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Physik IV: Quantenmechanik
Historische Höhepunkte: 1900 Planck Einführung der „Hilfsgröße“ h (Wirkungsquantum) Erklärung des Spektrums der Wärmestrahlung 1905 Einstein Einführung des Lichtquants (Photon), E h Erklärung des Photoeffekts 1907 Einstein Gitterschwingungsquanten (Phononen), Evib h Erklärung der spezifischen Wärme der Festkörper 1913 Bohr Einführung des Drehimpulsquants, ħ h Erklärung des Wasserstoffspektrums 1924 de Broglie Postulat der Welle-Teilchen-Dualität, p ħ k Vorhersage von Materiewellen 1925 Schrödinger Wellen-Quantenmechanik Heisenberg Matrizen-Quantenmechanik Geburt der modernen Quanten(feld)theorie VL Phänomenologie (mit Experimenten) Anwendungen & Computer-Simulationen zur abstrakten Theorie
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1. Die Plancksche Quantenhypothese
1.1. Wärmestrahlung Wärmestrahlung Temperatur-abhängige e.m. Strahlung von Körpern Beispiel: Wärmestrahlung unserer Sonne Beispiel: Kosmische Infrarot-Hintergrundstrahlung vom Universum Licht von der Materie/Antimaterie-Vernichtung wurde 3…4105 Jahre nach dem Urknall freigesetzt als Kerne und Elektronen neutrale Atome bildeten Folgerung: Auch durch Vakuum getrennte Körper können sich mittels Austausch von Wärmestrahlung im thermischen Gleichgewicht befinden
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1.1.1. Erzeugung und Absorption von Strahlung
Beobachtung: Es gibt zwei Strahlungsklassen Typ 1: Diskrete Frequenzspektren (Linienspektren) bei atomaren molekularen Gasen nicht zu großen Drucks unabhängige Partikel T-unabhängig; Eigenschaft der Atomhüllen-Struktur Bohrsches Atommodell Typ 2: Kontinuierliche Frequenzspektren bei festen flüssigen Strahlern, Gasen großen Drucks, dichten Plasmen in charakteristischer Weise T-abhängig Beispiele: Glühlampe, Bogenlampe, Metallschmelze, Sonnenplasma
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Oberflächenelement des Strahlers ( Projektion Strahlungsrichtung )
Emissionsvermögen: d dF Oberflächenelement des Strahlers ( Projektion Strahlungsrichtung ) von dF in d emittierte Strahlungsleistung Definition: Emissionsvermögen: PE Geometriefaktor E Strahlungsleistung pro Fläche und Raumwinkel Beobachtung: E hängt von der Oberflächenbeschaffenheit ab schwarze Oberfläche E groß spiegelnde weiße Oberfläche E klein
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Integrales Absorptionsvermögen:
absorbierte Strahlungsleistung auftreffende Strahlungsleistung Gedankenexperiment: unterschiedl. Oberflächen ①, ② T ① ② idealer Spiegel Vakuum P1 P2 thermisches Gleichgewicht 2. Hauptsatz (Thermodynamik) unabhängig von Oberfläche Geometriefaktor Kirchhoffscher Strahlungssatz:
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Kirchhoffscher Strahlungssatz:
Defintion: Ein Körper heißt ideal schwarz, wenn seine Oberfläche alle elektromagnetische Strahlung vollkommen absorbiert, d.h. A 1. Folgerung: Ein ideal schwarzer Körper besitzt das größtmögliche Emissionvermögen für thermische Strahlung.
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E* Technische Realisierungen von schwarzen Körpern:
schwarze Oberfläche großer Rauhigkeit Vielfachstreuung, allmähliche Absorption, kaum Reflexion Hohlraum mit geschwärzten Innenwänden Wandtemperatur T kleines Loch E* Prinzip: Praktische Realisierung: Heizung Thermoelement Schwarzkörperstrahlung Hohlraumstrahlung universelles Emissionsspektrum für gegebene Temperatur
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1.1.2. Charakteristische Größen thermischer Strahlung
Strahlungsfeld Überlagerung ebener Wellen Energiedichte eines Strahlungsfeldes Spezialfall: Isotropes Feld
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Spektrale Energiedichten eines Strahlungsfeldes
Spezialfall: Isotropes Feld
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Intensität bzw. Energieflussdichte eines Strahlungsfeldes
dF Spezialfall: Isotropes Feld
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Messgröße: Strahlungs- bzw. Leuchtdichte einer Quellfläche
dF dFcos d dF Die Strahlungsdichte S* ist die pro Raumwinkel und projizierter Emissionsfläche in einem weit entfernten Detektor registrierte Leistung Analog: Spektrale Strahlungsdichten Spezialfall: S* ist richtungsunabhängig Quellfläche heißt Lambert- strahler. Hohlraumöffnungen sind Lambertstrahler!
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Zusammenhang mit der Energiedichte des Quellfeldes:
dF c dt d dF Analog: Isotropes Quellfeld:
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r Strahlungsleistung auf infinitesimaler Empfängerfläche: 2 dF1 dF2
1 . dF2 2 r Quelle Detektor Bestrahlungsstärke (Intensität) am Detektor:
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Strahlungsleistung auf ausgedehnter Empfängerfläche:
dF1 r r ( , ) 2 dF2 Lambertstrahler Emission in gesamten Halbraum: ( m )
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Hohlraumstrahlung Definition: Der ideale Hohlraum hat das Volumen V. Die Wände befinden sich im thermischen Gleichgewicht (Temeratur T). Folgerung 1: Leistungsbilanz der Wände an jeder Stelle: absorbiert emittiert Folgerung 2: Das Strahlungsfeld (Hohraumstrahlung) ist isotrop. Beweis: Betrachte Testscheibe. Therm. Gleichgewicht Temperatur T. Angenommen, am Ort der Testscheibe wäre die Strahlung anisotrop: T dF Intensität groß Intensität klein Intensität klein T T dF Intensität groß Drehung Widerspruch zum 2. Hauptsatz der Thermodynamik.
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Folgerung 3: Das Strahlungsfeld (Hohraumstrahlung) ist auch homogen.
Beweis: Betrachte Testscheibe. Therm. Gleichgewicht Temperatur T. Angenommen, es gäbe 2 Orte mit unterschiedlicher Strahlungsintensität: T dF Intensität groß Intensität klein T dF Intensität groß Intensität klein T T Verschiebung Widerspruch zum 2. Hauptsatz der Thermodynamik.
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Kirchhoffsches Strahlungsgesetz
Folgerung 4: Leistungsbilanz der Testscheibe an jedem Ort in jeder Orientierung T dF d Kirchhoffsches Strahlungsgesetz Thermische Emission und Absorption eines Körpers der Temperatur T sind über die Strahlungsdichte der zugehörigen Hohlraumstrahlung verknüpft:
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ℕ Folgerung 5: Spektrale Modendichte der Hohlraumstrahlung
Wandgeometrie und Beschaffenheit beliebig (V ) verwende o.B.d.A. ideal leitenden Würfel, Kantenlänge a a Kubischer Hohlraumresonator Physik III Eigenfrequenzen der stehenden Wellen (Moden) ℕ Beachte: Es gibt 2 Polarisationen pro Mode
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Spektrale Modendichte
Spektrale Modendichte der Hohlraumstrahlung a ℕ Modendichte N() Zahl der Moden in [ 0 , ] pro Volumen # Polarisationen Spektrale Modendichte
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Rayleigh-Jeansches Strahlungsgesetz
Das Plancksche Strahlungsgesetz Spektrale Modendichte der Hohlraumstrahlung: Mittlere Energie der Moden: Spektrale Energiedichte der Hohlraumstrahlung: Klassisches Modell: Jede Mode ist an harmonische Schwingungen der Atome in den Wänden gekoppelt. Im thermische Gleichgewicht folgt (Äquipartitionstheorem): Ekin Epot Rayleigh-Jeansches Strahlungsgesetz Experiment nur OK für 0 (z.B. Infrarot, T 5000 K) Ultraviolett-Katastrophe:
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Plancksche Hypothese: Jede Mode ist an quantisierte harmonische Schwingungen der Wandatome gekoppelt: ℕ ,,Hilfsgröße” h: Plancksches Wirkungsquantum: Das Energiequantum h wird von dem Feldquant des elektromagneti-schen Feldes, dem Photon, getragen. Die Energie W n h entspricht der Energie von n Photonen der Frequenz im Hohlraum. Postulat: ,,Besetzungszahlen” n() folgen aus der klassischen Statistik Boltzmannsches Verteilungsgesetz Normierte Wahrscheinlichkeitsverteilung für n: mit
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Also: geometrische Reihe
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Plancksches Strahlungsgesetz
Vorhersage von Form und Normierung des thermischen Spektrums Infrarot-Grenze: h ≪ k T (klassischer Grenzfall ,,h 0”) Rayleigh-Jeans-Gesetz Ultraviolett-Grenze: h ≫ k T Wiensches Strahlungsgesetz
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1 10 100 0,1 0,01 1000 0,4 0,8 1,2 1,6 2 Rayleigh-Jeans Planck Wien
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Wiensches Verschiebungsgesetz
Position des Maximums: Abkürzung: ! Wiensches Verschiebungsgesetz
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Stefan-Boltzmann-Gesetz
Gesamte Energiedichte: Abkürzung: Leistungsabgabe von Lambertstrahler (Fläche F) in Halbraum: S F Stefan-Boltzmann-Gesetz Stefan-Boltzmann-Konstante
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Quantenmechanik Anmerkungen:
Experimentelle Messung des Hohlraumspektrums Bestätigung der Planckschen Theorie Messung von h durch Anpassung der Planck-Formel an gemessene Spektren Interpretation der Photonen als Korpuskeln mit Wellennatur (?) Energie: Impuls: Quantenmechanik Vorgriff: De Broglies Geniestreich Gilt das vielleicht auch für Korpuskeln (Elektronen, Protonen, Viren, Katzen, ... ), die dann auch Wellennatur haben? Postulat:
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1.2. Spezifische Wärme von Festkörpern 1.2.1. Klassische Theorie
Erinnerung: Innere Energie eines Mols (NA Teilchen) einer Substanz: U Molare spezifische Wärme Avogadrokonstante Äquipartitionstheorem: Jeder Freiheitsgrad trägt den gleichen Anteil ½ RT der inneren Energie U. Gaskonstante # Freiheitsgrade 1-atomige Gase f 3 (Translation: 3, Rotation: 0) 2-atomige Gase f 5 (Translation: 3, Rotation: 2) mehratomige Gase f 6 (Translation: 3, Rotation: 3) Festkörper f (Ekin: 3, Epot: 3) (Schwingungen der Gitteratome)
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Experimenteller Befund: 1000 T [K] 3R CV klassische Theorie Pb C
1000 T [K] 3R CV klassische Theorie Pb C Klassische Theorie versagt, besonders drastisch bei kleinen Temperaturen Festkörpergitter aus leichteren Atomen stark gebundenen Festkörpergittern hohe Schwingungsfrequenzen Déjà-vu: Ultraviolettkatastrophe !! ?? Wärmestrahlung: Elektronen schwingen um Atomkerne Photonen Innere Energie: Atome schwingen um Gitterplätze Phononen
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Das Einstein-Modell Postulat ( Verallgemeinerung der Planckschen Hypothese ): Die Schwingungsenergie harmonischer Oszillatoren (Eigenkreis-frequenz ) ist stets quantisiert und ist ein ganzzahliges Vielfaches des Grundquants Bei Festkörpern ergibt sich aus der ,,Federkonstante” der Atombindung an den Gitterplatz und das Grundquant der Energie heißt Phonon. Ein Schwingungs-Zustand eines Gitteratoms besteht aus n Phononen: Vorgriff: Quantenmechanisch korrekt für harmonische Oszillatoren: macht hier keinen Unterschied (Glück gehabt)
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quantenmechanische Grundzustandsenergie
Mittlere Schwingungsenergie: Wie bei Hohlraumstrahlung Einstein-Temperatur quantenmechanische Grundzustandsenergie NA schwingende Atome, 3 räumliche Freiheitsgrade der Schwingung Klassischer Grenzfall: T ≫ E Quantenmechanischer Grenzfall: T ≪ E Experiment
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(c Phasengeschwindigkeit)
Das Debye-Modell Einstein: Atome an imaginäre Gitterpunkte gekoppelt 1 Frequenz Debye: Atome an alle Nachbaratome gekoppelt Frequenz-Spektrum 2 transversale Schwingungen pro Raumrichtung: a a V 1 longitudinale Schwingung pro Raumrichtung: Effektive Grenzfreq. Modellparameter a ≫ Atomabstand (wie bei Hohlraumstrahl.) Kontinuumsgrenzfall Spektrale Modendichte pro Polarisationstyp: (c Phasengeschwindigkeit)
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Planck Debye Einstein 0 g Normierung von n() im Debye-Modell: # Schwingungsmoden Debye-Grenzfrequenz: Debye-Temperatur:
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Spezifische Wärme:
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Klassischer Grenzfall: T ≫ D
Quantenmechanischer Grenzfall: T ≪ D Erweiterungen: Mehrere Grenzfrequenzen (z.B. für anisotrope Kristalle) Beachte Phonon-Dispersion in spektraler Dichte
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Rätsel: Freies Elektronengas in Metallen trägt nicht spürbar zu CV bei.
Klassische Erwartung: Quantenmechanik: Elektronen besitzen den Spin ( Drall) Pauli-Verbot: Zwei identische Teilchen mit halbzahligem Spin (Fermionen) können sich nicht im gleichen Quantenzustand befinden. Theorie des Fermigases (VL Festkörperphysik, VL Quantenstatistik) Die Dichte n() der Energiezustände wächst mit ½ an. angeregt n() F kT nicht anregbar T 0 n() F T 0 K voll besetzt Fermi-Kante Fermi-Energie F ≫ kBZimmertemperatur nur winzige Energieaufnahme durch thermische Anregung an der Fermikante
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positive Aufladung bis zum ,,Haltepotential”
1.3. Photonen Newton, Descartes: Korpuskeltheorie des Lichtes nicht erfolgreich Huygens, Fresnel, Hertz, Maxwell: Wellentheorie erfolgreich Moderne Beobachtung: Das UV-Licht eines Lichbogens führt zur sofortigen Zündung einer anderen Funkenstrecke; ,,Photonen” (Licht-Korpuskel) schlagen Elektronen aus Elektrode Der Photoeffekt Experiment von Hallwachs (1887): UV-Licht Metallplatte Elektrometer Plattenladung negativ positiv neutral Beobachtung Entladung keine Entladung positive Aufladung bis zum ,,Haltepotential”
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Kompensations-Spannung
Die Photozelle (Lenard, 1902) Iph Photo-strom U R Strahlungsdichte S* Photokathode Elektronen Vakuumröhre Iph U U0 Sättigung Kompensations-Spannung
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Wellenbild Korpuskelbild ✔ ✔ S*↗ Iph↗
Befunde: Wellenbild Korpuskelbild ✔ ✔ S*↗ Iph↗ Sättigungsstrom unabhängig von U sobald Raumladungseffekte klein ✔ ✔ eU0 max. kinetische Energie ausgelöster Elektronen abhängig von , nicht aber von S* ↯ ✔
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Wellenbild Korpuskelbild
Iph U U0 S* Wellenbild Korpuskelbild Photostrom setzt bei Grenzfrequenz g ein. g hängt vom Kathodenmaterial ab. ↯ ✔ Iph Material 1 Material 2 g1 g2 S* ↯ ✔
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Wellenbild Korpuskelbild
Iph U U0 S* Wellenbild Korpuskelbild Die Gegenspannung hängt charakteristisch von der Frequenz ab. ↯ ✔ e U0 g Austrittsarbeit ↯ ✔
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Wellenbild Korpuskelbild
Iph U U0 S* Wellenbild Korpuskelbild Zwischen Lichteinfall und Photostrom gibt es keine messbare Verzögerung ↯ ✔ Beispiel: Austrittsarbeit aus Kathode Hohe Bestrahlungsintensität Elektronendichte Zeitverzögerung (Wellenbild)
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Hypothese (Einstein, 1905; Nobelpreis 1912): Licht ist in Photonen der Energie h quantisiert. Diese Quantisierung ist fundamental und hängt nicht mit der Quantisierung harmonischer Oszillatoren zusammen, wie bei der Planckschen Erklärung der Hohlraumstrahlung. Einstein-Gleichung Vakuum-Potential E Fermi-Kante Leitungselektronen EF Grenzfrequenz: Grenzwellenlänge:
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Messung von U0 als Funktion von h,
Iph U U0 S* Messung von U0 als Funktion von h, e U0 g Austrittsarbeit Oberfläche eV g nm Au 5, UV Nb 4, UV Cs 2, Visible Ta / Cs 1, Near IR Anwendung: Cs-aktivierte Photokathoden Quanteneffizienz typisch 25
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Anwendung: Photomultiplier Experiment: Korpuskelnatur des Lichts
Punktquelle (Spalt) PM 0 PM 1 PM 1 PM 2 PM 2 Hohe Intensität kontinuierlicher Photostrom in allen PMs Kleine Intensität statistisch verteilte, kurze Stromstöße in einzelnen PMs
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e e Moderner Detektor für Korpuskelstrahlung ( Teilchen):
LEP-Speicherring, CERN, Genf ( ) e e
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e e Ionisationsspur des positiven Myons
Absorptionssignal eines sehr harten Photons, abgestrahlt vom Absorptionssignal eines weniger harten Photons, abgestrahlt vom Ionisationsspur des negativen Myons
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1.3.2. Der Comptoneffekt (Experiment: 1922, Nobelpreis: 1927)
Messprogramm: Für jeden fest eingestell-ten Streuwinkel drehe Monochromator- / Detektor-Arm (), bis das Detektor-Signal maximal ist. Blende Photon-Detektor Bragg-Kristall (Monochromator) Röntgen-Quelle Target-Material (Substanz mit schwach gebundenen Elektronen in Atomhüllen) Ungestreute Strahlung drehbarer Monochromator- / Detektor-Arm
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0 S 0 Klassische Theorie: ebene Welle
quasi-freies Elektron in Atom Schwingung des Elektrons Hertzscher Dipol ebene Welle Streuwellenlänge: S 0 Beobachtung: Neben der klassischen Streuung gibt es eine gestreute Komponente mit S > 0. Diese nicht-klassische Komponente wird umso stärker, je härter (je kleiner ) die einfallende Strahlung ist.
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me e Streuung im quantenmechanischen Photonen-Bild:
schwach gebunden: EB ≪ E quasi-frei, in Ruhe Physik 3 Compton-Wellenlänge des Elektrons
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Bemerkungen: Stets 0 und S gemischt. Grund: Kollektive Streuung am Atom, MAtom ≫ me. Compton-Formel experimentell bestätigt noch eine unabhängige Messung von h. nur groß falls 0 ≲ OC X- und -Strahlung: Ein Photon mit 0 C hat relativistische Masse me. Beim klassischen zentralen elastischen Stoß würde das Photon stehenbleiben, S Hier:
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Schwarzes Loch mit Akkretionsscheibe
Inverser Compton-Effekt: Streuung ultrarelativistischer Elektronen / Positronen (z. B. von Pulsaren, schwarzen Löchern in aktiven galaktischen Kernen) an weichen Photonen (z.B. thermischen Photonen der kosmischen 2,7K-Hintergrundstrahlung). Zurückführung auf Compton-Streuung durch Lorentztransformation ins Ruhesystem des e. AGN Cas A Schwarzes Loch mit Akkretionsscheibe relativistischerJet
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Bestätigt mittels Mößbauer-Spektroskopie
Photonen im Gravitationsfeld Turm Detektor Quelle H 1 2 R.V. Pound and G.A. Rebka: Phys. Rev. Lett. 4 (1960) 337 Relativistische Photonmasse: E im Gravitationsfeld: Bestätigt mittels Mößbauer-Spektroskopie Bemerkungen: Rotverschiebung bei Abstrahlung von Sonne: 2 0 unendliche Rotverschiebung Schwarzschildradius RS G M c Schwarze Löcher Wellenbild: gleiches Resultat (Zeitdilatation im Gravitationsfeld) ( Physik III)
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1.3.4. Der Mößbauer-Effekt (Doktorarbeit: 1958, Nobelpreis: 1961)
Atomhülle/-kerne quantisierte Energieniveaus (Linienspektren) Beispiel: Fixiertes Atom Emission e E E0 E1 Lebensdauer T1 E1 e E E0 E1 Lebensdauer T1 E1 e Resonanzabsorption a , 2 , E1 h Natürliche Linienbreite
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Beispiel: Atomhülle Emission / Absorption im sichtbaren Bereich
Na-D-Linie: Beispiel: Atomkern Emission / Absorption im X / -Bereich 57Fe-Linie:
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e e E E0 E1 Rückstoßeffekt bei freien Atomen: M Absorption: E E0 E1
Emission: M
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Rückstoßeffekt: Atomhülle: Na-D-Linie e a Emission / Reabsorption möglich Atomkern: Reabsorption nicht möglich e a
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v Rückstoßfreie Emission / Absorption (Mößbauer-Effekt):
Atom im Kristallgitter M MKristall keine Phonon-Anregung (überwiegt bei T ≪ D) Phonon-Anregung EG Messvorrichtung: v ≲ O (1 ms) Emitter e Absorber a Detektor Dopplereffekt Zählrate v Anwendungen: Kernniveaus in e.m.-Feldern des Gitters Kernstruktur (Quadrupolmoment) Gitterdynamik (Phonon-Anregung) Gravitationsrotverschiebung
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v. Laue, Friedrich, Knipping (1912)
Röntgenbeugung ( Max von Laue: Experiment 1912, Nobelpreis: 1914 ) 1912 bekannt: Harte e.m. Strahlung (X, ) hat Teilchencharakter Offene Frage: Hat harte e.m. Strahlung auch Wellencharakter? Problem: Wellenlängen harter Strahlung im Å-Bereich. Wie stellt man Beugungsgitter her? Max von Laue Verwende Kristallgitter zur Röntgenbeugung! Vakuumröhre e Röntgen-Strahlen Kristall Fotoplatte Beugungsbild v. Laue, Friedrich, Knipping (1912) Resultat: Welle / Teilchen Dualität der e.m. Strahlung Kristalle haben periodische Raumgitterstruktur
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Kristalle und Netzebenen:
Einheitszelle: aufgespannt durch Gittervektoren Gitterkonstanten Einheitsvolumen Unendliche Folge von Einheitszellen Translationsgitter: ℤ Netzebenen: Durch beliebige drei nicht-kollinieare Gitterpunkte wird eine Netzebene aufge-spannt, die unendlich viele Gitterpunkte ent-hält. Beliebige Gittertranslationen verschieben die Netzebene in parallele Netzebenen. So entsteht die zugehörige Netzebenenschar. Beispiel: 2-D Gitter
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ℤ Flächennormalen: Eigenschaften: Reziprokes Gitter: ( Handout)
Reziproke Gittervektoren: Reziprokes Gitter: ℤ Reziprokes Gitter: ( Handout) Das reziproke Gitter zum reziproken Gitter ist das Ursprungsgitter
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ℤ Anschauliche Bedeutung des reziproken Gitters: Reziprokes Gitter:
Vektoren stehen senkrecht auf Flächen der Einheitszelle Vektoren stehen senkrecht auf Netzebenenscharen Unschön: Zuordnung zwischen Netzebenenschar und reziproken Gittervektoren ist uneindeutig. Millersche Indizes einer Netzebenenschar: h, k, l Wähle: (Vorzeichen von q identisch mit dem des ersten nicht-verschwindenden Index n1, n2, n3) Wähle beliebigen Vektor Netzebenenschar. Millersche Indizes: teilerfremd Richtung senkrecht zur Netzebene: h, k, l 1-deutig
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Eigenschaften der Millerschen Indizes
Ebene: n3 0 dh k l Achsabschnitte der ersten Netzebene vom Ursprung aus: Abstand benachbarter Netzebenen:
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Konstruktion der Millerschen Indizes
Schreibweise: Ebene: n3 0 Suche Achsgitterpunkte auf einer Netzebene: Suche kleinstes p ℕ mit p m1,2,3 ℤ Hier: m1 1, m2 2, m3 p 2 h 2, k 1, l 0
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Monochromatische Röntgenbeugung: Bragg-Reflexion
konstruktive Interferenz einer Netzebene dhkl Glanzwinkel Gitterpunkte punktförmige Streuer dhkl Netzebenenschar h k l Konstruktive Interferenz aller Netzebenen: Bragg-Bedingung , Messung von dhkl dhkl , fest Monochromator für
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ℤ Spektral kontinuierliche Röntgenbeugung: Laue-Beugung
Bremsstrahlung in Röntgenröhre oder Synchrotronstrahlung Bei der Laue-Beugung überlagern sich die Bragg-Reflexe aller Netzebenen für die jeweils passenden Wellenlängen. Laue-Bedingung: Für alle m1, m2, m3 ist der Gangunterschied der Streuwellen ein Vielfaches der Wellenlänge des betrachteten Laue-Reflexes. ℤ
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ℤ m1, m2, m3 beliebig es gibt h, k, l ℤ mit
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Formulierung 1: Laue-Gleichungen: Für feste Einfallsrichtung ( 0, 0, 0) und jede feste Wahl von h, k, l: 4 Unbekannte: , , , 3 Laue-Gleichungen Normierung: Für jede Wahl von h, k, l existiert genau ein Laue-Reflex bei einer spezifischen Wellenlänge
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Formulierung 2: Darstellung von in Basis 2 2 Laue-Reflexe treten genau dann auf, wenn ein Gittervektor des reziproken Gitters ist.
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Beziehung zur Bragg-Bedingung:
(Millersche Indizes) Bragg-Bedingung Folgerung: Für existieren keine Bragg-Reflexe mehr. Das Medium wird optisch homogen. Typischer Wert: dmax 51010 m Vergleich: vis 5107 m
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Analyseverfahren: Laueverfahren ( Punktreflexe)
kontinuierliche Röntgenstrahlung Kristall (fest orientiert) Drehkristall-Verfahren ( Punktreflexe) monochromatische Röntgenstrahlung Kristall feste Drehachse
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monochrmatische Röntgenstrahlung
Debye-Scherrer-Verfahren ( Linienreflexe) Kristallpulver (orientierungslos) monochrmatische Röntgenstrahlung Film
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Neutronen-Abbremsung (Thermalisierung) Kollimator thermische Neutronen
Fazit: Röntgenstrahlung hat sowohl Wellencharakter (Kristall-beugung...) als auch Teilchencharakter (Comptoneffekt,...). Das gilt auch generell für elektromagnetische Strahlung. Kernreaktor Neutronen-Absorber Moderator Neutronen-Abbremsung (Thermalisierung) Kollimator thermische Neutronen Kristall Detektor T 300 K En 25 meV Knüller: Laue-Reflexe wie bei Röntgenstrahlung mit 1,81010 m Neutronen sind auch Teilchen mit Wellencharakter!
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... und Elektronen ? Dito ! Hypothese: Alle ,,Teilchen” (Neutrinos, Kerne, Moleküle, Kristalle, Katzen, Planeten, ...) haben Wellencharakter und alle ,,Kraftfeld-wellen” (elektromagnetisch, Gravitation, …) haben Teilchencharakter. Quantentheorie Teilchen sind Wellen Quantenfeldtheorie Kraftfeldwellen sind Teilchen
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