Rechenregeln für Mittelwert, Varianz und Streuung.

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1 Rechenregeln für Mittelwert, Varianz und Streuung

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3 Berechnung von Streuungsparametern an einem einfachen Beispiel

4 Konzentrationsmaße (Gini-Koeffizient, Lorenz-Kurve) Konzentrationsmaße Kennwert für die wirtschaftliche Konzentration Typische Beispiele: Verteilung des Geldvermögens unter den einzelnen Bevölkerungsgruppen Verteilung von Marktanteilen Aufteilung der landwirtschaftlichen Nutzflächen in einer Region

5 Ein Markt wird von 5 Unternehmen beliefert. Die folgende Tabelle beschreibt die Aufteilung der Marktanteile:

6 Daraus ergeben sich die folgenden Werte für die Punkte auf der Lorenz-Kurve:

7 Dazu die Lorenz-Kurve:

8 Berechnung des Gini-Koeffizienten

9 Aufgabe 5

10 Die Punkte auf der Lorenz-Kurve sind (0,2;0,04), (0,4;0,10), (0,6;0,20),(0,8;0,40) (0,2;0,05), (0,4;0,10), (0,6;0,20),(0,8;0,40) (0,2;0,04), (0,4;0,10), (0,6;0,20),(0,8;0,45) (0,2;0,04), (0,4;0,15), (0,6;0,20),(0,8;0,40)

11 Der Gini-Koeffizient in (a) beträgt G = 0,496 G = 0,604 G = 0,304 G = 0,504

12 Aufgabe 6

13 Die Punkte auf der Lorenz-Kurve (gerundet) sind (0,1667;0,3278), (0,3333;0,0741), (0,5;0,1667); (0,6667;0,3982), (0,9333;0,6297) (0,1667;0,0278), (0,3333;0,0741), (0,5;0,2667); (0,6667;0,4982), (0,8533;0,6297) (0,1667;0,0278), (0,3333;0,0741), (0,5;0,1667); (0,6667;0,3982), (0,8333;0,6297) (0,1667;0,0278), (0,5333;0,0741), (0,5;0,3667); (0,6667;0,3982), (0,8333;0,7297)

14 Der Gini-Koeffizient beträgt rund G = 0,600 G = 0,841 G = 0,401 G = 0,499

15 Landwirtschaftlich genutzte Fläche einer Region

16 Dazu die Lorenz-Kurve:

17 Datenmatrix

18 Datentabelle für 2 Merkmale

19 Kontingenztafel der absoluten Häufigkeiten

20 Kontingenztafel der relativen Häufigkeiten

21 X: Art des Betriebes 1 = Handelsbetriebe 2 = Freie Berufe (Leistungsbetriebe) 3 = Fertigungsbetriebe Y: Art der hinterzogenen Steuer 1 = Lohnsteuer 2 = Einkommenssteuer 3 = Umsatzsteuer 4 = Sonstiges Betriebe und hinterzogene Steuer Kontingenztabelle

22 Kovarianz Merkmal Datensatz Merkmal Datensatz

23 Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson Kovarianz (X,Y) (Streuung X) (Streuung Y)

24 Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson Eigenschaften X und Y unabhängig

25 X größerY größer X größerY kleiner

26 Positiver strikter Zusammenhang Negativer strikter Zusammenhang

27 Korrelationskoeffizient bei verschiedenen Konstellationen von Ausprägungen

28 Korrelationskoeffizient: 0.905 Korrelationskoeffizient: 1.00

29 Korrelationskoeffizient: 0.19 Korrelationskoeffizient: 0.52

30 Korrelationskoeffizient: -0.14 Korrelationskoeffizient: 0.00

31 Korrelationskoeffizient: -1.00 Korrelationskoeffizient: -0.62

32 Aufgabe 7

33 Es ergibt sich ein Korrelationskoeffizient von rund r = 0,978 r = 0,987 r = 0,879 r = 0,798

34 Aufgabe 8

35 Es ergibt sich ein Korrelationskoeffizient von ? ? ? ?

36 Mögliche Funktionenklassen für die Regressionsrechnung

37 Lineare Funktionen Polynome Exponentialfunktionen ( Exponentielles Wachstum; x ist die Zeit ) Gompertz-Kurven Logistische Funktionen

38 Prinzip der kleinsten Quadrate (Kleinst-Quadrat-Schätzung) Man sucht in der betrachteten Klasse diejenige Funktion f, so dass die Summe der Abweichungsquadrate minimiert wird: Bestimme f, so dass minimal !!

39 Aufgaben der Regressionsrechnung Stellt man sich für den Moment x als die Zeit vor, so möchte man die beobachteten Werte auf die Zukunft extrapolieren. Man erstellt eine Prognose. Dazu bedient man sich der gefundenen Funktion f, um für eine Zeit x der Zukunft den Wert y = f(x) zu schätzen. 1. Extrapolation

40 2. Interpolation Man interessiert sich für den Wert von y = f(x) Für Zwischenwerte von x, d. h. für Werte x, die zwischen 2 beobachteten Werten liegen: Wieder bedient man sich der Funktion f, um eine Interpolation der Werte durchzuführen.

41 Lineare Regression Finde reelle Zahlen a und b, so dass der Wert von minimal wird! Mit anderen Worten: Finde den Punkt (a,b), an dem die Funktion ihr Minimum annimmt!

42 Steigung der Regressionsgeraden Schnitt der Regressionsgeraden mit der y-Achse bei

43 Bestimmtheitsmaß Maß für die Güte der Anpassung der Daten an die Regressionsfunktion Dabei ist

44 Im Falle linearer Regression ist das Bestimmtheitsmaß gleich dem Quadrat des Korrelationskoeffizienten nach Bravais-Pearson!

45 In einem Kaufhauskonzern mit 10 Filialen soll die Wirkung von Werbeausgaben auf die Umsatzsteigerung untersucht werden. Die Daten sind: X: Werbeausgaben in 1000 Euro Y: Umsatzsteigerung in 10 000 Euro

46 Demonstrationsbeispiel Lineare Regression Mittelwerte Varianzen Kovarianz

47 Steigung der Regressionsgeraden Schnitt der Regressionsgeraden mit der y-Achse bei

48 Aufgabe 9

49 Die Regressinsgerade wird durch die folgende Geradengleichung wiedergegeben y = 3,45 x + 4,7 y = 2,3 x + 2,6 y = 0,651 x + 62,66 y = 2,422 x + 7,67

50 Das Bestimmtheitsmaß der linearen Regression ergibt sich zu ca. 0,48 1,67 0,89 0,21

51 Aufgabe 10

52 Die Regressinsgerade wird durch die folgende Geradengleichung wiedergegeben ? ? ? ?

53 Das Bestimmtheitsmaß der linearen Regression ergibt sich zu ? ? ? ?

54 Statistische Maßzahlen Bisher : Lagemaße Mittelwert Median Quantile (Quartile) Streuungsmaße Varianz Standardabweichung Kovarianz Korrelation KonzentrationsmaßeGini-Koeffizient

55 Verhältniszahlen Beziehungs- zahlen Gliederungs- zahlen Index- zahlen

56 Warenkorb N Güter (Mengen und Preise) in der Basisperiode 0 Berichtsperiode t

57 Preise in der Basisperiode 0 Preise in der Berichtsperiode t Mengen in der Basisperiode 0 Mengen in der Berichtsperiode t

58 Preisindex nach Laspeyres Preisindex nach Paasche Laspeyres: Bezug auf den alten Warenkorb Paasche: Bezug auf den neuen Warenkorb

59 Formeln für die Preisindizes nach Laspeyres und nach Paasche

60 Aggregatform

61 Wegen der besseren Übersichtlichkeitdefinieren wir uns einen sehr kleinen Warenkorb bestehend aus: In den Jahren 1950 bis 1953 werden für den Jahres- verbrauch pro Einwohner und für die Preise die folgenden Daten zu Grunde gelegt: Zigaretten Bier Kaffee

62 Index 0 Index 1 Index 2 Index 3 1950 1951 1952 1953

63 Aufgabe 11

64 Die Preisindizes nach Laspeyres und Paasche ergeben sich zu ca. 1,16 und 1,20 0,98 und 1,20 1,37 und 1,20 1,22 und 1,20