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Die Schwingung Unter einer (mechanischen) Schwingung eines Körpers versteht man eine unter der Einwirkung einer Rückstellkraft um eine Gleichgewichtslage.

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1 Die Schwingung Unter einer (mechanischen) Schwingung eines Körpers versteht man eine unter der Einwirkung einer Rückstellkraft um eine Gleichgewichtslage des Körpers verlaufende Bewegung, bei der sich die Auslenkung des Körpers aus der Ruhelage zeitlich periodisch wiederholen. Unter einer harmonischen Schwingung versteht man eine Schwingung, bei der die Rückstellkraft der Auslenkung proportional und stets zur Gleichgewichtslage gerichtet ist. Wenn man einen Massenpunkt, der eine gleichmäßige Kreisbewegung ausführt, durch paralleles Licht auf eine Ebene senkrecht zur Kreisbahn projiziert, so führt der Schatten eine harmonische Schwingung aus.

2 Die Schwingungsgleichung einer harmonischen Schwingung Die Schwingung Ein Lösungsansatz wäre: x(t) = A o sin ( t) Bildet man die 2. Ableitung von x(t) und setzt diese in die Differenzialgleichung ein, so erhält man: x(t) = - A o 2 sin ( t) Differenzialgleichung

3 Die Schwingungsgleichung einer harmonischen Schwingung Die Schwingung Differenzialgleichung Dividiert man durch A o sin ( t), so ergibt sich Die Lösung ist: Die Amplitude A o ergibt sich aus den Anfangsbedingungen

4 Die Schwingungsgleichung einer harmonischen Schwingung Die Schwingung

5 Die Schwingungsgleichung einer harmonischen Schwingung Die Schwingung

6 Aufgaben Die Schwingung Zeichnen Sie das Zeit-Weg-Diagramm eines Federpendels mit D= 0,5 N/m, m = 0,2 kg und A o = 4 cm und tragen Sie maß- stäblich die Geschwindigkeits- und Beschleunigungsfunktion ein. Die Auslenkung eines Federpendels beträgt 2 s nach dem Nulldurchgang x(t) = 4 cm. Die Amplitude ist 6 cm. Bestimmen Sie die Frequenz f und die Periodendauer T. Zu welchen Zeiten nach dem Nulldurchgang erreicht die Auslenkung eines Federpendels mit der Amplitude 5 cm und f = 0,4 Hz die Werte a) x1 = 8 mm, b) x2 = 2 cm, c) x = 4 cm?

7 Aufgaben – Lösung mit Excel Die Schwingung Zeichnen Sie das Zeit-Weg-Diagramm eines Federpendels mit D= 0,5 N/m, m = 0,2 kg und A o = 4 cm und tragen Sie maß- stäblich die Ge- schwindigkeits- und Beschleunigungs- funktion ein.

8 Aufgaben Die Schwingung Zeichnen Sie das Zeit-Weg-Diagramm eines Federpendels mit D= 0,5 N/m, m = 0,2 kg und A o = 4 cm und tragen Sie maß- stäblich die Ge- schwindigkeits- und Beschleunigungs- funktion ein.

9 Aufgaben Die Schwingung Die Lösung mit Mathematica x(t): lila v(t): grün a(t): orange

10 Aufgaben Die Schwingung Die Lösung mit Mathematica Schwingung[t_] := A0*Sin[Sqrt[D/m]*t] Plot[{Schwingung[t] //. {A0 -> 0.04, m -> 0.2, D -> 0.5}, Schwingung'[t] //. {A0 -> 0.04, m -> 0.2, D -> 0.5}, Schwingung''[t] //. {A0 -> 0.04, m -> 0.2, D -> 0.5}}, {t, 0, 12}, DefaultFont -> {"Verdana", 18}, PlotRange -> {{0, 8}, {-0.12, 0.12}}, GridLines -> Automatic, Background -> GrayLevel[1], PlotStyle -> {{Thickness[0.01], Hue[0.78]}, {Thickness[0.01], Hue[0.4]}, {Thickness[0.01], Hue[0.078]}},AxesLabel -> {"t", "x(t),v(t),a(t)"}, PlotLabel -> "Schwingung"];

11 Aufgaben Die Schwingung 5.Aufgabe: An einer Schraubenfeder mit der Federkonstanten D = 6 N/m hängt ein Körper mit der Masse m = 50 g. Durch eine vertikal nach unten wirkende Kraft wird der Körper zunächst um die Strecke smax = 10 cm aus seiner Gleichgewichtslage ausgelenkt. Der Körper wird dann freigegeben und führt eine freie Schwingung aus. a) Berechnen Sie die Kraft F, die den Körper um die Strecke smax auslenkte! b) Berechnen Sie die Schwingungsdauer T der freien Schwingung! c) Berechnen Sie die Geschwindigkeit v, mit der der Körper durch die Gleichgewichtslage schwingt!

12 Aufgaben - Lösung a) F = D*x = 6 N/m * 0,1 m = 6 N Die Schwingung Wertetabelle t x(t) v(t) a(t)

13 Aufgaben – Lösung x(t): lila v(t): grün a(t): orange Die Schwingung

14 Aufgaben Die Schwingung Welche Kurve zeigt das Feder-Schwere-Pendel mit der kleineren Federkonstanten D? Antwort: rote Kurve

15 Aufgaben Die Schwingung Welche Kurve zeigt das Feder-Schwere-Pendel mit der größeren Pendelmasse? Antwort: grüne Kurve

16 Aufgaben Die Schwingung Wie kann man dieses Bild erhalten? Antwort: gleiche Masse und Federkonstante, verschiedene Amplitude

17 Energiebetrachtung beim Feder-Schwere-Pendel Die Schwingung Die mechanische Gesamtenergie einer ungedämpften Schwingung bleibt konstant (Energieerhaltung). Die Energie pendelt zwischen zwei Energieformen hin und her, zwischen kinetischer und potenzieller Energie W sp (1) + W kin (1) = W sp (2) + W kin (2) = konstant

18 Energiebetrachtung beim Feder-Schwere-Pendel Beim Feder-Pendel gibt es zwei Energieformen: Insgesamt hat man: Die Schwingung

19 Energiebetrachtung beim Feder-Schwere-Pendel Die Schwingung

20 Das Fadenpendel An einem Faden der Länge l (mit vernachlässigbarer Masse) hängt ein Körper mit der Masse m Die Schwingung Lenkt man das Pendel um den Winkel aus, dann kann man die Gewichts- kraft F G = m*g, die der Körper er- fährt, in zwei Komponenten zerlegen. 1.Die Komponente F N = m*g*cos, die in Verlängerung des Fadens wirkt und von der Spannkraft des Fadens aufgehoben wird. 2.Die Komponente F R = m*g*sin, die tangential zur Kreisbahn wirkt und den Körper in Richtung auf die Gleich- gewichtslage hin beschleunigt

21 Das Fadenpendel Die Schwingung F R = m*g*sin ist der Winkel, den der Faden mit der Senkrechten bildet. Gibt man in Bogenmaß an, so erhält man: s = *l Man erhält also: F R = m*g*sin (s/l). Die Rückstellkraft ist also nicht proportional zur Auslenkung s aus der Gleichgewichtslage. Die Pendelschwingung ist deshalb keine harmonische Schwingung.

22 Das Fadenpendel Die Schwingung F R = m*g*sin (s/l). Für kleine Winkel gilt näherungsweise: sin bzw. sin (s/l) s/l. Damit erhält man: m*a(t) = - m*g*s(t)/l Und mit s(t) = a(t) die folgende Differenzialgleichung:

23 Das Fadenpendel Die Schwingung Als Lösung erhält man:

24 Die Schwingung Jede freie Schwingung ist gedämpft, da sie Energie an die Umgebung abgibt. Verringerung der Amplitude: 1.Der Quotient A n+1 /A n zweier aufeinander folgender Amplituden ist konstant. 2.Die Zeit, in der die Amplitude jeweils auf die Hälfte ihres willkürlich gewählten Anfangswert sinkt, ist ebenfalls konstant. Man nennt sie die Halbwertszeit der Schwingung. Eine gedämpfte Schwingung wird durch die Gleichung x(t) = A o e –kt Sin ( t) beschrieben, wobei k die Dämpfungskonstante ist.

25 Die elektromagnetische Schwingung Ein elektromagnetischer Schwingkreis besteht aus einem Kondensator und einer Spule. Durch Induktionsvorgänge finden ständig Lade- und Entladevorgänge statt und es entsteht eine gedämpfte Schwingung. Spannung und Stromstärke ändern sich periodisch und sind um eine Viertelperiode phasenverschoben

26 Die elektromagnetische Schwingung Zeitlicher Verlauf von Spannung und Stromstärke

27 Die elektromagnetische Schwingung Im elektromagnetischen Schwingkreis wandeln sich elektrische Energie und magnetische Feldenergie periodisch ineinander um

28 Die elektromagnetische Schwingung Zeitlicher Verlauf von Spannung und Stromstärke

29 Die elektromagnetische Schwingung Vergleich zwischen mechanischer und elektromagnetischer Schwingung

30 Aufstellen der Differenzialgleichung Vorausgesetzt wird, dass die Summe der elektrischen und magnetischen Energie zu jedem Zeitpunkt konstant ist: Setzt man dies in (1) ein, so erhält man Um die Konstante wegzubekommen, leitet man nach t ab und erhält: Die elektromagnetische Schwingung

31 Aufstellen der Differenzialgleichung Da Q(t) nicht Null sein kann (dann wäre Q(t) eine Konstante – warum?), muss der Klammerausdruck Null sein. Also Diese Differenzialgleichung wird gelöst mit der Cosinus- (bzw. Sinus-) Funktion. Hierbei ist Die elektromagnetische Schwingung

32 Die Thomsonsche Schwingungsgleichung Zeitlicher Verlauf einer elektromagnetischen Schwingung Ladung: Q(t) = Q o Cos ( t) mit Spannung am Kondensator: U(t) = U o Cos ( t) mit U o = Q o /C Stromstärke: I(t) = - I o Sin ( t) mit

33 Die elektromagnetische Schwingung Die Schwingung

34 Die elektromagnetische Schwingung Die Thomsonsche Schwingungs- gleichung C = 0,5 L = 0,02 H U = 30 V T = 6,28*10 -4 s

35 Die elektromagnetische Schwingung Die Energieverteilung

36 Die elektromagnetische Schwingung Die Meißnersche Rückkopplungsschaltung

37 Die elektromagnetische Schwingung Die Meißnersche Rückkopplungsschaltung

38 Die elektromagnetische Schwingung Die Meißnersche Rückkopplungsschaltung

39 Die elektromagnetische Schwingung Die Meißnersche Rückkopplungsschaltung

40 Die elektromagnetische Schwingung Die Meißnersche Rückkopplungsschaltung

41 Die elektromagnetische Schwingung Die Dreipunkteschaltung

42 Die elektromagnetische Schwingung Die Differenzialgleichung der gedämpften elektromagnetischen Schwingung Darin bedeutet der Term R Q(t) = U R (t) die Teilspan- nung am Widerstand R. Dieser zusätzliche Term be- schreibt die Dämpfung, denn im Widerstand R wird ein Teil der Energie dem Schwingungsvorgang entzogen.

43 Die elektromagnetische Schwingung Lösung der Differenzialgleichung mit Die Kreisfrequenz hängt wie bei der unge- dämpften Schwingung nur von L, C und R ab. Die Differenzialgleichung der gedämpften elektromagnetischen Schwingung

44 Die elektromagnetische Schwingung Die gedämpfte Schwingung

45 Die elektromagnetische Schwingung Aperiodischer Fall und Kriechfall Diese beiden Fälle unterscheiden sich nur in der Zeit, in welcher der gedämpfte Oszillator in die Ruhelage zurückkehrt. Beim aperiodischen Grenzfall geht das System so schnell als möglich in seine Ruhelage zurück. Beim Kriechfall hingegen geht das System nur sehr langsam in seine Ruhelage zurück. In beiden Fällen ist das System so stark gedämpft, dass es gar nicht mehr schwingt! Bei Fahrzeugen werden zur Dämpfung von Schlägen Stossdämpfer eingebaut. Dabei ist es natürlich erwünscht, dass das Fahrzeug möglichst schnell wieder zur Ruhe kommt. Man setzt deshalb Stossdämpfer ein, welche dem aperiodischen Grenzfall möglichst nahe kommen. Bei einer Tankanzeige hingegen sind schnelle Änderungen unerwünscht Dämpfung ist so groß, dass das der Zeiger in seine Endposition kriecht.

46 Die elektromagnetische Schwingung Schwache Dämpfung Schwingfall Aperiodischer Grenzfall Starke Dämpfung Kriechfall Die gedämpfte Schwingung

47 Die elektromagnetische Schwingung Die gedämpfte Schwingung – schwache Dämpfung x0 = 1; = 4; = 0.5

48 Die elektromagnetische Schwingung Die gedämpfte Schwingung – der Kriechfall Nach einem kurzen Anstieg fällt die Amplitude mit einer durch die Dämpfung be- stimmten Zeitkonstanten ab. x0=2; =2*; =25

49 Die elektromagnetische Schwingung Die gedämpfte Schwingung – der Kriechfall Bei der Tankanzeige sind schnelle Änderungen in der Anzeige unerwünscht. Sehr starke Dämpfung, so dass der Zeiger in seine Endstellung "kriecht". Die Dämpfung ist so stark, dass das schwingungsfähige System sehr langsam in die Nulllage zurückgeht.

50 Die elektromagnetische Schwingung Die gedämpfte Schwingung – der aperiodische Grenzfall Die Funktion verläuft ähnlich wie im Kriechfall, geht jedoch in der kürzestmöglichen Zeit gegen Null. x0=15; =2*; = 2*

51 Die elektromagnetische Schwingung Die aperiodische Dämpfung Aperiodische Dämpfung beim Stoßdämpfer im Auto Feder Stoßdämpfer Das Schwingen des Autos aufgrund der Federung ist unerwünscht. Daher werden Stoßdämpfer eingebaut, die nahezu zum aperiodischen Grenzfall führen. Das System geht ohne zu schwingen in möglichst kurzer Zeit auf die Nulllage zurück.

52 Die elektromagnetische Schwingung Die gedämpfte Schwingung

53 Die elektromagnetische Schwingung Resonanzkastrophe Bauten sollten Eigenfrequenzen besitzen, die normalerweise nicht angeregt werden. In Erdbebengebieten richtet man sich dabei nach lokal typischen Schwingungsfrequenzen der Erderschütterungen. Beim höchsten Bauwerk 2005, dem Taipei 101, wurde ein massives Pendel über mehrere Stockwerke zum Schutz als Schwingungsdämpfer verbaut. Im Jahr 1850 marschierten 730 französische Soldaten im Gleichschritt über die Hängebrücke von Angers. Die Brücke geriet in heftige Schwingungen und stürzte ein. 226 Soldaten fanden dabei den Tod.

54 Die elektromagnetische Schwingung Der Wolkenkratzer Taipei Der Taipei 101 war der höchste Wolken- kratzer der Welt (ohne Antennen oder Masten einzubeziehen), bis er Anfang 2007 vom Rohbau des Burj Khalifa abgelöst wurde, der Anfang 2009 seine endgültige Höhe von 828 Metern erreichte. Mit 509 Metern ragt Taipei 101 (benannt nach seinen 101 Stockwerken) weit über die Skyline der Hauptstadt von Taiwan, Taipeh. Neben den 101 oberirdischen Stockwerken gibt es weitere fünf unter-irdische. Auch mit dem höchsten begeh-baren Geschoss löste das Gebäude den 1974 vollendeten Willis Tower (früher Sears Tower genannt) in Chicago ab, den-noch ist der Willis Tower aufgrund seiner Antenne mit insgesamt 527 Metern noch 19 Meter höher.

55 Die elektromagnetische Schwingung Der Wolkenkratzer Taipei Das Gebäude muss größten Belastungen standhalten können. Bei Taiwan treffen die eurasische und die philippinische Kontinentalplatte aufeinander, so dass Taiwan eine der aktivsten Erdbebenregionen der Welt mit über Erdbeben pro Jahr ist. Außerdem rasen bis zu neun Taifune jährlich über den Inselstaat hinweg. Damit das Gebäude diesen Belastungen widersteht, wurde die Tragstruktur der eines Bambusrohres nachempfunden. Zwischen dem 88. und 92. Stockwerk befindet sich eine 660 Tonnen schwere, vergoldete, aus einzelnen Scheiben gefertigte Stahlkugel mit einem Durchmesser von 5,5 m, die mit ölhydraulischen Dämpfungselementen versehen ist und so Schwankungen des Gebäudes entgegenwirkt. Die maximal auftretenden Beschleunigungen bei Stürmen werden durch den Dämpfer etwa halbiert. Aufgehängt an armdicken Stahlseilen ist sie das momentan größte und das einzige der Öffentlichkeit zugängliche Tilgerpendel (Schwingungstilger) der Welt. Zwei weitere Dämpfer mit je 4,5 Tonnen Masse befinden sich in der Antennenkonstruktion. Sie sollen Schwingungen reduzieren, die zu einer Ermüdung der Stahlkonstruktion führen.

56 Die elektromagnetische Schwingung Der Wolkenkratzer Taipei

57 Die elektromagnetische Schwingung Die Brücke von Angers Die Brücke Pont de la Basse-Chaîne am südwestlichen Ende der Altstadt unmittelbar unterhalb des Schlosses von Angers verband die Boulevards, die anstelle der Stadtbefestigungen angelegt worden waren.

58 Die elektromagnetische Schwingung Die Brücke von Angers Am 16. April 1850 waren bereits zwei Bataillone ohne Probleme über die Brücke marschiert. Eine dritte Kolonne mit etwa 730 Soldaten soll ohne Tritt die Brücke überquert haben. Zu dieser Zeit herrschte starker Wind, der die Brücke in leichte Schwingungen versetzte. Obendrein kam ein heftiger Regenschauer hinzu, der offenbar die hinteren Reihen schneller nachdrängen ließ. Die Schwingungen wurden dadurch verstärkt, dass die Soldaten sich ihnen ungewollt entgegenstemmten. Plötzlich rissen die Tragseile auf der rechten Uferseite, die beiden Pylone stürzten von ihren Sockeln und die Fahrbahn fiel auf der rechten Seite schräg in den Fluss, während sie auf der anderen Seite noch von den Tragseilen und den unversehrten Pylonen gehalten wurde. Bei diesem Unglück starben insgesamt 226 Menschen; es ist damit eines der schwersten Brückenunglücke der Geschichte.

59 Die elektromagnetische Schwingung Die Brücke von Angers

60 Die elektromagnetische Schwingung Vergleich: Mechanische und elektromagnetische Schwingung

61 Die elektromagnetische Schwingung Überlagerung von Schwingungen Phasenunterschied: Gleiche Amplitude und Frequenz

62 Die elektromagnetische Schwingung Überlagerung von Schwingungen Phasenunterschied:0 Gleiche Amplitude und Frequenz

63 Die elektromagnetische Schwingung Überlagerung von Schwingungen Phasenunterschied:beliebig Unterschiedliche Amplitude und Frequenz

64 Die elektromagnetische Schwingung Überlagerung von Schwingungen - die Schwebung Phasenunterschied:0 Gleiche Amplitude, geringer Frequenzunterschied

65 Gekoppelte Schwingungssysteme Zwei schwingungsfähige Systeme, die einander beeinflussen und dabei Energie austauschen, bezeichnet man als gekop- pelte Schwingungssysteme. Simulation Schwingungen und Wellen

66 Die Welle Eine Welle entsteht, wenn eine Reihe gekoppelter schwingungsfähi- ger Systeme nacheinander gleichartige Schwingungen ausführt. Welle Jedes schwingungsfähige System führt eine zeitlich periodische Bewegung aus Der Wellenträger weist zu einem bestimmten Zeitpunkt (Momentaufnahme) eine räumlich periodische Vertei- lung der schwingungsfähigen Systeme aus. Schwingungen und Wellen

67 Die Transversalwelle Schwingungen und Wellen Eine Welle, bei der die einzelnen Teilchen senkrecht zur Ausbrei- tungsrichtung der Wel- le schwingen, bezeich- net man als Quer- oder Transversalwelle.

68 Schwingungen und Wellen Die Longitudinalwelle Eine Welle, bei der die einzelnen Teil- chen in Richtung zur Ausbreitungsrichtung der Welle schwingen, bezeichnet man als Längs- oder Longi- tudinalwelle.

69 Wichtige Begriffe Schwingungen und Wellen Wellental Als Wellenlänge, Sym- bol λ, wird der kleinste Abstand zweier Punkte gleicher Phase einer Welle bezeichnet. Dabei haben zwei Punkte die gleiche Phase, wenn sie sich in gleicher Weise begegnen, d. h. wenn sie im zeitlichen Ablauf die gleiche Auslenkung (Amplitude) und die gleiche Bewegungs- richtung haben.Phase WelleAmplitude Wellenberg

70 Die lineare Welle Schwingungen und Wellen Eine fortschreitende lineare Welle entsteht, wenn einer Kette von Oszillatoren periodisch Ener- gie zugeführt wird und die miteinander gekoppelten Oszillatoren nacheinander gleichartige erzwungene Schwingungen ausführen. Die Schwingungszustän- de des die Schwingung auslösenden Oszillators bewegen sich über die Kette hinweg. Wenn die Oszillatoren harmonische Schwingungen ausführen, so entsteht eine harmonische lineare Welle. Eine Welle ist ein zeitlich und räumlich periodischer Vorgang. Die zeitliche Periode ist die Schwingungsdauer T, die räumliche Periode die Wellenlänge.

71 Schwingungen und Wellen

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74 Die elektromagnetische Welle Eine harmonische Welle ist ein räumlich und zeitlich periodischer Vorgang: Für die Ausbreitungsgeschwindigkeit gilt: c = f Die Gleichung der linearen harmonischen Welle lautet Sie stellt die Oszillatorauslenkung in Abhängigkeit von Zeit und Ort dar. Schwingungen und Wellen

75 Die elektromagnetische Welle Für den Zeitpunkt t 1 = T/2 erhalten wir: d.h. die räumliche Verteilung aller Teilchenauslenkungen Schwingungen und Wellen

76 Die elektromagnetische Welle Für den festen Ort x 3 = /4 erhalten wir: d.h. den zeitlichen Verlauf der Schwingung von P 3 Schwingungen und Wellen

77 Wasserwellen Schwingungen und Wellen

78 Wasserwellen Schwingungen und Wellen

79 Das Huygensche Prinzip Jeder Punkt einer Wellenfläche kann als Ausgangspunkt einer neuen Wellen (einer sog. Elementarwelle) betrachtet werden. Schwingungen und Wellen

80 Überlagerung von Wellen Schwingungen und Wellen Prinzip der ungestörten Überlagerung von Wellen Treffen an einer Stelle eines Wellenträgers mehrere Wellen aufeinander, so addieren sich dort die Auslenkungen (=Elongationen) der Schwingungen. Nach dem Zusammentreffen laufen die Wellen ungestört weiter. Die ungestörte Überlagerung mehrerer Wellen von gleicher Frequenz (und damit gleicher Wellenlänge) am selben Ort bezeichnet man als Interferenz.

81 Überlagerung von Wellen Simulation Schwingungen und Wellen

82 Überlagerung von Wellen Simulation Für Punkte maximaler Erregung ist der Gangun- terschied der interferie- renden Wellen d = k. Die Phasendifferenz der Schwin- gungen beträgt k 2 Für Punkte minimaler Erregung ist der Gangunterschied der interferierenden Wellen d = ((2k-1)/2). Die Phasendifferenz beträgt (2k-1), k = 1,2.. Schwingungen und Wellen

83 Überlagerung von Wellen Interferenz Schwingungen und Wellen 1.Aufgabe: a) Konstruieren Sie für = 2 cm und l = 6 cm bzw. l = 4 cm die Linien maximaler und minimaler Erregung bei zwei punktför- migen Erregern. Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Anzahl der Linien und dem Erregerabstand? b) Führen Sie die gleiche Konstruktion für l = 2 cm und l = 1 cm durch. c) Welchen Winkel bilden in a) die Linien maximaler Erregung, deren Punkte den Gangunterschied d = 2 haben., mit der Mittelsenkrechten zur Strecke E1E2, wenn man diese Linie in einiger Entfernung von den Erregern als Gerade ansieht? d) Wie viele Linien maximaler Erregung können in a) und b) höchstens gesehen werden? Bestimmen Sie die Anzahl durch Auszählen. e) Bei welchen Energieabständen entstehen nirgends Minima, wirken also die zwei Erreger nahezu wie einer?

84 Überlagerung von Wellen Lösung der Aufgabe Schwingungen und Wellen

85 Überlagerung von Wellen Lösung der Aufgabe Schwingungen und Wellen

86 Überlagerung von Wellen Lösung der Aufgabe Schwingungen und Wellen

87 Überlagerung von Wellen Lösung der Aufgabe Schwingungen und Wellen

88 Die elektromagnetische Welle Vom Sendedipol gehen Wellen elektrischer und magneti- scher Felder aus. Die beiden Felder stehen senkrecht zu- einander. Das Ganze nennt man eine elektromagnetische Welle. Wandernde elektrische und mag- netische Felder erzeugen sich wechselseitig. Die Feldvektoren E und B sind in Phase. Sie stehen senkrecht aufeinander und stehen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung Schwingungen und Wellen

89 Die elektromagnetische Welle Der schwingende Dipol sendet eine elektromagnetische, linear polarisierte Querwelle aus. Deren E- und B - Felder schwingen in zueinander senkrechten Ebenen. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit beträgt: Schwingungen und Wellen

90 Der Hertzsche Dipol Schwingungen und Wellen

91 Der Hertzsche Dipol Ein gerader Leiter kann als elektrischer Oszillator schwingen. An seinen En- den befinden sich Bäuche der Ladungsdichte und Knoten der Stromstärke. Für die 1. Eigenschwin- gung gilt: l = /2 Für die k-te Eigen- schwingung gilt: l = k* /2 Schwingungen und Wellen

92 Schwingungszustände des Hertzschen Dipols 1. Eigenschwingung Schwingungen und Wellen 2. Eigenschwingung

93 Der Hertzsche Dipol Stehende elektrische Welle am Dipol: Zwischen Spannung und Strom sowie entsprechend zwischen elektrischen und magnetischen Feldvektor herrscht die Phasenverschiebung /2 Die fortschreitende elektromagnetische Welle, die sich vom Dipol ablöst: Keine Phasenverschiebung zwischen elektrischem und magnetischem Feldvektor. Schwingungen und Wellen

94 Die Maxwellschen Grundgleichungen 1. Maxwellsches Gesetz Ruhende elektrische Ladungen erzeugen elektrische Felder, deren Feldlinien bei den Ladungen beginnen oder enden. Schwingungen und Wellen 2. Maxwellsches Gesetz Ströme, d.h. bewegte Ladungen, erzeugen Magnetfelder, deren geschlossene Feldlinien die Ströme umkreisen.

95 Die Maxwellschen Grundgleichungen 3. Maxwellsches Gesetz Jedes zeitlich veränderliche elektrische Feld bedingt ein magnetisches Wirbelfeld, dessen Feldlinien die elektrischen Feldlinien umschlingen. Schwingungen und Wellen

96 Die Maxwellschen Grundgleichungen 4. Maxwellsches Gesetz Jedes zeitlich veränderliche Magnetfeld bedingt ein elektrisches Wirbelfeld, dessen Feldlinien die magnetischen Feldlinien umschlingen. Schwingungen und Wellen

97 Die Maxwellschen Grundgleichungen Schwingungen und Wellen

98 Die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer elektromagnetischen Welle Schwingungen und Wellen Man betrachtet dazu die Energien, die im elektrischen und im magnetischen Feld gespeichert sind. Dieses sind:

99 Die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer elektromagnetischen Welle Schwingungen und Wellen Für die jeweiligen Energiedichten erhält man dann

100 Die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer elektromagnetischen Welle Schwingungen und Wellen Setzt man die Energiedichten gleich, so erhält man Elektromagnetische Wellen breiten sich im Vakuum mit der Lichtgeschwindigkeit c aus. Elektromagnetische Wellen breiten sich in Materie langsamer aus als im Vakuum.

101 Die elektromagnetische Welle - Simulation Schwingungen und Wellen Simulation

102 Der Hertzsche Dipol - Simulation Simulation einer elektromagn. Welle Schwingungen und Wellen

103 Der Hertzsche Dipol - Das Fernfeld Schwingungen und Wellen

104 Der Hertzsche Dipol - Das Fernfeld Schwingungen und Wellen

105 Der Hertzsche Dipol - Das Fernfeld Schwingungen und Wellen

106 Der Hertzsche Dipol - Das Fernfeld Schwingungen und Wellen

107 Der Hertzsche Dipol Schwingungen und Wellen

108 Beugung von Wellen Wellen breiten sich hinter Hindernissen (auch Öffnungen) auch im geometrischen Schattenraum des Hindernisses aus. Dieses Verhalten bezeichnet man als Beugung. Der Schattenraum des Hindernisses ergibt sich aus der Normalen der einfallenden Welle. Die Stärke der Beugung hängt vom Verhältnis der Größe der beugenden Struktur ab: -Wenn die Größe der beugenden Struktur wesentlich größer ist als die Wellenlänge, ist die Beugung zu vernachlässigen. -Die Beugung ist am stärksten, wenn die Ausmaße der beugenden Struktur von gleicher Größenordnung wie die Wellenlänge ist. Beugung ist fast immer mit Interferenz verbunden.

109 Beugung am Doppelspalt

110 d sei der Gangunter- schied der beiden Wellen, die E1 bzw. E2 verlassen Es gibt jetzt zwei Sonderfälle: 1. Der Gangunterschied beträgt ein Vielfaches einer Wellenlänge, d.h. d = k mit k = 1,2,3…. Dann verstärken sich die Wellen maximal, man spricht von konstruktiver Interferenz. 2. Der Gangunterschied beträgt 1/2, 3/2, 5/2,…. Dann löschen sich die Wellen komplett aus, Man spricht von destruktiver Interferenz.

111 Man erhält also: Beugung am Doppelspalt

112 Man erhält also: Bezieht man jetzt noch den Winkel mit ein, so ergibt sich: Beugung am Doppelspalt Und damit wenn g der Abstand der beiden Spaltmitten ist

113 Beugung am Gitter Für den Intensitätsverlauf am Gitter erhält man die folgende Funktion (ohne Berücksichtigung der Beugung durch die Einzelspalte). In der Funktion kann der Winkelbereich und die Anzahl der Spalte angegeben werden. Die Funktion lautet:

114 Beugung am Gitter 2 Spalte3 Spalte 4 Spalte5 Spalte

115 Beugung am Gitter

116 2 Spalte 3 Spalte 7 Spalte15 Spalte

117 Beugung am Gitter

118 Das Bohrsche Atommodell – das Wasserstoffspektrum Copyright by H. Sporenberg Es gilt: Aus der Figur erkennt man: Setzt man beide Gleichungen gleich und löst nach auf, so erhält man: Beugung am Gitter

119 Wasserstoffähnliche Atome - Helium Copyright by H. Sporenberg Wellenlänge in nm FarbeIntensität 728,1dunkelrotsehr schwach 706,3rotschwach 667,6rotstark 587,4gelbstark 501,5grünstark 492,1blaugrünmittel 471,2blaugrünmittel 447,1blaumittel 438,7violettstark 414,3violettsehr schwach Beugung am Gitter

120 Verschiedene Spektren Helium

121 Beugung am Einzelspalt Liegt P auf der Hauptachse, so ergibt sich das Hauptmaximum. Alle N Wellen haben bis P den Gangunterschied d = 0. Sie verstärken sich gegenseitig.

122 Beugung am Einzelspalt Zur Erklärung nehmen wir N = 12 an. Als erstes erreicht der Gangunter- schied zwischen Welle 1 und Welle 12 den zur Auslöschung nötigen Wert/2. Dann ist er aber für alle anderen Wellen kleiner, so dass sich keine vollständige Auslöschung ergibt. Links und rechts vom Hauptmaxi- mum folgen symmetrisch zur Mitte die Minima 1. Ordnung. Hier lö- schen sich die N Wellen gegensei- tig aus.

123 Beugung am Einzelspalt Ein Minimum tritt auf, wenn sich alle 12 Wellen paarweise auslöschen. Der kleinste Winkel hierfür liegt vor, wenn der Gangunterschied zwischen den Wellen 1 und 7 /2 beträgt. Es gilt: sin 1 = d /(b/2) = /b

124 Beugung am Einzelspalt Für noch größere Winkel löschen sich z.B. die Wellen 1 und 5, 2 und 6, …, 4 und 8 aus. Dabei bleiben die Wellen 9 und 12 übrig. Weitere Minima entstehen erst wieder bei geeigneter paarweiser Aufteilung aller 12 Wellen. Dies tritt wieder ein, wenn sich die Wellen 1 und 4 auslöschen. Dann kann man den Spalt mit zwei Gruppen sich auslöschender Paare überdecken.

125 Beugung am Einzelspalt Weitere Minima entstehen erst wieder bei geeigneter paarweiser Aufteilung aller 12 Wellen. Dies tritt wieder ein, wenn sich die Wellen 1 und 4 auslöschen. Dann kann man den Spalt mit zwei Gruppen sich auslöschender Paare überdecken. Die erste Gruppe umfasst die Paare (1,4), (2,5), (3,6), die zweite die Paare (7,10) bis (9,12). Jede der Gruppen überdeckt im Spalt einen Streifen der Breite b/2. Es gilt: sin 2 = ( /2) /(b/4) =2*( /b)

126 Beugung am Einzelspalt Für die Lage der Maxima höherer Ordnung gilt: Bei der Beugung am Spalt treten Intensitätsminima auf. Für die Richtung des k-ten Minimums gilt:

127 Beugung am Einzelspalt Bei Öffnungen, deren Breite groß gegen- über der Wellenlänge ist, kann man die Beugung vernachlässigen. In diesem Fall ist die geometrische Optik als Grenzfall der Wellenoptik eine gute Näherung. Für die Lage der Maxima höherer Ordnung gilt:

128 Interferenz durch Reflexion Die CD als Reflexionsgitter Der Aufbau einer CD

129 Interferenz durch Reflexion Die CD als Reflexionsgitter

130 Interferenz durch Reflexion Die CD als Reflexionsgitter Beethoven verantwortlich für CD-Größe Der deutsche Komponist Ludwig van Beethoven (1770 bis 1827) ist entscheidend für die Größe der heutigen CDs und DVDs verantwortlich. Wie kam es dazu, dass der große Komponist über 150 Jahre nach seinem Tod die Größe eines Tonträgers bestimmen würde, von dem er zu Lebzeiten nicht einmal träumen konnte? Die Neunte Sinfonie von Beethoven war das Lieblingsstück von Norio Ohga, dem ehemaligen Vizepräsidenten des CD-Pioniers Sony. Das Stück sollte nach seiner Anweisung unbedingt Platz auf den Silberscheiben finden, um den Musikgenuss nicht durch lästiges Scheibenwechseln zu unterbrechen. (Auf die damals üblichen Vinyl Schallplatten passten bestenfalls nur etwas mehr als 30 Minuten). In der Version des Dirigenten Wilhelm Furtwängler aus dem Jahr 1951 dauerte die Sinfonie genau 74 Minuten. Aus technischer Sicht bedeuten 74 Minuten Musik einen CD-Durchmesser von 12 Zentimetern des damals neuen silbernen Datenträgers. Damit hatte Beethoven den Standard für CDs festgelegt. Die später hinzugekommenen DVDs haben den gleichen Durchmesser, allerdings nicht aus Datenkapazitätsgründen, sondern aus Gründen der Laufwerkskompatibilität.

131 Interferenz durch Reflexion Die CD als Reflexionsgitter Die Länge der Spirale Vereinfachend wird angenommen, dass es sich um konzentrische Kreise handelt. Der Fehler, den man dadurch macht, dürfte eher klein sein. Man berechnet dann alle Umfänge der Kreise und addiert diese. Mit Hilfe von Mathematica ist dies lediglich ein Befehl. Man erhält: Länge = 6017,28 m Sum[2 Pi r, {r, 0.025, 0.058, 1.43*10^(-6)}] Für die Geschwindigkeit erhält man: v = 6017,28 m/(70*60 s) = 1,4326 m/s

132 Interferenz durch Reflexion Die CD als Reflexionsgitter Die Länge der Spirale Wenn man Mathematica nicht zur Verfügung hat, muss man per Hand ausrechnen. Man addiert die Umfänge der konzentrischen Kreise Länge = 2 r + 2 (r + 1*x) + 2 (r + 2*x) + …. 2 (r + n *x) = 2 ( r + r + 1*x + r + 2*x + …. r + n *x) =2 ( n*r + 1*x + 2*x + …. n *x) =2 ( n*r + x ( …. n)) Für die Summe der ersten n natürlichen Zahlen erhält man (n+n 2 )/2. Diese Beziehung kann man mit Hilfe der vollständigen Induktion beweisen.

133 Interferenz durch Reflexion Die CD als Reflexionsgitter Die Länge der Spirale Am Ende erhält man: Länge =2 ( n*r + x *(n+n 2 )/2) Setzt man ein für: r = m - n = x = 1,43*10 -6 m So erhält man für die Länge: Länge = 6017,46 m Dies weicht kaum vom Ergebnis mit Mathematica ab.

134 Interferenz durch Reflexion Die CD als Reflexionsgitter Berechnen Sie die Geschwindigkeit, mit der die Datenspur am Lesekopf vorbeiläuft. Bei t = 70 min ergibt sich eine Geschwindigkeit von:

135 Interferenz durch Reflexion Die Schallplatte als Reflexionsgitter Ähnlich wie bei der CD kann man auch die Schallplatte als Reflexionsgitter ansehen. Der Aufbau ist wie bei der CD. Mit einem Laser der Wellenlänge 532 nm erhält man folgende Messwerte: Abstand LP zum Schirm: a = 1,64 m Abstand der 2. Maxima: 2,8 cm Die Auswertung ergibt für den Abstand der Spurrillen: g = 0, mm

136 Interferenz durch Reflexion Die Schallplatte als Reflexionsgitter Der innere Kreis misst r 1 = 0,064 cm, der äußere r 2 = 0,146 cm. Damit ergeben sich: (0,146m – 0,064 m)/1, m = 657 konzentrische Kreise als Näherung Summiert man jetzt ähnlich wie bei der CD über die Umfänge der konzentrischen Kreise, so erhält man als Näherung für die Länge der Spirale: 433,882 m

137 Lichtbrechung Brechungsgesetz: Das Verhältnis vom Sinus des Einfallswinkels zum Sinus des Brechungswinkels ist nur abhängig von den beiden Medien, zwischen denen der Übergang stattfindet, und unabhängig vom Einfalls- und Brechungswinkel. Die Größen n 1 und n 2 heißen (absoluter) Brechungsindex, n 12 heißt relativer Brechungsindex

138 Lichtbrechung Brechung erklärt das Wellenmodell mit dem Huygens´schen Prinzip und den unterschiedlichen Ge- schwindigkeiten der Wellen in verschiedenen Stoffen. Für den Zusammenhang zwischen Einfalls- winkel, Brechungswinkel und den entsprechenden Geschwindigkeiten c 1 und c 2 gilt:

139 Der Brechungsindex n gibt an, um wie viel langsamer sich Licht in einem Stoff (c n ) als im Vakuum (c) ausbreitet: Lichtbrechung

140 Für die Ausbreitungsgeschwin- digkeit elektromagnetischer Wellen liefert die Maxwell´sche Theorie Im Vakuum ist r = r = 1, also: Lichtbrechung

141 Interferenz an Seifenblasen Lichtbrechung Das Licht wird einerseits an der Vorderseite der Seifenhaut mit einem Phasensprung von p und andererseits an der Rückseite ohne Phasensprung reflektiert. Die beiden reflektierten Lichtwellen überlagern sich (interferieren). Je nach Dicke der Seifenhaut kommt es zu konstruktiver (verstärkender) oder destruktiver (auslöschender) Interferenz.

142 Interferenz an Seifenblasen Lichtbrechung Bei konstruktiver Interferenz ist der Wegunterschied zwischen den beiden reflektierten Wellenzüge das Vielfache der Wellenlänge, wobei der Phasensprung als halbe Wellenlänge mit berücksichtigt ist. Bei destruktiver Interferenz ist der Wegunterschied zwischen den beiden reflektierten Wellenzüge eine halbe Wellenlänge mehr als das Vielfache der Wellenlänge, wobei der Phasensprung als halbe Wellenlänge mit berücksichtigt ist.

143 Polarisation

144 Mit PolfilterOhne Polfilter

145 Vergütung von Linsen

146 Aufgaben Klett Seite 15 Beispiel

147 Aufgaben Klett Seite 15 Beispiel AuslenkungGeschwindigkeitBeschleunigung

148 Aufgaben Das Hemmpendel Das Hemmungspendel führt wohl eine Schwingung aus, diese ist jedoch nicht harmo- nisch. Zum einen ist die maxi- male Auslenkung auf der linken Seite nicht gleich der maximalen Auslenkung auf der rechten Sei- te. Zum anderen sind auch die Zeitdauern der beiden Halb- schwingungen nicht gleich lang. Führt das Hemmpendel eine harmonische Schwingung aus?

149 Aufgaben Das Hemmpendel Ein Fadenpendel hat die Schwingungsdauer 2,0 s. Der Pen- delkörper dieses Fadenpendels hat die Masse m = 1,0 kg. Der Faden hält eine maximale Spannkraft von F m = 15 N aus. a) Berechnen Sie die Pendellänge dieses Fadenpendels. b) Wie groß ist die maximale zulässige Geschwindigkeit beim Durchgang durch die Gleichgewichtslage, ohne dass der Faden reißt?

150 Aufgaben Das Hemmpendel c) Nun wird h = 50 cm unterhalb des Aufhängepunktes ein Stift eingeführt, an dem der Pendelfaden anschlägt und abknickt (Hemmungspendel). Berechnen Sie die Schwingungsdauer dieses Hemmungspendels. d) Berechnen Sie den Winkel.

151 Aufgaben Wellen 1.Aufgabe: Während 12 Schwingungen innerhalb von 3 Sekunden ablaufen, breitet sich eine Störung um 3,6 m aus. Berechnen Sie Wellenlänge, Frequenz und Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle. 2.Aufgabe: Gleiche Pendel sind in einer Reihe im Abstand von 0,4 m aufgestellt. Sie werden nacheinander im zeitlichen Abstand von 0,5 s angestoßen, so dass das 1. und 5., das 2. und 6. usw. Pendel phasengleich schwingen. Mit welcher Geschwindigkeit, Wellenlänge und Frequenz läuft die Welle über die Pendelkette?

152 Aufgaben Wellen 3.Aufgabe: Eine harmonische Schwingung mit y(t) = y max sin t breite sich vom Nullpunkt als transversale Störung längs der x- Achse mit der Geschwindigkeit v = 7,5 mm/s aus. Es sei weiter y max = 1 cm und = /2 Hz. a)Berechnen Sie die Periodendauer T, die Frequenz f und die Wellenlänge. b)Wie heißt die Wellengleichung? c)Zeichnen Sie maßstäblich das Momentanbild der Störung nach t 1 = 4 s, t 2 = 6 s und t 3 = 9s. d)Wie heißen die Schwingungsgleichungen für die Oszillatoren, die an den Orten x 1 = 5,25 cm bzw. x 2 = 7,5 cm von der Störung erfasst werden

153 Aufgaben Wellen 3.Aufgabe - Lösung Mit Hilfe der Gleichung = 2 f erhält man für f: f = ¼ Hz und T = 4 s. Aus der Gleichung c = f ergibt sich für : = 0,03 m = 3 cm. Damit ergibt sich für die Wellengleichung:

154 Aufgaben Wellen 3.Aufgabe c) - Lösung

155 Aufgaben Wellen 3.Aufgabe c) - Lösung

156 Aufgaben Wellen 3.Aufgabe c) - Lösung

157 Aufgaben Wellen 3.Aufgabe c) - Lösung Die Gleichungen lauten

158 Aufgaben Wellen 4.Aufgabe: Eine Querwelle schreite mit der Geschwindigkeit v = 2,5 m/s längs der +x-Achse fort. Der Erreger (x = 0) starte zur Zeit t = 0 s seine Sinusschwingung mit f = 50 Hz und der Amplitude 2,0 cm. a)Zeichnen Sie die Welle zu den Zeiten t1 = 0,050 s und t2 = 0,055 s b)Zeichnen Sie das Diagramm der Teilchenschwingung am Ort x = 3,75 cm. c)Welcher grundlegender Unterschied besteht zwischen den Kurven bei a) und b)?

159 Aufgaben Wellen Lösung 4.Aufgabe Die Bilder in a) stellen Momentauf- nahmen der Wellen dar. (x-y- System). Das Bild in b) stellt den zeitlichen Verlauf der Schwingung eines Oszillators dar (t-y-System) a) b)

160 Aufgaben Wellen 5.Aufgabe Eine sinusförmige Welle bewegt sich in die positive x- Richtung. Schreiben Sie mit den Informationen der beiden Graphen die Wellengleichung auf.

161 Wellen Lösung 5.Aufgabe Die Wellengleichung lautet Aus einem der beiden Graphen entnimmt man: s max = 0,01 m Aus dem rechten Graphen entnimmt man: = 0,04 m Aus dem linken Graphen entnimmt man: T = 0,02 s. Die Wellengleichung für diese Aufgabe lautet dann Aufgaben

162 Wellen Dorn Seite 178 A. 2 Ein Dipol der Länge l = 1 m wird zu elektromagnetischen Schwingungen der Frequenz f = 150 MHz angeregt. Aus der Helligkeit eines Lämpchens in seiner Mitte schließt man auf eine Stromstärke von I eff = 100 mA. a) Wie groß ist die Stromstärke im Dipol an den Stellen, die 25 cm bzw. 12,5 cm von seinem Ende entfernt sind? b) Die Anregungsfrequenz wird auf 300 MHz erhöht. Wie groß ist die Stromstärke in der Mitte des Dipols? Aufgaben

163 Wellen Aufgabenzettel Welle1 Aufgabe 3 3.Aufgabe: Im Nullpunkt eines Koordinatensystems findet vom Zeitpunkt t o = 0 s an eine Schwingung statt, die dem Gesetz s(t) = 0,08 m sin ( t s -1 ) genügt. Diese Schwingung erzeugt eine Transversalwelle, die sich ungedämpft in Richtung der positiven x-Achse mit der Geschwindigkeit c = 0,2 m/s ausbreitet. a) Wie groß sind die Schwingungsdauer T und die Frequenz f der Schwingung, wie groß ist die Wellenlänge der Welle? b) Wie lautet die Gleichung dieser Welle? c) Zeichnen Sie die Welle zu den Zeiten t 1 = 2 s, t 2 = 3 s, t 3 = 4,5 s, t 4 = 7,5 s. d) Wie lauten die Gleichungen für die Schwingungen, die in den Punkten mit den Koordinaten x 1 = 30 cm, x 2 = 80 cm und x 3 = 100 cm stattfinden? Anleitung: Verwenden Sie die trigonometrische Beziehung: sin ( - ) = sin cos - cos sin Aufgaben

164 Wellen Aufgabenzettel Welle1 Aufgabe 3 Lösung a) T = 2 s; = 0.40 m b) Aufgaben d) x 1 = 30 cm d) x 2 = 80 cm d) x 3 = 100 cm

165 Wellen Aufgabenzettel Welle1 Aufgabe 3 Lösung Aufgaben

166 Wellen Aufgabenzettel Welle1 Aufgabe 3 Lösung Aufgaben

167 Licht als Welle Aufgabenzettel Spalt_Gitter1 Aufgabe 1 Aufgaben 1.Aufgabe: Grünes Licht ( = 546 nm) trifft auf einen Doppel- spalt. Auf einem 2,00 m entfernten Schirm entfallen 8 dunkle Streifen auf 2,0 cm. Zeigen Sie, dass der Abstand zwischen benachbarten dunklen Streifen konstant ist. Wie groß ist der Abstand der Spaltmitten? Wie ändert sich der Streifenabstand, wenn man den Abstand der Spaltmitten verkleinert?

168 Licht als Welle Aufgabenzettel Spalt_Gitter1 Aufgabe 1 - Lösung Aufgaben Die Näherung für kleine Winkel ist anwendbar. a)Dunkle Streifen bedeuten Minima, helle Maxima. Für die Maxima erhält man: b)Mit k = 8 und a k = 2,0 cm erhält man: c) Der Streifenabstand wächst umgekehrt proportional zum Spaltenabstand

169 Licht als Welle Aufgabenzettel Spalt_Gitter1 Aufgabe 2 Aufgaben 2.Aufgabe: Ebene Schallwelle von f = 15 kHz treffen auf einen Doppelspalt mit der Spaltbreite b = 2,0 cm und dem Abstand der Spaltmitten g = 8,0 cm. Unter welchem Winkel k sind Maxima zu erwarten, und wie viele treten höchstens auf?

170 Licht als Welle Aufgabenzettel Spalt_Gitter1 Aufgabe 2 - Lösung Aufgaben 2. Aufgabe Durch Interferenz entstehen Maxima für Daraus ergibt sich für sin 1 = 0,288, d.h. 1 = 16,7 o. Weitere Maxima ergeben sich für 2 = 35,1 o und 3 = 59,6 o. Maxima höherer Ordnung sind nicht möglich, da schon sin 4 > 1 ist.

171 Licht als Welle Aufgabenzettel Spalt_Gitter1 Aufgabe 3 Aufgaben 3.Aufgabe: Ein Gitter mit 1000 Spalten pro cm wird von Laserlicht durchstrahlt. In 4 m Abstand vom Gitter sind die Hauptmaxima 1. Ordnung 25,4 cm voneinander entfernt. Berechnen Sie die Wellenlänge. Es gilt

172 Licht als Welle Aufgabenzettel Spalt_Gitter1 Aufgabe 4 Aufgaben 4. Aufgabe: Auf ein Gitter mit g = 4*10 -5 m fällt weißes Glühlicht ( 400 nm <= <= 800 nm). a) Errechnen Sie die Winkelbereiche für die Maxima 1., 2. und 3. Ordnung. b) Welches ist der kleinste Winkel, für den eine Überlagerung verschiedener Ordnung auftritt? c) Wie weit sind die Spektren 1. Ordnung auf einem 3 m entfernten Schirm auseinandergezogen? d) Welche Breite ergibt sich bei c), wenn der Versuch unter Wasser durchgeführt wird? e) Ein Spektrum enthält als kürzeste Wellenlänge = 450 nm. Welchen Wellenlängenbereich darf es nur umfassen, wenn sich die 5. Ordnung nicht mit benachbarten Ordnungen überlagern soll?

173 Licht als Welle Aufgabenzettel Spalt_Gitter1 Aufgabe 4 - Lösung Aufgaben 4. Aufgabe: a)1.Ordnung: 0,57 o 1,15 o 2.Ordnung: 1,15 o 2,29 o 3.Ordnung: 1,72 o 3,44 o b) = 1,72 o c) Die Spektren 1. Ordnung liegen vom Zentrum gemessen im Bereich 3 cm s 6 cm n w = ¾ L / n w, 2,25 cm s 4,5 cm d) Für die größte Wellenlänge * gilt: Sin 5 (* ) Sin 6 ( ) 5 * 6 * = 6/5 = 540 nm

174 Licht als Welle – das Gitter Aufgaben Dorn – Seite 189 A. 1 Ein Gitter hat 500 Linien pro mm. Der Schirmabstand beträgt 1,50 m. Welchen Abstand hat für = 780 nm die Spektrallinie 1. Ordnung von der Linie 2. Ordnung? Die beiden Spektrallinien 1. Ordnung von Na-Licht ( = 780 nm) haben auf einem 1,00 m entfernten Schirm den Abstand 11,8 cm. Wie groß ist g? Ein Gitter mit 5000 Strichen pro cm wird mit parallelem weißem Glühlicht beleuchtet. Der Schirm hat die Form eines Halbzylinders, in dessen Mittelachse das Gitter steht. a)Bis zu welcher Ordnung kann das sichtbare Spektrum beobachtet werden? b)Welche Wellenlänge ergibt sich aus sin k = 1 = k /g in der höchsten Ordnung?

175 Licht als Welle – das Gitter Aufgaben Dorn – Seite 189 A. 1 Ein Gitter hat 500 Linien pro mm. Der Schirmabstand beträgt 1,50 m. Welchen Abstand hat für = 780 nm die Spektrallinie 1. Ordnung von der Linie 2. Ordnung? Folgendes Gleichungssystem ist zu lösen Mit den Werten g = 1/ m, a = 1,50 m, = 780 nm, einmal mit k = 1, das andere Mal mit k = 2. Die Differenz bildet dann den Abstand der beiden Maxima. Man erhält: k=1-> d1=0,635307, = 22,9545 o k=2-> d2=1,86967, = 51,2606 o Damit: d2 – d1 = 1,23436

176 Licht als Welle – das Gitter Aufgaben Gitter2.doc 4.Aufgabe: Die gelbe Linie im Quecksilberspektrum hat die Wellenlänge = 578 nm. Im Spektrum 3.Ordnung fällt sie fast genau mit der blauen Quecksilberlinie 4.Ordnung zusammen. a) Berechnen Sie die Wellenlänge dieser blauen Linie. b) Wie viele Spalte pro mm darf das Gitter höchstens haben, damit die Ablenkung dieser Linie gegen das Maximum 0.Ordnung nicht mehr als 45 o beträgt?

177 Licht als Welle – das Gitter Aufgaben Gitter2.doc Lösung a) Die Winkel für die Ablenkung bei gelb und blau ist gleich, daher auch der sinus. blau = 0, nm = 433,5 nm b) Folgende Gleichung muss gelöst werden: Es ergibt sich: g = 2,45225*10 -6 m, das sind Spalte pro m oder 407 Spalte pro mm.

178 Licht als Welle – das Gitter Aufgaben Gitter2.doc 5.Aufgabe: Das Glühlicht einer Bogenlampe soll mit einem Gitter zerlegt werden. a) Skizzieren Sie eine Versuchsanordnung, die geeignet ist, mit Glühlicht ein auswertbares Interferenzbild zu erzeugen. Das Gitter ist ein Rowlandgitter mit 570 Strichen/mm. Auf einem Schirm im Abstand 2,50 m haben die beiden Enden des Spektrums 1. Ordnung vom Maximum 0. Ordnung den Abstand 57 cm bzw. 122 cm. b) Geben Sie an, welcher der beiden Abstände zum roten bzw. violetten Ende des Spektrums gehört. c) Berechnen Sie die Wellenlänge des Lichtes am roten bzw. violetten Ende des Spektrums.

179 Licht als Welle – das Gitter Aufgaben Gitter2.doc b) Es muss der Winkel berechnet werden und zwar mit Hilfe der folgenden Gleichung: Lösung Der Winkel für: rot -> = 23,5 0 Violett -> = 13,1 0 Dies Ergebnis hätte man auch ohne Rechnung erhalten können (rot wird stärker gebeugt als violett)

180 Licht als Welle – das Gitter Aufgaben Gitter2.doc c) Die Winkel für die entsprechenden Wellenlängen erhält man aus der Beziehung: Für rot bzw. violett erhält man: rot -> 26,01 0 und violett -> 12,84 0 Mit Hilfe der Gleichung können jetzt die entsprechenden Wellenlängen ausgerechnet werden. Rot: 769,41 nm und Violett: 389,99 nm Lösung

181 Licht als Welle – Interferenz an der CD Aufgaben Aufgabe: Auf einer CD ( compact disc) ist die Information auf einer spiralförmigen Spur gespeichert. Die Abb. 1 zeigt schematisch den stark vergrößerten Teil einer CD-Oberfläche im Querschnitt:

182 Licht als Welle – Interferenz an der CD Aufgaben Die Erhebungen zwischen benachbarten Spuren reflektieren Licht und können damit als Erregerzentren von Elementarwellen, die miteinander interferieren, aufgefasst werden. Die Oberfläche der CD ist demnach ein Reflexionsgitter mit der Gitterkonstanten b.

183 Licht als Welle – Interferenz an der CD Aufgaben Wird eine CD, wie in Abb. 2 dargestellt, senkrecht mit Laserlicht der Wellenlänge λ = 633 nm bestrahlt, so beobachtet man auf einem im Abstand a = 30,0 cm parallel stehenden Schirm (Radius 50 cm) helle, zum Strahl symmetrisch liegende Punkte.

184 Licht als Welle – Interferenz an der CD Aufgaben a)Erklären Sie unter Zuhilfenahme einer aussagekräftigen Skizze das Zustandekommen dieser Punkte. b)Der Abstand der beiden innersten Punkte auf dem Schirm beträgt 25,8 cm. Berechnen Sie daraus den Abstand b benachbarter CD-Rillen. [zur Kontrolle: b = 1,60 μm] c)Ermitteln Sie, wie viele Punkte man auf dem Schirm beobachten kann. d)Nun wird die CD mit einem feinen Strahl weißen Lichtes beleuchtet. Entscheiden Sie rechnerisch, ob das sichtbare Spektrum zweiter Ordnung auf dem Schirm noch vollständig abgebildet wird.

185 Licht als Welle – Interferenz an der CD Aufgaben Die Erhebungen zwischen benachbarten Spuren reflektieren Licht und können damit als Erregerzentren von Elementarwellen, die miteinander interferieren, aufgefasst werden. Die Oberfläche der CD ist demnach ein Reflexionsgitter mit der Gitterkonstanten b.

186 Licht als Welle – Interferenz an der CD Aufgaben a) Unter dem Winkel α ergibt sich ein Intensitätsmaximum, falls Lösung Aus der Zeichnung ersieht man, dass gilt: Analog ergeben sich die bezüglich des Einfallslotes achsensymmetrisch liegenden Maxima.

187 Licht als Welle – Interferenz an der CD Aufgaben b) Die innersten Punkte sind die symmetrisch liegenden Maxima 1. Ordnung (k = 1). d = 25,8 cm : 2 = 12,9 cm Lösung

188 Licht als Welle – Interferenz an der CD Aufgaben c) Für d muss gelten: d < 50 cm Ein Punkt ist noch zu beobachten, wenn: α < α max Lösung Also treffen die Maxima zweiter Ordnung auch noch auf den Schirm, so dass insgesamt vier Punkte auf dem Schirm zu beobachten sind (2 x Maximum 1. Ordnung; 2 x Maximum 2. Ordnung). Für den roten Rand des Maxi- mums 2. Ordnung ergibt sich näherungsweise: Somit findet keine vollständige Abbildung des Maximums 2. Ordnung des sichtbaren Lichts auf dem Schirm statt.

189 Auflösungsvermögen des Gitters Aufgaben Aufgabe: Ein Kollegiat untersucht im Praktikum das Spektrum einer Quecksilberdampflampe mit Hilfe verschiedener optischer Gitter. Im sichtbaren Bereich stellt er auf einem Beobachtungsschirm drei intensive Linien fest, eine gelbe mit der Wellenlänge 578 nm, eine grüne mit 492nm und eine blaue mit 436nm. a)Erklären Sie, weshalb eine Quecksilberdampflampe ein Linienspektrum emittieren kann. Bei Verwendung eines Gitters mit 400 Spalten pro Zentimeter beobachtet der Kollegiat, dass die drei sichtbaren Linien des Spektrums 2. Ordnung nicht mit denen des Spektrums 3. Ordnung b)Zeigen Sie, dass dies unabhängig von der Gitterkonstanten gilt. c)Der Kollegiat ersetzt den Beobachtungsschirm durch seinen weißen Hemdsärmel und bemerkt nun eine neue blau erscheinende Linie, die mit der gelben Linie im Spektrum 2. Ordnung zusammenfällt. Welche Wellenlänge hat die neue Linie, wenn man annimmt, dass diese Linie in 3. Ordnung erscheint? Erklären sie das Auftreten der neuen Linie.

190 Auflösungsvermögen des Gitters Aufgaben Laut Formelsammlung besteht die beobachtete gelbe Linie aus zwei nahe beieinander liegenden Einzellinien. Kann der Kollegiat diese beiden Linien im Spektrum 2. Ordnung getrennt beobachten, wenn er das feinste Gitter benützt, das ihm zur Verfügung steht? Dieses Gitter hat die Breite 5,0 mm und die Gitterkonstante 3,5 mm. [Hinweis: Für das Auflösungsvermögen eines optischen Gitters gilt: Dabei bedeuten k die Ordnung des Spektrums, N die Anzahl der beleuchteten Gitterspalte und Δλ den kleinsten beobachtbaren Wellenlängenunterschied.]

191 Auflösungsvermögen des Gitters Aufgaben a)Linienspektren sind dann zu erwarten, wenn die angeregten Atome relativ ungestört sind, d.h. keine Druckverbreiterung, kein Einbau in Festkörper oder Einbau in Verbindungen vorliegt. In der Quecksilber- dampflampe erfolgt die Anregung von freien Quecksilberatomen durch Elektronenstoß. Da die Energiestufen im ungestörten Hg-Atom diskret sind, werden beim Übergang in energetisch günstigere Zustände Photonen mit diskreten Energien ausgesandt. Dies äußert sich in einem Linienspektrum, bei dem nur elektromagnetische Strahlung mit bestimmten Wellenlängen vorkommt. b) Für den Gangunterschied Δ s gilt für das Maximum k-ter Ordnung: Δ s = k · λ oder b· sinα = k· λ. Hieraus sieht man, dass bei einer bestimmten Ordnung das Licht mit größerer Wellenlänge am weitesten abgelenkt wird. Berechnung des Gangunterschiedes benachbarter Strahlen der am weitesten von der optischen Achse entfernten Linie im Spektrum 2. Ordnung: Δ s = 2 · λ gelb => Δ s = 2 · 578 nm = 1,2m m Lösung

192 Auflösungsvermögen des Gitters Aufgaben b) Berechnung des Gangunterschiedes benachbarter Strahlen der am wenigsten von der optischen Achse entfernten Linie im Spektrum 3. Ordnung: Δ s* = 3 · λ blau => Δ s = 3 · 436 nm = 1,3m m Man sieht, dass Δ s < Δ s* ist und somit auch α 2, gelb < α 3, blau. Bei dieser Betrachtung spielte die Gitterkonstante keine Rolle, also kann man allgemein davon ausgehen, dass sich bei Quecksilber die deutlich sichtbaren Spektren 2. und 3. Ordnung nicht überlappen. c) Berechnung der Wellenlänge der neuen Linie: 2 · λ geb = 3 · λ neu => Die neue Linie liegt im ultravioletten Bereich des elektromagnetischen Spektrums. Die "Weißmacher" im Hemd wandeln das nicht sichtbare ultraviolette Licht in sichtbares Licht um (Fluoreszenz). Lösung

193 Auflösungsvermögen des Gitters Aufgaben d)Aus der Formelsammlung kann man entnehmen, dass die Wellenlängen des gelben Lichts bei Quecksilber λ gelb,1 = 579,1nm und λ gelb,2 = 577,0 nm sind. Es gilt also Δλ * = 2,1nm. Maximalzahl der beleuchteten Spalte N: Berechnung des Wellenlängeunterschieds Δλ, der mit dem vorhandenen Gitter noch auflösbar ist: Lösung Man sieht, dass der Kollegiat mit seiner Anordnung die beiden gelben Linien trennen könnte.

194 Farben dünner Schichten – Öl auf Wasser Aufgaben Dünne Ölschichten auf Wasser schimmern bei Tageslicht in verschiedenen Farben. Zur Erklärung wird Licht betrachtet, das unter dem Winkel a auf eine Ölschicht der Dicke d fällt. Erläutern Sie mit Hilfe der neben- stehenden Zeichnung das Zustan- dekommen der Interferenz bei Reflexion. Geben Sie den optischen Gangun- terschied Δs der parallelen Strah- len 1 und 2 mit den Bezeichnun- gen aus der Zeichnung an. Verwenden Sie dabei, dass Was- ser optische dichter ist als Öl und dass die optische Weglänge gleich dem Produkt aus geometrischer Weglänge und der Brechzahl ist.

195 Farben dünner Schichten – Öl auf Wasser Aufgaben Die mathematische Auswertung des in Teilaufgabe 3a verlangten Ansatzes liefert (Herleitung nicht erforderlich). b)Erklären Sie, weshalb die Ölschicht bei Tageslicht farbig schimmert. c)Auf einer Wasserpfütze hat sich Öl mit der Brechzahl n = 1,20 in einer 560 nm dicken Schicht ausgebreitet. Für welche Einfallswinkel wird grünes Licht der Wellenlänge 510 nm unterdrückt?

196 Farben dünner Schichten – Öl auf Wasser Aufgaben a) Der Gangunterschied der beiden Strahlen 1 und 2 ist s: n: Brechzahl von Öl (n > 1) Da beide Strahlen am optisch dichteren Medium reflektiert werden, egalisieren sich die beiden dabei auftretenden Phasensprünge. Lösung Auf die Ölschicht trifft weißes Tages- licht (Licht in dem alle "sichtbaren Frequenzen" vorkommen). Durch die Interferenz an der Ölschicht kommt es – abhängig vom Winkel α - für bestimmte Frequenzen zu destruk- tiver Interferenz, d.h. diese Frequen- zen fehlen im reflektierten Licht, so dass sich in Reflexion nicht mehr weißes Licht ergibt.

197 Farben dünner Schichten – Öl auf Wasser Aufgaben c) Bedingung für destruktive Interferenz: Berechnung der Winkel, bei denen grünes Licht unterdrückt wird: Lösung

198 Farben dünner Schichten – Öl auf Wasser Aufgaben c) Für k = 1 ist sinα1 > 1, also keine Auslöschung möglich. Für k = 2 gilt: Für k = 3 gilt: Für k = 4 wird der Radikand negativ! Lösung

199 Farben dünner Schichten Aufgaben Aufgabe: a) Auf einer Wasserpfütze (n w = 1,33) schwimmt ein dünner Ölfilm (n öl = 1,40). Weißes Licht fällt nahezu senkrecht auf den Ölfilm. Bei der Beobachtung in Reflexion hat man von der Ölschicht einen "gelblichen" Farbeindruck, da blaues Licht (λ = 469nm) durch Interferenz eliminiert wird. Zeichnen Sie die für die Interferenz maßgeblichen Strahlen ein und berechnen Sie die kleinste von Null verschiedene Dicke der Ölschicht, damit der geschilderte Effekt eintritt. Auf einer Wasserpfütze (n w = 1,33) schwimmt ein dünner Ölfilm (n öl = 1,40). Weißes Licht fällt nahezu senkrecht auf den Ölfilm. Bei der Beobachtung in Reflexion hat man von der Ölschicht einen "gelblichen" Farbeindruck, da blaues Licht (λ = 469nm) durch Interferenz eliminiert wird.

200 Farben dünner Schichten Aufgaben b)Tatsächlich erscheint die Ölschicht in verschiedenen Farben. Was könnte hierfür der Grund sein? c)Das nebenstehende Bild zeigt eine mit weißem Licht bestrahlte Seifenhaut vor dunklem Hintergrund, die sich schon einige Zeit zwischen einem Drahtrahmen befindet. Erklären Sie die Farbschichtungen im unteren Teil der Seifenhaut qualitativ. Gehen Sie auch darauf ein, warum die Seifenhaut kurz vor dem Abreißen im oberen Teil schwarz erscheint.

201 Newtonsche Ringe Aufgaben Aufgabe: Bei nebenstehendem Foto von war der Abstand vom Newtonglas zur Abbildungslinse g = 15 cm, der Abstand Abbildungslinse zur Beobachtungswand b = 3,00 m. Der Krüm- mungsradius der Linse ist R = 3,0 m, der eingefügte Maßstab hat cm-Einteilung. 1.Bestimme die Radien der 2. und 3. roten Ringes auf dem Bild und die zugehörigen Originalradien. 2.Wodurch kommen die farbigen Ringe zustande? 3.Bestimme den effektiven Wegunterschied zweier interferierender Lichtstrahlen im Abstand r vom Kreismittelpunkt. 4.Bestimme daraus die Wellenlänge des roten Lichts.

202 Linsenvergütung Aufgaben Aufgabe: Man kann die Lichtreflexion einer Glasoberfläche stark herabsetzen, wenn man die Oberfläche mit einer dünnen ein- oder mehrlagigen Schicht aus transparentem Material von geeignetem Brechungsindex überzieht. Die an den Schichtgrenzen reflektierten Wellen können sich praktisch aufheben. Die Schichten werden im Vakuum aufgedampft.

203 Linsenvergütung Aufgaben Aufgabe: Man berechne den Brechungs- index n 2 und die Dicke d der Vergütungsschicht, die für senk-rechten Lichtauffall und für l = 500,0 nm Reflexions- freiheit bei Glas mit dem Brechungsindex n 3 = 1,5 ergibt.

204 Licht als Welle Aufgaben

205 Licht als Welle Aufgaben

206 2. Klausur Jahrgangsstufe 12/2 Datum: Kurslehrer: H.Sporenberg Klausuren 1. Aufgabe: Ebene Lichtwellen der Wellenlänge fallen senkrecht auf einen Doppelspalt. Die beiden Spaltöffnungen sind so eng, dass man sie als Zentren von Elementarwellen ansehen kann. Die Entfernung der entsprechenden Spaltkanten sei g = 0,4 mm. In der Entfernung e = 1,8 m befindet sich hinter dem Doppelspalt ein zu ihm paralleler Schirm. a) Unter welchen Winkeln zur ursprünglichen Ausbreitungs- richtung des Lichtes erscheinen helle bzw. dunkle Streifen auf dem Schirm? Skizzieren Sie die Versuchsanordnung und leiten Sie eine allgemeine Gleichung für her. b) Zwei benachbarte helle Streifen auf dem Schirm haben für kleine Werte von die Entfernung d 1 = 2,5 mm. Berechnen Sie die Wellenlänge.

207 2. Klausur Jahrgangsstufe 12/2 Datum: Kurslehrer: H.Sporenberg Klausuren 2. Aufgabe: Im Licht einer Quecksilberhochdrucklampe sind die Wellenlängen 1 = 578 nm (gelb) und 2 = 436 nm (blau) besonders intensitätsstark. Dieses Licht fällt auf ein optisches Strichgitter mit 350 Spalten je 1 cm Gitterbreite. a) Leiten Sie die Beziehung für das Auftreten der Maxima am Gitter her. Geben Sie auch eine Skizze der Versuchsanordnung an. a) Welche Ordnung n hat diejenige gelbe Linie, die mit der blauen Linie der Ordnung (n+1) praktisch zusammenfällt? b) Welcher Beugungswinkel liegt für den unter a) betrachteten Fall vor? Berechnen Sie diesen Beugungswinkel für die gelbe und die blaue Linie zur Kontrolle der Übereinstimmung getrennt. c) Hinter dem Gitter befindet sich in der Entfernung e = 2,25 m ein Schirm, auf dem die gelben und die blauen Linien beobachtet werden können. In welchem Abstand von der Symmetrieachse der Beugungsfigur befindet sich die unter a) betrachtete gelbe bzw. blaue Linie?

208 2. Klausur Jahrgangsstufe 12/2 Datum: Kurslehrer: H.Sporenberg Klausuren 3. Aufgabe: Auf einen Spalt der Breite 0,4 mm fällt einfarbiges paralleles Licht. Auf der anderen Seite des Spaltes steht im Abstand 3,2 m parallel zur Spaltebene ein Schirm, auf dem Beugungsstreifen beobachtet werden. a) Für die den zentralen hellen Streifen einschließenden dunklen Streifen wird ein Abstand von 8,6 mm gemessen. Berechnen Sie die Wellenlänge und die Frequenz des benutzten Lichtes. b) Der Spalt wird auf 0,2 mm Breite verengt. Berechnen Sie, wie sich dies auf die Breite des zentralen hellen Streifens auswirkt.

209 2. Klausur Jahrgangsstufe 12/2 Datum: Kurslehrer: H.Sporenberg Klausuren 4. Aufgabe: Das Spektrum einer Helium-Spektrallampe soll mit Hilfe eines Beugungsgitters (100 Spalte pro mm) erzeugt werden. Zur Beobachtung des Spektrums befindet sich in 1,0 m Entfernung ein Schirm. a) Erstellen Sie eine beschriftete Skizze eines geeigneten Versuchsaufbaus. b) Auf dem Schirm ist in 1. Ordnung unter anderem eine gelbe Linie zu sehen, die vom zentralen Maximum 5,9 cm entfernt ist. Berechnen Sie die Wellenlänge dieser Linie. c) Auf dem Schirm treten auf derselben Seite bezüglich des zentralen Maximums die Spektrallinien zweiter Ordnung des roten Lichts (λ rot = 667,8 nm) und des violetten Lichts (λ violett = 402,6 nm) auf. Berechnen Sie den gegenseitigen Abstand dieser Linien.

210 2. Klausur - Lösung Klausuren Für die Maxima gilt: Für die Minima gilt: 1.Aufgabe: a) Der Gangunterschied d spielt für die Maxima bzw. Minima die entscheidende Rolle

211 2. Klausur - Lösung Klausuren Für die Wellenlänge ergibt sich: = 555 nm 1. Aufgabe: b)

212 2. Klausur - Lösung Klausuren Da die beiden Linien übereinander liegen sollen, müssen die Winkel und damit auch der jeweilige Sinus gleich sein. 2. Aufgabe: b)

213 2. Klausur - Lösung Klausuren Man benutzt die in b) aufgestellten Formeln für n = Aufgabe: c) Es ergibt sich für: n (gelb) = 3,479 o n+1 (blau) = 3,499 o

214 2. Klausur - Lösung Klausuren Die Abstände müssen für gelb (n=3) und blau (n=4) gleich sein. Dieses war bei c) so ausgerechnet worden. Ein kleiner Unterschied ergibt sich jedoch, wie man aus der Winkelberechnung getrennt nach gelb und blau sehen kann. 2. Aufgabe: d) Es ergibt sich für: x 3 (gelb) = 0,1368 m x 4 (blau) = 0,1376 m

215 2. Klausur - Lösung Klausuren Man benötigt die Gleichung für Interferenz am Einzelspalt. Die Bedingung für destruktive Interferenz (Minima) lautet: 3. Aufgabe: a) Für die Wellenlänge bzw. Frequenz erhält man: = 537,5 nm f = 1, Hz b) Halbiert man die Spaltbreite bei gleicher Wellenlänge, so verdoppelt sich der Abstand der Minima.

216 2. Klausur - Lösung Klausuren Setzt man die angegebenen Werte ein, so erhält man: = 588,97 nm 4. Aufgabe: b) c) Für die rote Linie erhält man als Abstand von der Mitte: x k (rot) = 0,1347 m und x k (violett) = 0,08098 m. Die Differenz ist dann: d = 0,05378 m

217 Intensität beim Gitter ohne Einzelspaltberücksichtigung Gitter/Einzelspalt Die Funktion, die die Intensität bei der Beugung am Gitter angibt, lautet: N: Anzahl der Spalte d: Gitterkonstante : Wellenlänge

218 Intensität beim Gitter ohne Einzelspaltberücksichtigung Gitter/Einzelspalt Die Funktion, die die Intensität bei der Beugung am Einzelspalt angibt, lautet: b: Spaltbreite : Wellenlänge

219 Intensität beim Gitter ohne Einzelspaltberücksichtigung Gitter/Einzelspalt Die Funktion, die die Intensität bei der Beugung am Gitter angibt und die Beugung durch den Einzelspalt berücksichtigt, lautet: N: Anzahl der Spalte d: Gitterkonstante b: Spaltbreit : Wellenlänge

220 Intensität beim Gitter ohne Einzelspaltberücksichtigung Gitter/Einzelspalt 1.Die Intensität beim Gitter in Abhängigkeit von der Anzahl der Spalte ohne Berücksichtigung der Überlagerung durch den Einzelspalt. Man erkennt n-2-Nebenmaxima (z.B. bei der gelben Kurve). Rot: 8 Spalte Blau: 6 Spalte Gelb: 4 Spalte = 400 nm g = 1/ Der Winkel wird in Rad angegeben. D.h. 0,1 Rad = 5,729 o

221 Intensität beim Gitter ohne Einzelspaltberücksichtigung 1.Die Intensität beim Gitter in Abhängigkeit von der Anzahl der Spalte ohne Berücksichtigung der Überlagerung durch den Einzelspalt. Hier mit rotem Licht Rot: 8 Spalte Blau: 6 Spalte Gelb: 4 Spalte = 800 nm g = 1/ Man erkennt, dass rotes Licht stärker gebeugt wird als blaues. Gitter/Einzelspalt

222 Intensität beim Gitter mit Einzelspaltberücksichtigung 2.Die Intensität beim Gitter in Abhängigkeit von der Anzahl der Spalte mit Berücksichtigung der Überlagerung durch den Einzelspalt. Hier mit blauem Licht 6 Spalte = 400 nm g = 1/ b = 1/ Gitter/Einzelspalt

223 Intensität beim Gitter mit Einzelspaltberücksichtigung 2.Die Intensität beim Gitter in Abhängigkeit von der Anzahl der Spalte mit Berücksichtigung der Überlagerung durch den Einzelspalt. Hier mit rotem Licht 6 Spalte = 800 nm g = 1/ b = 1/ Gitter/Einzelspalt

224 Intensität beim Gitter mit Einzelspaltberücksichtigung 2.Die Intensität beim Gitter in Abhängigkeit von der Anzahl der Spalte mit/ohne Berücksichtigung der Überlagerung durch den Einzelspalt. Man erkennt, dass die Nebenmaxima mit Berücksichtigung deutlich kleiner sind (rote Kurve). Die Hauptmaxima sind gleich. 12 Spalte = 400 nm g = 1/ b = 1/ Gitter/Einzelspalt

225 Intensität beim Gitter mit Einzelspaltberücksichtigung 2.Die Intensität beim Gitter in Abhängigkeit von der Anzahl der Spalte mit/ohne Berücksichtigung der Überlagerung durch den Einzelspalt. Man erkennt, dass die Nebenmaxima mit Berücksichtigung deutlich kleiner sind (rote Kurve). Die Hauptmaxima sind gleich. 12 Spalte = 800 nm g = 1/ b = 1/ Gitter/Einzelspalt


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