Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

Kapitel 2 Natürliche und ganze Zahlen. Kapitel 2 © Beutelspacher Mai 2004 Seite 2 Inhalt 2.1 Teiler 12 60 2.2 Primzahlen 2, 3, 5, 7, 11, 13,.... 2.3 Zahldarstellungen.

Ähnliche Präsentationen


Präsentation zum Thema: "Kapitel 2 Natürliche und ganze Zahlen. Kapitel 2 © Beutelspacher Mai 2004 Seite 2 Inhalt 2.1 Teiler 12 60 2.2 Primzahlen 2, 3, 5, 7, 11, 13,.... 2.3 Zahldarstellungen."—  Präsentation transkript:

1 Kapitel 2 Natürliche und ganze Zahlen

2 Kapitel 2 © Beutelspacher Mai 2004 Seite 2 Inhalt 2.1 Teiler Primzahlen 2, 3, 5, 7, 11, 13, Zahldarstellungen 17 = ( ) Teilbarkeitsregeln QS, AQS 2.5 ggT 2.1 Teiler Primzahlen 2, 3, 5, 7, 11, 13, Zahldarstellungen 17 = ( ) Teilbarkeitsregeln QS, AQS 2.5 ggT

3 Kapitel 2 © Beutelspacher Mai 2004 Seite Teilbarkeit Erinnerung: Die natürlichen Zahlen sind die Zahlen 0, 1, 2,...; die Menge der natürlichen Zahlen wird mit N bezeichnet. Die Menge der ganzen Zahlen wird mit Z bezeichnet: Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...}. Wichtige Eigenschaft: Die Summe, die Differenz und das Produkt beliebiger ganzer Zahlen ist wieder eine ganze Zahl. Der Quotient zweier ganzer Zahlen ist aber nur in Ausnahmefällen wieder eine ganze Zahl. Dies ist einer der Ausgangspunkte der Zahlentheorie. Erinnerung: Die natürlichen Zahlen sind die Zahlen 0, 1, 2,...; die Menge der natürlichen Zahlen wird mit N bezeichnet. Die Menge der ganzen Zahlen wird mit Z bezeichnet: Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...}. Wichtige Eigenschaft: Die Summe, die Differenz und das Produkt beliebiger ganzer Zahlen ist wieder eine ganze Zahl. Der Quotient zweier ganzer Zahlen ist aber nur in Ausnahmefällen wieder eine ganze Zahl. Dies ist einer der Ausgangspunkte der Zahlentheorie.

4 Kapitel 2 © Beutelspacher Mai 2004 Seite 4 Teilerbeziehung Definition. Seien a und b ganze Zahlen. Wir sagen a teilt b (geschrieben a b), falls es eine ganze Zahl z gibt mit b = z a. Man nennt a einen Teiler von b, und b ein Vielfaches von a. Die Aussage a teilt b heißt also, dass a die Zahl b ohne Rest teilt! Beispiele. Es gelten die folgenden Aussagen: 2 10, –3 21, 8 –16, –15 –135, Folgende Aussagen sind hingegen nicht richtig: 2 11, –3 20, 8 –106, –14 –100, 0 1. Definition. Seien a und b ganze Zahlen. Wir sagen a teilt b (geschrieben a b), falls es eine ganze Zahl z gibt mit b = z a. Man nennt a einen Teiler von b, und b ein Vielfaches von a. Die Aussage a teilt b heißt also, dass a die Zahl b ohne Rest teilt! Beispiele. Es gelten die folgenden Aussagen: 2 10, –3 21, 8 –16, –15 –135, Folgende Aussagen sind hingegen nicht richtig: 2 11, –3 20, 8 –106, –14 –100, 0 1.

5 Kapitel 2 © Beutelspacher Mai 2004 Seite 5 Erste Erkenntnisse Hilfssatz. (a) Für jede ganze Zahl a gilt a a, a –a und –a a. (b) Wenn a b gilt, so folgt auch a bc für jede ganze Zahl c. (c) Jede ganze Zahl wird durch 1 und sich selbst geteilt. (d) Die einzigen Teiler der Zahl 1 sind 1 und –1. Beweis. (a) Aus a = 1 a folgt a a, aus –a = –1 a folgt a –a,... (b) Wegen a b, gibt es eine ganze Zahl z mit b = z a. Daraus folgt bc = (z a)c = (z c) a = z' a mit z' = zc Z. Das heißt a bc. (c) Sei a eine beliebige ganze Zahl. Nach (a) gilt a a. Wegen a = 1 a folgt auch 1 a. (d) Übungsaufgabe Hilfssatz. (a) Für jede ganze Zahl a gilt a a, a –a und –a a. (b) Wenn a b gilt, so folgt auch a bc für jede ganze Zahl c. (c) Jede ganze Zahl wird durch 1 und sich selbst geteilt. (d) Die einzigen Teiler der Zahl 1 sind 1 und –1. Beweis. (a) Aus a = 1 a folgt a a, aus –a = –1 a folgt a –a,... (b) Wegen a b, gibt es eine ganze Zahl z mit b = z a. Daraus folgt bc = (z a)c = (z c) a = z' a mit z' = zc Z. Das heißt a bc. (c) Sei a eine beliebige ganze Zahl. Nach (a) gilt a a. Wegen a = 1 a folgt auch 1 a. (d) Übungsaufgabe.

6 Kapitel 2 © Beutelspacher Mai 2004 Seite 6 Die wichtigste Eigenschaft Hilfssatz. Seien a, b und b' ganze Zahlen. (a) Wenn a b und a b' gilt, so gilt auch a b–b'. (b) Wenn a b und a b' gilt, so gilt auch a b+b'. Konsequenz: Die Zahl b–b' ist in der Regel kleiner als b oder b'; damit kann man die Teilbarkeit auf kleinere Zahlen zurückführen. Beispiel: Sei a eine natürliche Zahl, die 1001 und 2001 teilt. Wenn wir b = 2001 und b' = 1001 setzen, folgt mit (b) auch a Nun setzen wir b = 1001 und b' = 1000 und erhalten a 1. Daraus folgt a = Hilfssatz. Seien a, b und b' ganze Zahlen. (a) Wenn a b und a b' gilt, so gilt auch a b–b'. (b) Wenn a b und a b' gilt, so gilt auch a b+b'. Konsequenz: Die Zahl b–b' ist in der Regel kleiner als b oder b'; damit kann man die Teilbarkeit auf kleinere Zahlen zurückführen. Beispiel: Sei a eine natürliche Zahl, die 1001 und 2001 teilt. Wenn wir b = 2001 und b' = 1001 setzen, folgt mit (b) auch a Nun setzen wir b = 1001 und b' = 1000 und erhalten a 1. Daraus folgt a = 1.

7 Kapitel 2 © Beutelspacher Mai 2004 Seite 7 Beweis Beweis. (a) Da a ein Teiler von b ist, gibt es nach Definition eine ganze Zahl z mit b = z a. Entsprechend folgt aus a b', dass es eine ganze Zahl z' gibt mit b' = z' a. Zusammen ergibt sich b–b' = za – z'a = (z – z') a = z" a mit z" = z–z' Z. Das heißt a b–b'. (b) folgt ganz ähnlich wie (a): Übungsaufgabe. Beweis. (a) Da a ein Teiler von b ist, gibt es nach Definition eine ganze Zahl z mit b = z a. Entsprechend folgt aus a b', dass es eine ganze Zahl z' gibt mit b' = z' a. Zusammen ergibt sich b–b' = za – z'a = (z – z') a = z" a mit z" = z–z' Z. Das heißt a b–b'. (b) folgt ganz ähnlich wie (a): Übungsaufgabe.

8 Kapitel 2 © Beutelspacher Mai 2004 Seite 8 Primzahlen Definition: Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl > 1, die als natürliche Teiler nur 1 und sich selbst hat. Anders ausgedrückt: Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die genau (nur!) zwei positive Teiler hat. Beispiel: 11 ist eine Primzahl, da die einzigen natürlichen Zahlen, die 11 teilen, 1 und 11 sind. Aber 12 ist keine Primzahl, da 12 neben 1 und 12 auch 2, 3, 4 und 6 als positive Teiler hat. Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47,... Die größte heute bekannte Primzahl ist – 1, eine Zahl mit Dezimalstellen. Definition: Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl > 1, die als natürliche Teiler nur 1 und sich selbst hat. Anders ausgedrückt: Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die genau (nur!) zwei positive Teiler hat. Beispiel: 11 ist eine Primzahl, da die einzigen natürlichen Zahlen, die 11 teilen, 1 und 11 sind. Aber 12 ist keine Primzahl, da 12 neben 1 und 12 auch 2, 3, 4 und 6 als positive Teiler hat. Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47,... Die größte heute bekannte Primzahl ist – 1, eine Zahl mit Dezimalstellen.

9 Kapitel 2 © Beutelspacher Mai 2004 Seite 9 Das Sieb des Eratosthenes Wie findet man Primzahlen? Schwieriges Problem! Bis heute kennt man keine Formel für Primzahlen! Das Sieb des Eratosthenes (Eratosthenes von Kyrene v. Chr.). Um alle Primzahlen n zu finden, geht man wie folgt vor: 1.Schreibe die Zahlen 2, 3,..., n auf. 2. Die erste Zahl ist eine Primzahl. Streiche alle Vielfachen dieser Zahl! 3. Die erste freie Zahl ist die nächste Primzahl. Streiche alle Vielfachen dieser Zahl. Usw. Wie findet man Primzahlen? Schwieriges Problem! Bis heute kennt man keine Formel für Primzahlen! Das Sieb des Eratosthenes (Eratosthenes von Kyrene v. Chr.). Um alle Primzahlen n zu finden, geht man wie folgt vor: 1.Schreibe die Zahlen 2, 3,..., n auf. 2. Die erste Zahl ist eine Primzahl. Streiche alle Vielfachen dieser Zahl! 3. Die erste freie Zahl ist die nächste Primzahl. Streiche alle Vielfachen dieser Zahl. Usw.

10 Kapitel 2 © Beutelspacher Mai 2004 Seite 10 Wichtige Eigenschaft von Primzahlen Hilfssatz. Jede natürliche Zahl n 2 ist durch mindestens eine Primzahl teilbar. Beweis. 1. Schritt: Entweder ist n eine Primzahl, und wir sind fertig (denn n wird von sich selbst geteilt), oder n ist keine Primzahl. Dann gilt n = n 1 m 1 mit 1 1 sind, muss der Prozess nach endlich vielen Schritten eine Primzahl n j liefern Hilfssatz. Jede natürliche Zahl n 2 ist durch mindestens eine Primzahl teilbar. Beweis. 1. Schritt: Entweder ist n eine Primzahl, und wir sind fertig (denn n wird von sich selbst geteilt), oder n ist keine Primzahl. Dann gilt n = n 1 m 1 mit 1 1 sind, muss der Prozess nach endlich vielen Schritten eine Primzahl n j liefern.

11 Kapitel 2 © Beutelspacher Mai 2004 Seite 11 Effizienz des Siebs des Eratosthenes Satz. Um alle Primzahlen n zu finden, muss man die Zahlen von 1,..., n nur auf Teilbarkeit durch die Primzahlen n zu testen. Beispiel: Um die Primzahlen 120 zu finden, muss man die Zahlen von 1 bis 120 nur auf Teilbarkeit durch 2, 3, 5, und 7 zu testen. Beweis. Sei a eine Zahl zwischen 1 und n. Wenn a nicht prim ist, so gibt es Zahlen b und c mit a = bc und 1 < b, c < a. Die kleinere der beiden Zahlen b, c muss dann n sein. (Denn, wenn z.B. b c ist, so folgt b b b c = a n, also b n.) Nach wird b von einer Primzahl p geteilt. Es folgt p n Satz. Um alle Primzahlen n zu finden, muss man die Zahlen von 1,..., n nur auf Teilbarkeit durch die Primzahlen n zu testen. Beispiel: Um die Primzahlen 120 zu finden, muss man die Zahlen von 1 bis 120 nur auf Teilbarkeit durch 2, 3, 5, und 7 zu testen. Beweis. Sei a eine Zahl zwischen 1 und n. Wenn a nicht prim ist, so gibt es Zahlen b und c mit a = bc und 1 < b, c < a. Die kleinere der beiden Zahlen b, c muss dann n sein. (Denn, wenn z.B. b c ist, so folgt b b b c = a n, also b n.) Nach wird b von einer Primzahl p geteilt. Es folgt p n.

12 Kapitel 2 © Beutelspacher Mai 2004 Seite 12 Darstellung einer nat. Zahl durch Primzahlpotenzen Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie. Für jede natürliche Zahl n 2 gibt es eindeutig bestimmte Primzahlen p 1, p 2,..., p r und eindeutig bestimmte positive ganze Zahlen e 1, e 2,..., e r, so dass gilt: n = p 1 e1 p 2 e2... p r er. Bemerkungen. 1. Es ist möglich, dass r = 1 ist. Dann ist n = p e eine Primzahlpotenz. 2. Es ist auch möglich, dass e i = 1 ist. Dann ist die entsprechende Potenz von p i gleich p i, also eine Primzahl Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie. Für jede natürliche Zahl n 2 gibt es eindeutig bestimmte Primzahlen p 1, p 2,..., p r und eindeutig bestimmte positive ganze Zahlen e 1, e 2,..., e r, so dass gilt: n = p 1 e1 p 2 e2... p r er. Bemerkungen. 1. Es ist möglich, dass r = 1 ist. Dann ist n = p e eine Primzahlpotenz. 2. Es ist auch möglich, dass e i = 1 ist. Dann ist die entsprechende Potenz von p i gleich p i, also eine Primzahl.

13 Kapitel 2 © Beutelspacher Mai 2004 Seite 13 Faktorisierungsweltrekord (2003) = × = ×

14 Kapitel 2 © Beutelspacher Mai 2004 Seite 14 Unendlichkeit der Primzahlen Satz (Euklid). Es gibt unendlich viele Primzahlen. Mit anderen Worten: Die Folge der Primzahlen bricht nie ab. Nochmals anders gesagt: Es gibt keine größte Primzahl! Zu jeder vorgegebenen Grenze gibt es immer noch eine Primzahl, die größer als diese Grenze ist! Beweis. Der Beweis erfolgt durch Widerspruch. Wir nehmen an, dass die Aussage des Satzes falsch ist, dass es also nur endlich viele, sagen wir s, Primzahlen gibt. Man kann also prinzipiell die Folge der s Primzahlen hinschreiben: p 1 (= 2), p 2 (= 3), p 3,..., p s ; die Zahl p s wäre also die größte Primzahl. Diese Annahme müssen wir zu einem Widerspruch führen Satz (Euklid). Es gibt unendlich viele Primzahlen. Mit anderen Worten: Die Folge der Primzahlen bricht nie ab. Nochmals anders gesagt: Es gibt keine größte Primzahl! Zu jeder vorgegebenen Grenze gibt es immer noch eine Primzahl, die größer als diese Grenze ist! Beweis. Der Beweis erfolgt durch Widerspruch. Wir nehmen an, dass die Aussage des Satzes falsch ist, dass es also nur endlich viele, sagen wir s, Primzahlen gibt. Man kann also prinzipiell die Folge der s Primzahlen hinschreiben: p 1 (= 2), p 2 (= 3), p 3,..., p s ; die Zahl p s wäre also die größte Primzahl. Diese Annahme müssen wir zu einem Widerspruch führen.

15 Kapitel 2 © Beutelspacher Mai 2004 Seite 15 Euklids Trick Wir betrachten die Zahl n = p 1 p 2... p s + 1. Nach wird n durch eine Primzahl geteilt. Dafür kommen nach Annahme nur die Zahlen p 1, p 2,..., p s in Frage (weil es keine anderen Primzahlen gibt)! Also gibt es ein solches p i, das n teilt: p i n = p 1 p 2... p s + 1. Ferner teilt p i auch das Produkt p 1 p 2... p s. Das heißt: p i p 1 p 2... p s. Nach teilt p i auch die Differenz dieser beiden Zahlen: p i p 1 p 2... p s + 1 – (p 1 p 2... p s ) = 1. Also müßte die Primzahl p i die Zahl 1 teilen: Widerspruch! Wir betrachten die Zahl n = p 1 p 2... p s + 1. Nach wird n durch eine Primzahl geteilt. Dafür kommen nach Annahme nur die Zahlen p 1, p 2,..., p s in Frage (weil es keine anderen Primzahlen gibt)! Also gibt es ein solches p i, das n teilt: p i n = p 1 p 2... p s + 1. Ferner teilt p i auch das Produkt p 1 p 2... p s. Das heißt: p i p 1 p 2... p s. Nach teilt p i auch die Differenz dieser beiden Zahlen: p i p 1 p 2... p s + 1 – (p 1 p 2... p s ) = 1. Also müßte die Primzahl p i die Zahl 1 teilen: Widerspruch!

16 Kapitel 2 © Beutelspacher Mai 2004 Seite 16 Bemerkungen Man kann mit Satz von Euklid auch Primzahlen finden: Seien p, p 2,..., p s Primzahlen. Dann ist jede Primzahl, die die magische Zahl n = p 1 p 2... p s + 1 teilt, eine neue Primzahl, das heißt, eine, die unter den p 1, p 2,..., p s nicht vorkommt. Beispiel: p 1 = 2, p 2 = 3. Dann ist n = 7, also p 3 = 7. Im nächsten Schritt erhalten wir n = = 43, also p 4 = 43. Bemerkungen: 1. Die Zahl n ist nicht immer eine Primzahl. 2. Man erhält durch dieses Verfahren nicht alle Primzahlen. 3. Die neue Primzahl muss nicht größer als p 1, p 2,..., p s sein. Man kann mit Satz von Euklid auch Primzahlen finden: Seien p, p 2,..., p s Primzahlen. Dann ist jede Primzahl, die die magische Zahl n = p 1 p 2... p s + 1 teilt, eine neue Primzahl, das heißt, eine, die unter den p 1, p 2,..., p s nicht vorkommt. Beispiel: p 1 = 2, p 2 = 3. Dann ist n = 7, also p 3 = 7. Im nächsten Schritt erhalten wir n = = 43, also p 4 = 43. Bemerkungen: 1. Die Zahl n ist nicht immer eine Primzahl. 2. Man erhält durch dieses Verfahren nicht alle Primzahlen. 3. Die neue Primzahl muss nicht größer als p 1, p 2,..., p s sein.

17 Kapitel 2 © Beutelspacher Mai 2004 Seite Zahlendarstellungen Historisch gibt es eine ganze Reihe von Zahlensystemen: Zehnersystem (Dezimalsystem) mit den Ziffern 0, 1,..., er System: Babylonier vor 3000 Jahren (Gradeinteilung, Minuten, Sekunden). 20-er System: Mayas und Gallier. Binärsystem (Zweiersystem) mit den Ziffern 0 und 1. Sechzehnersystem (Hexadezimalsystem) mit den Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A (= 10), B (= 11), C (= 12), D (= 13), E (= 14), F (= 15). Elfersystem mit den Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, X (röm. Zehn). Historisch gibt es eine ganze Reihe von Zahlensystemen: Zehnersystem (Dezimalsystem) mit den Ziffern 0, 1,..., er System: Babylonier vor 3000 Jahren (Gradeinteilung, Minuten, Sekunden). 20-er System: Mayas und Gallier. Binärsystem (Zweiersystem) mit den Ziffern 0 und 1. Sechzehnersystem (Hexadezimalsystem) mit den Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A (= 10), B (= 11), C (= 12), D (= 13), E (= 14), F (= 15). Elfersystem mit den Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, X (röm. Zehn).

18 Kapitel 2 © Beutelspacher Mai 2004 Seite 18 Ziele von Zahlendarstellungen 1. Darstellbarkeit. Man möchte Zahlen (Anzahlen) dauerhaft speichern. (Beispiel: Strichliste) 2. Ökonomie. Man möchte große Zahlen so schreiben (und sprechen) können, dass man möglichst wenig Platz (und Zeit) dafür braucht. (Beispiel: römische Zahlen) 3. Man möchte mit den so dargestellten Zahlen gut rechnen können. (Beispiel: Dezimalsystem). Das zweite Ziel impliziert nicht das dritte. Mit dem römischen Zahlensystem kann man große Zahlen darstellen, aber praktisch nicht rechnen. 1. Darstellbarkeit. Man möchte Zahlen (Anzahlen) dauerhaft speichern. (Beispiel: Strichliste) 2. Ökonomie. Man möchte große Zahlen so schreiben (und sprechen) können, dass man möglichst wenig Platz (und Zeit) dafür braucht. (Beispiel: römische Zahlen) 3. Man möchte mit den so dargestellten Zahlen gut rechnen können. (Beispiel: Dezimalsystem). Das zweite Ziel impliziert nicht das dritte. Mit dem römischen Zahlensystem kann man große Zahlen darstellen, aber praktisch nicht rechnen.

19 Kapitel 2 © Beutelspacher Mai 2004 Seite 19 Beispiel: Dezimaldarstellung Wie erhalten wir die Einerziffer einer Zahl n? Wir teilen n mit Rest durch 10; der Rest, der sich dabei ergibt, ist die Einerziffer z 0 : n = n z 0 mit 0 z 0 < 10. Beispiel: n = Dann = Einerziffer = 7. Wie erhalten wir die Zehnerziffer? Die Zehnerziffer ist die Einerziffer der vorher berechneten Zahl n 0. Regel: Die Zehnerziffer ist diejenige Zahl z 1 mit n 0 = n z 1 mit 0 z 1 < 10. Entsprechend ergibt sich die Hunderterziffer z 2 durch n 1 = n z 2 mit 0 z 2 < 10. Wie erhalten wir die Einerziffer einer Zahl n? Wir teilen n mit Rest durch 10; der Rest, der sich dabei ergibt, ist die Einerziffer z 0 : n = n z 0 mit 0 z 0 < 10. Beispiel: n = Dann = Einerziffer = 7. Wie erhalten wir die Zehnerziffer? Die Zehnerziffer ist die Einerziffer der vorher berechneten Zahl n 0. Regel: Die Zehnerziffer ist diejenige Zahl z 1 mit n 0 = n z 1 mit 0 z 1 < 10. Entsprechend ergibt sich die Hunderterziffer z 2 durch n 1 = n z 2 mit 0 z 2 < 10.

20 Kapitel 2 © Beutelspacher Mai 2004 Seite 20 Die wichtigste Eigenschaft der ganzen Zahlen Division mit Rest. Seien a und b ganze Zahlen (b 0). Dann gibt es eindeutig bestimmte ganze Zahlen q und r mit a = bq + r und 0 r b –1. Beispiele. a = 13, b = 4 13 = (q = 3, r = 1) a = –13, b = 4 –13 = 4 –4 + 3 (q = –4, r = 3) a = 13, b = –4 13 = –4 –3 + 1 (q = –3, r = 1) a = –13, b = –4 –13 = – (q = 4, r = 3). Bemerkung: Die Eindeutigkeit kommt erst durch beide Eigenschaften (a = bq + r und 0 r b–1) zustande Division mit Rest. Seien a und b ganze Zahlen (b 0). Dann gibt es eindeutig bestimmte ganze Zahlen q und r mit a = bq + r und 0 r b –1. Beispiele. a = 13, b = 4 13 = (q = 3, r = 1) a = –13, b = 4 –13 = 4 –4 + 3 (q = –4, r = 3) a = 13, b = –4 13 = –4 –3 + 1 (q = –3, r = 1) a = –13, b = –4 –13 = – (q = 4, r = 3). Bemerkung: Die Eindeutigkeit kommt erst durch beide Eigenschaften (a = bq + r und 0 r b–1) zustande.

21 Kapitel 2 © Beutelspacher Mai 2004 Seite 21 Darstellung von natürlichen Zahlen zur Basis b Satz. Sei b eine natürliche Zahl mit b 1. Dann gibt es zu jeder natürlichen Zahl n 1 eindeutig bestimmte nichtnegative ganze Zahlen z 0, z 1,..., z k (die Ziffern) so dass gilt n = z k b k + z k–1 b k– z 1 b + z 0 und 0 z i < b. Wir schreiben (z k z k–1... z 1 z 0 ) b und nennen dies die Darstellung von n zur Basis b; die Zahlen z i heißen die Ziffern dieser Darstellung. Beispiele: Die Zahl 47 hat im Zehnersystem die Darstellung (4 7) 10, im Zweiersystem hat sie die Darstellung ( ) 2, im Sechzehnersystem hat sie die Darstellung (2 F) Satz. Sei b eine natürliche Zahl mit b 1. Dann gibt es zu jeder natürlichen Zahl n 1 eindeutig bestimmte nichtnegative ganze Zahlen z 0, z 1,..., z k (die Ziffern) so dass gilt n = z k b k + z k–1 b k– z 1 b + z 0 und 0 z i < b. Wir schreiben (z k z k–1... z 1 z 0 ) b und nennen dies die Darstellung von n zur Basis b; die Zahlen z i heißen die Ziffern dieser Darstellung. Beispiele: Die Zahl 47 hat im Zehnersystem die Darstellung (4 7) 10, im Zweiersystem hat sie die Darstellung ( ) 2, im Sechzehnersystem hat sie die Darstellung (2 F) 16.

22 Kapitel 2 © Beutelspacher Mai 2004 Seite 22 Beweis Beweis. (a) Existenz. Wir berechnen die Ziffern wie vorher. Zunächst bestimmen wir z 0 durch n = n 0 b + z 0 mit 0 z 0 < b. Dann bestimmen wir z 1 durch n 0 = n 1 b + z 1 mit 0 z 1 < b. Die Ziffer z 2 wird bestimmt durch n 1 = n 2 b + z 2 mit 0 z 2 < b. Usw. Wenn wir zu einer Stelle k kommen mit n k = 0, erhalten wir die letzte (höchste) Ziffer z k. Diese ist so bestimmt: n k–1 = n k b + z k mit 0 z k < b. Beweis. (a) Existenz. Wir berechnen die Ziffern wie vorher. Zunächst bestimmen wir z 0 durch n = n 0 b + z 0 mit 0 z 0 < b. Dann bestimmen wir z 1 durch n 0 = n 1 b + z 1 mit 0 z 1 < b. Die Ziffer z 2 wird bestimmt durch n 1 = n 2 b + z 2 mit 0 z 2 < b. Usw. Wenn wir zu einer Stelle k kommen mit n k = 0, erhalten wir die letzte (höchste) Ziffer z k. Diese ist so bestimmt: n k–1 = n k b + z k mit 0 z k < b.

23 Kapitel 2 © Beutelspacher Mai 2004 Seite 23 Beweis (Fortsetzung) Einsetzen: n = n 0 b + z 0 = (n 1 b + z 1 ) b + z 0 = n 1 b 2 + z 1 b + z 0 = (n 2 b + z 2 ) b 2 + z 1 b + z 0 = n 2 b 3 + z 2 b 2 + z 1 b + z 0 =... = (n k b + z k ) b k–1 + z k–1 b k– z 2 b 2 + z 1 b + z 0 = z k b k + z k–1 b k– z 1 b + z 0. (b) Eindeutigkeit (ohne Beweis). Einsetzen: n = n 0 b + z 0 = (n 1 b + z 1 ) b + z 0 = n 1 b 2 + z 1 b + z 0 = (n 2 b + z 2 ) b 2 + z 1 b + z 0 = n 2 b 3 + z 2 b 2 + z 1 b + z 0 =... = (n k b + z k ) b k–1 + z k–1 b k– z 2 b 2 + z 1 b + z 0 = z k b k + z k–1 b k– z 1 b + z 0. (b) Eindeutigkeit (ohne Beweis).

24 Kapitel 2 © Beutelspacher Mai 2004 Seite 24 Beispiele Beispiele. (a) Wir wandeln folgende Zahlen ins Zehnersystem um: ( ) 2 = = 9 ( ) 3 = = 64 (2 F) 16 = = 47 (1024) 11 = = 1357 (b) Wir wandeln die im Zehnersystem dargestellte Zahl 600 in das 2-er, 5-er und 16-er System um: 600 = , also 600 = ( ) = , also 600 = ( ) = , also 600 = (2 5 8) 16. Beispiele. (a) Wir wandeln folgende Zahlen ins Zehnersystem um: ( ) 2 = = 9 ( ) 3 = = 64 (2 F) 16 = = 47 (1024) 11 = = 1357 (b) Wir wandeln die im Zehnersystem dargestellte Zahl 600 in das 2-er, 5-er und 16-er System um: 600 = , also 600 = ( ) = , also 600 = ( ) = , also 600 = (2 5 8) 16.

25 Kapitel 2 © Beutelspacher Mai 2004 Seite 25 Bemerkungen zum Rechnen Unsere Techniken zum schriftlichen Addieren, Multiplizieren und Dividieren beruhen entscheidend auf dem Stellenwertsystem: Wir bearbeiten jeweils nicht die vollständigen Zahlen, sondern jeweils nur eine Stelle (eventuell mit Übertrag von der vorherigen Stelle). Diese Operationen funktionieren in jedem Stellenwertsystem ähnlich. Beispiel: Addition im 2-er System: Unsere Techniken zum schriftlichen Addieren, Multiplizieren und Dividieren beruhen entscheidend auf dem Stellenwertsystem: Wir bearbeiten jeweils nicht die vollständigen Zahlen, sondern jeweils nur eine Stelle (eventuell mit Übertrag von der vorherigen Stelle). Diese Operationen funktionieren in jedem Stellenwertsystem ähnlich. Beispiel: Addition im 2-er System:

26 Kapitel 2 © Beutelspacher Mai 2004 Seite 26 Die römischen Zahlen Gibt es ein 1-er System? Ja! Man benutzt nur die Ziffer 0 (und schreibt dafür 1). Beispiel 5 = (Eine Zahl wird durch die entsprechende Anzahl von Strichen wiedergegeben.) Addition ist einfach: Man braucht die Zahlen nur hintereinander zu schreiben. Das römische Zahlensystem ist im Prinzip ein solches 1-er System. Die Römer haben nur zur Abkürzung großer Zahlen andere Zeichen verwendet: V, X, L, C, D, M. Zunächst begann die Zahlenreihe so: I, II, III, IIII, V, VI, VII, VIII, VIIII, X, XI,... Damit ist Addition immer noch einfach: man schreibt die zwei Zahlen nebeneinander, ordnet um und fasst gegebenenfalls zusammen. Gibt es ein 1-er System? Ja! Man benutzt nur die Ziffer 0 (und schreibt dafür 1). Beispiel 5 = (Eine Zahl wird durch die entsprechende Anzahl von Strichen wiedergegeben.) Addition ist einfach: Man braucht die Zahlen nur hintereinander zu schreiben. Das römische Zahlensystem ist im Prinzip ein solches 1-er System. Die Römer haben nur zur Abkürzung großer Zahlen andere Zeichen verwendet: V, X, L, C, D, M. Zunächst begann die Zahlenreihe so: I, II, III, IIII, V, VI, VII, VIII, VIIII, X, XI,... Damit ist Addition immer noch einfach: man schreibt die zwei Zahlen nebeneinander, ordnet um und fasst gegebenenfalls zusammen.

27 Kapitel 2 © Beutelspacher Mai 2004 Seite Teilbarkeitsregeln Frage: Sei eine natürliche Zahl n in einem Stellenwertsystem, z.B. im Dezimalsystem gegeben. Kann man an den Ziffern erkennen, ob n durch eine bestimmte Zahl teilbar ist? David-Goliath-Sätze Beispiel: Um zu erkennen, dass eine Zahl durch 2 teilbar ist, brauchen wir nur eine einzige Stelle anzuschauen! Endstellenregel: Man erkennt die Teilbarkeit an der Endstelle (Einerziffer) oder an den Endstellen. Quersummenregel: Man erkennt die Teilbarkeit an der Quersumme (oder einer Variante der Quersumme). Frage: Sei eine natürliche Zahl n in einem Stellenwertsystem, z.B. im Dezimalsystem gegeben. Kann man an den Ziffern erkennen, ob n durch eine bestimmte Zahl teilbar ist? David-Goliath-Sätze Beispiel: Um zu erkennen, dass eine Zahl durch 2 teilbar ist, brauchen wir nur eine einzige Stelle anzuschauen! Endstellenregel: Man erkennt die Teilbarkeit an der Endstelle (Einerziffer) oder an den Endstellen. Quersummenregel: Man erkennt die Teilbarkeit an der Quersumme (oder einer Variante der Quersumme).

28 Kapitel 2 © Beutelspacher Mai 2004 Seite 28 Teilbarkeit durch Satz. Eine natürliche Zahl ist genau dann gerade (d. h. teilbar durch 2), wenn ihre Endziffer (Einerziffer) im Dezimalsystem gerade ist (also eine der Zahlen 0, 2, 4, 6, 8 ist). Beweis. (a) Vorbereitung. Sei n eine beliebige natürliche Zahl, und sei z 0 ihre Endziffer. Dann hat n folgende Darstellung: n = z k 10 k + z k–1 10 k– z z 0. Da die Zahl 2 ein Teiler von 10 ist, teilt 2 auch die Zahl z k 10 k + z k–1 10 k– z 1 10, in Formeln: 2 z k 10 k + z k–1 10 k– z 1 10.(*) Satz. Eine natürliche Zahl ist genau dann gerade (d. h. teilbar durch 2), wenn ihre Endziffer (Einerziffer) im Dezimalsystem gerade ist (also eine der Zahlen 0, 2, 4, 6, 8 ist). Beweis. (a) Vorbereitung. Sei n eine beliebige natürliche Zahl, und sei z 0 ihre Endziffer. Dann hat n folgende Darstellung: n = z k 10 k + z k–1 10 k– z z 0. Da die Zahl 2 ein Teiler von 10 ist, teilt 2 auch die Zahl z k 10 k + z k–1 10 k– z 1 10, in Formeln: 2 z k 10 k + z k–1 10 k– z 1 10.(*)

29 Kapitel 2 © Beutelspacher Mai 2004 Seite 29 Eigentlicher Beweis (b) Eigentlicher Beweis: Wir müssen beide Richtungen zeigen. Zunächst sei n gerade. Zu zeigen: z 0 ist gerade. Da n gerade ist, gilt 2 n. Formal heißt dies: 2 z k 10 k + z k–1 10 k– z z 0. Wegen Hilfssatz (a) und (*) ist folgende Zahl gerade: (z k 10 k +z k–1 10 k– z z 0 ) – (z k 10 k +z k–1 10 k– z 1 10) = z 0. Also ist z 0 gerade. Sei nun umgekehrt z 0 gerade, also 2 z 0. Es folgt 2 (z k 10 k + z k–1 10 k– z 1 10) + z 0 = n. Also ist n gerade. (b) Eigentlicher Beweis: Wir müssen beide Richtungen zeigen. Zunächst sei n gerade. Zu zeigen: z 0 ist gerade. Da n gerade ist, gilt 2 n. Formal heißt dies: 2 z k 10 k + z k–1 10 k– z z 0. Wegen Hilfssatz (a) und (*) ist folgende Zahl gerade: (z k 10 k +z k–1 10 k– z z 0 ) – (z k 10 k +z k–1 10 k– z 1 10) = z 0. Also ist z 0 gerade. Sei nun umgekehrt z 0 gerade, also 2 z 0. Es folgt 2 (z k 10 k + z k–1 10 k– z 1 10) + z 0 = n. Also ist n gerade.

30 Kapitel 2 © Beutelspacher Mai 2004 Seite 30 Teilbarkeit durch 5 und Satz. Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 5 teilbar, wenn ihre Endziffer im Dezimalsystem durch 5 teilbar ist, also eine der Zahlen 0 oder 5 ist) Folgerung. Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 10 teilbar, wenn ihre Endziffer im Dezimalsystem 0 ist. Beweis der Folgerung. Eine Zahl ist genau dann durch 10 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 5 teilbar ist; nach und ist das genau dann der Fall, wenn die Endziffer in {0, 2, 4, 6, 8 } {0, 5} = {0} ist Satz. Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 5 teilbar, wenn ihre Endziffer im Dezimalsystem durch 5 teilbar ist, also eine der Zahlen 0 oder 5 ist) Folgerung. Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 10 teilbar, wenn ihre Endziffer im Dezimalsystem 0 ist. Beweis der Folgerung. Eine Zahl ist genau dann durch 10 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 5 teilbar ist; nach und ist das genau dann der Fall, wenn die Endziffer in {0, 2, 4, 6, 8 } {0, 5} = {0} ist.

31 Kapitel 2 © Beutelspacher Mai 2004 Seite 31 Quersumme Definition. Sei n eine im Dezimalsystem dargestellte natürliche Zahl: n = z k 10 k + z k–1 10 k– z z 0. Dann nennt man die Zahl Q(n) = z k + z k– z 1 + z 0 die Quersumme von n. Kurz: Die Quersumme einer Zahl ist die Summe ihrer Ziffern. Beispiele: Q(1024) = = 7, Q( ) = 45. Definition. Sei n eine im Dezimalsystem dargestellte natürliche Zahl: n = z k 10 k + z k–1 10 k– z z 0. Dann nennt man die Zahl Q(n) = z k + z k– z 1 + z 0 die Quersumme von n. Kurz: Die Quersumme einer Zahl ist die Summe ihrer Ziffern. Beispiele: Q(1024) = = 7, Q( ) = 45.

32 Kapitel 2 © Beutelspacher Mai 2004 Seite 32 Teilbarkeit durch Satz. Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme (im Dezimalsystem) durch 9 teilbar ist. Beweis. Vorbereitung: Sei n eine beliebige natürliche Zahl, und sei z 0 ihre Endziffer. Dann hat n folgende Darstellung: n = z k 10 k + z k–1 10 k– z z 0. Wir wissen: 9 teilt die Zahlen 9 (=10–1), 99 (= 100–1), 999 (= 1000–1),..., (= 10 k – 1). Also gilt auch 9 z k (10 k – 1) + z k–1 (10 k–1 – 1) z 1 (10 – 1).(**) Satz. Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme (im Dezimalsystem) durch 9 teilbar ist. Beweis. Vorbereitung: Sei n eine beliebige natürliche Zahl, und sei z 0 ihre Endziffer. Dann hat n folgende Darstellung: n = z k 10 k + z k–1 10 k– z z 0. Wir wissen: 9 teilt die Zahlen 9 (=10–1), 99 (= 100–1), 999 (= 1000–1),..., (= 10 k – 1). Also gilt auch 9 z k (10 k – 1) + z k–1 (10 k–1 – 1) z 1 (10 – 1).(**)

33 Kapitel 2 © Beutelspacher Mai 2004 Seite 33 Eigentlicher Beweis Zunächst setzen wir voraus, dass n durch 9 teilbar ist. Wir müssen zeigen, dass dann Q(n) durch 9 teilbar ist. Wir wissen: 9 z k 10 k + z k–1 10 k– z z 0. Mit Hilfssatz (a) und (**) folgt, dass Q(n) durch 9 teilbar ist: 9 (z k 10 k +z k–1 10 k– z 1 10+z 0 ) – (z k (10 k –1) + z k–1 (10 k–1 –1) z 1 (10–1)) = z k + z k– z 1 + z 0 = Q(n) Sei umgekehrt Q(n) durch 9 teilbar. Mit (b) und (**) folgt: 9 (z k (10 k – 1) + z k–1 (10 k–1 – 1) z 1 (10 – 1)) + (z k + z k– z 1 + z 0 ) = n. Zunächst setzen wir voraus, dass n durch 9 teilbar ist. Wir müssen zeigen, dass dann Q(n) durch 9 teilbar ist. Wir wissen: 9 z k 10 k + z k–1 10 k– z z 0. Mit Hilfssatz (a) und (**) folgt, dass Q(n) durch 9 teilbar ist: 9 (z k 10 k +z k–1 10 k– z 1 10+z 0 ) – (z k (10 k –1) + z k–1 (10 k–1 –1) z 1 (10–1)) = z k + z k– z 1 + z 0 = Q(n) Sei umgekehrt Q(n) durch 9 teilbar. Mit (b) und (**) folgt: 9 (z k (10 k – 1) + z k–1 (10 k–1 – 1) z 1 (10 – 1)) + (z k + z k– z 1 + z 0 ) = n.

34 Kapitel 2 © Beutelspacher Mai 2004 Seite 34 Teilbarkeit durch Satz. Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme (im Dezimalsystem) durch 3 teilbar ist. Beispiele: (a) ist durch 3 teilbar. (b) Jede Zahl, die durch 9 teilbar ist, ist auch durch 3 teilbar. (c) Wie kann man X wählen, so dass X2487 durch 3 teilbar ist? Satz. Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme (im Dezimalsystem) durch 3 teilbar ist. Beispiele: (a) ist durch 3 teilbar. (b) Jede Zahl, die durch 9 teilbar ist, ist auch durch 3 teilbar. (c) Wie kann man X wählen, so dass X2487 durch 3 teilbar ist?

35 Kapitel 2 © Beutelspacher Mai 2004 Seite 35 Teilbarkeit durch 11 Definition. Sei n = z k 10 k + z k–1 10 k– z z 0 eine natürliche Zahl. Dann nennt man die Zahl AQ(n) = z k – z k–1 + z k–2 –... +/– z 1 –/+ z 0 die alternierende Quersumme von n. Kurz: Die alternierende Quersumme einer Zahl ist die alternierende (einmal plus, einmal minus) Summe ihrer Ziffern. Beispiele: AQ(1274) = 2, AQ(123321) = 0, AQ(240) = – Satz. Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 11 teilbar, wenn ihre alternierende Quersumme durch 11 teilbar ist. Zum Beispiel ist n = durch 11 teilbar. Definition. Sei n = z k 10 k + z k–1 10 k– z z 0 eine natürliche Zahl. Dann nennt man die Zahl AQ(n) = z k – z k–1 + z k–2 –... +/– z 1 –/+ z 0 die alternierende Quersumme von n. Kurz: Die alternierende Quersumme einer Zahl ist die alternierende (einmal plus, einmal minus) Summe ihrer Ziffern. Beispiele: AQ(1274) = 2, AQ(123321) = 0, AQ(240) = – Satz. Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 11 teilbar, wenn ihre alternierende Quersumme durch 11 teilbar ist. Zum Beispiel ist n = durch 11 teilbar.

36 Kapitel 2 © Beutelspacher Mai 2004 Seite Der ggT Definition. Seien a und b zwei ganze Zahlen. Eine natürliche Zahl d heißt gemeinsamer Teiler von a und b, falls sowohl d a als auch d b gilt. Beispiele: (a) Gemeinsame Teiler von 6 und 10: 1 und 2. (b) Gemeinsame Teiler von –24 und 42: 1, 2, 3 und 6. (c) Gemeinsame Teiler von 0 und 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20. (d) Gemeinsame Teiler von 0 und a (> 0): Teiler von a. Bemerkungen. (a) Gemeinsame Teiler sind immer positiv. (b) Im allgemeinen gibt es mehr als einen gemeinsamen Teiler. (c) Die Zahl 1 ist in jedem Fall ein gemeinsamer Teiler von a und b. Definition. Seien a und b zwei ganze Zahlen. Eine natürliche Zahl d heißt gemeinsamer Teiler von a und b, falls sowohl d a als auch d b gilt. Beispiele: (a) Gemeinsame Teiler von 6 und 10: 1 und 2. (b) Gemeinsame Teiler von –24 und 42: 1, 2, 3 und 6. (c) Gemeinsame Teiler von 0 und 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20. (d) Gemeinsame Teiler von 0 und a (> 0): Teiler von a. Bemerkungen. (a) Gemeinsame Teiler sind immer positiv. (b) Im allgemeinen gibt es mehr als einen gemeinsamen Teiler. (c) Die Zahl 1 ist in jedem Fall ein gemeinsamer Teiler von a und b.

37 Kapitel 2 © Beutelspacher Mai 2004 Seite 37 Teilerfremde Zahlen Beobachtung: Je zwei ganze Zahlen haben mindestens einen gemeinsamen Teiler, nämlich die Zahl 1. Definition. Wir nennen zwei ganze Zahlen teilerfremd, wenn sie nur einen gemeinsamen Teiler haben. M.a.W. Zwei Zahlen sind teilerfremd, wenn ihr einziger gemeinsamer Teiler die Zahl 1 ist. Achtung: Teilerfremd bedeutet nicht, dass die Zahlen keinen gemeinsamen Teiler haben! Beispiele: 11 und 13, 5000 und 333, 1999 und 2000 sind teilerfremd. Beobachtung: Je zwei ganze Zahlen haben mindestens einen gemeinsamen Teiler, nämlich die Zahl 1. Definition. Wir nennen zwei ganze Zahlen teilerfremd, wenn sie nur einen gemeinsamen Teiler haben. M.a.W. Zwei Zahlen sind teilerfremd, wenn ihr einziger gemeinsamer Teiler die Zahl 1 ist. Achtung: Teilerfremd bedeutet nicht, dass die Zahlen keinen gemeinsamen Teiler haben! Beispiele: 11 und 13, 5000 und 333, 1999 und 2000 sind teilerfremd.

38 Kapitel 2 © Beutelspacher Mai 2004 Seite 38 Größter gemeinsamer Teiler Definition. Seien a und b ganze Zahlen, die nicht beide gleich Null sind. Der größte gemeinsame Teiler von a und b ist die größte ganze Zahl unter den gemeinsamen Teilern von a und b. Beispiele. (a) 6 ist größter gemeinsamer Teiler von 12 und 18, denn die gemeinsamen Teiler sind 1, 2, 3, 6; unter diesen ist 6 ist größte Zahl. (b) Zwei Zahlen a und b sind teilerfremd, falls ihr größter gemeinsamer Teiler gleich 1 ist. Definition. Seien a und b ganze Zahlen, die nicht beide gleich Null sind. Der größte gemeinsame Teiler von a und b ist die größte ganze Zahl unter den gemeinsamen Teilern von a und b. Beispiele. (a) 6 ist größter gemeinsamer Teiler von 12 und 18, denn die gemeinsamen Teiler sind 1, 2, 3, 6; unter diesen ist 6 ist größte Zahl. (b) Zwei Zahlen a und b sind teilerfremd, falls ihr größter gemeinsamer Teiler gleich 1 ist.

39 Kapitel 2 © Beutelspacher Mai 2004 Seite 39 Der ggT Tatsache/Definition: Zu je zwei ganzen Zahlen a und b, die nicht beide gleich Null sind, existiert stets ein größter gemeinsamer Teiler; dieser ist eindeutig bestimmt. Er wird mit ggT(a, b) bezeichnet. Beispiele. (a) ggT(12, 18) = 6. (b) ggT(1001, 2001) = 1. (Denn: Jeder gemeinsame Teiler t von 1001 und 2001 teilt auch 2001 – 1001 = Also teilt t auch 1001 – 1000 = 1.) (c) ggT(–15, –21) = 3. (d) Für jede natürliche Zahl a gilt: ggT(a, 0) = a. (Klar: a ist der größte Teiler von a. Da a auch die Zahl 0 teilt, ist a = ggT(a, 0).) Tatsache/Definition: Zu je zwei ganzen Zahlen a und b, die nicht beide gleich Null sind, existiert stets ein größter gemeinsamer Teiler; dieser ist eindeutig bestimmt. Er wird mit ggT(a, b) bezeichnet. Beispiele. (a) ggT(12, 18) = 6. (b) ggT(1001, 2001) = 1. (Denn: Jeder gemeinsame Teiler t von 1001 und 2001 teilt auch 2001 – 1001 = Also teilt t auch 1001 – 1000 = 1.) (c) ggT(–15, –21) = 3. (d) Für jede natürliche Zahl a gilt: ggT(a, 0) = a. (Klar: a ist der größte Teiler von a. Da a auch die Zahl 0 teilt, ist a = ggT(a, 0).)

40 Kapitel 2 © Beutelspacher Mai 2004 Seite 40 Berechnung des ggT Es gibt im wesentlichen zwei Arten, den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen auszurechnen. Erste Art: Mit Primfaktorzerlegung: – funktioniert praktisch nur für kleine Zahlen, – man sieht aber gut, dass es sich beim Ergebnis um den ggT handelt. Zweite Art: Mit euklidischem Algorithmus: – auch für große Zahlen sehr gut geeignet. – ist aber ein Algorithmus, der mechanisch abgearbeitet wird. Es gibt im wesentlichen zwei Arten, den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen auszurechnen. Erste Art: Mit Primfaktorzerlegung: – funktioniert praktisch nur für kleine Zahlen, – man sieht aber gut, dass es sich beim Ergebnis um den ggT handelt. Zweite Art: Mit euklidischem Algorithmus: – auch für große Zahlen sehr gut geeignet. – ist aber ein Algorithmus, der mechanisch abgearbeitet wird.

41 Kapitel 2 © Beutelspacher Mai 2004 Seite 41 ggT mit Primfaktorzerlegung Seien a und b natürliche Zahlen. Wir schreiben a und b als Produkte von Primzahlen (vgl ): a = p 1 e1 p 2 e2... p r er, b = p 1 f1 p 2 f2... p r fr mit natürlichen Zahlen e i und f i. (Wir erlauben auch e i = 0 und f j = 0, damit wir a und b als Potenzen der gleichen Primzahlen p 1,..., p r schreiben können.) Sei g i die kleinste der Zahlen e i und f i. D.h.: g 1 ist die kleinste der Zahlen e 1 und f 1, g 2 die kleinste der Zahlen e 2 und f 2,... Dann ist ggT(a, b) = p 1 g1 p 2 g2... p r gr. Seien a und b natürliche Zahlen. Wir schreiben a und b als Produkte von Primzahlen (vgl ): a = p 1 e1 p 2 e2... p r er, b = p 1 f1 p 2 f2... p r fr mit natürlichen Zahlen e i und f i. (Wir erlauben auch e i = 0 und f j = 0, damit wir a und b als Potenzen der gleichen Primzahlen p 1,..., p r schreiben können.) Sei g i die kleinste der Zahlen e i und f i. D.h.: g 1 ist die kleinste der Zahlen e 1 und f 1, g 2 die kleinste der Zahlen e 2 und f 2,... Dann ist ggT(a, b) = p 1 g1 p 2 g2... p r gr.

42 Kapitel 2 © Beutelspacher Mai 2004 Seite 42 Beispiel Beispiel: Sei a = 150 und b = 45. Dann ist 150 = = und 45 = = Somit ist e 1 = 1, e 2 = 1, e 3 = 2 und f 1 = 0, f 2 = 2, f 3 = 1. Es folgt g 1 = 0, g 2 = 1, g 3 = 1. Somit ist ggT(a, b) = = 15. Beispiel: Sei a = 150 und b = 45. Dann ist 150 = = und 45 = = Somit ist e 1 = 1, e 2 = 1, e 3 = 2 und f 1 = 0, f 2 = 2, f 3 = 1. Es folgt g 1 = 0, g 2 = 1, g 3 = 1. Somit ist ggT(a, b) = = 15.

43 Kapitel 2 © Beutelspacher Mai 2004 Seite 43 Hilfssatz zur Berechnung des ggT Hilfssatz. Seien a und b ganze Zahlen mit 0 < b < a. Seien q und r diejenigen ganzen Zahlen mit a = q b + r und 0 r < b. Dann gilt ggT(a, b) = ggT(b, r). Ist dies ein guter Hilfssatz? Ja, denn er führt die Berechnung des ggT großer Zahlen (a, b) auf die Berechnung des ggT kleinerer Zahlen (b, r) zurück. Eventuell muss man den Prozess wiederholen. Beispiel: ggT(2001, 1001) = ? 2001 = , 1001 = ; also ggT(2001, 1001) = ggT(1001, 1000) = ggT(1000, 1) = Hilfssatz. Seien a und b ganze Zahlen mit 0 < b < a. Seien q und r diejenigen ganzen Zahlen mit a = q b + r und 0 r < b. Dann gilt ggT(a, b) = ggT(b, r). Ist dies ein guter Hilfssatz? Ja, denn er führt die Berechnung des ggT großer Zahlen (a, b) auf die Berechnung des ggT kleinerer Zahlen (b, r) zurück. Eventuell muss man den Prozess wiederholen. Beispiel: ggT(2001, 1001) = ? 2001 = , 1001 = ; also ggT(2001, 1001) = ggT(1001, 1000) = ggT(1000, 1) = 1.

44 Kapitel 2 © Beutelspacher Mai 2004 Seite 44 Beweis des Hilfssatzes Beweis. Wir zeigen, dass die gemeinsamen Teiler von a und b genau die gemeinsamen Teiler von b und r sind. Dann stimmen natürlich auch die größten gemeinsamen Teiler überein. Sei t ein gemeinsamer Teiler von a und b. Warum teilt t auch r? Das liegt an der Gleichung a = qb + r. Da t die Zahl b teilt, teilt t auch qb. Also teilt t auch a – qb = r. Nun sei umgekehrt t ein gemeinsamer Teiler von b und r. Zu zeigen: t teilt auch a und b. Da t sowohl b als auch r teilt, teilt t auch qb, und damit auch qb + r = a. Somit ist t ein gemeinsamer Teiler von a und b. Beweis. Wir zeigen, dass die gemeinsamen Teiler von a und b genau die gemeinsamen Teiler von b und r sind. Dann stimmen natürlich auch die größten gemeinsamen Teiler überein. Sei t ein gemeinsamer Teiler von a und b. Warum teilt t auch r? Das liegt an der Gleichung a = qb + r. Da t die Zahl b teilt, teilt t auch qb. Also teilt t auch a – qb = r. Nun sei umgekehrt t ein gemeinsamer Teiler von b und r. Zu zeigen: t teilt auch a und b. Da t sowohl b als auch r teilt, teilt t auch qb, und damit auch qb + r = a. Somit ist t ein gemeinsamer Teiler von a und b.

45 Kapitel 2 © Beutelspacher Mai 2004 Seite 45 Beispiel ggT(4711, 1024) = ? 4711 = ggT(4711, 1024) = ggT(1024, 615) 1024 = = ggT(1024, 615) = ggT(615, 409) 615 = ggT(615, 409) = ggT(409, 206) 409 = ggT(409, 206) = ggT(206, 203) 206 = ggT(206, 203) = ggT(203, 3) 203 = ggT(203, 3) = ggT(3, 2) 3 = ggT(3, 2) = ggT(2, 1) = 1. ggT(4711, 1024) = ? 4711 = ggT(4711, 1024) = ggT(1024, 615) 1024 = = ggT(1024, 615) = ggT(615, 409) 615 = ggT(615, 409) = ggT(409, 206) 409 = ggT(409, 206) = ggT(206, 203) 206 = ggT(206, 203) = ggT(203, 3) 203 = ggT(203, 3) = ggT(3, 2) 3 = ggT(3, 2) = ggT(2, 1) = 1.


Herunterladen ppt "Kapitel 2 Natürliche und ganze Zahlen. Kapitel 2 © Beutelspacher Mai 2004 Seite 2 Inhalt 2.1 Teiler 12 60 2.2 Primzahlen 2, 3, 5, 7, 11, 13,.... 2.3 Zahldarstellungen."

Ähnliche Präsentationen


Google-Anzeigen