© Karin Haenelt 2006, Äquivalenzen Reg.Ausdrücke, Reg.Sprachen, EA 19.05.2006 ( 1 15.01.2003) 1 Reguläre Sprachen Karin Haenelt.

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1 © Karin Haenelt 2006, Äquivalenzen Reg.Ausdrücke, Reg.Sprachen, EA 19.05.2006 ( 1 15.01.2003) 1 Reguläre Sprachen Karin Haenelt

2 © Karin Haenelt 2006, Äquivalenzen Reg.Ausdrücke, Reg.Sprachen, EA 19.05.2006 ( 1 15.01.2003) 2 Sprache

3 © Karin Haenelt 2006, Äquivalenzen Reg.Ausdrücke, Reg.Sprachen, EA 19.05.2006 ( 1 15.01.2003) 3 Reguläre Sprache Definition: Reguläre Sprache Eine Sprache, d.h. eine Menge von Zeichenketten, ist regulär, wenn sie die leere Menge, das leere Zeichen, ein Elementarzeichen, oder aus diesen Elementen durch Vereinigung, Verkettung oder der Hüllenbildung gebildete Mengen enthält. vgl. Kleene, 1956: 35:

4 © Karin Haenelt 2006, Äquivalenzen Reg.Ausdrücke, Reg.Sprachen, EA 19.05.2006 ( 1 15.01.2003) 4 Eigenschaften regulärer Sprachen Technik zum Nachweis, dass eine Sprache keine reguläre Sprache ist: das Pumping-Lemma Abgeschlossenheitseigenschaften Entscheidbarkeitseigenschaften

5 © Karin Haenelt 2006, Äquivalenzen Reg.Ausdrücke, Reg.Sprachen, EA 19.05.2006 ( 1 15.01.2003) 5 Das Pumping-Lemma Technik zum Nachweis, dass bestimmte Sprachen nicht regulär sind Hopcroft/Ullmann 1988:57ff Hopcroft/Motwani/Ullman, 2002: 135ff

6 © Karin Haenelt 2006, Äquivalenzen Reg.Ausdrücke, Reg.Sprachen, EA 19.05.2006 ( 1 15.01.2003) 6 Das Pumping-Lemma: Vorüberlegung 1 Schubfachprinzip: –n ist endlich –befinden sich m > n Objekte in n Schubfächern, dann enthält mindestens ein Schubfach mehr als ein Objekt Hopcroft/Motwani/Ullman, 2002: 76

7 © Karin Haenelt 2006, Äquivalenzen Reg.Ausdrücke, Reg.Sprachen, EA 19.05.2006 ( 1 15.01.2003) 7 Das Pumping-Lemma: Vorüberlegung 2 Beispiel: die Sprache L={a i b i | i und i 1} ist nicht durch endliche Automaten beschreibbar Überlegung: –ein Automat, der a i b i akzeptiert, akzeptiert auch Zeichenreihen, die er nicht akzeptieren sollte, da sie nicht zu L gehören: Beispiel: a i+x b i (mit x und x 1) –ein endlicher Automat hat endlich viele Zustände (vgl. Schubfächer) –sei k die Anzahl der Zustände –wenn i > k, muss mindestens ein Zustand mehrfach durchlaufen sein –der Automat hat kein Gedächtnis, in dem er zählt, wie viele a er gesehen hat –er befindet sich in dem Zustand hat ein oder mehrere a gesehen –daher akzeptiert er auch a i+x b i, wenn er a i b i akzeptiert Hopcroft/Ullmann 1988:57ff Hopcroft/Motwani/Ullman, 2002: 135ff

8 © Karin Haenelt 2006, Äquivalenzen Reg.Ausdrücke, Reg.Sprachen, EA 19.05.2006 ( 1 15.01.2003) 8 Das Pumping-Lemma Prinzip: –falls ein EA eine genügend lange Zeichenkette akzeptiert, existiert ziemlich am Anfang der Zeichenkette eine Teil- Zeichenkette, die gepumpt werden kann, d.h. beliebig oft wiederholt werden kann. –Die resultierende Zeichenkette wird ebenfalls durch den EA akzeptiert Satz (Pumping-Lemma für reguläre Sprachen) –Sei L Σ* eine reguläre Sprache. –Dann gibt es eine Konstante n, so dass sich ein Wort w L mit |w| n schreiben lässt als w = xyz, wobei gilt: y ε |xy| n k 0: xy k z L Beweis s. Hopcroft/Motwani/Ullman, 2000: 136f Hopcroft/Ullmann 1988:58 Hopcroft/Motwani/Ullman, 2002: 136

9 © Karin Haenelt 2006, Äquivalenzen Reg.Ausdrücke, Reg.Sprachen, EA 19.05.2006 ( 1 15.01.2003) 9 Definition von Operationen auf regulären Sprachen

10 © Karin Haenelt 2006, Äquivalenzen Reg.Ausdrücke, Reg.Sprachen, EA 19.05.2006 ( 1 15.01.2003) 10 Abgeschlossenheits- Eigenschaften Die wichtigsten Angeschlossenheitseigenschaften regulärer Sprachen: –Die Vereinigung zweier regulärer Sprachen ist regulär –Der Durchschnitt zweier regulärer Sprachen ist regulär –Das Komplement zweier regulärer Sprachen ist regulär –Die Differenz zweier regulärer Sprachen ist regulär –Die Spiegelung einer regulären Sprache ist regulär –Die Hülle (Sternoperator) einer regulären Sprache ist regulär –Die Verkettung von regulären Sprachen ist regulär –Ein Homomorphismus (Ersetzung von Symbolen durch Zeichenreihen) einer regulären Sprache ist regulär –Der inverse Homomorphismus einer regulären Sprache ist regulär Hopcroft/Motwani/Ullman, 2002: 141

11 © Karin Haenelt 2006, Äquivalenzen Reg.Ausdrücke, Reg.Sprachen, EA 19.05.2006 ( 1 15.01.2003) 11 Entscheidbarkeit Es gibt algorithmische Verfahren, bei deren Anwendung auf ein beliebiges Element x und für beliebige reguläre Sprachen L 1 und L 2 sich nach endlich vielen Schritten ergibt –L 1 = Leerheit –x L 1 Zugehörigkeit –L 1 = L 2 Äquivalenz –L 1 ist endlich Endlichkeit –L 1 L 2 = Schnitt

12 © Karin Haenelt 2006, Äquivalenzen Reg.Ausdrücke, Reg.Sprachen, EA 19.05.2006 ( 1 15.01.2003) 12 Literatur Hopcroft, John E. und Jeffrey D. Ullman (1988). Einführung in die Automatentheorie, formale Sprachen und Komplexitätstheorie. Bonn u. a.: Addison-Wesley, 1988 (engl. Original Introduction to automata theory, languages and computation). Hopcroft, John E., Rajeev Motwani und Jeffrey D. Ullman (2002). Einführung in die Automatentheorie, Formale Sprachen und Komplexität. Pearson Studium engl. Original: Introduction to Automata Theory, Languages and Computation. Addison-Wesley. www- db.stanford.edu/~ullman/ialc.htmlPearson Studiumwww- db.stanford.edu/~ullman/ialc.html Kleene, Stephen Cole (1956). Representations of Events in Nerve Sets and Finite Automata, In: C. E. Shannon and J. McCarthy, Hgg., Automata Studies, S. 3-42, Princeton, NJ, 1956. Princeton University Press.

13 © Karin Haenelt 2006, Äquivalenzen Reg.Ausdrücke, Reg.Sprachen, EA 19.05.2006 ( 1 15.01.2003) 13 Versionen 2.0: 19.05.2006 17.04., 23.03.2005 05.05., 14.04., 06.04.2004, 21.05., 15.01.2003 (Reg. Mengen, Ausdrücke, Sprachen, EA