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Ingo Rechenberg PowerPoint-Folien zur 6. Vorlesung Bionik I Bionik auf dem mathematischen Prüfstand Optimallösungen als Ergebnis der Evolution Weiterverwendung.

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1 Ingo Rechenberg PowerPoint-Folien zur 6. Vorlesung Bionik I Bionik auf dem mathematischen Prüfstand Optimallösungen als Ergebnis der Evolution Weiterverwendung nur unter Angabe der Quelle gestattet

2 Der kubisch paraboloide Baumstamm

3 2 r2 r y P Theorie Träger gleicher Festigkeit Form eines Kiefernstamms Solarbetriebener CO 2 -Sammler Mast Materialminimierung: Höchster Baum in Deutschland: Douglasie 60,1 m (Eberbach) Höchster Baum in der Welt: Mammutbaum 112,7 m (Kalifornien) Wind Nur Formvergleich möglich, da genaue Belastungsdaten fehlen.

4 Das Dritte-Wurzel-Gesetz der Blutgefäße

5 Arterienzweig Kapillare Gewebe Vene Kleine Vene Arteriole GefäßartDurchmesser D [mm]Anzahl Aorta101 Große Arterien340 Arterienäste1600 Arterienzweige0,61800 Arteriolen0, Kapillaren0, Vermessung des Blutgefäßsystems eines 13 kg schweren Hundes Das Blutgefäßsystem als hydraulisches Fördernetz Erfindung des Herz-Lungen-System in der Evolution

6 Aorta Arterienäste z 5% + - Große Arterien Arterienzweige Arteriolen Kapillaren D mm Gesetz der Verzweigung von Blutgefäßen Genauigkeit !

7 Gehirnzellen Beinmuskeln Armmuskeln Herzantrieb Blutneubildung Mensch kJ ab Pumpleistung Herz [kJ]großklein Neubildung Blut [kJ]kleingroß a b Zwei Entwürfe für eine Rohrverzweigung Blutkörperchen/s Energiebilanz Herzpumpe

8 Qualitätsfunktion: Gesetz von Hagen-Poiseuille p D Q Mengenstrom / m 3 /s Blutbildungsarbeit Kubikmeter · Sekunde opfenStrömungspropfenStrömungspr Herzpumpe gkeitGeschwindiKraft F Rohr Vk dungBlutneubil nRohrvolume F

9 Minimierungsproblem:

10 Wir bilden nach den Regeln der Extremwertfindung einer Funktion: Die Gleichungen lassen sich elementar nach D 0 und D i auflösen

11 D 0 0 D D D Für vorgegebene Anfangswerte D 0 und Q 0 hängt der optimale Durchmesser D i eines jeden Rohrzweiges nur von seiner eigenen Durchflussmenge ab! Qz 0 Q 0 Q 1 Beispiel:

12 Aorta Arterienäste z 5% + - Große Arterien Arterienzweige Arteriolen Kapillaren D mm Es existieren z Blutgefäße gleichen Durchmessers, durch die der gesamte Blutstrom hindurchfließt. Bedingung für die Lösung:

13 Optimale Blutgefäßverzweigung Hund - Mensch - Theorie z 3 0 /1 z DD i D mm Hund arterielles System Mensch arterielles System Mensch venöses System

14 Hydraulik des Hämatokrits

15 v a b Blutzellenvolumen Gesamtvolumen Hämatokrit H = Ist die Lösung a besser als b oder ist b besser als a ? Zwei Lösungen für eine hydraulische Förderung von Blutkörperchen

16 H optimal = 43,3% H Mensch = 42 – 44% H Kamel = 28% H Schaf = 32% H Schwein = 41% ( mathematische Lösung ) Zur Messung des Blutzellen-Volumenstroms Zeit Künstliche H -Werte

17 Optimaler Blutkörperchenstrom

18 Geometrie der Bienenwaben

19 Dumme Gärtner Schlaue Gärtner g v v b für g g g b Eingesparte Strecke Hinzugefügte Strecke Vom Angrenzungsproblem in 2 Dimensionen zum Angrenzungsproblem in 3 Dimensionen

20 Am Boden der sechseckigen Zellen der Bienenwabe sieht man die versetzt angeordneten Zellwände der Gegenseite durchscheinen. Das Angrenzungsproblem in 3 Dimensionen

21 Das Angrenzungsproblem Gartenzaun Bienenwabe

22 Zelle von Fejes Tóth Bienenwabe Gewinn = 0,035% gegenüber der Lösung der Evolution

23 Shakespeare stellt Richard den Dritten als zu kurz geraten und von klumpiger Missgestalt hin. Hatte König Richard dadurch, dass er klein war, beim Kampf in voller Ritterrüstung Vorteile ? Die Rüstung Richard des Dritten Vorteil der Kleinheit: Die an die Körperoberfläche angepasste Ritterrüstung ist leichter ? Vorteil des Größe: Das Gewicht der an die Körperoberfläche angepassten Ritterrüstung wächst proportional zum Quadrat der Größe, die Muskelkraft aber proportional zur dritten Potenz (Volumen) der Größe des Ritters ? Gleiche Vor- und Nachteile: Das Gewicht der an die Körper- oberfläche angepassten Ritterrüstung wächst proportional zur Oberfläche, die Muskelkraft wächst auch nur proporti- onal zu seiner Querschnittsfläche und nicht zum Volumen ? Über Größe und Leistung Der große Ritter stirbt an einem Hitzschlag !

24 Eine Science-Fiction-Geschichte

25 Planet der Halslinge Alpha Cenauri

26 Magnesium Osmium

27 Evolution auf dem extrasolaren Planeten

28 2206 Erdlinge

29 plump grazil

30 Allometriegesetz der extraterrestrischen Halslinge Es gilt ein 7/6-Potenzgesetz !

31 Katze Elefant Skelett von Katze und Elefant auf die gleiche Größe gebracht plump grazil

32 Allometriegesetz der terrestrischen Wirbeltiere Es gilt ein 7/6-Potenzgesetz ! S L 7/6

33 Theorie für minimales Trägergewicht bei gleicher relativer Durchbiegung (Steifigkeit) G L 7/6 Das technische Problem: Links eingespannter Balken mit Kugelgewicht

34 Aus & Optimale Auslegung der Hüpflingsarten auf dem extrasolaren Planeten Es kommen die Gleichungen hinzu: Euler Knickung l variabel Osmium Hüpfling

35 Isometrie Allometrie Beltistometrie ( gleich) ( anders) ( bester) Mit gleichem Maß Mit anderem Maß Mit bestem Maß Was ist Allometrie ?

36 Von der Zwergmaus zur Elenantilope Vom Modellflugmotor zum Schiffsdiesel Beltistometrie

37 MAN-Schiffsdiesel mit kW Leistung Modellflugdiesel mit 0,31 kW Leistung

38 Vergleich von Leistung und Gewicht: Großdiesel für Kreuzfahrtschiff:Gewicht: 250 Tonnen Leistung: kW Kleinstdiesel für Flugmodell: Gewicht: 237,5 g Leistung: 0,99 kW Modellflugdiesel wiegen so viel wie ein Schiffsdiesel. Sie leisten zusammen kW. Das ist 45-mal mehr als der Großdiesel !

39 Gedanken zur Kraft der Weberameise

40 Ende


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