Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

1 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Einführung in Berechenbarkeit, Formale Sprachen und Komplexitätstheorie Wintersemester.

Ähnliche Präsentationen


Präsentation zum Thema: "1 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Einführung in Berechenbarkeit, Formale Sprachen und Komplexitätstheorie Wintersemester."—  Präsentation transkript:

1 1 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Einführung in Berechenbarkeit, Formale Sprachen und Komplexitätstheorie Wintersemester 2005/ Zentralübung Christian Schindelhauer

2 Berechenbarkeit, Formale Sprachen, Komplexitätstheorie 01-2 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Aufgabe 6 Seien L 1 und L 2 regulär. Beweisen Sie, dass auch L 1 \L 2 regulär sind. Strategie: Beweis folgt aus –Lemma A Sei L regulär. Dann ist auch *\L regulär. –Lemma B Seien L 1 und L 2 regulär. Dann ist auch L 1 L 2 regulär. weil L 1 \L 2 = L 1 ( *\L 2 )

3 Berechenbarkeit, Formale Sprachen, Komplexitätstheorie 01-3 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Aufgabe 6 Lemma A –Sei L regulär. Dann ist auch *\L regulär. Beweis: –Betrachte DFA M = (Q,,, q 0, F) –Konstruiere M = (Q,,, q 0, Q\F) –Behauptung L(M) = *\L. –Beweis: Nach Abarbeiten von w ist Maschine M und M im selben Zustand Wegen der Invertierung der akzeptieren Zustände gilt: M akzeptiert w genau dann, wenn M akzeptiert nicht w. –QED.

4 Berechenbarkeit, Formale Sprachen, Komplexitätstheorie 01-4 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Aufgabe 6 Lemma B –Seien L 1 und L 2 regulär. Dann ist auch L 1 L 2 regulär. Beweis –Es gilt: –wobei –Da das Komplement und die Vereinigung einer regulären Sprache regulär sind, folgt das Lemma.

5 Berechenbarkeit, Formale Sprachen, Komplexitätstheorie 01-5 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Aufgabe 1 Gesucht: DFA für Betrachte: –A = * 010 * Automat ergibt sich aus der Konkatenation der Automaten für *, 0, 1, 0, * NFA für A ( -Übergänge schon ersetzt)

6 Berechenbarkeit, Formale Sprachen, Komplexitätstheorie 01-6 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer NFA für A = * 010 * Potenzmengenkonstruktion liefert DFA Zustand {1,2,4}, {1,4}, {1,3,4} können zusammengefasst werden zu q Invertierung der akzeptierenden und nicht akzeptierenden Zustände ergibt

7 Berechenbarkeit, Formale Sprachen, Komplexitätstheorie 01-7 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Aufgabe 5 Falls L regulär ist, dann ist es auch 2 Lösungsmöglichkeiten: –NFA N aus DFA M konstruieren Im DFA M für L alle Übergänge umdrehen Startzustand zum einzigen akzeptierenden Zustand machen Neuer Startzustand in N mit -Übergang zu akzeptierenden Zuständen von M –Beweis über reguläre Ausdrücke Zu jedem regulären Ausdruck R einen Ausdruck R rev gibt, der L rev beschreibt Korrektheit durch Induktion über dem Aufbau

8 Berechenbarkeit, Formale Sprachen, Komplexitätstheorie 01-8 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Aufgabe 5: 1. Lösungsansatz Gegeben sei ein DFA M = (Q,,, q 0, F) mit L(M) = L Definiere NFA N = (Q {q},,, q, {q 0 }) wie folgt: –Für qq: (q, ) = –Für qq gilt für a – (q, ) = F –Für a : (q, a) = Angenommen M akzeptiert w= w 0 w 1 w 2... w n –Sei q 0 q 1 q 2... q n, so dass für alle i {1,...,n}: (q i,w i+1 )=q i+1 –Dann ist q n F Betrachte die Folge q q n... q 2 q 1 q 0 –Dann ist q i (q i+1,w i+1 ) –Außerdem: (q, ) = q n –und q 0 ist der akzeptierende Zustand Also akzeptiert N das Wort w n... w 2 w 1 Angenommen N akzeptiert das Wort w n... w 2 w 1 –Dann gibt es eine Folge qq n... q 2 q 1 q 0 –wobei (q, ) = q n und q n F –und q i (q i+1,w i+1 ) für alle i {1,...,n} –Dann ist (q i,w i+1 )=q i+1 –Betrachte die Folge q 0 q 1 q 2... q n –Auf dieser folge führt M eine akzeptierende Berechnung für w durch Also akzeptiert M das Wort w= w 0 w 1 w 2... w n

9 Berechenbarkeit, Formale Sprachen, Komplexitätstheorie 01-9 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Aufgabe 5: 2. Lösungsansatz Behauptung: –Für jeden regulären Ausdruck A gibt es einen regulären Ausdruck der die Sprache L(A) rev beschreibt. Beweis: 1.Fall A = Dann sei A rev = 2.Fall A= ØDann sei A rev = Ø 3.Fall A = (R 1 R 2 )Dann sei A rev = (R 1 rev R 2 rev ) 4.Fall A = (R 1 R 2 )Dann sei A rev = (R 2 rev R 1 rev ) 5.Fall A = (R 1 )*Dann sei A rev = (R 1 rev )* –Korrektheit folgt über Indunktion über den Aufbau des regulären Ausdrucks –Für jeden Fall lässt sich die Korrektheit leicht nachvollziehen.

10 Berechenbarkeit, Formale Sprachen, Komplexitätstheorie HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Aufgabe 4 1.M 1 = ({0,1,...,6}, {0,1,...,9},, 0, {4}) Für alle q {0,1,...,6}, a {0,1,...,9}: (q,a) = 10 q + a mod 7 2.M 2 = ({0,1,...,6}, {0,1},, 0, {4}) Für alle q {0,1,...,6}, a {0,1}: (q,a) = 2 q + a mod 7

11 11 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Heinz Nixdorf Institut & Institut für Informatik Universität Paderborn Fürstenallee Paderborn Tel.: / Fax: / Vielen Dank Ende der 1. Zentralübung Nächste Zentralübung: Mi Nächste Vorlesung:Mo Nächste Miniklausur:Mi


Herunterladen ppt "1 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Einführung in Berechenbarkeit, Formale Sprachen und Komplexitätstheorie Wintersemester."

Ähnliche Präsentationen


Google-Anzeigen