impulsoperator Kinetische Energie laut klassischer Mechanik und Übersetzung in QM

10 UHH, WS05/06 TSS, Teilchenphysik II10 ZEITUNABH. SGL, KONTINUITÄTSGL. Oft ist Potential V von Zeit t unabhängig Trennung der Orts- und Zeitvariablen: Physikalische Bedeutung von : Wahrscheinlichkeits(strom)dichte Konjugiert-komplexe SGL: Kontinuitätsgleichung:

11 UHH, WS05/06 TSS, Teilchenphysik II11 KONTINUITÄTSGL. FÜR FREIES TEILCHEN Wahrscheinlichkeitsdichte der ebenen Welle hängt nicht vom Ort ab: Wahrscheinlichkeitsstromdichte ist das Produkt der Wahrscheinlichkeitsdichte und der Geschwindigkeit

12 UHH, WS05/06 TSS, Teilchenphysik II12 DIE KLEIN-GORDON-GLEICHUNG Motivation 1: Die SGL ist keine relativistische Wellengleichung – für die Teilchenphysik wollen wir aber sicher relativistisch rechnen. Erste Ableitung in der Zeit, aber Zweite Ableitung im Ort! Motivation 2: Man will später die Lorentz-Invarianz der relativistischen Wellengleichung erreichen – aber SGL ist offenkundig NICHT invariant:

13 UHH, WS05/06 TSS, Teilchenphysik II13 DIE KLEIN-GORDON-GLEICHUNG Idee: relativistischer Zusammenhang zwischen Energie, Impuls und (Ruhe)Masse eines Teilchens: Nach Umsortieren ergibt sich die Klein-Gordon-Gleichung (KGGL) als relativistische Verallgemeinerung der SGL (für Spin-0-Teilchen):

14 UHH, WS05/06 TSS, Teilchenphysik II14 LÖSUNG DER KLEIN-GORDON-GL. Ansatz: Wieder ebene Wellen Einsetzen in KGGL: Wir finden also Lösungen mit NEGATIVER Energie unakzeptabel! Lösung positiver Energie / negativer Energie Aber: Beide Lösungen benötigt – sonst kein vollständiges System von Eigenfunktionen! Analogie: klassische Wellengleichung:

15 UHH, WS05/06 TSS, Teilchenphysik II15 KGGL: KONTINUITÄTSGLEICHUNG Aus der KGGL und ihrem komplex-konjugierten folgt: Mit folgender Definition der Wkeitsdichte … … folgt die Kontinuitätsgleichung in der bekannten Form. Aber:

16 UHH, WS05/06 TSS, Teilchenphysik II16 DIE DIRAC-GLEICHUNG Jetzt also nur erste Ableitungen – Ansatz von Dirac: Versuche damit, Energie-Impuls-Beziehung zu erfüllen. Es muss gelten: Diese Beziehung lässt sich nur mit komplexen Matrizen erfüllen! Hamiltonian H hermitesch j, hermitesch! j 2 = 2 =I Eigenwerte ±1. Matrizen haben alle Spur 0. Spur = Summe der Eigenwerte Dimension N muss gerade sein. N=2 bereits vergeben – die drei linear unabhängigen Pauli- Matrizen. Daher: N=4! Allgemein:

17 UHH, WS05/06 TSS, Teilchenphysik II17 DIE MATRIZEN i UND … nehmen folgende Gestalt an (ausprobieren!) Matrizen wirken als 4-dimensionale Operatoren auf Wellenfunktionen diese müssen 4-dimensionale Spaltenvektoren sein: Dirac-Spinoren!

18 UHH, WS05/06 TSS, Teilchenphysik II18 DGL UND KONTINUITÄTSGLEICHUNG Die Gleichung für den konjugierten Spinor lautet: Multiplikation der DGL für Dirac-Spinor von links mit +, der obigen Gleichung von rechts mit und Subtraktion: Das ist identisch mit der Kontinuitätsgleichung falls: Beachte, dass diese Dichte immer positiv ist!

19 UHH, WS05/06 TSS, Teilchenphysik II19 NICHTRELATIVISTISCHER GRENZFALL I Diese Gleichung hat vier unabhängige Lösungen: Betrachte freies, ruhendes Elektron. Wellenvektor Dann lautet die DGL: Jetzt nichtrelativistischer Grenzfall: Zeitabhängigkeit ändert sich kaum im wesentlichen exp(- 0 t) wie beim ruhenden e – mit leichter Abhängigkeit im Spinor:

20 UHH, WS05/06 TSS, Teilchenphysik II20 NICHTRELATIVISTISCHER GRENZFALL II Ansatz mit langsamer Zeitabhängigkeit der Spinoren: Einsetzen in Dirac-Gleichung: Weiterhin: Für die Norm von gilt: Aus diesem Grund heisst kleine Komponente des Spinors (für nicht- relativistische Elektronen).

21 UHH, WS05/06 TSS, Teilchenphysik II21 NICHTRELATIVISTISCHER GRENZFALL III Die grosse Komponente erfüllt die SGL eines freien Elektrons:

22 UHH, WS05/06 TSS, Teilchenphysik II22 KAPITEL 2 Spass mit der Dirac-Gleichung

23 UHH, WS05/06 TSS, Teilchenphysik II23 LORENTZ-VEKTOREN Konvention der Teilchenphysik: Messe Geschwindigkeiten in Einheiten von c und Wirkungen in Einheiten von Plancks Wirkungsquantum: Relativitistische Behandlung Gleichbehandlung von Raum- und Zeitdimensionen Vierervektoren! Verknüpfung durch den metrischen Tensor g :

24 UHH, WS05/06 TSS, Teilchenphysik II24 RELATIVISTISCHE INVARIANZ DER DGL Bla

25 UHH, WS05/06 TSS, Teilchenphysik II25 DIE -MATRIZEN Die Gamma-Matrizen nehmen (in jedem Bezugssystem!) die folgende Gestalt an: Zusammengefasst zu einem Vierervektor: Damit kann man die Dirac-Gleichung vereinfacht schreiben als:

26 UHH, WS05/06 TSS, Teilchenphysik II26 SÄTZE ÜBER -MATRIZEN Vertauschungsrelationen: Ausserdem:

27 UHH, WS05/06 TSS, Teilchenphysik II27 KAPITEL 3 Feynman-Graphen

28 UHH, WS05/06 TSS, Teilchenphysik II28 KAPITEL 4 Berechnung des Wirkungsquerschnitts e e

29 UHH, WS05/06 TSS, Teilchenphysik II29 DER PROZESS… … der uns einige Zeit beschäftigen wird: e – + e – + e – (p 1 )e – (p 3 ) + (p 2 ) + (p 4 ) (q)


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