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Spracherkennungs-und Anfrage-Aequivalenz von MSO, monadischem Datalog, und Automaten. Thomas Kloecker Betreuer: Tim Priesnitz Seminar Logische Aspekte.

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1 Spracherkennungs-und Anfrage-Aequivalenz von MSO, monadischem Datalog, und Automaten. Thomas Kloecker Betreuer: Tim Priesnitz Seminar Logische Aspekte von XML, Gerd Smolka, PS Lab, Uni Saarland, SS 2003

2 Uebersicht 0. Datalog vs. SQL; monadischer Datalog 1. Automaten monadischer Datalog 2. Monadischer Datalog MSO 3. MSO Automaten UniversumAutomatentypen A. Strings B. Ranked Trees C. Unranked Trees 'algebraisch' vs. bottom-up vs. top-down. deterministisch?

3 Uebersicht 0. Datalog vs. SQL; monadischer Datalog 1. Automaten monadischer Datalog 2. Monadischer Datalog MSO 3. MSO Automaten UniversumAutomatentypen A. Strings B. Ranked Trees C. Unranked Trees 'algebraisch' vs. bottom-up vs. top-down. deterministisch?

4 Uebersicht 0. Datalog vs. SQL; monadischer Datalog 1. Automaten monadischer Datalog 2. Monadischer Datalog MSO 3. MSO Automaten UniversumAutomatentypenAufgabe A. Strings B. Ranked C. Unranked 'normal' vs. two -way deterministisch Sprach- erkennung Query- Berechnung

5 Automaten, monadischer Datalog & MSO Datalog

6 Datalog - Beispiel q0 q1 q2 Endlicher Automat für Addition Presburger Arithmetik q0 q0 q0 q1 q0 q2

7 Datalog - Beispiel nocar(0). nocar(NextPos) :- s(Pos, NextPos), nocar(Pos), in_000(Pos). % = 0+0 nocar(NextPos) :- s(Pos, NextPos), nocar(Pos), in_011(Pos). % = 1+0 nocar(NextPos) :- s(Pos, NextPos), nocar(Pos), in_101(Pos). % = 1+0 nocar(NextPos) :- s(Pos, NextPos), carry(Pos), in_001(Pos). % = 1+0 % c+x+y = z+c' carry(NextPos) :- s(Pos, NextPos), carry(Pos), in_010(Pos). % = 0+1 carry(NextPos) :- s(Pos, NextPos), carry(Pos), in_100(Pos). % = 0+1 carry(NextPos) :- s(Pos, NextPos), carry(Pos), in_111(Pos). % = 1+1 carry(NextPos) :- s(Pos, NextPos), nocar(Pos), in_110(Pos). % = 0+1 endOfFile(NextPos) :- s(Pos, NextPos), in_BotBotBot(Pos). accept :- endOfFile(_). in_101(0). in_011(1). in_110(2). in_001(3). in_BotBotBot(4). s(0,1). s(1,2). s(2,3). s(3,4). s(4,5).

8 Datalog Beispiel Presburger Arithmetik nocar(0). nocar(NextPos) :- s(Pos, % c+x+y = z+c' carry(NextPos) :- s(Pos, NextPos), carry(Pos), in_010(Pos). % = 0+1 carry(NextPos) :- s(Pos, NextPos), carry(Pos), in_100(Pos). % = 0+1 carry(NextPos) :- s(Pos, NextPos), carry(Pos), in_111(Pos). % = 1+1 carry(NextPos) :- s(Pos, NextPos), nocar(Pos), in_110(Pos). % = 0+1 endOfFile(NextPos) :- s(Pos, NextPos), in_BotBotBot(Pos). accept :- endOfFile(_). in_101(0). in_011(1). in_110(2). in_001(3). in_BotBotBot(4). s(0,1). s(1,2). s(2,3). s(3,4). s(4,5)

9 Datalog Beispiel Presburger Arithmetik nocar(0). nocar(NextPos) :- s(Pos, NextPos), nocar(Pos), in_000(Pos). % = 0+0 nocar(NextPos) :- s(Pos, NextPos), nocar(Pos), in_011(Pos). % = 1+0 nocar(NextPos) :- s(Pos, NextPos), nocar(Pos), in_101(Pos). % = 1+0 nocar(NextPos) :- s(Pos, NextPos), carry(Pos), in_001(Pos). % = 1+0 % c+x+y = z+c' carry(NextPos) :- s(Pos, NextPos), carry(Pos), in_010(Pos). % = 0+1 carry(NextPos) :- s(Pos, NextPos), carry(Pos), in_100(Pos). % = 0+1 carry(NextPos) :- s(Pos, NextPos), carry(Pos), in_111(Pos). % = 1+1 carry(NextPos) :- s(Pos, NextPos), nocar(Pos), in_110(Pos). % = 0+1 endOfFile(NextPos) :- s(Pos, NextPos), in_BotBotBot(Pos). accept :- endOfFile(_). in_101(0). in_011(1). in_110(2). in_001(3). in_BotBotBot(4). s(0,1). s(1,2). s(2,3). s(3,4). s(4,5).

10 nocar(0). nocar(NextPos) :- s(Pos, NextPos), nocar(Pos), in_000(Pos). % = 0+0 nocar(NextPos) :- s(Pos, NextPos), nocar(Pos), in_011(Pos). % = 1+0 nocar(NextPos) :- s(Pos, NextPos), nocar(Pos), in_101(Pos). % = 1+0 nocar(NextPos) :- s(Pos, NextPos), carry(Pos), in_001(Pos). % = 1+0 % c+x+y = z+c' carry(NextPos) :- s(Pos, NextPos), carry(Pos), in_010(Pos). % = 0+1 carry(NextPos) :- s(Pos, NextPos), carry(Pos), in_100(Pos). % = 0+1 carry(NextPos) :- s(Pos, NextPos), carry(Pos), in_111(Pos). % = 1+1 carry(NextPos) :- s(Pos, NextPos), nocar(Pos), in_110(Pos). % = 0+1 endOfFile(NextPos) :- s(Pos, NextPos), in_BotBotBot(Pos). accept :- endOfFile(_). in_101(0). in_011(1). in_110(2). in_001(3). in_BotBotBot(4). s(0,1). s(1,2). s(2,3). s(3,4). s(4,5). Datalog Beispiel Presburger Arithmetik

11 nocar(0). nocar(NextPos) :- s(Pos, NextPos), nocar(Pos), in_000(Pos). % = 0+0 nocar(NextPos) :- s(Pos, NextPos), nocar(Pos), in_011(Pos). % = 1+0 nocar(NextPos) :- s(Pos, NextPos), nocar(Pos), in_101(Pos). % = 1+0 nocar(NextPos) :- s(Pos, NextPos), carry(Pos), in_001(Pos). % = 1+0 % c+x+y = z+c' carry(NextPos) :- s(Pos, NextPos), carry(Pos), in_010(Pos). % = 0+1 carry(NextPos) :- s(Pos, NextPos), carry(Pos), in_100(Pos). % = 0+1 carry(NextPos) :- s(Pos, NextPos), carry(Pos), in_111(Pos). % = 1+1 carry(NextPos) :- s(Pos, NextPos), nocar(Pos), in_110(Pos). endOfFile(NextPos) :- s(Pos, NextPos), in_BotBotBot(Pos). accept :- endOfFile(_). in_101(0). in_011(1). in_110(2). in_001(3). in_BotBotBot(4). s(0,1). s(1,2). s(2,3). s(3,4). s(4,5). nocar carry endOfFile

12 Datalog nocar(0). nocar(NextPos) :- s(Pos, NextPos), nocar(Pos), in_000(Pos). % = 0+0 nocar(NextPos) :- s(Pos, NextPos), nocar(Pos), in_011(Pos). % = 1+0 nocar(NextPos) :- s(Pos, NextPos), nocar(Pos), in_101(Pos). % = 1+0 nocar(NextPos) :- s(Pos, NextPos), carry(Pos), in_001(Pos). % = 1+0 % c+x+y = z+c' carry(NextPos) :- s(Pos, NextPos), carry(Pos), in_010(Pos). % = 0+1 carry(NextPos) :- s(Pos, NextPos), carry(Pos), in_100(Pos). % = 0+1 carry(NextPos) :- s(Pos, NextPos), carry(Pos), in_111(Pos). % = 1+1 carry(NextPos) :- s(Pos, NextPos), nocar(Pos), in_110(Pos). endOfFile(NextPos) :- s(Pos, NextPos), in_BotBotBot(Pos). accept :- endOfFile(_). in_101(0). in_011(1). in_110(2). in_001(3). in_BotBotBot(4). s(0,1). s(1,2). s(2,3). s(3,4). s(4,5). nocarcarry endOfFile

13 Datalog - Grundlegende Konzepte Extensionaler und intensionaler Programmteil kurzer Vergleich mit SQL formale Definition Dialekte basic vs. stratified monadisch / voll Prolog Semantik

14 Datalog vs SQL SQLDatalog Typen Schema = Menge von Namen von Relationen und Attributen Signatur = Namen und Aritaeten der extensionalen Praedikate Modellierung von gespeichert vs berechnet Tables vs Views Extensionale Datenbank (EDB) vs Intensionale Datenbank (IDB) Expressivitaet Transitiver Abschluss nicht modellierbar Turing complete.

15 Datalog vs SQL SQL - tables Getraenke(gid, name, preis) Kunden(tid, tname, schuhgroesse) Konsum(gid, tid, menge, datum) SQL - views Kunde2(tid, kontonummer) Konsum2(name, preis, menge, datum, schuhgroesse) SELECT blahblah Datalog- Signatur (getraenk, kunde, konsum) kunde(17, hans, 46). kunde(18, maria, 40). mensch(sokrates). mensch(hans). Datalog- Regeln Alle Menschen sind sterblich. sterblich(X) :- mensch(X) Wenn Hans 2 Paar Schuhe hat, verkauft er das teurere Paar. verkauft(hans, X) :- hat(hans,X), hat(hans,Y), schuh(X), schuh(Y), X\==Y, teurerAls(X,Y).

16 Datalog - Interaktion / Anfragen 1 ?- sterblich(sokrates). yes.

17 Datalog - Interaktion / Anfragen 1 ?- sterblich(sokrates). yes. 2 ?- sterblich(X). X = sokrates;

18 Datalog - Interaktion / Anfragen 1 ?- sterblich(sokrates). yes. 2 ?- sterblich(X). X = sokrates; X = hans;

19 Datalog - Interaktion / Anfragen 1 ?- sterblich(sokrates). yes. 2 ?- sterblich(X). X = sokrates; X = hans; no.

20 Datalog - Interaktion / Anfragen 1 ?- sterblich(sokrates). yes. 2 ?- sterblich(X). X = sokrates; X = hans; no. 3 ?- sterblich(_). yes.

21 Datalog - formale Definition Signatur = dasselbe wie ranked Alphabet (Datalog - Sprechweise) Sei eine Signatur gegeben. Ein einfaches Datalog Programm (ueber ) mit intensionalen Praedikaten P I ist eine Menge von Regeln der Form H :- B 1, …, B n. (wobei die linke Seite H Head, und die rechte Seite B 1, …, B n Body, genannt werden), wenn gilt: 1) Alle Heads sind in Atome R u 1,.., u n mit R in P I. 2) Alle B j, 1 <= j <= n, sind entweder Atome R u 1,.., u n mit R in P I, oder Literale (¬)R u 1,.., u n mit R in, 3) P I =

22 Datalog - formale Definition Die Elemente von heissen auch extensionale Praedikate oder Input Praedikate. Das einfache Datalog Program selbst heisst auch intensionale Datenbank, oder IDB. Eine Regel wie die obige, jedoch mit leerem Body, und als Head ein Atom R u 1,.., u n mit R aus, heisst auch ein Fakt. Mengen von Fakten heissen auch extensionale Datenbank, oder EDB. Die Semantik des Programms (d.h. der IDB) ist eine Abbildung EDB Zuweisung von Wahrheitswerten an die intensionalen Praedikate. Ein stratifiziertes Datalog Programm ist eine geordnete Folge von einfachen Datalog Programmen, Strata genannt. Jedes Stratum wird als EDB (d.h. Input) des naechsthoeheren Stratums interpretiert.

23 Datalog - formale Definition Ein Datalog Programm heisst monadisch, wenn alle intensionalen Praedikate Aritaet 1 haben. Die Signatur fuer monadischen Datalog auf ranked trees gemaess Gottlob/Koch ist: ( root, leaf, (child k ) k <= maxAritaet, (label a ) a, ) Die Signatur fuer monadischen Datalog auf unranked trees gemaess Gottlob/Koch ist: ( root, leaf, (label a ) a ) firstChild, lastChild, nextSibling)

24 Datalog - Semantik EDB mensch(sokrates). IDB sterblich(X) :- mensch(X). Interactive Toplevel 1 ?- sterblich(sokrates). yes. 2 ?- sterblich(thomas). no.

25 Datalog - Semantik shaves(barber, X) :- ¬shaves(X, X). 1 ? - shaves(cartman, cartman). no. 2 ? - shaves(barber, cartman). yes. 3 ? - shaves(barber, barber). ERROR: out of local stack

26 Datalog - Semantik Erste Wahl: Kleinster Fixpunkt (Perfect Model) Existiert fuer einfaches Datalog Im stratified Fall Semantik hierarchisch / schrittweise; kleinster Fixpunkt existiert nicht.

27 Datalog - stratified % search.pl -- Section 2.16 of Prolog Tutorial solve(P) :- start(Start), search(Start,[Start],Q), reverse(Q,P). search(S,P,P) :- goal(S). /* done */ search(S,Visited,P) :- next_state(S,Nxt), /* generate next state */ safe_state(Nxt), /* check safety */ no_loop(Nxt,Visited), /* check for loop */ search(Nxt,[Nxt|Visited],P). /* continue searching... */ no_loop(Nxt,Visited) :- \+member(Nxt,Visited). start([]). goal(S) :- length(S,8). next_state(S,[C|S]) :- member(C,[1,2,3,4,5,6,7,8]), \+member(C,S). safe_state([C|S]) :- length(S,L), Sum is C+L+1, Diff is C-L-1, safe_state(S,Sum,Diff). safe_state([],_,_) :- !. safe_state([F|R],Sm,Df) :- length(R,L), X is F+L+1, X \= Sm, Y is F-L-1, Y \= Df, safe_state(R,Sm,Df).

28 Automaten monadischer Datalog ranked trees: Beispiel: d(neg(0), or(0, 1)) Signatur: ( root, leaf, (child k ) k <= maxAritaet, (label a ) a, ) lblAND(root). lblNOT(root-1). lblFALSE(root-1-1). lblOR(root-2). lblTRUE(root-2-2). lblFALSE(root-2-1). root(root). child_1(root, root-1). child_2(root, root-2). child_1(root-1, root-1-1). child_1(root-2, root-2-1). child_2(root-2, root-2-2).

29 Automaten monadischer Datalog accept :- truth(root). false(Pos) :- lblFALSE(Pos). truth(Pos) :- lblTRUE(Pos). false(Pos) :- lblAND(Pos), child_1(Pos, ChildPos), false(ChildPos). false(Pos) :- lblAND(Pos), child_2(Pos, ChildPos), false(ChildPos). truth(Pos) :- lblAND(Pos), child_1(Pos, ChildPos_1), child_2(Pos, ChildPos_2), truth(ChildPos_1), truth(ChildPos_2). truth(Pos) :- lblOR(Pos), child_1(Pos, ChildPos), truth(ChildPos). truth(Pos) :- lblOR(Pos), child_2(Pos, ChildPos), truth(ChildPos). false(Pos) :- lblOR(Pos), child_1(Pos, ChildPos_1), child_2(Pos, ChildPos_2), false(Pos-1), false(Pos-2). truth(Pos) :- lblNOT(Pos), child_1(Pos, ChildPos), false(ChildPos). false(Pos) :- lblNOT(Pos), child_1(Pos, ChildPos), truth(ChildPos).

30 Automaten monadischer Datalog Definition: Gegeben ein monadisches Datalog-Programm P ueber ranked trees mit ausgezeichnetem Praedikat accept, und mit LEERER EDB. Fuer einen Sigma-gelabelten Baum T definiere edb(T) := Uebersetzung von T in TauRanked(Sigma) Schreibweise, P(T) := das Datalog Programm mit IDB P und EDB edb(T), und M(P(T)) := das eindeutig bestimmte minimale Modell von P(T) dann ist die von P erkannte Sprache L(P) (N* -> Sigma)r-Baum definiert durch T in L(P) M(P(T)) |= accept. ( In der Praxis: T in L(P) Prolog (oder sonstige Implementierung) antwortet "yes" auf die Frage "accept." ) Gegeben ein deterministischer Baumautomat A ueber Sigma, mit Zustandsmenge Q, und Uebergangsfunktionen Delta(Sigma) in Q^n -> Q fuer sigma in Sigma und ar(sigma) = n. Satz (Gottlob) es ex ein monadisches Datalog-Programm P, derart dass L(P) = L(A)

31 Automaten monadischer Datalog Beweis / Konstruktion: * Fuer jedes q in Q intensionales Praedikat, ebenfalls q genannt. * Fuer sigma in Sigma, ar(sigma) = n, q-bar = (q1,...,qn) in Q^n, sei die Regel R(sigma, Q-bar) wie folgt definiert ( wobei delta(sigma)(q-bar) = q ) q(Pos) :- label_sigma(Pos), child(Pos, ChildPos1), q1(ChildPos1), * Fuer Endzustaende q definiere die Regel R_fin(q) durch accept :- q(root). Fuer jede Regel deltaaccept :- truth(root).

32 Automaten monadischer Datalog Gegeben ein deterministischer Baumautomat A ueber Sigma, mit Zustandsmenge Q, und Uebergangsfunktionen Delta(Sigma) in Q^n -> Q fuer sigma in Sigma und ar(sigma) = n. Satz (Gottlob) es ex ein monadisches Datalog-Programm P, derart dass L(P) = L(A) Beweis / Konstruktion: * Fuer jedes q in Q intensionales Praedikat, ebenfalls q genannt. * Fuer sigma in Sigma, ar(sigma) = n, q-bar = (q1,...,qn) in Q^n, sei die Regel R(sigma, Q-bar) wie folgt definiert ( wobei delta(sigma)(q-bar) = q ) q(Pos) :- label_sigma(Pos), q1(Pos-1),...,qn(Pos-n). ( verkuertzt Schreibweise ) q(Pos) :- label_sigma(Pos), child(Pos, ChildPos1), q1(ChildPos1), ( geschwaetzige Schreibweise ) * Fuer Endzustaende q definiere die Regel R_fin(q) durch accept :- q(root). Fuer jede Regel deltaaccept :- truth(root). false(Pos) :- lblFALSE(Pos). truth(Pos) :- lblTRUE(Pos). false(Pos) :- lblAND(Pos), child_1(Pos, ChildPos), false(ChildPos). false(Pos) :- lblAND(Pos), child_2(Pos, ChildPos), false(ChildPos). truth(Pos) :- lblAND(Pos), child_1(Pos, ChildPos_1), child_2(Pos, ChildPos_2), truth(ChildPos_1), truth(ChildPos_2). truth(Pos) :- lblOR(Pos), child_1(Pos, ChildPos), truth(ChildPos). truth(Pos) :- lblOR(Pos), child_2(Pos, ChildPos), truth(ChildPos). false(Pos) :- lblOR(Pos), child_1(Pos, ChildPos_1), child_2(Pos, ChildPos_2), false(Pos-1), false(Pos-2). truth(Pos) :- lblNOT(Pos), child_1(Pos, ChildPos), false(ChildPos). false(Pos) :- lblNOT(Pos), child_1(Pos, ChildPos), truth(ChildPos).

33 Contribution theorem: satisfiability of structural subtyping constraints for recursive types is DEXPTIME complete. new relationship to modal logics extension of Wand & Tiuryn´s appoach

34 Sprache Baeume Anfrage Baeume ( ( Knoten ) ) Korrespondenz Automaten MSO hochheben auf Anfragen unranked case conclusion Spracherkennung vs. Anfragen

35

36 Position UAABAACAA VAACAABAA

37 UAABAACAA VAACAABAA

38 U AABAACAA V AACAABAA

39

40

41 forth(4) back(7)

42 Related Work subtype constraints for programming languages [Mitchell 91] logical problems: satisfiability, [Fuh, Mishra 90, Amadio, Cardelli 93, Eifrig, Smith, Trifonow 95...] entailment, and [Pottier 98, Rehof, Henglein 97, Niehren, Priesnitz] first-order validity [Aiken, Zu, Niehren, Priesnitz, Treinen, Kuncak] satisfiability checking for type reconstruction

43 forth(4) back(7)

44 Contribution theorem: satisfiability of structural subtyping constraints for recursive types is DEXPTIME complete. new relationship to modal logics extension of Wand & Tiuryn´s appoach

45 Types basic types int, real function types pair types polymorphic types x. x x [Milner] pair int int

46 Types are Trees signature of function symbols a,b,f f a f a f a f a f a b a... constants only finite trees (ground terms) infinite trees f ( a, f(a,b) )

47 Subtyping subtypes (substitution) int real [Mitchell 91] ordering is lifted to ground terms Example: a b f(a,a) f(a,b) t 1 s 1 t 2 s 2 f(t 1, t 2 ) f(s 1, s 2 )

48 Structural versus Non-Structural f b f a b f a f a b f f f f τ for every tree τ

49 Constraint Languages terms t over basic types, smallest/greatest types ?, function (pair) types, and type variables subtype constraints are conjunctions of inequations t 1 t 2

50 Open Questions Is entailment of non-structural subtyping decidable? - structural case solved [Rehof, Henglein 97,98] - many approaches [Niehren, Priesnitz, Aiken, Zu, Treinen] satisfiability of subtyping with constant ordering - complexity for structural subtyping with recursive types [Wand, Tiuryn: between PSPACE and DEXPTIME] - decidability for non-structural subtyping

51 Structural Subtyping with Constants constant ordering is lattice: O(n ) [Kozen, Palsberg, Schwartzbach 94, Palsberg, Wand, OKeefe 97] arbitrary ordering 3 constants only NP-hard in NP finite trees PSPACE-hard in PSPACE infinite trees DEXPTIME-hard in DEXPTIME new! Tiuryn, Wand 93 Tiuryn, Wand 93 Frey 2002 Pratt, Tiuryn 93,96 easy lower bound upper bound

52 Example: NP-hardness signature with 4 constants c < a, c < b, d < a, d < b a b c d consider constraint c x a d y b y x x y y x a x b x y c y d which has exactly 2 solutions: a=x=x b c y=y=d a x=x=b c=y=y d

53 Negation Gate has exactly 2 solutions: a=z 3 =z 2, b=z 4 =z 1, c=x=z 5, d=y=z 6 a=x=z 1, b=y=z 2, c=z 4 =z 6, d=z 3 =z 5 a z 1 z 2 b x z 3 z 4 y c z 5 z 6 d true z 1 z 2 b x z 3 z 4 y false z 5 z 6 d b z 7 true y z d z 8 false plug it together negation gate: x = z

54 Negation Gate for Vectors f f true f false. f true.. f f false. f true.. f f false. f true.. true false true... false... true false... true * constants are unary *

55 Negation Gate: Implementation new variables: a a = a ( a ) x is boolsche: false x true same idea to implement only negate at position π negate all positions at π1* a... a a π π *

56 Example: 1-Bit-Counter given signature with 4 unary symbols true a false b true x false true y false x= y x=true(y) define counter by x true false true false false true false true y

57 Regular Tree Constraints: Models Complete Infinite Tree. x y x y x y x y x y x y x y x y x y alternative: v {true,false} for π in (12)* π

58 Regular Tree Constraints given signature with constant ordering, alphabet A of letters i, regular expressions r over A, regular tree constraints are conjunctions of 4 types ( x y ) ( x c ) ( c x ) π πi π in r πi π π in r π π in r

59 Tiuryn & Wands Approach Satisfiability of structural subtype constraints over infinite trees is O(n)-reducible to regular tree constraints. Tiuryn, Wand 93

60 Propositional Dynamic Logic (PDL) Pratts dynamic logic logic for program verification propositional fragment by Fischer, Ladner

61 PDL Models models are rooted directed labeled graphs 1 1, x y x y x y x y x y x y x y 2

62 PDL Language alphabet A = { 1,2,...n } regular expressions r over A PDL Syntax: φ ::= P φ φ φ [r] φ modal operator [r] φ for all r-sucessors holds φ 2 1 P Q P Q [12] (P Q)

63 Example: 1-Bit-Counter [1*] (P [1] P) P has one solution in the class of unary infinite deterministic trees P P P P

64 Tree PDL theorem: satisfiability of Tree PDL is DEXPTIME-complete proof: reduction to deterministic PDL: models are restricted to be functional forbidden 1,2 Satisfiability of Deterministic PDL is DEXPTIME-complete. Ben-Ari, Halpern, Pnueli 82 & Parikh 78

65 Regular Tree Constraints Tree PDL theorem: regular tree constraints are a fragment of tree DPL example signature x y P x P y ( x y ) [r] (P x [i]P y ) ( x false ) [r] (P x false) π πi π in r π π in r true false ε

66 Core Tree PDL Core Tree PDL is defined by a restricted syntax: φ ::= [r 1 ]ψ 1 … [r n ]ψ n where r is ε or (12)* ψ ::= P ψ ψ ψ [r] ψ where r is 1 or 2

67 Satisfiability of Core Tree PDL theorem: satisfiability of Core Tree PDL is DEXPTIME-complete possibilities for the hardness-proof: encode Halting-Problem of alternating linear-space bounded Turing machine. Exists a winning strategy in a two person tiling game? Maarten de Rijke: PDL Emptiness of the intersection of some tree automta. Helmut Seidl: haskell overloading

68 Sat. of Core Tree PDL is DEXPTIME-hard regard n tree automata (Q, Σ, δ, q ) with Σ = { f, a, b } Pf Pf Pa Pa Pb Pb P # P # a b f init except one nonempty infinite tree [(12)*] ( P f P a P b P # ) [(12)*] (P a P b P # ) [12] P # [ε] P # +++ except one nonempty finite tree mark with counter all exponential deep nodes [(12)*] P deep P # Pf Pf Pa Pa Pb Pb P deep P deep

69 Sat. of Core Tree PDL is DEXPTIME-hard P q init Pq2 Pq2 Pq2 Pq2 P q 1 P q 1 init every tree automata accepts a tree [ε] P q [(12)*] (P f [1] P q [2] P q ) P q if f(q,q) q in δ [(12)*] P a P q if a q in δ init

70 Core Tree PDL Subtype Constraints main theorem: sat. of core tree PDL is O(n)-reducible to sat. of structural subtype constraints over infinite trees. reduce example: [(12)*] (P [i]P ) [*] P 2 = (P P 1 = ( [i] P ) ) false { P 2, P, P 1, P } true P 1 =true( P) P 2 = P P 1 P 2 =true * * * * *i *

71 Conclusion modal logic approach to subtyping constraints non-structural case still open can we extend our approach? what about entailment?

72 thank you

73 Result Pratt, Tiuryn 96 Satisfiability of Structural Subtype Constraints is NP-complete in the Model of single Leafs. (Signature contains only Constants)


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