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1 Endliche Automaten Einführung in den Themenbereich Karin Haenelt 18.04.2010.

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Präsentation zum Thema: "1 Endliche Automaten Einführung in den Themenbereich Karin Haenelt 18.04.2010."—  Präsentation transkript:

1 1 Endliche Automaten Einführung in den Themenbereich Karin Haenelt

2 Inhalt Informelle Einführung: Was sind endliche Automaten? Abstrakte Automaten Endliche abstrakte Automaten Beispiele Typen endlicher Automaten Akzeptoren, Transduktoren deterministisch, nicht-deterministisch, stochastisch Definitionen Abstrakte Automaten als mathematische Strukturen Endliche abstrakte Automaten Einordnung endlicher Automaten Automatentheorie: Art des Speichers Theorie formaler Sprachen: Strukturelle Komplexität 2© Karin Haenelt, Endliche Automaten, Einführung, V 4.1,

3 Informelle Einführung Abstrakter Automat ein abstrakter Automat ist ein mathematisches Modell für einfache Maschinen/Programme, die bestimmte Probleme lösen beschreibt nicht einen bestimmten Automaten, sondern gemeinsame Grundprinzipien einer Klasse von Automaten Grundlegende Komponenten Zustände Eingabesymbole Zustandsübergänge: reagiert auf Eingaben durch Übergang in einen anderen Zustand 3 Zustände des Automaten EingabeAusgabe © Karin Haenelt, Endliche Automaten, Einführung, V 4.1,

4 Informelle Einführung Endlicher abstrakter Automat Ein abstrakter Automat ist ein endlicher Automat, wenn die Anzahl der Zustände, der Eingaben u. der Ausgaben endlich ist Komponenten der Modelle endliche Menge von Zuständen (Q) interne Konfigurationen, in denen sich ein System befinden kann zeitliche Ordnung (δ) definiert die möglichen Sequenzen von Zuständen endliche Menge von Eingaben (Σ) endliche Menge von Ausgaben (Reaktionen) (Δ) System zeigt abhängig vom aktuellen Zustand eine bestimmte Reaktion und geht in einen Folgezustand über 4© Karin Haenelt, Endliche Automaten, Einführung, V 4.1,

5 Endliche Automaten: Beispiele Kippschalter und Lexikon 5 anaus Start drücken d 01 e 2 m 3 n r 5 s 4 s 7 e 6 n Lexikon Schalter © Karin Haenelt, Endliche Automaten, Einführung, V 4.1,

6 Akzeptoren Automaten ohne Ausgabe Transduktoren Automaten mit Ausgabe deterministisch jedem Paar [p,i] ist ein Paar [o,q] eindeutig zugeordnet nicht-deterministisch einem Paar [p,i] können mehrere mögliche Paare [o,q] zugeordnet sein stochastisch jedem Paar [p,i] ist für ein Paar [o,q] ein Wahrscheinlichkeitsmaß zugeordnet Typen endlicher Automaten 6 pq i o p q2q2 q1q1 i o 2 /w 2 i o 1 /w 1 p q2q2 q1q1 i o2o2 i o1o1 © Karin Haenelt, Endliche Automaten, Einführung, V 4.1,

7 Typen endlicher Automaten Beispiele © Karin Haenelt, Endliche Automaten, Einführung, V 4.1, AkzeptorTransduktor deterministisch stochastisch nicht-deterministisch 01 [ʃ][ʃ] S q [t] t 23 [a] a dt 4 [t] tt 01 S q t 23 a 6 d 4 t 7 5 t t 01 S/1 q t/1 23 a/1 6 d/.65 4 t/ t/1 [t] 01 [ʃ][ʃ] S/1 q [t] t/1 23 [a] a/1 6 [t] d/.65 4 t/ t/1 0 1 S 7 t 23 a 9 d 4 t S ta t t 01 [ʃ][ʃ] S q [t] t 23 [a] a 6 [t] d 4 t 7 5 t t

8 Inhalt Informelle Einführung: Was sind endliche Automaten? Abstrakte Automaten Endliche abstrakte Automaten Beispiele Typen endlicher Automaten Akzeptoren, Transduktoren deterministisch, nicht-deterministisch, stochastisch Definitionen Abstrakte Automaten als mathematische Strukturen Endliche abstrakte Automaten Einordnung endlicher Automaten Automatentheorie: Art des Speichers Theorie formaler Sprachen: Strukturelle Komplexität 8© Karin Haenelt, Endliche Automaten, Einführung, V 4.1,

9 Definitionen Abstrakte Automaten als mathematische Strukturen: Historie David A. Huffman (1954), George H. Mealy (1955) und Edward F. Moore (1956) untersuchten Schaltkreise beschrieben voneinander unabhängig den konventionellen deterministischen Automaten in ähnlichen Varianten Huffman entwickelte den Begriff des abstrakten Automaten Mealy und Moore führten abstrakte Automaten als mathematische Strukturen ein. 9© Karin Haenelt, Endliche Automaten, Einführung, V 4.1,

10 Definitionen Mathematische Struktur Eine Struktur ist eine Zusammenfassung einer Menge und ausgewählter interessanter Eigenschaften dieser Menge Relationen, Funktionen und/oder ausgezeichnete Elemente die Eigenschaften definieren eine Struktur auf der Menge Darstellung als Tupel = (Menge, Relation 1, …, Relation o, ausgezeichnetes Element 1,.., E p ) Beispiel (, +,×, 0,1) Name dieser Beispielstruktur in der abstrakten Algebra: Semiring Semiringe spielen in der Theorie endlicher Automaten eine grundlegende Rolle 10© Karin Haenelt, Endliche Automaten, Einführung, V 4.1,

11 Definitionen Determinierter abstrakter Automat Mengentheoretische Definition (Version: Starke 1.1) determinierter abstrakter Automat (Starke 1969: 22) A = (X, Y, Z, γ) heißt determinierter abstrakter Automat, falls a)X, Y, Z beliebige nichtleere Mengen sind, und b)γ eine auf Z X definierte Funktion ist, deren Werte in Y Z liegen. Interpretation XMenge der Eingabesymbole YMenge der Ausgabesymbole ZMenge der Zustände 11 Z × X ab 0Y × Z A1B1 © Karin Haenelt, Endliche Automaten, Einführung, V 4.1,

12 Definitionen Determinierter abstrakter Automat Mengentheoretische Definition (Version: Starke 1.2 = Version Mealy 1955) determinierter Mealy-Automat (Starke 1969: 22) Ein determinierter Automat A = (X, Y, Z, γ) heißt determinierter Mealy-Automat, falls für alle x X, z Z, γ(z,x) = [λ(z,x),δ(z,x)] ist, wobei λ die Ergebnis und δ die Überführungsfunktion von A ist. Interpretation XMenge der Eingabesymbole YMenge der Ausgabesymbole ZMenge der Zustände 12 λ(z,x ) ab 0AB δ(z,x ) ab 011 © Karin Haenelt, Endliche Automaten, Einführung, V 4.1,

13 Defintionen Nichtdeterministischer und stochastischer Automat Mengentheoretische Definition nichtdeterministischer Automat (Starke 1969: 121) B = (X, Y, Z, h) heißt nicht-deterministischer Automat, falls a)X, Y, Z nichtleere Mengen sind, und b)h eine eindeutige Abbildung von Z X in *(Z Y) ist. (Starke 1969: 121) stochastischer Automat (Starke 1969: 211) C = (X, Y, Z, H) heißt stochastischer Automat, wenn a)X, Y, Z beliebige nichtleere Mengen sind, und b)H eine auf Z X definierte Funktion ist, die diskrete Wahrscheinlichkeitsmaße über Y Z als Werte H(z,x) hat 13© Karin Haenelt, Endliche Automaten, Einführung, V 4.1,

14 Definitionen Endlicher Automat Mengentheoretische Definition endlicher determinierter Automat (Starke 1969: 25) Ein determinierter Automat A = [X,Y,Z,δ,λ] heißt X-endlich, Y- endlich bzw. Z-endlich bzw. (X,Y)-endlich usw., wenn die jeweils angegebenen Mengen endlich sind. (X,Y,Z)-endliche Automaten bezeichnen wir schlechthin als endlich (X,Y,Z)-endliche nichtdeterministische Automaten …endlich. (X,Y,Z)-endliche stochastische Automaten … endlich. 14© Karin Haenelt, Endliche Automaten, Einführung, V 4.1,

15 Definitionen Mengentheoretische Notation endlicher Automaten – eine Standardnotation 15 p,q Q δ(p,i) = q σ(p,i,q) = o i Σ o Δ Zustände Eingabesymbole Ausgabesymbole Zustandsübergangsfunktion Ausgabefunktion EA = (Q,q 0,F,Σ,Δ,,δ,σ,ρ) pq i o ZustandFolgezustand Eingabesymbol Ausgabesymbol w / Gewicht w Gewichte ρ(p,i,o,q) = w Gewichtungsfunktion F Q Endzustände q 0 Q Startzustand © Karin Haenelt, Endliche Automaten, Einführung, V 4.1,

16 Inhalt Informelle Einführung: Was sind endliche Automaten? Abstrakte Automaten Endliche abstrakte Automaten Beispiele Typen endlicher Automaten Akzeptoren, Transduktoren deterministisch, nicht-deterministisch, stochastisch Definitionen Abstrakte Automaten als mathematische Strukturen Endliche abstrakte Automaten Einordnung endlicher Automaten Automatentheorie: Art des Speichers Theorie formaler Sprachen: Strukturelle Komplexität 16© Karin Haenelt, Endliche Automaten, Einführung, V 4.1,

17 Einordnung endlicher Automaten Automatentheorie Klassifikation von Algorithmen nach der Art des Speichers klassifiziert Algorithmen nach der Art des Speichers, der für die Implementierung zum Merken von Zwischergebnissen gebraucht wird 17 Speziali- sierungen © Karin Haenelt, Endliche Automaten, Einführung, V 4.1,

18 Einordnung endlicher Automaten Automatentheorie Endliche Automaten haben kein Gedächtnis Mengen der Zustände, der Eingabesignale, der Ausgabesignale sind endlich kein Gedächtnis zur Speicherung durchlaufener Zustände: Übergang von Zustand zur Zeit t in Zustand zur Zeit t+1 nur abhängig von Zustand zur Zeit t und Eingabe im Zustand zur Zeit t Vorhergehende Zustände nur dadurch wirksam, dass sie über eine bestimmte Eingabe in den aktuellen Zustand geführt haben, und dieser aktuelle Zustand ein bestimmtes Ergebnis repräsentiert. 18 BBuBucBuch Start Buch © Karin Haenelt, Endliche Automaten, Einführung, V 4.1,

19 Einordnung endlicher Automaten Theorie formaler Sprachen mit endlichen Automaten ist die Klasse der regulären Sprachen erkennbar und generierbar Sprachklassen nach struktureller Komplexität (Chomsky-Hierarchie) 19© Karin Haenelt, Endliche Automaten, Einführung, V 4.1,

20 Äquivalenzen: Endliche Automaten, reguläre Sprachen, reguläre Ausdrücke 20 spezifizieren akzeptieren sind äquivalent Reguläre Ausdrücke de([mnrs]|ssen) d 01 e 2 m 3 n r 5 s 4 s 7 e 6 n Endliche Automaten {dem, den, der, des, dessen} Reguläre Sprachen © Karin Haenelt, Endliche Automaten, Einführung, V 4.1,

21 Literatur Hopcroft, John E. Rajeev Motwani und Jeffrey D. Ullman (2001). Einführung in die Automatentheorie, Formale Sprachen und Komplexität. Pearson Studium engl. Original: Introduction to Automata Theory, Languages and Computation. Addison- Wesley.Pearson Studium Hopcroft, John E. und Jeffrey D. Ullman (1988). Einführung in die Automatentheorie, formale Sprachen und Komplexitätstheorie. Bonn u. a.: Addison-Wesley, 1988 (engl. Original Introduction to automata theory, languages and computation). [Anm.: Diese Fassung enthält die Beweise] Huffman, D. A. (1954). The synthesis of sequential switching circuits. J. Franklin Inst. 257: 3-4, S und Lawson, Mark V. (2005). Finite automata. In: Hritsu-Varsakelis, D. und W.S.Levine (Hg).: Handbook of networked and embedded Control Systems. Lawson, Mark V. (2004). Finite Automata. In: D. Hristu-Varsakelis and W. S. Levine (eds.): Handbook of networked and embedded control systemsFinite Automata. Mealy, George H. (1955). A method for synthesizing sequential circuits. Bell System Technical Journal 34:5, Moore, Edward F. (1956). Gedanken experiments on sequential machines. In: Automata Studies, S , Princeton: Princeton University Press Starke, Peter H. (1969). Abstrakte Automaten. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften: Berlin (ältere, aber sehr gute mathematische Darstellung) 21© Karin Haenelt, Endliche Automaten, Einführung, V 4.1,

22 Copyright © 2009 Karin Haenelt. All rights reserved. The German Urheberrecht shall be applied to these slides. In accordance with these laws these slides are a publication which may be quoted and used for non-commercial purposes, if the bibliographic data is included as described below. Please quote correctly. If you use the presentation or parts of it for educational and scientific purposes, please include the bibliographic data (author, title, date, page, URL) in your publication (book, paper, course slides, etc.). Deletion or omission of the footer (with name, data and copyright sign) is not permitted Bibliographic data. Karin Haenelt (2010). Endliche Automaten. Einführung in den Themenbereich. Kursfolien Any further use requires the prior permission in writing from the author. For commercial use: No commercial use is allowed without written permission from the author. In case you are interested in commercial use please contact the author. Court of Jurisdiction is Darmstadt. 22© Karin Haenelt, Endliche Automaten, Einführung, V 4.1,

23 Versionen v , v 4.0 – V03.01 – V03.00 – V V V © Karin Haenelt, Endliche Automaten, Einführung, V 4.1,


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