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1 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Einführung in Berechenbarkeit, Formale Sprachen und Komplexitätstheorie Wintersemester.

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1 1 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Einführung in Berechenbarkeit, Formale Sprachen und Komplexitätstheorie Wintersemester 2005/2006 25.10.2005 1. Zentralübung Christian Schindelhauer

2 Berechenbarkeit, Formale Sprachen, Komplexitätstheorie 01-2 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Aufgabe 6 Seien L 1 und L 2 regulär. Beweisen Sie, dass auch L 1 \L 2 regulär sind. Strategie: Beweis folgt aus –Lemma A Sei L regulär. Dann ist auch *\L regulär. –Lemma B Seien L 1 und L 2 regulär. Dann ist auch L 1 L 2 regulär. weil L 1 \L 2 = L 1 ( *\L 2 )

3 Berechenbarkeit, Formale Sprachen, Komplexitätstheorie 01-3 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Aufgabe 6 Lemma A –Sei L regulär. Dann ist auch *\L regulär. Beweis: –Betrachte DFA M = (Q,,, q 0, F) –Konstruiere M = (Q,,, q 0, Q\F) –Behauptung L(M) = *\L. –Beweis: Nach Abarbeiten von w ist Maschine M und M im selben Zustand Wegen der Invertierung der akzeptieren Zustände gilt: M akzeptiert w genau dann, wenn M akzeptiert nicht w. –QED.

4 Berechenbarkeit, Formale Sprachen, Komplexitätstheorie 01-4 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Aufgabe 6 Lemma B –Seien L 1 und L 2 regulär. Dann ist auch L 1 L 2 regulär. Beweis –Es gilt: –wobei –Da das Komplement und die Vereinigung einer regulären Sprache regulär sind, folgt das Lemma.

5 Berechenbarkeit, Formale Sprachen, Komplexitätstheorie 01-5 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Aufgabe 1 Gesucht: DFA für Betrachte: –A = * 010 * Automat ergibt sich aus der Konkatenation der Automaten für *, 0, 1, 0, * NFA für A ( -Übergänge schon ersetzt)

6 Berechenbarkeit, Formale Sprachen, Komplexitätstheorie 01-6 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer NFA für A = * 010 * Potenzmengenkonstruktion liefert DFA Zustand {1,2,4}, {1,4}, {1,3,4} können zusammengefasst werden zu q Invertierung der akzeptierenden und nicht akzeptierenden Zustände ergibt

7 Berechenbarkeit, Formale Sprachen, Komplexitätstheorie 01-7 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Aufgabe 5 Falls L regulär ist, dann ist es auch 2 Lösungsmöglichkeiten: –NFA N aus DFA M konstruieren Im DFA M für L alle Übergänge umdrehen Startzustand zum einzigen akzeptierenden Zustand machen Neuer Startzustand in N mit -Übergang zu akzeptierenden Zuständen von M –Beweis über reguläre Ausdrücke Zu jedem regulären Ausdruck R einen Ausdruck R rev gibt, der L rev beschreibt Korrektheit durch Induktion über dem Aufbau

8 Berechenbarkeit, Formale Sprachen, Komplexitätstheorie 01-8 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Aufgabe 5: 1. Lösungsansatz Gegeben sei ein DFA M = (Q,,, q 0, F) mit L(M) = L Definiere NFA N = (Q {q},,, q, {q 0 }) wie folgt: –Für qq: (q, ) = –Für qq gilt für a – (q, ) = F –Für a : (q, a) = Angenommen M akzeptiert w= w 0 w 1 w 2... w n –Sei q 0 q 1 q 2... q n, so dass für alle i {1,...,n}: (q i,w i+1 )=q i+1 –Dann ist q n F Betrachte die Folge q q n... q 2 q 1 q 0 –Dann ist q i (q i+1,w i+1 ) –Außerdem: (q, ) = q n –und q 0 ist der akzeptierende Zustand Also akzeptiert N das Wort w n... w 2 w 1 Angenommen N akzeptiert das Wort w n... w 2 w 1 –Dann gibt es eine Folge qq n... q 2 q 1 q 0 –wobei (q, ) = q n und q n F –und q i (q i+1,w i+1 ) für alle i {1,...,n} –Dann ist (q i,w i+1 )=q i+1 –Betrachte die Folge q 0 q 1 q 2... q n –Auf dieser folge führt M eine akzeptierende Berechnung für w durch Also akzeptiert M das Wort w= w 0 w 1 w 2... w n

9 Berechenbarkeit, Formale Sprachen, Komplexitätstheorie 01-9 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Aufgabe 5: 2. Lösungsansatz Behauptung: –Für jeden regulären Ausdruck A gibt es einen regulären Ausdruck der die Sprache L(A) rev beschreibt. Beweis: 1.Fall A = Dann sei A rev = 2.Fall A= ØDann sei A rev = Ø 3.Fall A = (R 1 R 2 )Dann sei A rev = (R 1 rev R 2 rev ) 4.Fall A = (R 1 R 2 )Dann sei A rev = (R 2 rev R 1 rev ) 5.Fall A = (R 1 )*Dann sei A rev = (R 1 rev )* –Korrektheit folgt über Indunktion über den Aufbau des regulären Ausdrucks –Für jeden Fall lässt sich die Korrektheit leicht nachvollziehen.

10 Berechenbarkeit, Formale Sprachen, Komplexitätstheorie 01-10 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Aufgabe 4 1.M 1 = ({0,1,...,6}, {0,1,...,9},, 0, {4}) Für alle q {0,1,...,6}, a {0,1,...,9}: (q,a) = 10 q + a mod 7 2.M 2 = ({0,1,...,6}, {0,1},, 0, {4}) Für alle q {0,1,...,6}, a {0,1}: (q,a) = 2 q + a mod 7

11 11 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Heinz Nixdorf Institut & Institut für Informatik Universität Paderborn Fürstenallee 11 33102 Paderborn Tel.: 0 52 51/60 66 92 Fax: 0 52 51/60 64 82 E-Mail: schindel@upb.de http://www.upb.de/cs/schindel.html Vielen Dank Ende der 1. Zentralübung Nächste Zentralübung: Mi. 02.11.2005 Nächste Vorlesung:Mo. 07.11.2005 Nächste Miniklausur:Mi. 09.11.2005


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