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Modellbilden 3.2.06 Georg Lilitakis Katja Schmidt.

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Präsentation zum Thema: "Modellbilden 3.2.06 Georg Lilitakis Katja Schmidt."—  Präsentation transkript:

1 Modellbilden Georg Lilitakis Katja Schmidt

2 Gliederung Definition Modellbilden Definition Modellbilden Sachrechnen Sachrechnen Deskriptive und normative Modelle Deskriptive und normative Modelle Modellkreislauf Modellkreislauf Ziele Ziele Kalender Kalender Sonne, Erde, Mond Sonne, Erde, Mond Mathematische Teil (Modellbilden Beispiel) Mathematische Teil (Modellbilden Beispiel)

3 Definition Modellbilden Reale Situation mit Hilfe mathematischer Modelle beschreiben und damit zur Problemlösung zu gelangen Reale Situation mit Hilfe mathematischer Modelle beschreiben und damit zur Problemlösung zu gelangen Etwas Bekanntes benutzen um etwas Unbekanntes zu beschreiben (Wollring) Etwas Bekanntes benutzen um etwas Unbekanntes zu beschreiben (Wollring)

4 Deskriptive und normative Modelle Deskriptive ModelleNormative Modelle - Gegenstandsbereiche (Realwelt) in best. Zügen und auf verschiedene Weisen nachahmen - Nachahmung kann physisch, bildlich oder sprachlich-symbolisch sein - gewonnene Daten und Schlussfolgerungen sollten auf den Realbereich zurückgespiegelt werden können und sich dort als zutreffend erweisen - daher sollen sie zu Einsichten führen, die man ohne Modellbildung nie hätte gewinnen können (explodierende Funktion von Modellen) - Paradebsp.: Globus als Modell der Erde - dienen als Muster, Vorbild, als Norm für die Realisierung von Gegenständen oder Handlungen - Beurteilung: sie sollen praktikabel sein und sich möglichst freiwilliger Akzeptanz erfreuen - Paradebsp.: Schnittmuster (Schreinerei), Baupläne (Architektur)

5 Unterschied: Deskriptive Modelle beschreiben die Wirklichkeit und normative Modelle nehmen Einfluss auf die Wirklichkeit. Deskriptive Modelle beschreiben die Wirklichkeit und normative Modelle nehmen Einfluss auf die Wirklichkeit.

6 Wichtig: Dabei müssen zwischen Modell und Wirklichkeit möglichst weitgehend Analogien bestehen. Dabei müssen zwischen Modell und Wirklichkeit möglichst weitgehend Analogien bestehen. Die erarbeiteten Konsequenzen müssen schließlich mit der Realität verglichen werden. Diese Überprüfung kann zu einer Modifikation oder auch zur Notwendigkeit eines neuen Ansatzes führen. Die erarbeiteten Konsequenzen müssen schließlich mit der Realität verglichen werden. Diese Überprüfung kann zu einer Modifikation oder auch zur Notwendigkeit eines neuen Ansatzes führen. Die Interpretation der Problemlösung im Modell führt zu Aussagen über die Lösung des realen Problems. Die Interpretation der Problemlösung im Modell führt zu Aussagen über die Lösung des realen Problems.

7 Wege Um die Lösung zu finden geht man einen ganz bestimmten Weg, den man MODELLIEREN nennt. Um die Lösung zu finden geht man einen ganz bestimmten Weg, den man MODELLIEREN nennt. Den gegenteiligen Prozess nennt man VERANSCHAULICHEN Den gegenteiligen Prozess nennt man VERANSCHAULICHEN

8 Modellkreislauf

9 Beachten Beim Modellierungsprozess werden neben mathematischen Kenntnissen und Fertigkeiten auch interpretierende und wertende Fähigkeiten im Zusammenspiel von Mathematik und Wirklichkeit verlangt. Es geht also nicht ausschließlich um das Bearbeiten von innermathematischen Aufgaben, sondern um die Auseinandersetzung mit Problemen der Lebenswelt, die sich mit Hilfe von Mathematik behandeln lassen. Beim Modellierungsprozess werden neben mathematischen Kenntnissen und Fertigkeiten auch interpretierende und wertende Fähigkeiten im Zusammenspiel von Mathematik und Wirklichkeit verlangt. Es geht also nicht ausschließlich um das Bearbeiten von innermathematischen Aufgaben, sondern um die Auseinandersetzung mit Problemen der Lebenswelt, die sich mit Hilfe von Mathematik behandeln lassen.

10 Alltäglich Modellbildungsprozesse sind im Alltag allgegenwärtig. Modellbildungsprozesse sind im Alltag allgegenwärtig. Grundlegendes Beispiel ist der Abstraktionsprozess vom gegenständlichen Zählen zum symbolischen Zählen. Grundlegendes Beispiel ist der Abstraktionsprozess vom gegenständlichen Zählen zum symbolischen Zählen. 2 Stühle + 3 Stühle = 5 Stühle (gegenständlich) 2 Stühle + 3 Stühle = 5 Stühle (gegenständlich) = 5 (symbolisch) = 5 (symbolisch)

11 Ziele von Modellbildung: Erschließung der konkreten uns umgebenden Welt Erschließung der konkreten uns umgebenden Welt Erschließung der Mathematik Erschließung der Mathematik

12 Kurze Pause Kurze Pause

13 Modellbildungskreislauf am Beispiel des Kalenders

14 Kalender werden von drei Naturereignissen bestimmt: Erdumdrehung (die Erde dreht sich um sich selbst) Erdumdrehung (die Erde dreht sich um sich selbst) Mondumlauf (Umlauf des Mondes um die Erde) Mondumlauf (Umlauf des Mondes um die Erde) Erdumlauf (Umlauf der Erde um die Sonne) Erdumlauf (Umlauf der Erde um die Sonne)

15 Sonne, Erde und Mond Die Erde Die Erde Mittlerer Abstand zur Sonne km (=1 AE) Mittlerer Abstand zur Sonne km (=1 AE) Umlaufzeit um die Sonne: 365, Tage Umlaufzeit um die Sonne: 365, Tage Rotationsdauer um die eigene Achse 1,0 Tag Rotationsdauer um die eigene Achse 1,0 Tag Der Mond Der Mond Mittlerer Abstand zur Erde km Mittlerer Abstand zur Erde km Umlaufzeit um die Erde siderisch 27,32166 Tage Umlaufzeit um die Erde siderisch 27,32166 Tage synodisch29,53059 Tage Rotationsdauer27,32166 Tage Rotationsdauer27,32166 Tage Nach einem siderischen Monat (27,32 d) nimmt der Mond wieder die gleiche Stellung zu den Fixsternen ein (von der Erde aus beobachtet). Nach einem synodischen Monat (29,53 d; Periode der Mondphasen) erreicht der Mond wieder die gleiche Stellung zur Sonne (von der Erde aus beobachtet), d.h. z.B. von Vollmond zu Vollmond.

16 Welche Bewegungen sind für die Zeitmessung relevant? Drehung der Erde um sich selbst Drehung der Erde um sich selbst

17 Erdumlaufbahn Sonnenumlauf: 365, Tage (tropisches Jahr)

18 Was wollen wir überhaupt ausrechnen? Unterschied zwischen dem tropischen Jahr zu dem Kalenderjahr Unterschied zwischen dem tropischen Jahr zu dem Kalenderjahr Rest von 0, Tagen Rest von 0, Tagen Als Bruch Als Bruch Zahl der Tage, die wir in Jahren mehr brauchen, um den Überschuss zu erhalten.

19 Reale Situation 1 Jahr = 365, Tage 1 Jahr = 365, Tage Problem: wahrer Sonnentag nicht immer gleich lang (Realität) Problem: wahrer Sonnentag nicht immer gleich lang (Realität) Längster Tag: 23.Dezember Längster Tag: 23.Dezember Kürzester Tag: 16.September Kürzester Tag: 16.September Unterschied: 51 Sekunden Unterschied: 51 Sekunden

20 Mathematisches Modell Wir rechnen mit einem durchschnittlichen Sonnentag Wir rechnen mit einem durchschnittlichen Sonnentag Annahme: alle Tage sind gleich lang Annahme: alle Tage sind gleich lang Mathematisch suchen wir eine möglichst gute Näherung an den Rest Mathematisch suchen wir eine möglichst gute Näherung an den Rest

21 Mathematische Lösung In Jahren haben wir Schaltjahre (mit 366 Tagen) und normale Jahre (mit 365 Tagen) In Jahren haben wir Schaltjahre (mit 366 Tagen) und normale Jahre (mit 365 Tagen)

22 Abgleich mit dem realen Modell Problem: Problem: 1. Verteilungsregel ist schwierig 2. Erdumlaufzeit (Jahr) schwankt innerhalb erheblich Modell passt nicht!!! Modell passt nicht!!!

23 Mathematisch neuer Ansatz Ziel: Suche nach einer Näherung an 0, Ziel: Suche nach einer Näherung an 0, Dieser Bruch sollte: Dieser Bruch sollte: 1. Möglichst genau sein 2. Und einen möglichst kleinen Nenner haben

24 Mathematische Lösung Wir suchen Näherungsbrüche an 0, Wir suchen Näherungsbrüche an 0, Diese erhalten wir durch: Diese erhalten wir durch: 1. Euklidischen Algorithmus 2. Kettenbrüche 3. Und aus den Kettenbrüchen die Näherungsbrüche

25 Euklidischer Algorithmus = = = = = = = = = = = = = = =4 1+0

26 Kettenbrüche Zur Erinnerung: Zur Erinnerung: Kettenbrüche entwickeln sich wie folgt: Kettenbrüche entwickeln sich wie folgt:

27 Kettenbruch Ein Kettenbruch funktioniert: weil man durch einen Bruch dividiert, indem man mit dem Kehrwert des Bruches multipliziert. Kettenbrüche liefern sehr schnell und sehr genaue Näherungen an einen Dezimalbruch. Der folgende Kettenbruch entspricht Kurz: (0, 4, 7, 1, 3, 6, 2, 1, 132, 3, 3, 4, 7, 2, 4)

28 Näherungsbrüche? Die Näherungsbrüche lauten:

29 Überlegung Näherungsbrüche ergeben so keine schöne Verteilung der Schaltjahre Näherungsbrüche ergeben so keine schöne Verteilung der Schaltjahre

30 Beispiel Verteilung von 194 Schaltjahre auf 801 Jahre Verteilung von 194 Schaltjahre auf 801 Jahre 800 Jahre unser Kalender 800 Jahre unser Kalender 802 würde eine neue Periode beginnen 802 würde eine neue Periode beginnen Periode würde mit Jahr 1 beginnen Periode würde mit Jahr 1 beginnen Dann wäre 805 das erste Schaltjahr Dann wäre 805 das erste Schaltjahr Kritik? Kritik?

31 Keine Schaltjahre mehr im gewohnten Rhythmus Keine Schaltjahre mehr im gewohnten Rhythmus (Teilbarkeit durch 4) (Teilbarkeit durch 4) Mathematische Idee: Wir suchen Brüche, die dem Überschuss 0, möglichst nah kommen. Wir suchen Brüche, die dem Überschuss 0, möglichst nah kommen. Dazu multipliziert man den Nenner mit dem Überschuss und bestimmt die dem Produkt am nächsten liegende ganze Zahl. Dazu multipliziert man den Nenner mit dem Überschuss und bestimmt die dem Produkt am nächsten liegende ganze Zahl.

32 Rang Periode in Jahren Produkt von Jahresüberschuss und Periodenlänge Schalttage pro Periode Abweichung in Tagen pro 1000 Jahre 1 Tag Abweichung nach … Jahren , , , , … , , , , … , , , , … , , … , , , , … , , … , , … , , , , , ,

33 Seminaraufgaben Überlegt Euch eine Verteilung für Überlegt Euch eine Verteilung für Jahre mit 218 Schaltjahren Jahre mit 121 Schaltjahren Jahre mit 8 Schaltjahren

34 Vielen Dank für Eure Zeit


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