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1 Mit Brüchen spielen / Kettenbrüche Referat von Saskia Ochmann, 8. Semester Veranstaltung: Fachwissenschaftliches Seminar Leitung: Prof. Dr. Hochmuth.

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1 1 Mit Brüchen spielen / Kettenbrüche Referat von Saskia Ochmann, 8. Semester Veranstaltung: Fachwissenschaftliches Seminar Leitung: Prof. Dr. Hochmuth

2 2 Gliederung Einstieg Berechnung / Bildung von Kettenbrüchen Näherungsbrüche Euklidischer Algorithmus Approximierung sichtbar machen Rekursionsformel Zur Eindeutigkeit der Nähe Zusammenfassung

3 3 Aufgabe 1 5+1____ 7+1__ 2+1 3

4 4 Aufgabe 2 [3,1,2,1,2] = ? [0,5,6] = ? ___________ [0,3,1,1] = ? [1,1,1,1] = ? Wie verändert sich das Ergebnis, wenn man die Reihe um weitere Einsen ergänzt? Kann man ein Muster erkennen?

5 5 Aufgabe 3 Berechne [5,7,2,3] schrittweise: [5] = ? [5,7] = ? [5,7,2] = ? -> Näherungsbrüche

6 6 Aufgabe 4 Berechne die Differenz / Abweichung zu __ approximiert 267 am besten

7 7 Euklidischer Algorithmus 45 = 2 x = 1 x = 1 x = 1 x = 5 x 1 + 0

8 8 Approximierung sichtbar machen a1-a 2 1-a 2

9 9 Rekursionsformel B k = P k-1 x q k + P k-2 Q k-1 x q k + Q k-2

10 10 Aufgabe 5 Christian Huygen ( ) hatte die Aufgabe, ein Zahnradmodell des Sonnensystems zu bauen. Dabei sollte gelten: Zahnanzahl von Zahnrad 1 = Umlaufzeit von Planet 1 Zahnanzahl von Zahnrad 2 Umlaufzeit von Planet 2 Für Saturn und Erde hat man das Verhältnis Aus technischen Gründen sollten die Zahnräder höchstens 250 Zähne haben. Wie realisierte er das Modell?

11 11 Lösung: = 29 x = 2 x = 2 x = 1 x = 5 x = 1 x usw. [29,2,2,1,5,1,...]

12 12 Zur Eindeutigkeit der Nähe Aufeinanderfolgende Kettenbrüche sind stets minimal benachbart. a – c = ad – cb = +/- 1 b d bd bd

13 13 Zusammenfassung Gilt alles für rationale Zahlen Kettenbruchentwicklung rationaler Zahlen ist endlich Was ist mit reellen Zahlen?


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