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TESTS. Worum es geht Man möchte testen, ob eine bestimmte Annahme (Hypothese) über Parameter der Realität entspricht oder nicht. Beobachtung (Stichprobe)

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Präsentation zum Thema: "TESTS. Worum es geht Man möchte testen, ob eine bestimmte Annahme (Hypothese) über Parameter der Realität entspricht oder nicht. Beobachtung (Stichprobe)"—  Präsentation transkript:

1 TESTS

2 Worum es geht Man möchte testen, ob eine bestimmte Annahme (Hypothese) über Parameter der Realität entspricht oder nicht. Beobachtung (Stichprobe) Entscheidung Vorgabe: Irrtumswahr- scheinlichkeit Formulierung einer HypotheseNullhypothese In der Statistik kann man nie ganz sicher sein. Die Irrtumswahr- scheinlichkeit sollte wenigstens klein sein.

3 Mathematischer Rahmen I TESTS Statistische Struktur Testproblem (Hypothese)Nullhypothese Niveau Gegeben sind: Stetiger Fall Diskreter Fall

4 Mathematischer Rahmen II TESTS Test Test gegeben durch: Ablehnungsbereich Teilmenge der Grund- gesamtheit : Menge aller Beobachtungen, die zur Ablehnung der Hypothese führen

5 Mathematischer Rahmen III TESTS Beobachtung (Stichprobe) Entweder Oder Beobachtung liegt im Annahmebereich Beobachtung liegt im Ablehnungsbereich Hypothese annehmen! Hypothese ablehnen!

6 Fehler erster und zweiter Art Hypothese akzeptiert Hypothese abgelehnt Hypothese wahr Hypothese falsch Entschei-dung Realität Fehler 1. Art Fehler 2. Art

7 Niveau und Macht Obere Grenze für die Wahr- Fehler scheinlichkeit, einen Fehler 1. Art 1. Art zu begehen Niveau 1 - Wahrscheinlichkeit, Fehler 2. Art einenFehler 2. Art zu begehen, wenn der wahre Parameter- wert in dem Punkt liegt Macht Macht in einem Punkt der Alter- native

8 Neyman-Pearson-Test Für einen Test mit gilt immer: Sei * ein Neyman-Pearson Test vom Niveau :

9 Jeder Test, der vom Niveau eines gegebenen Neyman- Pearson-Tests ist, besitzt höchstens die Macht höchstens die Macht dieses Neyman-Pearson-Tests.

10 Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung

11 Approximative Konfidenzintervalle im Bernoulli-Fall II Vereinfachung für großes n (n 100)

12 Beispiel Kaufhaus-Konzern Kauf würde in Erwägung gezogen Kauf würde nicht in Erwägung gezogen

13 Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung

14 Zusammenhang Konfidenzintervalle - Tests Konfidenzintervall Gegeben sei ein Konfidenzintervall C( ) vom Niveau Ablehnungsbereich ist dann mit dem Ablehnungsbereich Für eine einfache Hypothese Test ein Test vom Niveau gegeben, denn:

15 Konfidenzintervalle Intervallschätzung Jeder Beobachtung wird ein Intervall C( ) der reellen Zahlen zugeordnet Niveau Dabei ist die Wahrscheinlichkeit. eine Beobachtung zu machen, für die der wahre Parameter im zugehörigen Intervall liegt, größer oder gleich 1 -

16 Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung

17 Rechenbeispiel Stichprobe vom Umfang n = Stichprobenfunktionen

18 Konfidenzintervalle für diese konkrete Stichprobe 1.Fall 2.Fall 3.Fall 4.Fall 5.Fall 6.Fall 18.28

19 Beispiel Äpfeln Gewicht von Äpfeln Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet

20 Konfidenzintervalle für diese konkrete Stichprobe 2.Fall 5.Fall

21 Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung

22 Student-Verteilung

23 Test für den Erwartungswert Varianz bekannt Fall Normalverteilung

24 Test für den Erwartungswert Varianz unbekannt Fall Normalverteilung

25 Vergleich zweier unabhängiger Stichproben 1. Fall 2 unabhängige Stichproben mit Stichprobenvariablen X und Y Annahmen: X und Y normalverteilt Varianz von X = Varianz von Y Hypothese: Erwartungswert von X = Erwartungswert von Y

26 unabhängige Für n unabhängige Zufallsvariablen mit hat man: Mathematische Bedeutung der Chi-Quadrat-Verteilung

27 unabhängige Für unabhängige Zufallsvariablen W und U mit hat man: Mathematische Bedeutung der t-Verteilung

28 Vergleich zweier unabhängiger Stichproben 1. Fall Prüfgröße n: Umfang der Stichprobe 1 (Stichprobenvariable X) m: Umfang der Stichprobe 2 (Stichprobenvariable Y) Ablehnungsbereich bestimmt durch

29 Vergleich zweier unabhängiger Stichproben 2. Fall 2 unabhängige Stichproben mit Stichprobenvariablen X und Y Annahmen: X und Y normalverteilt n und m groß (> 30), damit Approximation der Varianzen sinnvoll Hypothese: Erwartungswert von X = Erwartungswert von Y

30 Vergleich zweier unabhängiger Stichproben 2. Fall Ausgangspunkt Approximation Prüfgröße Ablehnungsbereich bestimmt durch

31 Chi-Quadrat-Tests

32 Satz von Karl Pearson I X: Stichprobenvariable, die r > 2 verschieden Werte annehmen kann: Die Verteilung von X ist durch einen Wahrscheinlichkeitsvektor gegeben. Stichprobe vom Umfang n:

33 Satz von Karl Pearson II Dann hat man: Dabei ist:

34 Geboren in London. Er versuchte, statistische Methoden auf biologische Probleme der Ver- erbung und der Evolution anzuwenden. In 18 Veröffentlichungen mit dem Titel Mathematical Contributions to the Theory of Evolution führte er die Regressions-Analyse, den Korrelationsko- effizienten und den Chi-Quadrat-Test ein.

35 Geboren in London als Sohn von Karl Pearson. Egon Pearson arbeitete ab 1921 im Institut seines Vaters am University College in London. Er be- suchte zunächst alle Vorlesungen seines Vaters mit dem Erfolg, dass er bald selbst hervorragende Arbei- ten auf dem Gebiet der Statistik produzierte. S. Neyman war als Stipendiat am University College. Die Zusammenarbeit mit Egon Pearson begann.

36 Geboren in Bendery, Moldavien. Als Jerzy Neyman sein Stipendium in London antrat, um mit Karl Pearson zusammenzuarbeiten, war er enttäuscht als er feststellte, dass Karl Pearson die moderne Mathematik ignorierte. Er kooperierte dann mit Egon Pearson und revolutionierte durch seine Ergebnisse die Statistik.

37 William Gosset, der unter dem Namen Student ver- öffentlichte, entdeckte die Gestalt der t-Verteilung (Student-Verteilung) durch eine Kombination mathe- matischer und empirischer Methoden. Er war Chemiker in der Guiness-Brauerei in Dublin 1899 und erfand die t-Verteilung, um die Qualitätskontrolle durchführen zu können.

38 Chi-Quadrat-Test auf Anpassung Hypothese Ablehnungsbereich

39 Fairer Würfel? Hypothese verwerfen!

40 Chi-Quadrat-Verteilung falsch 0.831

41 Bakterielle Infektion durch Stämme I, II, III Vermutung Konkrete Stichprobe (80 Infektionen) (siehe: Gelbrich) Typ Prozentsatz IIIIII Anzahl IIIIII Typ

42 Chi-Quadrat-Verteilung falsch 0.831

43 Mendelsche Gesetze rund und gelb runzelig runzelig und gelb rund und grün runzelig runzelig und grün rund und gelb runzelig runzelig und gelb rund und grün runzelig runzelig und grün Prozentsätze nach der Theorie Beobachtete Häufigkeiten Summe 480

44 Chi-Quadrat-Verteilung falsch 0.831

45 Krankmeldungen Wochentag Mo Di Mi Do Fr n Anzahl Krankmeldungen

46 Chi-Quadrat-Verteilung falsch 0.831


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