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Automatentheorie Berechnungsmodell für logische Sprachen Thorsten Haupt Betreut durch Tim Priesnitz Proseminar Theorie kommunizierender Systeme Programming.

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Präsentation zum Thema: "Automatentheorie Berechnungsmodell für logische Sprachen Thorsten Haupt Betreut durch Tim Priesnitz Proseminar Theorie kommunizierender Systeme Programming."—  Präsentation transkript:

1 Automatentheorie Berechnungsmodell für logische Sprachen Thorsten Haupt Betreut durch Tim Priesnitz Proseminar Theorie kommunizierender Systeme Programming Systems Lab – Prof. Gert Smolka

2 Automaten für Nebenläufigkeit AA a BB c _ BB b c _ AA a b _ A = a.AB = b.B A = b.AB = c.B _ _ b _ b CCS > > > >

3 Übersicht Einführung Abschluss- & Spracheigenschaften Sprachäquivalenzen Erweiterung

4 Theorie der endlichen Automaten eingeführt für Modellierung von Neuronen-Netzen, Schaltkreisen, Parsern,... [Kleene, 1956] Berechnungsmodell für logische Sprachen Klassiker: schwache Monadische Logik 2. Ordnung mit einem Nachfolger [Büchi, 1960] Anwendungen: Verifikation, Compilerbau,...

5 Definition endlicher Automaten Q : endliche Menge von Zuständen : endliche Menge von Eingabesymbolen : Q {ε} 2 Q Übergangsfunktion S Q : Menge von Startzuständen F Q : Menge von Endzuständen s Q : Startzustand : Q Q Übergangsfunktion [ ]

6 Abschluss- & Spracheigenschaften Leerheit L(A) = O(n log n) Universalität L(A) = * PSPACEO(n) ? ? NEADEA VereinigungL 1 L 2 O(n)O(n²) KomplementL1L1 O(2 n )O(n) SchnittL 1 L 2 O(n²) _

7 Vereinigung von Automaten M1M1 M2M2 F1F1 s1s1 > F2F2 s2s2 > s > ε ε M M = (Q 1 Q 2 {s},, 1 2 {(s, ε,s 1 ),(s, ε,s 2 )}, s, F 1 F 2 ) M1 = (Q 1,, 1, s 1, F 1 ) M2 = (Q 2,, 2, s 2, F 2 )

8 Determinisierung von Automaten Jede von einem NEA akzeptierbare Sprache ist auch durch einen DEA akzeptierbar. [Rabin,Scott, 1959] Idee: Teilmengenkonstruktion q0q0 q1q1 0,1 0 > 01 {q 0 }{q 0,q 1 }{q 0 } {q 1 } {q 0,q 1 } {q 0 } {q 0,q 1 } 1 0,1 0 >

9 Komplementbildung q0q0 q1q1 1 0,1 0 Idee: 1. Automat determinisieren 2. Automat vervollständigen 3. Endzustände und Nichtendzustände tauschen >

10 Schnitt (Q 1 x Q 2,,, (s 1,s 2 ), F 1 x F 2 ) mit ((q, p), a) = ( 1 (q, a), 2 (p, a)) z1z1 > 0,1 z2z2 z3z3 > 1 0 (Q 1,, 1, s 1, F 1 ) (Q 2,, 2, s 2, F 2 ) Idee: Produktautomat z 1,z 2 z 1,z 3 > 1 0,1 0

11 Leerheit Sprache ist leer existiert kein Pfad von Start- nach Endzustand Implementierung:Dijkstra Algorithmus [1959] O(n log n)

12 Universalität Idee: Zurückführung auf Leerheitsproblem 1.Determinisieren 2.Vervollständigen 3.Komplement bilden 4.Komplement leer => Sprache universell determinisieren sehr teuer => determinisieren on-the-fly raten des Pfades auf dem Zustandsgraph Terminierung: Übergangsszähler (Schranke : 2 |Q| ) => Reduzierung der Komplexität auf PSPACE

13 Sprachäquivalenzen NEADEA BisimulationPSPACEO(n log(n)) klassischePSPACEO(n²)

14 Klassische Sprachäquivalenz A B 1 > C D 1 > E 1 0 A B C D BCDEBCDE X X X X X X Automat 1 Automat 2 A und C äquivalent => Automat 1 & 2 sind äquivalent

15 Minimierung A B 1 > C D 1 > E 1 0 C D DEDE X Automat 1 Automat 2 C und D äquivalent => Automat 1 Minimalautomat X

16 Bisimulation A B 1 > C D 1 > E 1 0 A B C D BCDEBCDE X X X X X X Automat 1 Automat 2 Automat 1 & 2 sind NICHT äquivalent X X X X {A,B,C,D,E} {A,C} - 0 {A,C},{B,E},{D} {D} - 0 {A},{C},{B,E},{D} {A} - 0 {A},{C},{B},{E},{D}

17 Motivation HD-Automaten l m n a b c d e u v w x q q t

18 Referenzen Milner, R., Communicating and Mobile Systems: the π – Calculus, Cambridge University Press, 1999 Hopcroft, J.E., Motwani, R. und Ullman, J.D., Einführung in die Automatentheorie, Formale Sprachen und Komplexitätstheorie, 2. Auflage, Addison Wesley, 2002 Schöning, U., Theoretische Informatik kurzgefasst, Spectrum, 2001 Montanari, U. und Pistore, M., History-Dependent Automata, ENTCS, Vol. 10, 1998 Hermanns, H., Finkbeiner, B., Podelski, A., Verification, Vorlesung, Universität des Saarlandes, SS 2003


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