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Geschichte der Mathematik Leonardo Pisani oder besser bekannt als Fibonacci Philipp von Detten.

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Präsentation zum Thema: "Geschichte der Mathematik Leonardo Pisani oder besser bekannt als Fibonacci Philipp von Detten."—  Präsentation transkript:

1 Geschichte der Mathematik Leonardo Pisani oder besser bekannt als Fibonacci Philipp von Detten

2 Struktur Kurzer Überblick Kurzer Überblick Biographie Fibonaccis Biographie Fibonaccis Sein Hauptwerk: der liber abbaci Sein Hauptwerk: der liber abbaci Errungenschaften/Fazit Errungenschaften/Fazit

3 Kurzer Überblick Kurzer Überblick über die Zeit des 12. und 13. Jahrhunderts und das die Entwicklung des Bildungssystems Kurzer Überblick über die Zeit des 12. und 13. Jahrhunderts und das die Entwicklung des Bildungssystems

4 Kurzer Überblick Einrichtung von Schulen durch die Römer Einrichtung von Schulen durch die Römer Der Pädagoge von Früher Der Pädagoge von Früher Gutes Bildungssystem im römischen Reich (Elementarschulen, weiterführende Schulen, Universitäten) Gutes Bildungssystem im römischen Reich (Elementarschulen, weiterführende Schulen, Universitäten) Nach dem Zerfall ging das Bildungssystem teilweise unter Nach dem Zerfall ging das Bildungssystem teilweise unter

5 Kurzer Überblick Seit dem 4. Jahrhundert widmeten sich Mönche dem Archivieren und Kopieren von Texten Seit dem 4. Jahrhundert widmeten sich Mönche dem Archivieren und Kopieren von Texten Dazu lernten Mönche und Nonnen Lesen und Schreiben und übersetzten zahlreiche Bücher Dazu lernten Mönche und Nonnen Lesen und Schreiben und übersetzten zahlreiche Bücher

6 Kurzer Überblick Spätestens zur Zeit Friedrichs des II. kümmerte sich unter anderem der Staat wieder um die Bildung seiner Bürger. (12./13. Jahrhundert) Spätestens zur Zeit Friedrichs des II. kümmerte sich unter anderem der Staat wieder um die Bildung seiner Bürger. (12./13. Jahrhundert) Eine weitere Gruppe spielte eine bedeutende Rolle: Eine weitere Gruppe spielte eine bedeutende Rolle: Die großen Kaufleute Die großen Kaufleute

7 Kurzer Überblick Lesen, Schreiben und Rechnen war für sie von existenzieller Bedeutung Lesen, Schreiben und Rechnen war für sie von existenzieller Bedeutung Bildung wurde somit bürgerlich Bildung wurde somit bürgerlich Wiederentdeckung der antiken Mathematik (in Europa) also schon im 12. und 13. Jahrhundert Wiederentdeckung der antiken Mathematik (in Europa) also schon im 12. und 13. Jahrhundert

8 Kurzer Überblick Was bedeutet Schule? Was bedeutet Schule? –Griechischen Ursprungs (σχολή) und bedeutet soviel wie Muße: der Ertrag der Arbeit war mehr als das, was man am nächsten Tage wieder verzehrt

9 Wie sah es zur Zeit Fibonaccis in Europa/Norditalien aus? Hohes Bevölkerungswachstum Hohes Bevölkerungswachstum Starker Anstieg der Produktion in der Landwirtschaft durch Revolutionen in der Agrarwirtschaft Starker Anstieg der Produktion in der Landwirtschaft durch Revolutionen in der Agrarwirtschaft Papierherstellung wurde mechanisiert Papierherstellung wurde mechanisiert Pferd als Nutztier entdeckt Pferd als Nutztier entdeckt

10 Wie sah es zur Zeit Fibonaccis in Europa/Norditalien aus? Verhältnis zwischen Kirche und Kaufleuten besserte sich Verhältnis zwischen Kirche und Kaufleuten besserte sich Dome wurden aus Kriegsbeuten errichtet Dome wurden aus Kriegsbeuten errichtet Pisas schiefer Turm stand erst zu drei Stockwerken Pisas schiefer Turm stand erst zu drei Stockwerken Der Niedergang Pisas am Der Niedergang Pisas am

11 Biographie Leonardos

12 Leonardo von Pisa Leonardo von Pisa Geboren etwa 1170 in Pisa als Sohn von Guido Bonacci; Geboren etwa 1170 in Pisa als Sohn von Guido Bonacci; dieser wird später Notar am Handelshof der pisanischen Kaufleute in Bougie (Küstenstadt Algeriens/Nordafrika), wohin er Leonardo zum Studium der Rechenkunst mitnimmt, als dieser ein Knabe ist. dort wird er durch wunderbaren Unterricht in die Kunst der neun indischen Ziffern eingeführt dort wird er durch wunderbaren Unterricht in die Kunst der neun indischen Ziffern eingeführt

13 Biographie Leonardos er unternimmt - ob mit seinem Vater oder allein als Kaufmann - Reisen nach Ägypten, Syrien, Griechenland, Sizilien und in die Provence und studierte dort die verschiedenen Varianten der Rechenkunst. Sein Fazit: er unternimmt - ob mit seinem Vater oder allein als Kaufmann - Reisen nach Ägypten, Syrien, Griechenland, Sizilien und in die Provence und studierte dort die verschiedenen Varianten der Rechenkunst. Sein Fazit: Alle diese Methoden seien der indischen unterlegen, ja, sie seien als Irrwege zu bezeichnen

14 Biographie Leonardos er verfügt Kenntnis über er verfügt Kenntnis über – die Elemente des Euklid, –den Almagest des Ptolemaeus und –über ein Buch über Proportionen von Ahmad ibn Yusuf kehrt um 1200 nach Pisa zurück und verfasst 1202 sein Hauptwerk, den liber abbaci; schreibt aber auch noch andere Bücher wie Practica geometriae und Liber quadratorum, welches Friedrich dem II. gewidmet ist, zu dessen Gelehrtenkreis er auch gehört kehrt um 1200 nach Pisa zurück und verfasst 1202 sein Hauptwerk, den liber abbaci; schreibt aber auch noch andere Bücher wie Practica geometriae und Liber quadratorum, welches Friedrich dem II. gewidmet ist, zu dessen Gelehrtenkreis er auch gehört

15 Biographie Leonardos als geachteter Magister und auch Steuerschätzer lebt er in der Stadt Pisa und stirbt nicht vor 1240, da er dort noch in einem Dekret erwähnt wird als geachteter Magister und auch Steuerschätzer lebt er in der Stadt Pisa und stirbt nicht vor 1240, da er dort noch in einem Dekret erwähnt wird … mehr dazu am Schluss…

16 Sein Hauptwerk: liber abbaci

17 Erstes Kapitel Erstes Kapitel Übersicht mit Auszügen Übersicht mit Auszügen Fazit Fazit

18 Einführung der indisch- arabischen Ziffern neun indische Ziffern (1-9) und das Zeichen 0 neun indische Ziffern (1-9) und das Zeichen 0 Zahl: Bündel von Einheiten unterteilt in Grade: Zahl: Bündel von Einheiten unterteilt in Grade: –Einer: 1-10 –Zehner: –Hunderter: … Dabei folgt Grad auf Grad, wobei bei jedem Schritt aufwärts die unmittelbar vorhergehende verzehnfacht wird: Dabei folgt Grad auf Grad, wobei bei jedem Schritt aufwärts die unmittelbar vorhergehende verzehnfacht wird: Z*10^(Grad -1) mit 1 z 9

19 Einführung der indisch- arabischen Ziffern Schreibweise: Einer ganz rechts, links daneben der nächst höhere Grad, etc. Schreibweise: Einer ganz rechts, links daneben der nächst höhere Grad, etc. Betonung: auf die Reihenfolge kommt es an und die Bedeutung der 0 wird hervorgehoben Betonung: auf die Reihenfolge kommt es an und die Bedeutung der 0 wird hervorgehoben Vergleich römisch/arabischer Zahlen Vergleich römisch/arabischer Zahlen

20 Fingerzahlen Welche Zahlen kann man allein mit seinen 10 Fingern darstellen? Welche Zahlen kann man allein mit seinen 10 Fingern darstellen? …Darstellung von allen Zahlen von …Darstellung von allen Zahlen von möglich! Diese Kommunikation half über Sprachbarrieren hinweg und ermöglichte es Kaufleuten aus verschiedenen Ländern miteinander Handel zu treiben Diese Kommunikation half über Sprachbarrieren hinweg und ermöglichte es Kaufleuten aus verschiedenen Ländern miteinander Handel zu treiben

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22 Erste Operationen Tabelle des Eins-und-Eins sowie des Ein-Mal-Eins Tabelle des Eins-und-Eins sowie des Ein-Mal-Eins Diese sollen auswendig gelernt werden und in die Fingersprache übersetzt werden Diese sollen auswendig gelernt werden und in die Fingersprache übersetzt werden Führt zur Verinnerlichung und schult die Fingerfertigkeit Führt zur Verinnerlichung und schult die Fingerfertigkeit

23 Multiplikation Es stellt sich heraus, dass der Liber abbaci kein Buch für Anfänger ist Es stellt sich heraus, dass der Liber abbaci kein Buch für Anfänger ist Multiplikation von Zahlen zweiten Grades Multiplikation von Zahlen zweiten Grades Zahlen n-ten Grades haben n Stellen Zahlen n-ten Grades haben n Stellen Beispiel: 73*83 Beispiel: 73*83 Vorstellung eines weiteren Verfahrens der schriftlichen Multiplikation: Vorstellung eines weiteren Verfahrens der schriftlichen Multiplikation: Beispiel 4321 * 765 Beispiel 4321 * 765

24 Multiplikation Neunerprobe Neunerprobe Grundannahme: Bei Division einer Zahl durch 9 entsteht der gleiche Rest als wenn man die Quersumme durch 9 dividiert Grundannahme: Bei Division einer Zahl durch 9 entsteht der gleiche Rest als wenn man die Quersumme durch 9 dividiert BSP: 899 : 9 = 99 + Rest 8 BSP: 899 : 9 = 99 + Rest 8 Quersumme 899 = 26, 26 : 9 = 2 + Rest 8 Quersumme 899 = 26, 26 : 9 = 2 + Rest 8 Zusätzlich: Der Rest eines Produktes ist kongruent zum Produkt der Reste modulo 9 Zusätzlich: Der Rest eines Produktes ist kongruent zum Produkt der Reste modulo 9 Beweis zur Neunerregel anhand eines Beispiels Beweis zur Neunerregel anhand eines Beispiels

25 Multiplikation Distributivgesetz: Zerlegt man die eine Zahl in irgendwelche Teile, multipliziert jeden Teil mit einer weiteren Zahl und addiert alle diese Produkte, so ergibt sich das gleiche Ergebnis, wie wenn man die Ausgangszahl direkt mit der zweiten Zahl multipliziert. Distributivgesetz: Zerlegt man die eine Zahl in irgendwelche Teile, multipliziert jeden Teil mit einer weiteren Zahl und addiert alle diese Produkte, so ergibt sich das gleiche Ergebnis, wie wenn man die Ausgangszahl direkt mit der zweiten Zahl multipliziert.

26 Multiplikation Potenzregeln für 10er-Potenzenmit Berufung auf Euklid: Potenzregeln für 10er-Potenzenmit Berufung auf Euklid: 10^a*10^b = 10^(a+b) Am Ende des Kapitels werden noch Verfahren vorgestellt, mit denen man zwei- und dreistellige Zahlen im Kopf addiert. Am Ende des Kapitels werden noch Verfahren vorgestellt, mit denen man zwei- und dreistellige Zahlen im Kopf addiert.

27 Addition und Subtraktion Zahlen werden untereinander geschrieben, wie wir es heute auch kennen Zahlen werden untereinander geschrieben, wie wir es heute auch kennen Erneut: Neunerprobe Erneut: Neunerprobe Beispiel: Praxisorientiert… Beispiel: Praxisorientiert…

28 Division Bruchschreibweise: Bruchschreibweise: m/n – wobei Fibonacci Brüche vor die ganzen Zahlen bei gemischter Schreibweise schreibt Beispiel 1346 : 4 Beispiel 1346 : 4 Ergebnis: ½ 336 Ergebnis: ½ 336

29 Division Einschub: Primzahlen - Zahlen ohne Maß Einschub: Primzahlen - Zahlen ohne Maß Grund: gemischte Zahlen zu dividieren indem man den Divisor durch das Produkt von Primzahlen ausdrückt (Primfaktorzerlegung) Grund: gemischte Zahlen zu dividieren indem man den Divisor durch das Produkt von Primzahlen ausdrückt (Primfaktorzerlegung) Einführung einer neuen Schreibweise Einführung einer neuen Schreibweise

30 Multiplikation, Division, Addition und Subtraktion gemischter Zahlen Bei der Addition geht Fibonacci auf den größten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache ein Bei der Addition geht Fibonacci auf den größten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache ein Bei der Division spielt die Proportionslehre eine wichtige Rolle für ihn Bei der Division spielt die Proportionslehre eine wichtige Rolle für ihn

31 Stammbrüche Als letztes Kapitel erscheint die Zerlegung von Brüchen in Stammbrüche Als letztes Kapitel erscheint die Zerlegung von Brüchen in Stammbrüche 7 verschiedene Verfahren! 7 verschiedene Verfahren! Beispiel: 5/6 = ½ + 1/3 Beispiel: 5/6 = ½ + 1/3

32 Resumée Beim liber abbaci handelt es sich um ein Mathematikbuch Beim liber abbaci handelt es sich um ein Mathematikbuch Enthalten Enthalten –Algorithmen –Distributivgesetz –Potenzgesetz für 10er-Potenzen –Modulares Rechnen (Proben)

33 Resumée Heutzutage unbrauchbar? Keineswegs: Widererkennung beim Rechnen im Ring mit ganzen Zahlen und im Quotientenring Widererkennung beim Rechnen im Ring mit ganzen Zahlen und im Quotientenring Algorithmen des Computers sind ähnlich oder teilweise gleich den angegebenen Algorithmen Algorithmen des Computers sind ähnlich oder teilweise gleich den angegebenen Algorithmen

34 Weiterer Aufbau des liber abbaci Erläuterung des Dreisatzes (mit Hilfe der Proportionslehre) Erläuterung des Dreisatzes (mit Hilfe der Proportionslehre) Anwendungsbeispiele: Anwendungsbeispiele: –Warentausch –Gewichtsumrechnungen –Gewinnaufteilung –Legierungen

35 Weiterer Aufbau des liber abbaci Arithmetische Reihen Arithmetische Reihen Lineare Gleichungen Lineare Gleichungen Zyklische Vertauschungen Zyklische Vertauschungen

36 Was ist ein Beweis?! Ein Beweis ist ein didaktisches Hilfsmittel bei der Aufgabe, mich oder meinem Gegenüber von der Richtigkeit meiner Behauptung zu überzeugen. Ein Beweis ist ein didaktisches Hilfsmittel bei der Aufgabe, mich oder meinem Gegenüber von der Richtigkeit meiner Behauptung zu überzeugen. Fibonacci Argumentation ist nachvollziehbar und lückenlos nach obiger Definition für H. Lüneburg Fibonacci Argumentation ist nachvollziehbar und lückenlos nach obiger Definition für H. Lüneburg

37 Was ist ein Beweis?! Was wird deutlich? Fibonacci versteht seine Materie und kann verständlich beweisen, wie er zu seinen Auffassungen kommt! Fibonacci versteht seine Materie und kann verständlich beweisen, wie er zu seinen Auffassungen kommt!

38 Weiterer Aufbau des liber abbaci Weitere Anwendungsbeispiele: Reisen Reisen Vollkommene Zahlen Vollkommene Zahlen Fibonacci-Zahlen (einziges Anwendungsbeispiel zu damaliger Zeit: Kaninchenpopulation) Fibonacci-Zahlen (einziges Anwendungsbeispiel zu damaliger Zeit: Kaninchenpopulation)

39 Weiterer Aufbau des liber abbaci Affine Ebenen Affine Ebenen Wurzeln aller Art (Quadratwurzeln, Kubikwurzeln) Wurzeln aller Art (Quadratwurzeln, Kubikwurzeln) Quadratische Gleichungen Quadratische Gleichungen Eine quadratische Gleichung hat entweder zwei, eine oder gar keine Lösung (wobei negative Lösungen als Schulden aufgefasst werden) Eine quadratische Gleichung hat entweder zwei, eine oder gar keine Lösung (wobei negative Lösungen als Schulden aufgefasst werden)

40 FAZIT Was hat Fibonacci mit seinem Werk liber abbaci geschaffen? Es ist ein Buch an den Grenzen damaliger Kenntnis Es ist ein Buch an den Grenzen damaliger Kenntnis Es ist nicht sicher, dass es neue mathematische Erkenntnisse enthält! Es ist nicht sicher, dass es neue mathematische Erkenntnisse enthält! Grundlage für weitere Entwicklungen (zahlreiche Verweise von anderen Autoren zum liber abbaci) Grundlage für weitere Entwicklungen (zahlreiche Verweise von anderen Autoren zum liber abbaci) Fibonacci hat die mathematische Materie durchdrungen und Lösungen und Regeln verifiziert und bewiesen. Fibonacci hat die mathematische Materie durchdrungen und Lösungen und Regeln verifiziert und bewiesen.

41 Wie erinnert man sich an Fibonacci? Fibonacci-Folge: Fibonacci-Folge: –Modell einer Kaninchenpopulation –Treppenproblem Verwandtschaft mit dem Goldenen Schnitt Verwandtschaft mit dem Goldenen Schnitt –der Quotient zweier aufeinander folgender Fibonacci-Zahlen nähert sich dem Goldenen Schnitt an

42 Wer war Leonardo von Pisa? Als letztes aus dem Constitutum usus pisanae civitates, Zitat und Übersetzung nach H. Lüneburg: Als letztes aus dem Constitutum usus pisanae civitates, Zitat und Übersetzung nach H. Lüneburg: In Anbetracht unserer Stadt und der Bürger Ehre und Vorteil, der ihnen wie oft schon bei Bedarf zustatten kommt sowohl durch die Gelehrsamkeit als auch durch die emsigen Dienste des ausgezeichneten und klugen Mannes und Lehrers Leonardo Bigollo, die im Berechnen von (Steuer-)Schätzungen und Rechnungen für die Stadt und ihre Amtsträger und anderem bestehen, setzen wir durch vorliegende Konstitution fest, daß eben diesem Leonardo aus Wertschätzung und Gunst, aufgrund des Verdienstes und aufgrund des Vorrangs seiner Kenntnis zum Ausgleich für seine Arbeit, die er ausführt durch Prüfung und Feststellung oben genannter Schätzungen und Rechnungen, von der Gemeinde und ihren Kämmerern - von der Gemeinde berufen und für die Gemeinde handelnd - als Lohn bzw. sein Gehalt jährlich XX Pfund Pfennige und die üblichen Naturralleistungen gegeben werden müssen und daß er der Gemeinde von Pisa und ihren Amtsträgern fortan wie gewohnt durch Ausführung von Rechnungen dient.

43 Literatur Heinz Lüneburg (1992). Liber Abbaci oder Lesevergnügen eines Mathematikers. Mannheim [et al.]: BI Wissenschaftsverlag Heinz Lüneburg (1992). Liber Abbaci oder Lesevergnügen eines Mathematikers. Mannheim [et al.]: BI Wissenschaftsverlag Heinz Lüneburg (1996). Leonardo Pisanos Liber abbaci, in: Der Mathematik- Unterricht, 42,3 p Heinz Lüneburg (1996). Leonardo Pisanos Liber abbaci, in: Der Mathematik- Unterricht, 42,3 p L.E.Siegler. Fibonaccis Liber Abaci – a Translation into Modern English of Leonardo Pisanos Book of Calculation. New York, Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag L.E.Siegler. Fibonaccis Liber Abaci – a Translation into Modern English of Leonardo Pisanos Book of Calculation. New York, Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag

44 Vielen dank für eure Aufmerksamkeit =)


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