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2. Newtonsche Mechanik 2.1. Kinematik Kinematik:Beschreibung von Bewegungsabläufen Dynamik:Lehre der Ursachen von Bewegungen (Kräfte, Massen) x y z O Bezugssystem.

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Präsentation zum Thema: "2. Newtonsche Mechanik 2.1. Kinematik Kinematik:Beschreibung von Bewegungsabläufen Dynamik:Lehre der Ursachen von Bewegungen (Kräfte, Massen) x y z O Bezugssystem."—  Präsentation transkript:

1 2. Newtonsche Mechanik 2.1. Kinematik Kinematik:Beschreibung von Bewegungsabläufen Dynamik:Lehre der Ursachen von Bewegungen (Kräfte, Massen) x y z O Bezugssystem (zeitlich fest oder variabel) Bahnkurve bewegter (Massen-)Punkt Ortsvektor kartesische Koordinaten

2 Beispiele: a) Geradlinige, gleichförmige Bewegung in der (x,y)-Ebene x y O oder äquivalent Geschwindigkeit

3 t b) Gleichförmige Kreisbewegung in der (x,y)-Ebene x y O Winkelgeschwindigkeit r r

4 Geschwindigkeit O Def.: Momentangeschwindigkeit Def.: Mittlere Geschwindigkeit: Es gilt: Beweis: Tafel Tangente

5 v v Addition von Geschwindigkeiten Komponentenzerlegung: x y O Addition komponentenweise: x y O

6 Beschleunigung O Def.: Momentanbeschleunigung Def.: Mittlere Beschleunigung: Addition wie bei Geschwindigkeit (wie bei allen Vektoren)

7 Einfache Bewegungsabläufe a) Freier Fall: Massenanziehung Erdbeschleunigung g Erdoberfläche z h 0 Tafelrechnung Fallzeit T: Methode zur Messung von g

8 b) Schiefe Ebene: Tangetialbeschleunigung: Lösung wie im freien Fall Laufzeit: Gerutschte Strecke s(t):

9 c) Wurfparabel: x y O L H komponentenweise konstante Beschleunigung wie freier Fall x(t) v 0x t unabhängig von v 0y x(t) t, y(t) t 2 y(x) ist Parabel Tafelrechnung WurfhöheWurfweite H max bei 90

10 2.2. Dynamik von Massenpunkten Trägheit Trägheitsprinzip (Galilei): Ohne äußere Einflussnahme bleibt die Geschwindigkeit eines Körpers konstant. 1. Newtonsches Axiom: Wirken keine äußeren Kräfte, bleibt die Geschwindigkeit eines Körpers konstant. Voraussetzung: Koordinatensystem bewegt sich unbeschleunigt Inertialsystem unbeschleunigt gegen was? Ruhesystem des Weltalls der kosmischen Mikrowellen-Hintergrundstrahlung

11 Kräfte und Massen 2. Newtonsches Axiom (Aktionsprinzip): Wirkt auf einen Massenpunkt der (trägen) Masse m eine Kraft, so erfährt er eine Beschleunigung mit Bewegungsgleichung: Definition der Massen-Einheit: [m] 1 kg (Kilogramm) 1 kg ist definiert durch Normal (hier: Platin-Iridium- Zylinder, gelagert in Paris) Definition der Kraft-Einheit: [F] 1 kg m s 2 1 N (Newton) 1 N ist die Kraft, die das Massen-Normal mit 1 m s 2 beschleunigt

12 (Eine) Messvorschrift für Kräfte und Massen: m DD x x 0 entspanntbelastet x0x0 x Federwaage Kleine Auslenkung Hookesches Gesetz D Federkonstante Eichmessung mit Massen-Normal: KraftmessungMassenmessung

13 Bemerkungen: a)Dichte: Ausgedehnte homogene Körper: Volumen V Masse m Definition: Dichte: Beispiel: (H 2 O, 4 C, 1 bar) 1000 kg m 3 1 kg 1 1 Liter 1 dm 3

14 b)Schwere Masse: Quelle des Gravitationsfeldes z.B. freier Fall TrägheitskraftTräge MasseGravitationskraftSchwere Masse const. Schwere Masse der Erde Erdradius Experiment ist unabhängig von m T (auf ) Folgerung: m S m T Festlegung: Gravitationskonstante Äquivalenzprinzip (allgemeine Relativitätstheorie): Trägheitskräfte und Gravitationskräfte sind in der Umgebung einer Testmasse prinzipiell ununterscheidbar

15 c)Impuls: 2. Newtonsches Axiom (allgemein für m const.): (relevant bei Systemen von Massenpunkten) d)Addition von Kräften: Kraft ist Vektor übliche Vektoraddition

16 3. Newtonsches Axiom (Reaktionsprinzip): Unterliegen zwei Massenpunkte keinen äußeren Kräften, so wird jede Kraftwirkung des einen Punktes auf den anderen durch eine gleichgroße Gegenkraft kompensiert. ActioReactio

17 Kraftfelder Kraftfeld: Zeitabhängige Kraft, die auf einen Massenpunkt mit einer bestimmten Geschwindigkeit irgendwo im Raum wirkt Statisches Kraftfeld: Häufig: Beispiele: a) Zentralkraftfeld KraftfeldGravitationsfeld m Probemasse M Quell-Masse z.B. Erde Kraft Feldlinien-Dichte Analog: Elektrisches Feld Q: Quellladung q: Probeladung

18 Plattenkondensator b) Homogenes Kraftfeld c) Wirbelfeld Elektrischer Strom I Magnetisches Wirbelfeld Draht q Magnetisches Feld Kraftfeld

19 d) Komplizierterer Fall: Magnetisches Wechselfeld Kraftfeld für Testladung q mit Geschwindigkeit am Ort

20 Fundamentale Kraftfelder: Gravitation Elektromagnetisch Stark (Kernkraft) Schwach (Radioaktivität)

21 Arbeit und Energie A B 0 Kraftfeld Def.: Bei Verschiebung verrichtete Arbeit Vom Kraftfeld verrichtete Arbeit: Def.: Bei Verschiebung aufgebrachte Leistung

22 A B 0 Kraftfeld Arbeit Bewegung z.B. freie Bewegung im Kraftfeld: (Beweis: Tafelrechnung) Definition der kinetische Energie T eines Massepunktes (manchmal alternative Benennung T E kin )

23 A B 0 Kraftfeld Def.: Kraftfeld konservativ es gibt Stammfunktion V: V heißt Potential des Feldes Es gilt (vgl. Theorie-VL): Potential V W AB ist wegunabhängig Potential V ( gilt nur für hinreichend glatte Felder in einfach zusammenhängenden Gebieten)

24 Def.: Potentielle Energie eines Massenpunktes (bzgl. ) im konservativen Kraftfeld: skalares Feld Def.: Äquipotentialflächen Flächen mit V const. für Folgerung: in Äquipotentialfläche V const. V 0 Feldlinien stehen senkrecht auf Äquipotentialflächen Bewegung in Äquipotentialflächen W 0 Verschiedene Äquipotentialflächen sind diskunkt

25 Beispiele: Wirbelfeld hat kein Potential Radialfeld Dipolfeld Beweis: 2 Äquipotentialflächen (V 1 V 2 ) berühren sich nicht ! Äquipotentialfläche 2 V 2 = V 1 Δs·F Äquipotentialfläche 1 Potential V 1 Δs·F

26 Beispiele für potentielle Energie: a) Heben von Lasten: Tafelrechnung m Heben z 0 h

27 b) Potentielle Energie der Feder: DD x entspanntbelastet 0 x Hookesches Gesetz D Federkonstante Tafelrechnung

28 Experiment: m D gestaucht D entspannt m Maximalhöhe ( Umkehrpunkt ) x h Umwandlung der potentiellen Energie der Feder in die einer Masse im Schwerefeld

29 Erhaltungsgrößen a) Impulserhaltungssatz PQ mPmP mQmQ 3. Axiom 2. Axiom Verallgemeinerung: Wirken in einem System von Massenpunkten keine äußeren Kräfte (abgeschlossenes System), gilt Impulserhaltung: Bemerkung: Es ist irrelevant, ob die inneren Kräfte konservativ sind oder nicht!

30 Definition: Schwerpunkt Gesamtmasse Schwerpunktsatz: Für ein abgeschlossenes System ist der Schwerpunktimpuls konstant. Folgerung: Schwerpunktimpuls

31 Demo-Versuch: Luftkissenbahn mm Magnetische Abstoßung (äquiv. gestauchte Feder) Faden v v der Schwerpunkt bleibt in Ruhe!

32 v2v2 Gedankenexperiment zum Schwerpunktsatz: Sand (masselos) m 0 v1v1 Munition, M 1 Kugel: dM Wie weit kann man mit diesem Rückstoßantrieb fahren? M Sand + Munition Massenschwerpunkt (zeitlich konstant)

33 b) Energieerhaltungssatz Voraussetzung: konservatives Kraftfeld Tafelrechnung für Massenpunkt Energiesatz der Mechanik: Bewegt sich ein Massenpunkt in einem konservativen Kraftfeld, ist die Energie (d.h. die Summe aus kinetischer und potentieller Energie) zeitlich konstant. Verallgemeinerung: System von Massenpunkten Verallgemeinerung: Nicht-konservative (dissipative) Kräfte (z.B. Reibung) führen zur Wärmebewegung (Energie Q) der Umgebung

34 Demo-Versuch: Looping mg z h R m Idealisierende Anahmen: Keine Reibung (dissipative Kraft) Kugel rutscht (kein Rollen, keine Rollenergie) x y R m

35 Winkelgeschwindigkeit: Zentripetal- beschleunigung Tafelrechnung mit

36 Bedingung für Looping- Bewegung (oberster Punkt der Bahn): mg z h R m Schwerkraft Zentripetal- kraft Tafelrechnung

37 m1m1 m2m2 Wechsel- wirkungs- gebiet θ1θ1 θ2θ2 Streuwinkel Konservative Kräfte: Elastischer StoßΣ E kin = const Dissipative Kräfte: Unelastischer StoßΣ E kin nimmt ab Innere Anregung: Superelastischer StoßΣ E kin kann zunehmen Konservative Kräfte: Elastischer StoßΣ E kin = const Dissipative Kräfte: Unelastischer StoßΣ E kin nimmt ab Innere Anregung: Superelastischer StoßΣ E kin kann zunehmen Billiard: Direkter Stoß des Laien ziemlich elastisch Profistoß mit Drall superelastisch Stoßgesetze

38 θ θ Beispiel: Elastische Streuung von Elementarteilchen e+e+ e 100 GeV e+e+ e Detektor 100 GeV 100 GigaVolt Beschleunigungsspannung Experimentelle Charakterisierung der Kraft beim Stoß:

39 Beispiel: e e

40 e+e+ e 100 GeV Detektor e+e+ e γ Lichtquant (Photon) Gammastrahlung Typischer Detektor für Elektronen und Photonen: Kalorimeter aus speziellen Kristallen Teilchenenergie sichtbares Licht Photosensor Typischer Detektor für Elektronen und Photonen: Kalorimeter aus speziellen Kristallen Teilchenenergie sichtbares Licht Photosensor Beispiel: Unelastische Streuung von Elementarteilchen

41 Beispiel: e e

42 m1m1 m2m2 Impulserhaltung: (Stets gültig! Egal ob elastisch oder nicht) Beispiel: total unelastischer Stoß m1m1 m2m2 m 1 m 2 Verformungsenergie Q

43 m2m2 L Beispiel: Ballistisches Pendel m1m1 v v'v' Messe d Tafelrechnung Schwerpunktsbewegung: L L Umkehr- punkt d h Aufheizung, Wärmeenergie Q

44 θ1θ1 θ2θ2 Streuwinkel Elastischer Stoß: Q 0...und zusätzlich Energieerhaltung 6 Unbekannte Impulserhaltung 3 Gleichungen Energieerhaltung 1 Gleichung 2-dimensionale Lösungsschar z.B. Parameter: 1, 2 Impulserhaltung...

45 Spezialfall: Elastischer Stoß im Schwerpunktsystem Streuebene Impulserhaltung im Schwerpunktsystem: Energieerhaltung Impulsübertrag:

46 Spezialfall: Elastischer Stoß im Targetsystem Streuebene Schwerpunktgeschwindigkeit: oft ruhend im Labor Laborsystem m 1 m 2 Folgerung: falls m 1 m 2 Anwendung: Neutronen-Abbremsung durch Moderator in Kernkraftwerken

47 Streuebene 50 % entartete Streukreise Spezialfall: Targetsystem, m 1 m 2

48 Streuebene 100 % Streuung in alle Richtungen Spezialfall: Targetsystem, m 2

49 Streuebene 100 % Vorwärtsstreuung Spezialfall: Targetsystem, m 1

50 Elastischer Stoß gegen eine ruhende ebene Wand: keine Kräfte parallel zur Wand Folgerung: Reflexionsgesetz Einfallswinkel Ausfallswinkel

51 Bewegung mit Reibung Reibungsarten: Haft-, Gleit-, Rollreibung Mikroskopische Theorie: Oberflächen-Beschaffenheit (sehr kompliziert) Kleine Körper in Flüssigkeiten und Gasen: Stokes-Reibung Stokes-Reibung: (empirischer Befund) Reibungskoeffizient:

52 a) Freie Bewegung m v0v0 x α Geschoss x0x0 Eindringtiefe Δx t x x 0 + Δx x0x0 Eindringtiefe:

53 b) Freier Fall m z Bewegungsgleichung: Lösung: Beweis: Prüfe für dieses v(t) 1.v(0) v 0 (Anfangsbedingung) 2.v(t) erfüllt die Bewegungsgleichung Asymptotisches Verhalten:


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