2. Newtonsche Mechanik 2.1. Kinematik kartesische Koordinaten

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1 2. Newtonsche Mechanik 2.1. Kinematik kartesische Koordinaten
Kinematik: Beschreibung von Bewegungsabläufen Dynamik: Lehre der Ursachen von Bewegungen (Kräfte, Massen) Bahnkurve x y z O Bezugssystem (zeitlich fest oder variabel) kartesische Koordinaten bewegter (Massen-)Punkt Ortsvektor

2  Geschwindigkeit Beispiele:
a) Geradlinige, gleichförmige Bewegung in der (x,y)-Ebene y oder äquivalent  O x Geschwindigkeit

3   Winkelgeschwindigkeit r
b) Gleichförmige Kreisbewegung in der (x,y)-Ebene   Winkelgeschwindigkeit r y r t O x

4 Def.: Momentangeschwindigkeit
Tangente Geschwindigkeit Def.: Momentangeschwindigkeit O Def.: Mittlere Geschwindigkeit: Es gilt: Beweis:  Tafel

5 2.1.2. Addition von Geschwindigkeiten
Komponentenzerlegung: x y O Addition komponentenweise: x y O v  v

6 Def.: Momentanbeschleunigung
Def.: Mittlere Beschleunigung: Addition wie bei Geschwindigkeit (wie bei allen Vektoren)

7 z 2.1.4. Einfache Bewegungsabläufe a) Freier Fall: h
Erdoberfläche z h Massenanziehung  Erdbeschleunigung g Tafelrechnung  Fallzeit T:  Methode zur Messung von g

8  b) Schiefe Ebene: Tangetialbeschleunigung: Lösung wie im freien Fall
Gerutschte Strecke s(t): Laufzeit:

9 y  x O c) Wurfparabel: H L
 komponentenweise konstante Beschleunigung  wie freier Fall x(t)  v0x t unabhängig von v0y x(t)  t , y(t)  t2  y(x) ist Parabel Tafelrechnung  Wurfhöhe Wurfweite H  max bei   90

10 2.2. Dynamik von Massenpunkten 2.2.1. Trägheit
Trägheitsprinzip (Galilei): Ohne äußere Einflussnahme bleibt die Geschwindigkeit eines Körpers konstant. 1. Newtonsches Axiom: Wirken keine äußeren Kräfte, bleibt die Geschwindigkeit eines Körpers konstant. Voraussetzung: Koordinatensystem bewegt sich unbeschleunigt  Inertialsystem unbeschleunigt gegen was? Ruhesystem des Weltalls    der kosmischen Mikrowellen-Hintergrundstrahlung

11 Kräfte und Massen 2. Newtonsches Axiom (Aktionsprinzip): Wirkt auf einen Massenpunkt der (trägen) Masse m eine Kraft , so erfährt er eine Beschleunigung mit Bewegungsgleichung: Definition der Massen-Einheit: [m]  1 kg (Kilogramm) 1 kg ist definiert durch Normal (hier: Platin-Iridium-Zylinder, gelagert in Paris) Definition der Kraft-Einheit: [F]  1 kg m s2  1 N (Newton) 1 N ist die Kraft, die das Massen-Normal mit 1 m s2 beschleunigt

12 (Eine) Messvorschrift für Kräfte und Massen:
x  x0 entspannt belastet x0 x Federwaage Kleine Auslenkung  Hookesches Gesetz D  Federkonstante Eichmessung mit Massen-Normal: Kraftmessung Massenmessung

13 Bemerkungen: Dichte: Ausgedehnte homogene Körper: Volumen V  Masse m Definition: Dichte: Beispiel: (H2O, 4C, 1 bar)  1000 kg m3  1 kg  ℓ 1 ℓ  1 Liter  1 dm3

14 Schwere Masse: Quelle des Gravitationsfeldes z.B. freier Fall
Schwere Masse der Erde const. Trägheitskraft Träge Masse Gravitationskraft Schwere Masse Erdradius Experiment  ist unabhängig von mT (auf 1010) Folgerung: mS  mT  Festlegung:  Gravitationskonstante Äquivalenzprinzip (allgemeine Relativitätstheorie): Trägheitskräfte und Gravitationskräfte sind in der Umgebung einer Testmasse prinzipiell ununterscheidbar

15 2. Newtonsches Axiom (allgemein für m  const.):
Impuls: 2. Newtonsches Axiom (allgemein für m  const.): (relevant bei Systemen von Massenpunkten) Addition von Kräften: Kraft ist Vektor  übliche Vektoraddition

16 3. Newtonsches Axiom (Reaktionsprinzip): Unterliegen zwei Massenpunkte keinen äußeren Kräften, so wird jede Kraftwirkung des einen Punktes auf den anderen durch eine gleichgroße Gegenkraft kompensiert. Actio Reactio

17 Kraft  Feldlinien-Dichte
Kraftfelder Zeitabhängige Kraft, die auf einen Massenpunkt mit einer bestimmten Geschwindigkeit irgendwo im Raum wirkt Kraftfeld: Statisches Kraftfeld: Häufig: Beispiele: a) Zentralkraftfeld Kraftfeld Gravitationsfeld m Probemasse M Quell-Masse z.B. Erde Kraft  Feldlinien-Dichte Analog: Elektrisches Feld Q: Quellladung q: Probeladung

18   q b) Homogenes Kraftfeld c) Wirbelfeld Plattenkondensator
ElektrischerStrom I Magnetisches Wirbelfeld Draht q Magnetisches Feld Kraftfeld

19 d) Komplizierterer Fall:
Magnetisches Wechselfeld  Kraftfeld für Testladung q mit Geschwindigkeit am Ort

20 Fundamentale Kraftfelder:
Gravitation Elektromagnetisch Stark (Kernkraft) Schwach (Radioaktivität)

21 2.2.4. Arbeit und Energie B A Kraftfeld
Kraftfeld Def.: Bei Verschiebung verrichtete Arbeit  Vom Kraftfeld verrichtete Arbeit: Def.: Bei Verschiebung aufgebrachte Leistung

22 B A Arbeit  Bewegung Kraftfeld
Kraftfeld z.B. freie Bewegung im Kraftfeld: (Beweis: → Tafelrechnung)  Definition der kinetische Energie T eines Massepunktes (manchmal alternative Benennung T  Ekin)

23 B A Kraftfeld Def.: Kraftfeld konservativ  es gibt Stammfunktion V:
Kraftfeld Def.: Kraftfeld konservativ  es gibt Stammfunktion V: V heißt Potential des Feldes Es gilt (vgl. Theorie-VL):  Potential V  WA→B ist wegunabhängig  Potential V  ( “” gilt nur für hinreichend glatte Felder in einfach zusammenhängenden Gebieten)

24 Def. : Potentielle Energie eines Massenpunktes (bzgl
Def.: Potentielle Energie eines Massenpunktes (bzgl. ) im konservativen Kraftfeld: skalares Feld  Def.: Äquipotentialflächen  Flächen mit V  const. für Folgerung: in Äquipotentialfläche  V  const.  V  0  Feldlinien stehen senkrecht auf Äquipotentialflächen Bewegung in Äquipotentialflächen  W  0 Verschiedene Äquipotentialflächen sind diskunkt

25 Wirbelfeld hat kein Potential
Beispiele: Radialfeld • Dipolfeld • Wirbelfeld hat kein Potential Äquipotentialfläche 2 V2 = V1 - Δs·F • Beweis: 2 Äquipotentialflächen (V1V2) berühren sich nicht ! Δs·F • Äquipotentialfläche 1 Potential V1

26 Beispiele für potentielle Energie:
a) Heben von Lasten:  Tafelrechnung m Heben z h

27 D x b) Potentielle Energie der Feder: D  Federkonstante
Hookesches Gesetz D  Federkonstante D x entspannt belastet Tafelrechnung 

28 Maximalhöhe ( Umkehrpunkt )
Experiment: m Maximalhöhe ( Umkehrpunkt ) Umwandlung der potentiellen Energie der Feder in die einer Masse im Schwerefeld h m D gestaucht D entspannt x

29 a) Impulserhaltungssatz
Erhaltungsgrößen a) Impulserhaltungssatz 3. Axiom 2. Axiom mP mQ P Q Verallgemeinerung: Wirken in einem System von Massenpunkten keine äußeren Kräfte (abgeschlossenes System), gilt Impulserhaltung: Bemerkung: Es ist irrelevant, ob die inneren Kräfte konservativ sind oder nicht!

30 Definition: Schwerpunkt 
Gesamtmasse Folgerung: Schwerpunktimpuls Schwerpunktsatz: Für ein abgeschlossenes System ist der Schwerpunktimpuls konstant.

31 Magnetische Abstoßung (äquiv. gestauchte Feder)
Demo-Versuch: Luftkissenbahn Magnetische Abstoßung (äquiv. gestauchte Feder) v - v m Faden  der Schwerpunkt bleibt in Ruhe!

32 Gedankenexperiment zum Schwerpunktsatz:
Wie weit kann man mit diesem Rückstoßantrieb fahren? Sand (masselos) Munition, M   1 Kugel: dM v1 . v2 m  0 m  0 m  0 M Sand + Munition Massenschwerpunkt (zeitlich konstant)

33 b) Energieerhaltungssatz
Voraussetzung: konservatives Kraftfeld Tafelrechnung  für Massenpunkt Energiesatz der Mechanik: Bewegt sich ein Massenpunkt in einem konservativen Kraftfeld, ist die Energie (d.h. die Summe aus kinetischer und potentieller Energie) zeitlich konstant. Verallgemeinerung: System von Massenpunkten → Verallgemeinerung: Nicht-konservative (dissipative) Kräfte (z.B. Reibung) führen zur Wärmebewegung (Energie Q) der Umgebung

34 z m m mg h Demo-Versuch: Looping y x R R Idealisierende Anahmen:
Keine Reibung (dissipative Kraft) Kugel rutscht (kein Rollen, keine Rollenergie) x y R m z h R m mg

35 Zentripetal-beschleunigung
Winkelgeschwindigkeit: Zentripetal-beschleunigung Tafelrechnung  mit

36  z m mg h Bedingung für Looping-Bewegung (oberster Punkt der Bahn): R
Schwerkraft  Zentripetal-kraft  Tafelrechnung

37 Wechsel-wirkungs-gebiet
Stoßgesetze m1 m2 Wechsel-wirkungs-gebiet θ1 θ2 Streuwinkel Konservative Kräfte: Elastischer Stoß Σ Ekin = const Dissipative Kräfte: Unelastischer Stoß Σ Ekin nimmt ab Innere Anregung: Superelastischer Stoß Σ Ekin kann zunehmen Billiard: Direkter Stoß des Laien  ziemlich elastisch Profistoß mit Drall  superelastisch

38 e+ e- e+ e- Beispiel: θ Elastische Streuung von Elementarteilchen
Detektor e+ e- θ e+ e- 100 GeV 100 GeV  100 GigaVolt Beschleunigungsspannung Experimentelle Charakterisierung der Kraft beim Stoß:

39 Beispiel: e e

40 e+ e- e+ γ e- Beispiel: Unelastische Streuung von Elementarteilchen
Detektor e+ e- γ Lichtquant (Photon) Gammastrahlung e+ e- 100 GeV Typischer Detektor für Elektronen und Photonen: „Kalorimeter“ aus speziellen Kristallen Teilchenenergie  sichtbares Licht  Photosensor

41 Beispiel:  e e

42 m1 m2 m1  m2 Impulserhaltung: Beispiel: total unelastischer Stoß m1
(Stets gültig! Egal ob elastisch oder nicht) Beispiel: total unelastischer Stoß m1 m2 m1  m2 Verformungsenergie Q ↗

43 Beispiel: Ballistisches Pendel
m2 L Schwerpunktsbewegung: L Umkehr-punkt d h Aufheizung, Wärmeenergie Q m1 v v' Messe d Tafelrechnung

44 2-dimensionale Lösungsschar z.B. Parameter: 1 , 2
Elastischer Stoß: Q  0 θ1 θ2 Streuwinkel Impulserhaltung... ...und zusätzlich Energieerhaltung  6 Unbekannte Impulserhaltung  3 Gleichungen Energieerhaltung  1 Gleichung 2-dimensionale Lösungsschar z.B. Parameter: 1 , 2

45   Spezialfall: Elastischer Stoß im Schwerpunktsystem
Impulserhaltung im Schwerpunktsystem: Streuebene  Energieerhaltung  Impulsübertrag:

46 oft ruhend im Labor  Laborsystem
Spezialfall: Elastischer Stoß im Targetsystem oft ruhend im Labor  Laborsystem Schwerpunktgeschwindigkeit: Streuebene  Folgerung: falls m1  m2 Anwendung: Neutronen-Abbremsung durch Moderator in Kernkraftwerken  m1  m2

47 entartete Streukreise
Spezialfall: Targetsystem, m1  m2 Streuebene entartete Streukreise 50 %

48 Streuung in alle Richtungen
Spezialfall: Targetsystem, m2   Streuebene Streuung in alle Richtungen 100 %

49 Spezialfall: Targetsystem, m1  
Streuebene Vorwärtsstreuung 100 %

50   Elastischer Stoß gegen eine ruhende ebene Wand:
keine Kräfte parallel zur Wand Folgerung: Reflexionsgesetz Einfallswinkel   Ausfallswinkel   

51 2.2.6. Bewegung mit Reibung Reibungsarten: Haft-, Gleit-, Rollreibung
Mikroskopische Theorie: Oberflächen-Beschaffenheit (sehr kompliziert) Kleine Körper in Flüssigkeiten und Gasen: Stokes-Reibung Stokes-Reibung: (empirischer Befund)   Reibungskoeffizient:

52 m v0 x α x0 Δx a) Freie Bewegung t x x0 + Δx x0 Eindringtiefe:
Geschoss x0 Eindringtiefe Δx a) Freie Bewegung t x x0 + Δx x0 Eindringtiefe:

53 z m b) Freier Fall Bewegungsgleichung: Lösung:
Beweis: Prüfe für dieses v(t) v(0)  v0 (Anfangsbedingung) v(t) erfüllt die Bewegungsgleichung Asymptotisches Verhalten: